Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.
Достоинства метода:
a) менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;
b) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;
c) позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений - ранг матрицы системы.
Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.
Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:
a) нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса-Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица:);
b) определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);
c) численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).
Существуют и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недостатков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей.
Комбинаторика.
Сколькими способами трое мальчиков - Алмас, Болат, Сабыр - могут стоять в одном ряду? - Это не трудно, напишем все возможные случаи (комбинации): АБС, АСБ, БАС, БСА, САБ, СБА. Всего шесть комбинаций.
Допустим к ним присоединился еще один мальчик Даурен. Каковы будут способы расположения в этом случае? В возможных шести случаях Даурен может стоять первым, вторым, третьим и последним:
ДАБС, ДАСБ, ДБАС, ДБСА, ДСАБ, ДСБА;
АДБС, АДСБ, БДАС, БДСА, СДАБ, СДБА;
АБДС, АСДБ, БАДС, БСДА, САДБ, СБДА;
АБСД, АСБД, БАСД, БСАД, САБД, СБАД.
Всего 24 разных способов. А если еще увеличить количество детей? Каждый раз писать и выводить общее количество трудно. Нам нужно определить число способов, а не виды способов. Нет ли других методов для определение этого число? - Есть. И в теории вероятностей нас больше интересует количество способов расположения, чем виды расположения. Раздел математики, называемый комбинаторикой, дает возможность сразу определить количество таких способов. Ознакомимся с основными понятиями комбинаторики, необходимыми для решения задач теории вероятностей. Это - перестановка, размещение и сочетания. Остановимся на каждом в отдельности.
1. Перестановка. Рассмотрим число случаев в предыдущей задаче. Мы переставили местами буквы А, Б, С и посчитали число всевозможных комбинаций, оно равнялось 6. А когда число мальчиков увеличилось на единицу, переставь местами буквы А, Б, С, Д, мы нашли число всевозможных комбинаций, оно равнялось 24.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перестановкой из n различных элементов называются комбинации, которые состоят из n элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.
Число перестановок из n различных элементов обозначают P n и подсчитывают по формуле:
здесь n! (читается "эн факториал") означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n:
Понятно, что один факториал равен единице, 1! = 1, вместе с этим, в математике принято считать что и ноль факториал равен единице. И так 0! = 1.
Вернемся к примеру. Здесь n=3. Следовательно, можно найти искомое число перестановок по формуле (1): P 3 =3!=1 2 3=6. Аналогично, число перестановок из четырех букв равно: P 4 =4!=1 2 3 4=24
Пример 7. Найдем значение выражения с факториалами 8!/6! 2!
Сначала преобразуем 8!=1 2 3 4 5 6 7 8=6! 7 8
Это преобразование подставим в выражение и упростим. 8!/6! 2=6! 7 8/6! 2=7 8/2=28
2. Размещения. Рассмотрим пример. Сколько двузначных чисел (цифры не повторяются) можно записать с помощью цифр 7, 8, 9. Это можно сделать в двух этапах: первый этап - определение количество подбора разрядов десятков числа, он равен 3 (любая из данных 3 цифр может занять разряд десятков); второй этап - определение количество подбора разрядов единиц числа, он равен 2 (любая цифра из оставшихся двух может занять разряд единиц). По правилу умножения из трех чисел можно составить всего 3 2=6 различных двузначных чисел. Действительно, можно в этом убедиться непосредственно записывая эти числа 78, 79, 87, 89, 97, 98, При решении задачи мы расположили по два элемента из трех, причем эти комбинации отличаются либо составом (78, 98), либо порядком их расположения (78, 87).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Размещением из n элементов по m элементов (m n) называются комбинации, состоящие из m элементов, взятых из данных n различных элементов, отличающихся друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.
Число размещений из n элементов по m элементов обозначают и читают так: "А из эн по эм". Чтобы найти используют формулу:
(15)
Рассмотрим еще один пример. В 5 классе изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание, если в этот день должно быть 4 различных урока?
Чтобы найти число способов расположения 10-ти предметов по четыре предмета, воспользуемся формулой (15) нахождения числа размещений из 10 элементов по 4 элемента:
Итак, 10 предметов по 4 предмета можно расположить 5040 различными способами.
