Стандартный алгоритм решения таких заданий предполагает после нахождения нулей функции, определение знаков производной на интервалах. Затем вычисление значений в найденных точках максимума (или минимума) и на границе интервала, в зависимости от того какой вопрос стоит в условии.
Советую поступать немного по-другому. Почему? Писал об этом .
Предлагаю решать такие задания следующим образом:
1. Находим производную.
2. Находим нули производной.
3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу.
4. Вычисляем значения функции на границах интервала и точках п.3.
5. Делаем вывод (отвечаем на поставленный вопрос).
В ходе решения представленных примеров подробно не рассмотрено решение квадратных уравнений, это вы должны уметь делать. Так же должны знать .
Рассмотрим примеры:
77422. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 –3х+4 на отрезке [–2;0].
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = –1.
Вычисляем значения функции в точках –2, –1 и 0:
Наибольшее значение функции равно 6.
Ответ: 6
77425. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 3х 2 + 2 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 2.
Вычисляем значения функции в точках 1, 2 и 4:
Наименьшее значение функции равно –2.
Ответ: –2
77426. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 – 6х 2 на отрезке [–3;3].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.
Вычисляем значения функции в точках –3, 0 и 3:
Наименьшее значение функции равно 0.
Ответ: 0
77429. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 2х 2 + х +3 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
3х 2 – 4х + 1 = 0
Получим корни: х 1 = 1 х 1 = 1/3.
Указанному в условии интервалу принадлежит только х = 1.
Найдём значения функции в точках 1 и 4:
Получили, что наименьшее значение функции равно 3.
Ответ: 3
77430. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 + 2х 2 + х + 3 на отрезке [– 4; –1].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:
3х 2 + 4х + 1 = 0
Получим корни:
Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = –1.
Находим значения функции в точках –4, –1, –1/3 и 1:
Получили, что наибольшее значение функции равно 3.
Ответ: 3
77433. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – х 2 – 40х +3 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:
3х 2 – 2х – 40 = 0
Получим корни:
Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = 4.
Находим значения функции в точках 0 и 4:
Получили, что наименьшее значение функции равно –109.
Ответ: –109
Рассмотрим способ определения наибольшего и наименьшего значения функций без производной. Этот подход можно использовать, если с определением производной у вас большие проблемы. Принцип простой – в функцию подставляем все целые значения из интервала (дело в том, что во всех подобных прототипах ответом является целое число).
77437. Найдите наименьшее значение функции у=7+12х–х 3 на отрезке [–2;2].
Подставляем точки от –2 до 2: Посмотреть решение
77434. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 + 2х 2 – 4х + 4 на отрезке [–2;0].
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Инструкция
Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы «х, разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х. Найдите «у. Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у:
у=х-2=4-2=2
у=2.
Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!
Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от -нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у.
Так как в «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у:
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете , что найдены верно.
Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х, а во втором просто «х. Для того, чтобы при сложении или «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4
Видео по теме
Совет 2: Как решать линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение , в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными . Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.
Вам понадобится
- - линейное уравнение с двумя переменными;
- - второе уравнение или дополнительные условия.
Инструкция
Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.
Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.
Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут задачи.
Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.
Источники:
- как решить уравнение с одной переменной
Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.
Вам понадобится
- - система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Инструкция
Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.
Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.
Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, матрице свободных членов, то есть А*Х=В.
Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.
Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.
Источники:
- решений уравнений с тремя неизвестными
Решение системы уравнений сложно и увлекательно. Чем сложнее система, тем интереснее ее решать. Чаще всего в математике средней школы встречаются системы уравнений с двумя неизвестными, но в высшей математике переменных может быть и больше. Решать системы можно несколькими методами.
Инструкция
Самый распространенный метод решения системы уравнений - это подстановка. Для этого необходимо выразить одну переменную через другую и подставить ее во второе уравнение системы, таким образом приведя уравнение к одной переменной. Например, дана уравнений:2х-3у-1=0;х+у-3=0.
Из второго выражения удобно выразить одну из переменных, перенеся все остальное в правую часть выражения, не забыв при этом сменить знак коэффициента:х=3-у.
Раскрываем скобки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Полученное значение у подставляем в выражение:х=3-у;х=3-1;х=2.
В первом выражении все члены 2, можно вынести 2 за скобку распределительному свойству умножения:2*(2х-у-3)=0. Теперь обе части выражения можно сократить на это число, а затем выразить у, так как коэффициент по модулю при нем равен единице:-у=3-2х или у=2х-3.
