Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, которые находятся по определенному алгорифму. Это является главным показателем при изыскании функции. Точка x0 является точкой минимума, если для всех x из определенной окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ? f(x0) (для точки максимума объективно обратное неравенство f(x) ? f(x0)).
Инструкция
1. Обнаружьте производную функции. Производная характеризует метаморфоза функции в определенной точке и определяется как предел отношения приращения функции к приращению довода, тот, что тяготится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Скажем, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.
2. Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).
3. Обнаружьте значение переменной данного выражения. Это будут те значения, при которых данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры взамен x, при которых все выражение станет нулевым. Скажем:2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1
4. Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для всего из полученных интервалов. На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за предисловие отсчета. Дабы высчитать значение на интервалах подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Скажем, для предыдущей функции до интервала -1 дозволено предпочесть значение -2. На интервале от -1 до 1 дозволено предпочесть 0, а для значений огромнее 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и узнаете знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. негативно и на данном интервале будет стоять знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а значит на данном интервале ставится позитивный знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и потому ставится минус.
5. Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.
Точки максимума функции наравне с точками минимума именуются точками экстремума. В этих точках функция меняет нрав поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых промежутках и неизменно являются локальными.
Инструкция
1. Процесс нахождения локальных экстремумов именуется изысканием функции и выполняется путем обзора первой и 2-й производной функции. Перед началом изыскания удостоверитесь, что данный промежуток значений довода принадлежит к возможным значениям. Скажем, для функции F=1/x значение довода х=0 неприемлемо. Либо для функции Y=tg(x) довод не может иметь значение х=90°.
2. Удостоверитесь, что функция Y дифференцируема на каждому заданном отрезке. Обнаружьте первую производную Y’. Видимо, что до достижения точки локального максимума функция повышается, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость метаморфозы функции. Пока функция нарастает, скорость этого процесса является величиной позитивной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса метаморфозы функции становится негативной. Переход скорости метаморфозы функции через нуль происходит в точке локального максимума.
3. Следственно, на участке возрастания функции ее первая производная позитивна для всех значений довода на этом промежутке. И напротив - на участке убывания функции значение первой производной поменьше нуля. В точке локального максимума значение первой производной равно нулю. Видимо, дабы обнаружить локальный максимум функции, нужно обнаружить точку х?, в которой первая производная этой функции равна нулю. При любом значении довода на исследуемом отрезке хх? — негативной.
4. Для нахождения х? решите уравнение Y’=0. Значение Y(х?) будет локальным максимумом, если вторая производная функции в этой точке поменьше нуля. Обнаружьте вторую производную Y», подставьте в полученное выражение значение довода х= х? и сравните итог вычислений с нулем.
5. Скажем, функция Y=-x?+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет постоянную производную Y’=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y»=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x?+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.
Видео по теме
Полезный совет
Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают надобные значения и выводят итог. На таких сайтах дозволено обнаружить производную до 5 порядка.
Здравствуйте! Ударим по приближающемуся ЕГЭ качественной систематической подготовкой, и упорством в измельчении гранита науки!!! В конце поста имеется конкурсная задача, будьте первым! В одной из статей данной рубрики мы с вами , в которых был дан график функции, и ставились различные вопросы, касающиеся экстремумов, промежутков возрастания (убывания) и прочие.
В этой статье рассмотрим задачи входящие в ЕГЭ по математике, в которых дан график производной функции, и ставятся следующие вопросы:
1. В какой точке заданного отрезка функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение.
2. Найти количество точек максимума (или минимума) функции, принадлежащих заданному отрезку.
3. Найти количество точек экстремума функции, принадлежащих заданному отрезку.
4. Найти точку экстремума функции, принадлежащую заданному отрезку.
5. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции и в ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
6. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции. В ответе указать длину наибольшего из этих промежутков.
7. Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой вида у = kx + b или совпадает с ней.
8. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Могут стоять и другие вопросы, но они не вызовут у вас затруднений, если вы поняли и (ссылки указаны на статьи, в которых представлена необходимая для решения информация, рекомендую повторить).
Основная информация (кратко):
1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.
2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.
3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.
4. В точках экстремума (максимума-минимума) функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ох.
Это нужно чётко уяснить и помнить!!!
