P +p

E − λ

E − λ e λ = 1.

p k=

−λ

На рисунке 3.6 показаны графики функции

от k )

значений

параметра

λ = 0,5 (сплошная линия), 1

(пунктир) и 2 (штрих-

пунктир). Каждый график представляет собой дискрет-

ный ряд точек; для большей наглядности точки соедине-

ны последовательно ломаной линией (так называемый

многоугольник распределения).

Одна из причин, обусловливающих важную роль

Рис . 3.6

пуассоновского распределения для практики, заключает-

ся в его тесной связи с биномиальным распределением. Напомним (§ 2.5), что если в формуле Бернулли

P n (k )= C n k p k (1− p )n − k

мы зафиксируем значение k и станем устремлять число опытовп к бесконечности, а вероятностьр – к нулю, притом так, чтобы их произведение оставалось равным постоянному числуλ (np = λ ) , то будем иметь:

Соотношение (3.17) показывает, что при описанном выше предельном переходе таблица (3.15) биномиального распределения переходит в таблицу (3.16) распределения Пуассона. Таким образом, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения при указанных выше условиях. Заметим, что с этим свойством распределения Пуассона – выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события – связано часто применяемое для него название:закон редких явлений .

§ 3.5. Системы дискретных случайных величин

До сих пор мы рассматривали случайные величины изолированно друг от друга, не касаясь вопроса об их взаимоотношениях. Однако в практических задачах часто встречаются ситуации, когда те или иные случайные величины приходится изучать совместно . В таких случаях говорят осистеме нескольких случайных величин. Более точно: случайные величины образуют систему, если они определены на одном и том же пространстве элементарных событийΩ .

Систему двух случайных величин (X ,Y ) можно истолковывать как случайную точку на плоскости, систему трех случайных величин (X ,Y ,Z ) – как случайную точку в трехмерном пространстве. Мы ограничимся в основном двумерным случаем.

Интуитивный подход к понятию системы двух случайных величин связан с представлением об опыте, результатом которого является пара чисел X ,Y . Поскольку исход опыта мыслится как случайное событие, то предсказать заранее значения чиселX иY невозможно (при повторении опыта они меняются непредвиденным образом). Приведем несколько примеров.

Пример 3.7. Дважды бросается игральная кость. Обозначим черезX число очков при первом бросании, черезY – число очков во втором. Пара (X ,Y ) будет системой двух случайных величин.

Пример 3.8. Из некоторой аудитории наугад выбирается один студент;X – его рост (скажем, в сантиметрах),Y – вес (в килограммах).

Пример 3.9. В данном сельскохозяйственном районе выбирается произвольно участок посева пшеницы площадью 1 га;X – количество внесенных на этом участке удобрений,Y – урожай, полученный с участка.

Пример 3.10. Сравниваются письменные работы по математике и русскому языку;X – оценка за работу по математике,Y – за работу по русскому языку.

Список подобных примеров легко продолжить.

§ 3.6. Независимые дискретные случайные величины

1 ° . Общие замечания . Примеры . При рассмотрении системы двух случайных величин (X ,Y ) необходимо иметь в виду, что свойства системы не всегда исчерпываются свойствами самих величинX иY . Иначе говоря, если мы знаемвсе о величинеX ивсе о величинеY , то это еще не значит, что мы знаемвсе о системе (X ,Y ). Дело в том, что между величинамиX иY может существовать зависимость, и без учета этой зависимости нельзя построить закон распределения системы (X ,Y ).

Зависимость между случайными величинами в реальных условиях может быть различной. В некоторых случаях она оказывается столь сильной, что, зная, какое значение приняла величина X , можно в точности указать значениеY . Применяя традиционную терминологию, можно сказать, что в этих случаях зависимость междуX иY функциональная (впрочем, понятие функции от случайной величины еще нуждается в уточнениях, последние будут даны в § 3.7). С примерами такой зависимости мы постоянно встречаемся в природе и технике.