3. Сочетания. Пример. Нужно составить произведения двух различных чисел из данных трех чисел 7, 8, 9.
Учитывая переместительное свойство умножения, имеем: 7 8=56, 7 9=63, 8 9=72. При решении задачи мы отобрали по два элемента из трех, причем эти комбинации отличаются только составом (78, 98), а их расположения не влияют на произведение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сочетанием из n элементов по m элементов (m n) называются комбинации, состоящие из m элементов, взятых из данных n различных элементов, отличающиеся друг от друга только составом.
Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначают и читают так: "це из эн по эм". Чтобы найти используют формулу:
(16)
В нашем примере n=3, а m=2. Тогда 
Рассмотрим еще пример. В классе 25 учеников, из них 12 мальчиков. а) Нужно составить дежурство по два человека, причем пары должны состоят либо из мальчиков, либо из девочек. б) Сколько можно создать групп для дежурства, из двух мальчиков и одной девочки?
Решение. а) При решении этой задачи воспользуемся правилом сложения и формулой сочетания. Сначала посчитаем сколько пар можно создать из мальчиков (m 1) и из девочек (m 2), после найдем их сумму (m=m 1 +m 2).
Чтобы определить сколько пар можно создать из 12 мальчиков воспользуемся формулой для подсчета числа сочетаний из 12 элементов по 2 элемента
Из девочек можно создать 78 различных пар. Тогда по два мальчика и по две девочки всего можно создать m=66+78=144 различных пар.
б) При решении этой задачи воспользуемся правилом умножения и формулой сочетания. В группе два мальчика и одна девочка. Сначала посчитаем сколькими способами можно выбрать из 12 мальчиков по два мальчика (m 1) и из 13 девочек одну девочку (m 2), затем перемножим полученные результаты (m=m 1 m 2).
Из 12 мальчиков 2 мальчика можно выбрать 66 различными способами. А из 13 девочек 1 девочку можно выбрать следующим образом:
Тогда группу из двух мальчиков и из одной девочки можно создать m=66 13=856 различными способами.
Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.
Определение 1.1 . Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Обозначения: А – матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.
Определение 1.2 . Числа m и n называются размерностями матрицы.
Определение 1.3. Матрица называется квадратной , если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.
Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.
Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:
.
При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.
1. 
2.
Определение 1.5 . Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:
А` , называемая транспонированной по отношению к матрице А , элементы которой связаны с элементамиА соотношением a` ij = a ji .
Пусть дана система , ∆≠0. (1)Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных.
Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей , из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Рассмотрим одну из вычислительных схем. Эта схема называется схемой единственного деления. Итак, рассмотрим эту схему. Пусть a 11 ≠0 (ведущий элемент) разделим на a 11 первое уравнение. Получим
(2)
Пользуясь уравнением (2), легко исключить неизвестные x 1 из остальных уравнений системы (для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (2) предварительно умноженное на соответствующий коэффициент при x 1), то есть на первом шаге получим
.
Иными словами, на 1 шаге каждый элемент последующих строк, начиная со второй, равен разности между исходным элементом и произведением его «проекции» на первый столбец и первую (преобразованную) строку.
Вслед за этим оставив первое уравнение в покое, над остальными уравнениями системы, полученной на первом шаге, совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений x 2 (шаг 2).
После n шагов вместо (1) получим равносильную систему
(3)
Таким образом, на первом этапе мы получим треугольную систему (3). Этот этап называется прямым ходом.
На втором этапе (обратный ход) мы находим последовательно из (3) значения x n , x n -1 , …, x 1 .
Обозначим полученное решение за x 0 . Тогда разность ε=b-A·x 0 называется невязкой
.
Если ε=0, то найденное решение x 0 является верным.
Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа:
- Первый этап называется прямым ходом метода. На первом этапе исходную систему преобразуют к треугольному виду.
- Второй этап называется обратным ходом. На втором этапе решают треугольную систему, эквивалентную исходной.
На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переставив уравнения системы.
Назначение метода Гаусса
Метод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Относится к прямым методам решения.Виды метода Гаусса
- Классический метод Гаусса;
- Модификации метода Гаусса. Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Особенностью метода Гаусса с выбором главного элемента является такая перестановка уравнений, чтобы на k -ом шаге ведущим элементом оказывался наибольший по модулю элемент k -го столбца.