Многих график производной «смущает». Некоторые по невнимательности принимают его за график самой функции. Поэтому в таких зданиях, где видите, что дан график, сразу же акцентируйте своё внимание в условии на том, что дано: график функции или график производной функции?
Если это график производной функции, то относитесь к нему как бы к «отражению» самой функции, которое просто даёт вам информацию об этой функции.
Рассмотрим задание:
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–2;21).
Ответим на следующие вопросы:
1. В какой точке отрезка функция f (х) принимает наибольшее значение.
На заданном отрезке производная функции отрицательна, значит функция на этом отрезке убывает (она убывает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 7.
Ответ: 7
2. В какой точке отрезка функция f (х)
По данному графику производной можем сказать следующее. На заданном отрезке производная функции положительна, значит функция на этом отрезке возрастает (она возрастает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, то есть в точке х = 3.
Ответ: 3
3. Найдите количество точек максимума функции f (х)
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. Рассмотрим, где таким образом меняется знак.
На отрезке (3;6) производная положительна, на отрезке (6;16) отрицательна.
На отрезке (16;18) производная положительна, на отрезке (18;20) отрицательна.
Таким образом, на заданном отрезке функция имеет две точки максимума х = 6 и х = 18.
Ответ: 2
4. Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку .
Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. У нас на интервале (0;3) производная отрицательна, на интервале (3;4) положительна.
Таким образом, на отрезке функция имеет только одну точку минимума х = 3.
*Будьте внимательны при записи ответа – записывается количество точек, а не значение х, такую ошибку можно допустит из-за невнимательности.
Ответ: 1
5. Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку .
Обратите внимание, что необходимо найти количество точек экстремума (это и точки максимума и точки минимума).
Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной (с положительного на отрицательный или наоборот). На данном в условии графике это нули функции. Производная обращается в нуль в точках 3, 6, 16, 18.
Таким образом, на отрезке функция имеет 4 точки экстремума.
Ответ: 4
6. Найдите промежутки возрастания функции f (х)
Промежутки возрастания данной функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (3;6) и (16;18). Обратите внимание, что границы интервала не входят в него (круглые скобки – границы не включены в интервал, квадратные – включены). Данные интервалы содержат целые точки 4, 5, 17. Их сумма равна: 4 + 5 + 17 = 26
Ответ: 26
7. Найдите промежутки убывания функции f (х) на заданном интервале. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. В данной задаче это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21).
Данные интервалы содержат следующие целые точки: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Их сумма равна:
(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
Ответ: 140
*Обращайте внимание в условии: включены ли границы в интервал или нет. Если границы будут включены, то и в рассматриваемых в процессе решения интервалах эти границы также необходимо учитывать.
8. Найдите промежутки возрастания функции f (х)
Промежутки возрастания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна. Мы уже указывали их: (3;6) и (16;18). Наибольшим из них является интервал (3;6), его длина равна 3.
Ответ: 3
9. Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Мы уже указывали их, это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21), их длины соответственно равны 5, 10, 3.
Длина наибольшего равна 10.
Ответ: 10
10. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (х) параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Так как касательная параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней, то их угловые коэффициенты равны 2. Значит, необходимо найти количество точек, в которых у′(х 0) = 2. Геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой у = 2. На данном интервале таких точек 4.
Ответ: 4
11. Найдите точку экстремума функции f (х) , принадлежащую отрезку .
Точка экстремума функции это такая точка, в которой её производная равна нулю, при чём в окрестности этой точки производная меняет знак (с положительного на отрицательный или наоборот). На отрезке график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с отрицательного на положительный. Следовательно, точка х = 3 является точкой экстремума.
Ответ: 3
12. Найдите абсциссы точек, в которых касательные к графику у = f (x) параллельны оси абсцисс или совпадают с ней. В ответе укажите наибольшую из них.
Касательная к графику у = f (x) может быть параллельна оси абсцисс или совпадать с ней, только в точках, где производная равна нулю (это могут быть точки экстремума или стационарные точки, в окрестностях которых производная свой знак не меняет). По данному графику видно, что производная равна нулю в точках 3, 6, 16,18. Наибольшая равна 18.
Можно построить рассуждение таким образом:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен 0 (действительно тангенс угла в ноль градусов равен нулю). Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс, а это точки 3, 6, 16,18.
Ответ: 18
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3] функция f (х) принимает наименьшее значение.
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;14). Найдите количество точек максимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–6;9].
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–18;6). Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–13;1].