В то же время можно указать и примеры другого рода – когда зависимость между случайными величинами существует, но не носит строго выраженного функционального характера. Подобные примеры особенно характерны для таких областей науки и практики, как агротехника, биология, медицина, экономика и т. д., где развитие явлений, как правило, зависит от многих трудно поддающихся учету факторов. Известно, например, что обилие осадков в период созревания пшеницы приводит к повышению урожайности; однако это еще не означает, что связь между количеством X осадков и урожайностьюY (скажем, в расчете на 1 га) является функциональной; кроме осадков на урожайность оказывают влияние и другие факторы: тип почвы, количество внесенных удобрений, число солнечных дней и т. д. В подобных случаях, когда изменение одной величины влияет на другую лишь статистически,в среднем , принято говорить овероятностной связи между величинами. Не приводя пока точных определений, рассмотрим несколько примеров. Они иллюстрируют разные степени зависимости между случайными величинами – от сильной, почти функциональной зависимости до практической независимости.

Пример 3.11. ПустьX – рост наугад выбранного взрослого человека (скажем, в сантиметрах), аY – его вес (в килограммах). Зависимость между ростом и весом является весьма сильной, в первом приближении ее можно даже считать функциональной. Формула, приближенно выражающая эту зависимость, пишется обычно:

Y (кг) =X (см) – 100.

Пример 3.12. X – высота выбранного наугад дерева в лесу,Y – диаметр его основания. И здесь зависимость следует признать сильной, хотя и не в такой степени, как в предыдущем примере.

Пример 3.13. Из груды камней неправильной формы выбирают наугад один камень. ПустьX – его масса, аY – наибольшая длина. Зависимость междуX иY носит сугубо вероятностный характер.

Пример 3.14. X – рост выбранного наугад взрослого человека,Y – его возраст. Наблюдения показывают, что эти величины практически независимы.

2 ° . Определение независимости случайных величин. Оставим пока в стороне вопрос о том,

какими числами можно выразить степень зависимости между величинами X иY . Ограничимся строгим определениемнезависимости случайных величин.

Определение . Пусть задана система(X, Y). Мы скажем, что величины X и Yнезависимы , если

независимы события X А и Y В, где А и В– любые два отрезка[ a1 , a2 ] и[ b1 , b2 ].

Иными словами выполняется равенство

где x i – любое возможное значение величиныX , аy j – любое возможное значение величиныY . Действительно, из (3.18) очевидным образом следует (3.19). Проверим, что и обратно, из (3.19)

следует (3.18).

Пусть система (X ,Y ) характеризуется таблицей

	р 11	р 12
	р 21	р 22

Положим A = [ a 1 ,a 2 ] ,B = [ b 1 ,b 2 ] . Тогда

p ij = P (X = x i )P (Y = y j ) (i ,j = 1, 2, ...) (написанное равенство и есть как раз условие (3.19)). Отсюда

P(X A, Y B) =								∑ p ij=		∑ P(X= xi ) P(Y= yj ) =
				{ i, j				xi A, yj B} { i, j		xi A, yj B}
= ∑ P (X =x i )				∑ P(Y= yj ) = P(X A) P(Y B) ,
		xi A}				y j B}

т.е. величины X иY независимы.

§ 3.7. Функция от случайной величины. Действия над случайными величинами

Пусть X – случайная величина. Часто возникает необходимость в рассмотрении случайных величинY вида:

Y = g(X) ,

где g (x ) – заданная числовая функция. Какой смысл вкладывается в запись (3.20), т. е. в понятие

функции от случайной величины?

Предположим, что в результате опыта наступило событие

X = x

т. е. величина X приняла значениех . Тогда,по определению , мы считаем, что в данном опыте величинаY приняла значениеg (x ). Ясно, что длядискретной случайной величины такое соглашение вполне определяет новую случайную величинуY . Что касаетсянепрерывной случайной величины, то справедливо следующее утверждение.

Предложение 3.1. Если g(x) непрерывная функция, то соотношение(3.20) определяет случайную величину Y.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы воспользуемся условием (3.2), эквивалентным определению случайной величины. Тем самым нам надо проверить, что для любого открытого множестваU на числовой прямой множество элементарных событий, для которых

Но по определению (3.2) множество элементарных событий, определенного условием (3.22), является событием. Поэтому и условие (3.21) определяет событие, что и требовалось доказать.