- Метод Жордано-Гаусса;
Проиллюстрируем отличие метода Жордано-Гаусса от метода Гаусса на примерах.
Пример решения методом Гаусса
Решим систему:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой
Из 1-ой строки выражаем x 3:
Из 2-ой строки выражаем x 2:
Из 3-ой строки выражаем x 1: 
Пример решения методом Жордано-Гаусса
Эту же СЛАУ решим методом Жордано-Гаусса.
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Разрешающий элемент равен (3).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Ответ : x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Реализация метода Гаусса
Метод Гаусса реализован на многих языках программирования, в частности: Pascal, C++, php, Delphi , а также имеется реализация метода Гаусса в онлайн режиме .Использование метода Гаусса
Применение метода Гаусса в теории игр
В теории игр при отыскании максиминной оптимальной стратегии игрока составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.Применение метода Гаусса при решении дифференциальных уравнений
Для поиска частного решения дифференциального уравнения сначала находят производные соответствующей степени для записанного частного решения (y=f(A,B,C,D)), которые подставляют в исходное уравнение. Далее, чтобы найти переменные A,B,C,D составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.Применение метода Жордано-Гаусса в линейном программировании
В линейном программировании, в частности в симплекс-методе для преобразования симплексной таблицы на каждой итерации используется правило прямоугольника, в котором используется метод Жордано-Гаусса.При решении системы уравнений
простейшим вариантом метода Гаусса имеют место большие погрешности. Причина заключается в появлении больших коэффициентов, при округлении которых получается большая абсолютная погрешность D ~ 0.5. В свою очередь, большие коэффициенты получаются после деления на маленький ведущий коэффициент 
.
Вывод: для уменьшения влияния ошибок округления надо выбирать ведущий элемент не просто отличный от 0, но и достаточно большой.
Первая модификация метода Гаусса – поиск по строкам. В алгоритме ведущий элемент надо выбирать из условия .
Недостаток модификации. Предположим х i найден с погрешностью D. Тогда при поиске какого-либо х s надо, согласно формуле обратного хода, умножать . При этом погрешность D также умножится на . Если значение велико, то погрешность возрастет.
Вывод: надо обеспечить, чтобы ведущий элемент был не просто большим, а самым большим по модулю в своей строке. Тогда при нормировке ведущей строки все прочие коэффициенты, согласно формуле (5), будут по модулю меньше 1, и ошибки будут уменьшаться .
Вторая модификация метода Гаусса – поиск по столбцам. Указанное требование можно обеспечить, если неизвестные х i исключаются в произвольном порядке, а в ведущей строке ищется , доставляющий . Это и будет очередной ведущий элемент. После определения ведущего элемента меняем местами k-й и r-й столбцы .
Внимание. При такой замене меняется нумерация неизвестных x i . Чтобы обеспечить такую замену, надо при программировании ввести массив p 1 ,…p n с настоящими номерами неизвестных. В начале прямого хода все p i = i – обычная нумерация. После нахождения ведущего элемента меняем местами p k и p r . При обратном ходе по формуле (7) вычисляются перенумерованные x i . После вычисления всех неизвестных надо положить y]:=x[i] , и массив y[i] будет окончательным решением задачи.
Третья модификация метода Гаусса – полный поиск. В качестве ведущего выбирается элемент , доставляющий . При этом меняются местами k-й и r-й столбцы, p k и p r , а также m-я и k-я строки. Эта модификация обеспечивает максимальную точность, но и наиболее сложна.
Применение метода Гаусса для решения различных задач линейной алгебры
1. Обращение матриц. Пусть необходимо вычислить обратную матрицу к квадратной матрице А. Обозначим Х = А –1 . Как известно АХ = I, где I – единичная матрица, в которой по диагонали расположены 1, а остальные элементы – 0. Иными словами, i-й столбец матрицы I равен
(1 стоит на i-м месте). Пусть х (i) – i-й столбец матрицы Х. Тогда, в силу правила умножения матриц (строка умножается на столбец) имеем А х (i) = e (i) . Значит, для обращения матрицы надо решить n систем линейных уравнений с одинаковыми матрицами и разными правыми частями:
Ах = е (1) ; Ах = е (2) ; …; Ах = е ( n ) . (2.1)
Решив эти системы, получим, что найденные решения х (1) , х (2) , …, х (n) являются столбцами матрицы А –1 .