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–10; –10].
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11;3). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
F На рисунке изображен график
Условие задачи то же (которую мы рассматривали). Найдите сумму трёх чисел:
1. Сумма квадратов экстремумов функции f (х).
2. Разность квадратов суммы точек максимума и суммы точек минимума функции f (х).
3. Количество касательных к f (х), параллельных прямой у = –3х + 5.
Первый, кто даст верный ответ, получит поощрительный приз – 150 рублей. Ответы пишите в комментариях. Если это ваш первый комментарий на блоге, то сразу он не появится, чуть позже (не беспокойтесь, время написания комментария регистрируется).
Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицих.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
В этой статье мы рассмотрим несколько примеров на нахождение точек максимума (минимума) иррациональной функции. Алгоритм решения был уже неоднократно изложен в статьях с подобными заданиями, в одной из прошлых статей.
У вас может возникнуть вопрос – а чем рациональная функция отличается от иррациональной? У иррациональной функции, говоря простыми словами, аргумент находится под корнем, или степень у него это дробное число (несокращаемая дробь). Другой вопрос - в чём отличия в нахождении их точек максимума (минимума)? Да ни в чём.
Сам принцип и алгоритм решения заданий на определения точек максимума (минимума) един. Просто для удобства и систематизации материала я разбил его на несколько статей – отдельно рассмотрел рациональные, логарифмические, тригонометрические и прочие, осталось ещё несколько примеров на нахождение наибольшего (наименьшего) значения иррациональной функции на отрезке. Их мы тоже рассмотрим.
Давайте здесь подробно опишу нахождение производной, когда у аргумента имеется степень, во всех примерах ниже это используется.
Сама формула:
То есть, если у нас аргумент стоит в некоторой степени и требуется найти производную, то мы записывает это значение степени, умножаем его на аргумент, а его степень будет на единицу меньше, например:
Если же степень дробное число, то всё тоже самое:
Следующий момент! Конечно же, вы должны помнить свойства корней и степеней, а именно:
То есть, если в примере вы увидите, например, выражение (или подобное с корнем):
То при решении, чтобы вычислить производную, его необходимо представить как х в степени, будет так:
Остальные табличные производные и правила дифференцирования вы должны знать!!!
Правила дифференцирования:
Рассмотрим примеры:
77451. Найдите точку минимума функции y = x 3/2 – 3x + 1
Найдем нули производной:
Решаем уравнение:
В точке х = 4, производная меняет знак с отрицательного на положительный, это означает, что данная точка является точкой минимума.
Ответ: 4
77455. Найдите точку максимума функции
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Решаем уравнение:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:
В точке х = 4, производная меняет знак с положительного на отрицательный, это означает, что данная точка является точкой максимума.
Ответ: 4
77457. Найдите точку максимума функции
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Решая уравнение:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:
В точке х = 9, производная меняет знак с положительного на отрицательный, это означает, что данная точка является точкой максимума.
Ответ: 9
значение
Наибольшее
значение
Наименьшее
Точка максимума
Точка минимума
Задачи на нахождение точек экстремумафункции решаются по стандартной схеме в 3 шага.
Шаг 1 . Найдите производную функции
- Запомнитеформулы производной элементарных функции и основные правила дифференцирования, чтобы найти производную.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Шаг 2 . Найдите нули производной
- Решите полученное уравнение, чтобы найти нули производной.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Шаг 3 . Найдите точки экстремума
- Используйте метод интервалов, чтобы определить знаки производной;
- В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а вточке максимума – с плюса на минус.
Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:
Найдите точку максимума функции y=x3−243x+19.
1) Найдем производную: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Решим уравнение y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Производная положительная при x>9 и x<−9 и отрицательная при −9 Как искать наибольшее и наименьшее значение функции
Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функциинеобходимо
: Во многих задачах помогаеттеорема
: Если на отрезке только одна точка экстремума, причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение. 14. Понятие и основные свойств неопределённого интеграла. Если функция f
(x
X
, и k
– число, то Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.
Если функции f
(x
) и g
(x
) имеют первообразные на промежутке X
, то Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.
Если функция f
(x
) имеет первообразную на промежутке X
, то для внутренних точек этого промежутка: Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.
Если функция f
(x
) непрерывна на промежутке X
и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то: Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.
Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла
. Выражение вида называется интегралом от функции f(x)
, где f(x)
- подынтегральная функция, которая задается (известная), dx
- дифференциал x
, с символом всегда присутствует dx
. Определение.
Неопределенным интегралом
называется функция F(x) + C
, содержащая произвольное постоянное C
, дифференциал которой равенподынтегральному
выражению f(x)dx
, т.е. Напомним, что -дифференциал функции
и определяется следующим образом: Задача нахождения неопределенного интеграла
заключается в нахождении такой функции, производная
которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю. Например, известно, что , тогда получается, что Задача нахождение неопределенного интеграла
от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы снеопределенными интегралами,
должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы.
Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы
от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях. 15.Таблица основных неопределённых интегралов. Основные формулы
16. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический и физический смыл интеграла. Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия. 1. С помощью точек х 0 =а, x 1, х 2, ..., х n = В (х 0 2. В каждом частичном отрезке , i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с i є и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с i). 3. Умножим найденное значение функции ƒ (с i) на длину ∆x i =x i -x i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с i) ∆х i. 4. Составим сумму S n всех таких произведений: Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0. Если при этом интегральная сумма S n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом, Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) - подынтегральной функцией, ƒ(х) dx - подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, отрезок [а; b] - областью (отрезком) интегрирования. Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке. Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла. Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва. Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2). 1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования: Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции. 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Для любого действительного числа с. 17. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Пусть функция y = f(x)
непрерывна на отрезке
и F(x)
- одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница
: Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления
. Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом. Если функция y = f(x)
непрерывна на отрезке
, то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства: Перепишем это равенство в виде Вычислим F(a)
, используя первое свойство определенного интеграла: Приращение функции принято обозначать как Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x)
подынтегральной функции y=f(x)
на отрезке
и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения. Пример.
Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Решение.
Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке
, следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл). Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: 18. Геометрические приложения определенного интеграла. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление объема тела Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений: Объем тела вращения: ; . Пример 1
. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=sinx, прямыми Решение:
Находим площадь фигуры: Пример 2
. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение:
Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений Отсюда находим x 1 =0, x 2 =2,5.
19. Понятие дифференциальных управлений. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциа́льное уравне́ние
- уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, Дифференциальные уравнения в частных производных
(УРЧП) - это уравнения, содержащие неизвестныефункции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде: где - независимые переменные, а - функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка. Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить налинейные
и нелинейные
. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n
-го порядка: где p i
(x
) - известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r
(x
) в правой части называется свободным членом
(единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
. Подклассом линейных уравнений являются однородные
дифференциальные уравнения - уравнения, которые не содержат свободного члена: r
(x
) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными
дифференциальными уравнениями. Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора · - однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где и - произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3. · Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения · Дифференциальное уравнение Бесселя - обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются функции Бесселя. · Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка: В следующей группе примеров неизвестная функция u
зависит от двух переменных x
и t
или x
и y
. · Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка: · Одномерное волновое уравнение - однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если - отклонение струны в точке с координатой x
в момент времени t
, а параметр a
задаёт свойства струны: · Уравнение Лапласа в двумерном пространстве - однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики: · Уравнение Кортевега - де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны: 20. Дифференциальные уравнения с разделяющимся применимыми. Линейные уравнения и метод Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид Приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2. Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0). Найдите значение переменной данного . Это будут те значения, при данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например: 2-2x2= 0 Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных . На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а на данном промежутке ставится знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и ставится минус. Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума. Видео по теме Полезный совет Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка. Источники: Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными. Инструкция Процесс нахождения локальных экстремумов называется функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°. Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y". Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума. Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y"=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.
или 
Функцию называют первообразной функции
. Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.
, здесь - произвольная постоянная.
.
, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство 
.
где .
. Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x)
на отрезке
. Таким образом, множество всех первообразных F(x)
можно записать как 
, где С
– произвольная постоянная.
, следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b)
: , то есть 
. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .
. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид 
.
. Возьмем первообразную при C = 0
: .
. Прямоугольная С.К.
Функция, задана параметрически
Полярная С.К.
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление длины дуги плоской кривой
Вычисление площади поверхности вращения
не является дифференциальным уравнением.
может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника 
для случая малых амплитуд, когда y
≈ sin y
.
где m
- масса тела, x
- его координата, F
(x
, t
) - сила, действующая на тело с координатой x
в момент времени t
. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1