Для любой функции (3.20) случайная величина

Y = g(X) ,

подобно X , имеет свой закон распределения. Каков этот закон? Ограничимся рассмотрением того случая, когда случайная величинаX – дискретного типа. Пусть закон распределенияX задан таблицей (3.11). По определению, закон распределения случайной величиныY задается таблицей (3.23), в кото-

рой первую строку (3.11) мы заменили на соответствующие значения функции g (x ), оставив без изменения вторую строку.

		g(x1 )	g(x2 )

Если среди значений Y имеются равные, то надо объединить соответствующие столбцы в один столбец, сложив соответствующие вероятности.

Пример 3.15. Пусть случайная величинаX задана законом распределения:

Найти закон распределения случайной величины Y =X 2 .

Р е ш е н и е . Для того чтобы найти закон распределенияY =X 2 , возведем все значения в квадрат и получим следующую таблицу

Очень часто для случайных величин X иY , образующих систему, приходится рассматривать их сумму и произведение. Поскольку закон распределения таких и подобных им операций над случайными величинами определяется аналогичным образом, будем считать, что мы рассматриваем случайную величину

Z =g (X ,Y ),

где g (x ,y ) – некоторая числовая функция.

Итак, пусть система (X ,Y ) характеризуется таблицей
		р 11	р 12
		р 21	р 22

смысл которой читателю известен. Величина

Z = g(X, Y)

также будет дискретной. Ее возможными значениями будут числа z 11 = g (x 1 ,y 1 ),z 12 = g (x 1 ,y 2 ), ... .

Разберем два случая.

1. Все числа z ij различны. Тогда событиеZ =z ij , т.е.

g (X ,Y )= z ij ,

наступает только тогда, когда одновременно наступают события X = x i иY = y j , следовательно, его вероятность будет равна

P(X= xi , Y= yj ) = pij . 1 ,Y = y 2 ) и(X = x 3 ,Y = y 5 ) ,

следовательно, его вероятность будет

р 12+ р 35.

Подводя итог, можно сказать, что закон распределения величины g (X ,Y ) будет выражаться

таблицей (3.25), в которой столбцы с одинаковыми значениями z ij следует объединить в один, сложив стоящие в них вероятностиp ij .

Пример 3.16. Пусть закон распределения системы случайных величин (X ,Y ) задается таблицей. Найти закон распределения их произведения.

Р е ш е н и е . Числаz ij в данном случае будут

z 11= − 2 z 12= − 4 z 13= − 6

z 21= − 1 z 22= − 2 z 23= − 3

z 31= 0 z 32= 0 z 33= 0 .

Поэтому "предварительный" закон распределения для X Y будет

а окончательный

Пусть задан тригонометрический ряд

Чтобы выяснить, сходится ли он, естественно рассмотреть числовой ряд

(2)

мажорирующий, как говорят, ряд (1). Его члены превышают соответственно абсолютные величины членов ряда (1):

.

Отсюда следует, что если ряд (2) сходится, то сходится также ряд (1) для всех и притом абсолютно и равномерно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.8, теорема 1). Но ряд (1) может сходиться без того, чтобы сходился ряд (2). Ведь его члены для каждого при изменении меняют знак (осциллируют) бесконечное число раз, и он может оказаться сходящимся вследствие компенсации положительных членов отрицательными. В общей теории рядов существуют признаки сходимости подобных рядов. Такими признаками являются признаки Дирихле и Абеля (см. § 9.9, теоремы 3, 4 той же книги), хорошо приспособленные к исследованию тригонометрических рядов.

Так или иначе, если установлено, что ряд (1) равномерно сходится, то из того, что его члены суть непрерывные функции периода , следует, что и его сумма

(3)

есть непрерывная функция периода (см. § 9.8, теорема 2 и § 9.9, теорема 2 той же книги) и ряд (3) можно почленно интегрировать.

Ряд (3) можно формально продифференцировать по:

(4)

и составить его мажорирующий ряд

(5)

Снова, если ряд (5) сходится, то ряд (4) сходится и притом равномерно. Больше того, на основании известной теоремы из теории равномерно сходящихся рядов тогда сумма ряда (4) есть производная от суммы ряда (3), т. е.