2. Вычисление определителей. В процессе преобразования матрицы А к треугольному виду методом Гаусса мы выполняли с ней следующие действия:
1) переставляли строки или столбцы в зависимости от модификации метода;
2) делили ведущую строку на ненулевой ведущий элемент;
3) к строкам матрицы прибавляли ведущую строку, умноженную на некоторое число.
Как известно, при таких преобразованиях определитель матрицы претерпевает соответствующие изменения:
1) изменяет знак;
2) делится на тот же элемент;
3) не меняется.
После прямого хода матрица А будет приведена к верхнему треугольному виду с единицами на главной диагонали. Определитель такой матрицы равен, очевидно, 1. С учетом тех изменений, которые претерпевал определитель матрицы А в процессе преобразований, имеем следующую формулу:
det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n ,
где a j j – ведущие элементы, s – число перестановок строк и/или столбцов при поиске ведущих элементов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Вручную реализовать метод Гаусса (с поиском по строкам, по столбцам, по всей матрице – в зависимости от варианта задания) для данной системы уравнений
и выполнить следующие задания
1) Решить эту систему уравнений
2) Вычислить определитель матрицы данной системы (методом Гаусса – см. п 2 ).
3) Обратить матрицу этой системы (методом Гаусса – см. п 1 ).
В дальнейшем используйте результат решения данной задачи в качестве тестового примера.
2. Составить программу решения линейной системы методом Гаусса (с поиском по строкам, по столбцам, по всей матрице – в зависимости от варианта задания) и выполнить обращение матриц с использованием этой программы.
Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее - просто прямой ход). Пример такой системы и её решения - на рисунке сверху.
В такой системе последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса , далее - просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.
В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение - переменной x .
После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.
Преимущества метода:
- при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера , поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
- методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
- можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
- метод основан на элементарных (школьных) методах - методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.
Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:
Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y :
Теперь нам известны значения уже двух переменных - z и y . Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x :
Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:
Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений
Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение - один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.
На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.
При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно :
- переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
- если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
- удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;
- любую строку умножать или делить на некоторое число;
- к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.
В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.
Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы
Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.
Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений
Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.
Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы :
В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены.
Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы . Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:
С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений . Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Это возможно, так как
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x :
Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:
Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:
Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:
Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.
Решение найдём "с конца" - обратный ход
. Для этого из последнего уравнения определим z
:
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y
:
Из первого уравнения найдём x
:
Ответ: решение данной системы уравнений - 
.
: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение
Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма - здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.
Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной "икс четвёртое":
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
,
,
Наконец, подстановка значений
В первое уравнение даёт
,
откуда находим "икс первое":
Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение 
.
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.
Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы
Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.
Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.
Решение. Составляем систему линейных уравнений:
Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:
Составляем расширенную матрицу системы:
Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае - вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:
Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.
Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .
Из второго уравнения находим
Из третьего уравнения -
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.
О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.
Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.
С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений
Следующий пример - совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.
После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида
Если во всех уравнениях имеющих вид
Свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.
Пример 6.
Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :
Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.
В результате приходим к системе
Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.
Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и
выбрать произвольные значения
, тогда значение для
определится уже однозначно: 
. Из первого уравнения
значение для также находится
однозначно: 
.
Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы
при произвольных и дают нам все решения заданной системы.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений
Следующий пример - несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.
Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида
соответствующие уравнению вида
Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.
Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на , к четвёртой - первую, умноженную на .
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.
Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.
Пусть требуется решить линейную систему уравнений вида:
или в другой форме
В курсе линейной алгебры решения системы уравнений (5.2) представляются по правилу Крамера в виде отношений соответствующих определителей. Если использовать наиболее оптимальный способ расчета определителя, то по правилу Крамера требуется примерно -|п! арифметических операций. Однако существует более оптимальный способ решения системы уравнений (5.2) - метод исключения Гаусса, в рамках которого требуется -|п 3 арифметических действий.