Так же, как и в первом случае, подставляем данное выражение во второе уравнение и получаем:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Подставляем полученное значение в выражение: у=2х-3;у=4-3=1.
Мы видим, что коэффициент при у одинаков по значению, но различен по знаку, следовательно, если мы сложим данные уравнения, то вовсе избавимся от у:4х+3х-2у+2у-6-8=0;7х-14=0;х=2.Подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и получаем у=1.
Видео по теме
Биквадратное уравнение представляет собой уравнение четвертой степени, общий вид которого представляется выражением ax^4 + bx^2 + c = 0. Его решение основано на применении метода подстановки неизвестных. В данном случае х^2 заменяется другой переменной. Таким образом, в итоге получается обычное квадратное уравнение , которое и требуется решить.
Инструкция
Решите квадратное уравнение , получившееся в результате замены. Для этого сначала посчитаем значение в соответствии с формулой: D = b^2 ? 4ac. При этом переменные a, b, c являются коэффициентами нашего уравнения.
Найдите корни биквадратного уравнения. Для этого возьмите корень квадратный из полученных решений . Если решение было одно, то будет два – положительное и отрицательное значение корня квадратного. Если решений было два, у биквадратного уравнения будет четыре корня.
Видео по теме
Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.
Инструкция
Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z - после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.
В этой статье мы рассмотрим несколько примеров на нахождение точек максимума (минимума) иррациональной функции. Алгоритм решения был уже неоднократно изложен в статьях с подобными заданиями, в одной из прошлых статей.
У вас может возникнуть вопрос – а чем рациональная функция отличается от иррациональной? У иррациональной функции, говоря простыми словами, аргумент находится под корнем, или степень у него это дробное число (несокращаемая дробь). Другой вопрос - в чём отличия в нахождении их точек максимума (минимума)? Да ни в чём.
Сам принцип и алгоритм решения заданий на определения точек максимума (минимума) един. Просто для удобства и систематизации материала я разбил его на несколько статей – отдельно рассмотрел рациональные, логарифмические, тригонометрические и прочие, осталось ещё несколько примеров на нахождение наибольшего (наименьшего) значения иррациональной функции на отрезке. Их мы тоже рассмотрим.
Давайте здесь подробно опишу нахождение производной, когда у аргумента имеется степень, во всех примерах ниже это используется.
Сама формула:
То есть, если у нас аргумент стоит в некоторой степени и требуется найти производную, то мы записывает это значение степени, умножаем его на аргумент, а его степень будет на единицу меньше, например:
Если же степень дробное число, то всё тоже самое:
Следующий момент! Конечно же, вы должны помнить свойства корней и степеней, а именно:
То есть, если в примере вы увидите, например, выражение (или подобное с корнем):
То при решении, чтобы вычислить производную, его необходимо представить как х в степени, будет так:
Остальные табличные производные и правила дифференцирования вы должны знать!!!
Правила дифференцирования:
Рассмотрим примеры:
77451. Найдите точку минимума функции y = x 3/2 – 3x + 1
Найдем нули производной:
Решаем уравнение:
В точке х = 4, производная меняет знак с отрицательного на положительный, это означает, что данная точка является точкой минимума.
Ответ: 4
77455. Найдите точку максимума функции
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Решаем уравнение:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:
В точке х = 4, производная меняет знак с положительного на отрицательный, это означает, что данная точка является точкой максимума.
Ответ: 4
77457. Найдите точку максимума функции
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Решая уравнение:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:
В точке х = 9, производная меняет знак с положительного на отрицательный, это означает, что данная точка является точкой максимума.
Ответ: 9
для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.
Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. Исходя из этого, для уравнений используют различные методы и теоремы для нахождения решений. Решение уравнений данного типа означает нахождение искомых корней в общем виде. Наш сервис позволяет решить даже самое сложное алгебраическое уравнение онлайн. Вы можете получить как общее решение уравнения, так и частное для указанных вами числовых значений коэффициентов. Для решения алгебраического уравнения на сайте достаточно корректно заполнить всего два поля: левую и правую части заданного уравнения. У алгебраических уравнений с переменными коэффициентами бесконечное количество решений, и задав определенные условия, из множества решений выбираются частные. Квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет вид ax^2+bx+с=0 при а>0. Решение уравнений квадратного вида подразумевает нахождение значений x, при которых выполняется равенство ax^2+bx+с=0. Для этого находится значение дискриминанта по формуле D=b^2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные. После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение. Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.