.

Вообще, если ряд

при некотором натуральном сходится, то ряд (3) законно дифференцировать почленно раз.

Впрочем, надо помнить, что не исключено, что ряд (3) законно продифференцировать и еще один раз (т. е. раз).

Пример. Выяснить, сколько раз можно продифференцировать почленно ряд

Вводные замечания

В данном разделе будет рассмотрено представление периодических сигналов при помощи ряда Фурье. Ряды Фурье являются основой теории спектрального анализа, потому что, как мы увидим позже, преобразование Фурье непериодического сигнала можно получить как предельный переход ряда Фурье при бесконечном периоде повторения. В результате свойства ряда Фурье также справедливы и для преобразования Фурье непериодических сигналов.

Мы рассмотрим выражения ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также уделим внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье. Кроме того, мы подробно остановимся на пояснении такого понятия как отрицательная частота спектра сигнала, которое часто вызывает сложность при знакомстве с теорией спектрального анализа.

Периодический сигнал. Тригонометрический ряд Фурье

Пусть имеется периодический сигнал непрерывного времени , который повторяется с периодом с, т.е. , где — произвольное целое число.

В качестве примера на рисунке 1 показана последовательность прямоугольных импульсов длительности c, повторяющиеся с периодом с.

Рисунок 1. Периодическая последовательность

Прямоугольных импульсов

Из курса математического анализа известно , что система тригонометрических функций

с кратными частотами , где рад/с, — целое число, образует ортонормированный базис для разложения периодических сигналов с периодом , удовлетворяющих условиям Дирихле .

Условия Дирихле сходимости ряда Фурье требуют, чтобы периодический сигнал был задан на сегменте , при этом удовлетворял следующим условиям:

Например, периодическая функция не удовлетворяет условиям Дирихле, потому что функция имеет разрывы второго рода и принимает бесконечные значения при , где — произвольное целое. Таким образом, функция не может быть представлена рядом Фурье. Также можно привести пример функции , которая является ограниченной, но также не удовлетворяет условиям Дирихле, поскольку имеет бесконечное число точек экстремума при приближении к нулю. График функции показан на рисунке 2.

Рисунок 2. График функции :

А — два периода повторения; б — в окрестности

На рисунке 2а показано два периода повторения функции , а на рисунке 2б — область в окрестности . Можно видеть, что при приближении к нулю, частота колебаний бесконечно возрастает, и такая функция не может быть представлена рядом Фурье, потому что она не является кусочно-монотонной.

Необходимо заметить, что на практике не бывает сигналов с бесконечными значениями тока или напряжения. Функции с бесконечным числом экстремумов типа также в прикладных задачах не встречаются. Все реальные периодические сигналы удовлетворяют условиям Дирихле и могут быть представлены бесконечным тригонометрическим рядом Фурье вида:

В выражении (2) коэффициент задает постоянную составляющую периодического сигнала .

Во всех точках, где сигнал непрерывен, ряд Фурье (2) сходится к значениям данного сигнала, а в точках разрыва первого рода — к среднему значению , где и — пределы слева и справа от точки разрыва соответственно.

Также из курса математического анализа известно , что использование усеченного ряда Фурье, содержащего только первых членов вместо бесконечной суммы, приводит к приближенному представлению сигнала :

при котором обеспечивается минимум среднего квадрата ошибки. Рисунок 3 иллюстрирует приближение периодической последовательности прямоугольных импульсов и периодического пилообразного сигнала при использовании различного количества членов ряда Фурье .

Рисунок 3. Приближение сигналов усеченным рядом Фурье:

А — прямоугольных импульсов; б — пилообразного сигнала

Ряд Фурье в комплексной форме

В предыдущем параграфе мы рассмотрели тригонометрический ряд Фурье для разложения произвольного периодического сигнала , удовлетворяющего условиям Дирихле. Применив формулу Эйлера, можно показать:
Тогда тригонометрический ряд Фурье (2) с учетом (4):

Таким образом, периодический сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и комплексных экспонент, вращающихся с частотами с коэффициентами для положительных частот , и для комплексных экспонент, вращающихся с отрицательными частотами .