Начнем исследование системы уравнений (5.2) с частного случая, когда матрица системы является верхней треугольной, т. е. все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю. Выполняя в командном окне MATLAB oneрацию spy(triu(randn(25))) сгенерируем верхнюю треугольную матрицу и ее графический образ. На рис. 5.1 приведен соответствующий пример верхней треугольной матрицы.
Из последнего уравнения системы с верхней треугольной матрицей находим Х л, подставляя его в предпоследнее уравнение, находим Х„ _i и т. д. - находим все решение. Общая формула для определения Xj-ro имеет вид:
Метод Гаусса выражается в процедуре приведения матрицы системы уравнений к треугольному виду (например, к верхнему треугольному виду на рис. 5.1). Это можно сделать следующим образом. Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на такое число, чтобы коэффициент при X] обратился в нуль, аналогично вычтем первое уравнение из второго, третьего и т. д. вплоть до П-го. В результате должна получиться новая система уравнений, в которой в первом столбце везде нули, кроме диагонального элемента а ц. Затем с помощью второго уравнения путем такой же процедуры обнуляем элементы второго столбца, лежащие ниже главной диагонали. Продолжая эту процедуру для третьего и всех последующих уравнений, преобразуем матрицу системы к верхнему треугольному виду.
Рис. 5.1.
Пусть проведено исключение элементов из k- 1 столбца. Остальные уравнения с не обнуленными столбцами можно записать в виде:
Умножим к-к) строку на число С тк = / оIf 1 , т > к, и вычтем из ш-й
строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратиться в нуль, а другие элементы можно пересчитать по формулам:
Проведение алгоритма (5.4), (5.5) обнуления каждого столбца матрицы ниже главной диагонали заканчивается (п - 1)-м столбцом, при этом вся процедура называется прямым ходом исключения.
Собрав (5.4), (5.5) вместе, будем иметь
или в развернутой форме
Система уравнений (5.6) легко решается обратным ходом по формулам (5.3).
Возможное нарушение в работе алгоритма (5.4), (5.5) может быть связано с тем, что на главной диагонали оказался нулевой элемент а кк " = 0. В этом случае необходимо среди строк матрицы ниже к -й найти такую, у которой на к- м месте находится отличный от нуля элемент. Такая строка обязательно должна найтись, если она не находится, то это значит, что в к- м столбце, начиная с к-го номера все элементы нулевые, а значит, и детерминант матрицы А равен нулю. Перестановкой строк можно переместить подходящую строку в нужное положение.
Если оказывается, что элемент на главной диагонали мал, то коэффициенты С т к становятся большими числами, и при пересчете элементов матрицы согласно (5.5) может быть значительная потеря точности на ошибках округления при вычитании больших чисел. Чтобы этого не происходило, среди элементов столбца а^ к, т>к, находят главный или максимальный и перестановкой строк переводят его на главную диагональ. Этот метод называется методом Гаусса с выбором главного элемента. С выбором главного элемента ошибки округления в методе Гаусса обычно невелики.
Метод Гаусса с выбором главного элемента наиболее прост, надежен и выгоден и по этой причине наиболее востребован при решении линейных систем уравнений с плотно заполненной матрицей порядка п
Рассмотрим процедуру решения линейной системы уравнений в среде MATLAB. Покажем экспериментально, что в среднем количество операций, осуществляемое центральным процессором при решении линейной системы уравнений, пропорционально кубу порядка матрицы. Покажем, что асимптотически отношение time(n)/n 3 стремится к некоторой предстепенной константе при п -> оо, где time(n) - время работы центрального процессора при данном порядке матрицы п.
В листинге 5.1 приведен код соответствующей программы.
Листинг 5.1
“/«Программа изучения затрат времени “/«центрального процессора при решении %систем линейных уравнений %очищаем рабочее пространство clear all
“/«определяем максимальный порядок “/«обращаемых матриц
птах =1 0 0 0; к =0;
“/«организуем цикл решений систем “/«уравнений вида А X = Ь for п = 1: 10: птах k =к +1; order) к) =п;
“/оформируем случайну матрицу А %и правую часть Ь A=r andn(n); b=randn(n, 1) ;
“/«запоминаем начальный момент времени “/оработы центрального процессора 10 =с рut i me;
“/орешаем линейную систему уравнений %А X = Ь по формуле: X =А Ь А Ь;
“/онаходим последующий момент времени,
“/овычитаем из него предыдущий и “/оделим на куб порядка матрицы
t (к) =(с put i me-10) / n л3; end
“/«строим график зависимости предстепенной “/оконстанты от порядка матрицы А semilogy(order,t);
Рис. 5.2.