Рассмотрим коэффициенты для комплексных экспонент, вращающихся с положительными частотами :

Выражения (6) и (7) совпадают, кроме того постоянную составляющую также можно записать через комплексную экспоненту на нулевой частоте:

Таким образом, (5) с учетом (6)-(8) можно представить как единую сумму при индексации от минус бесконечности до бесконечности:

Выражение (9) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. Коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме связаны с коэффициентами и ряда в тригонометрической форме, и определяются как для положительных, так и для отрицательных частот . Индекс в обозначении частоты указывает номер дискретной гармоники, причем отрицательные индексы соответствуют отрицательным частотам .

Из выражения (2) следует, что для вещественного сигнала коэффициенты и ряда (2) также являются вещественными. Однако (9) ставит в соответствие вещественному сигналу , набор комплексно-сопряженных коэффициентов , относящихся как положительным, так и к отрицательным частотам .

Некоторые пояснения к ряду Фурье в комплексной форме

В предыдущем параграфе мы осуществили переход от тригонометрического ряда Фурье (2) к ряду Фурье в комплексной форме (9). В результате, вместо разложения периодических сигналов в базисе вещественных тригонометрических функций, мы получили разложение в базисе комплексных экспонент, с комплексными коэффициентами , да еще и появились отрицательные частоты в разложении! Поскольку данный вопрос часто встречает непонимание, то необходимо дать некоторые пояснения.

Во-первых, работать с комплексными экспонентами в большинстве случаев проще, чем с тригонометрическими функциями. Например, при умножении и делении комплексных экспонент достаточно лишь сложить (вычесть) показатели, в то время как формулы умножения и деления тригонометрических функций более громоздкие.

Дифференцировать и интегрировать экспоненты, пусть даже комплексные, также проще, чем тригонометрические функции, которые постоянно меняются при дифференцировании и интегрировании (синус превращается в косинус и наоборот).

Если сигнал периодический и вещественный, то тригонометрический ряд Фурье (2) кажется более наглядным, потому что все коэффициенты разложения , и остаются вещественными. Однако, часто приходится иметь дело с комплексными периодическими сигналами (например, при модуляции и демодуляции используют квадратурное представление комплексной огибающей). В этом случае при использовании тригонометрического ряда Фурье все коэффициенты , и разложения (2) станут комплексными, в то время как при использовании ряда Фурье в комплексной форме (9) будет использованы одни и те же коэффициенты разложения как для вещественных, так и для комплексных входных сигналов.

Ну и наконец, необходимо остановится на пояснении отрицательных частот, которые появились в (9). Этот вопрос часто вызывает непонимание. В повседневной жизни мы не сталкиваемся с отрицательными частотами. Например, мы никогда не настраиваем свой радиоприемник на отрицательную частоту. Давайте рассмотрим следующую аналогию из механики. Пусть имеется механический пружинный маятник, который совершает свободные колебания с некоторой частотой . Может ли маятник колебаться с отрицательной частотой ? Конечно нет. Как не бывает радиостанций, выходящих в эфир на отрицательных частотах, так и частота колебаний маятника не может быть отрицательной. Но пружинный маятник — одномерный объект (маятник совершает колебания вдоль одной прямой).

Мы можем также привести еще одну аналогию из механики: колесо, вращающееся с частотой . Колесо, в отличие от маятника вращается, т.е. точка на поверхности колеса перемещается в плоскости, а не просто совершает колебания вдоль одной прямой. Поэтому для однозначного задания вращения колеса, задать частоту вращения недостаточно, потому что необходимо задать также направление вращения. Вот именно для этого мы и можем использовать знак частоты.

Так, если колесо вращается с частотой рад/с против часовой стрелки, то считаем, что колесо вращается с положительной частотой, а если по направлению часовой стрелки, то частота вращения будет отрицательной. Таким образом, для задания вращения отрицательная частота перестает быть бессмыслицей и указывает направление вращения.

А теперь самое главное, что мы должны понять. Колебание одномерного объекта (например, пружинного маятника) может быть представлено как сумма вращений двух векторов, показанных на рисунке 4.