На рис. 5.2 приведен график зависимости предстепенной константы отношения времени работы центрального процессора к кубу порядка матрицы от порядка матрицы. Видно, что при П -> оо действительно отношение time(n)/n 3 стремится к некоторой константе, что и подтверждает кубическую зависимость числа операций в методе Гаусса от порядка матрицы.
Определитель и обратная матрица также могут быть найдены методом исключения Гаусса. В процессе исключения вычитание строк не меняет определитель, но может измениться сто знак при перестановке строк. После приведения матрицы к треугольному виду, можем найти детерминант матрицы в виде произведения ее диагональных элементов:
где выбор "+" или зависит от того, четной или нечетной была суммарная перестановка строк.
Процедуру поиска детерминанта матрицы (5.7) изучим на примере стандартной функции MATLAB - det(A), где А - произвольная матрица пхп. Изучим зависимость величины детерминанта матрицы со случайными элементами, распределенными по нормальному закону со средним 0 и стандартным отклонением 1, в зависимости от порядка матрицы.
В листинге 5.2 приведен код соответствующей программы.
Листинг 52
%Программа изучения процедуры поиска детерминанта %матрицы, элементы которой случайные величины,
“/«распределенные по нормальному закону со средним О %и стандартным отклонением 1 %очищаем рабочее пространство clear all
“/«определяем максимальный порядок %анализируемых матриц
птах =3 0 0;
%организуем цикл поиска детерминанта %матрицы А - det(A) for n=l: 5: nmax k =k +1; order) k) =n;
%формируем случайную матрицу A A=r a n d n (n) ;
%вычисляем детерминант матрицы A
%переходим в логарифмическую шкалу %при фиксации значений детерминанта d(k) =si gn(d(к)) *1 оg 10(d(к)); end
%строим график зависимости значений %детерминанта матрицы от порядка матрицы
plot (order, d);
На рис. 5.3 приведен график зависимости логарифма детерминанта случайной матрицы от порядка матрицы. Видно, что детерминант случайной матрицы экспоненциально растет с ростом порядка матрицы.
Рис. 5.3.
Для вычисления обратной матрицы обозначим ее элементы через а 1т, 1,т = 1 , и будем исходить из соотношения АА 1 = Е, тогда верна следующая запись:
Согласно (5.8) /-й столбец обратной матрицы можно рассматривать в качестве неизвестного вектора линейной системы уравнений с матрицей А со специальной правой частью. Таким образом, обращение матрицы сводится к решению линейной системы уравнений п раз с одной и той же матрицей, но с разными правыми частями. Приведение системы к треугольному виду осуществляется только 1 раз, поэтому количество арифметических операций при обращении матрицы лишь в три раза больше, чем при решении системы линейных уравнений, т. е. порядка * 2П 3 .
Рассмотрим теперь функцию inv(A) в среде MATLAB, которая возвращает обратную к А матрицу. В листинге 5.3 приведен код соответствующей программы.
Листинг 53
%Программа изучения процедуры поиска обратной матрицы, Роэлементы которой - случайные величины, распределенные %по нормальному закону со средним 0 и стандартным %отклонением 1
Роочищаем рабочее пространство
%определяем максимальный порядок %анализируемых матриц
пшах=1 0 00; к =0;
Реорганизуем цикл поиска обратной Роматрицы к А - i ПV(А) for п=1: 5: птах k =к +1; о г d е г (к) =п;
Реформируем случайну матрицу А
Ровычисляем обратную к А матрицу Ai nv=i nv(А);
Ренаходим ошибку обращения Е =еуе(п);
е г (к) =п о г ш(A* Ai nv- Е) ; end
Состроим график зависимости значений ошибок
%обращения матриц от порядка матриц
semilogy(order.er);
На рис. 5.4 приведена зависимость ошибки обращения матрицы от ее порядка. Видно, что по мере роста порядка матрицы от 1 до 800 ошибка обращения, выраженная в определенной норме, выросла на пять порядков.