Рисунок 4. Колебание пружинного маятника

Как сумма вращений двух векторов

на комплексной плоскости

Маятник совершает колебания вдоль вещественной оси комплексной плоскости с частотой по гармоническому закону . Движение маятника показано горизонтальным вектором. Верхний вектор совершает вращения на комплексной плоскости с положительной частотой (против часовой стрелки), а нижний вектор вращается с отрицательной частотой (по направлению часовой стрелки). Рисунок 4 наглядно иллюстрирует хорошо известное из курса тригонометрии соотношение:

Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме (9) представляет периодические одномерные сигналы как сумму векторов на комплексной плоскости, вращающихся с положительными и отрицательными частотами. При этом обратим внимание, что в случае вещественного сигнала согласно (9) коэффициенты разложения для отрицательных частот являются комплексно-сопряженными соответствующим коэффициентам для положительных частот . В случае комплексного сигнала это свойство коэффициентов не выполняется ввиду того, что и также являются комплексными.

Спектр периодических сигналов

Ряд Фурье в комплексной форме представляет собой разложение периодического сигнала в сумму комплексных экспонент, вращающихся с положительными и отрицательными частотами кратными рад/c с соответствующими комплексными коэффициентами , которые определяют спектр сигнала . Комплексные коэффициенты могут быть представлены по формуле Эйлера как , где — амплитудный спектр, a — фазовый спектр.

Поскольку периодические сигналы раскладываются в ряд только на фиксированной сетке частот , то спектр периодических сигналов является линейчатым (дискретным).

Рисунок 5. Спектр периодической последовательности

Прямоугольных импульсов:

А — амплитудный спектр; б — фазовый спектр

На рисунке 5 приведен пример амплитудного и фазового спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. рисунок 1) при с, длительности импульса c и амплитуде импульсов В.

Амплитудный спектр исходного вещественного сигнала является симметричным относительно нулевой частоты, а фазовый спектр — антисимметричным. При этом заметим, что значения фазового спектра и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости .

Можно сделать вывод, что все коэффициенты разложения приведенного сигнала являются чисто вещественными, и фазовый спектр соответствует отрицательным коэффициентам .

Обратим внимание, что размерность амплитудного спектра совпадает с размерностью сигнала . Если описывает изменение напряжения во времени, измеряемое в вольт, то амплитуды гармоник спектра также будут иметь размерность вольт.

Выводы

В данном разделе рассмотрено представление периодических сигналов при помощи ряда Фурье. Приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной формах. Мы уделили особое внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье и были приведены примеры функций, для которых ряд Фурье расходится.

Мы подробно остановились на выражении ряда Фурье в комплексной форме и показали, что периодические сигналы как вещественные, так и комплексные представляются рядом комплексных экспонент с положительными и отрицательными частотами. При этом коэффициенты разложения являются также комплексными и характеризуют амплитудный и фазовый спектр периодического сигнала.

В следующем разделе мы более детально рассмотрим свойства спектров периодических сигналов.

Программная реализация в библиотеке DSPL

Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида

или в комплексной форме

где a k , b k или, соответственно, c k наз. коэффициентами Т. р.
Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера (L. Euler, 1744). Он получил разложения

В сер. 18 в. в связи с исследованиями задачи о свободном колебании струны возник вопрос о возможности представления функции, характеризующей начальное положение струны, в виде суммы Т. р. Этот вопрос вызвал острые споры, продолжавшиеся несколько десятилетий, лучших аналитиков того времени - Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д"Аламбера (J. D"Alembert), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eu1ег). Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитич. аданием, что приводило к рассмотрению только аналитических или кусочно аналитических функций. А здесь появилась необходимость для функции, графиком к-рой является достаточно произвольная кривая, построить Т. р., представляющий эту функцию. Но значение этих споров больше. Фактически в них обсуждались или возникли в связи с ними вопросы, связанные со многими принципиально важными понятиями и идеями математич. анализа вообще,- представление функций рядами Тейлора и аналитич. родолжение функций, использование расходящихся рядов, перестановка пределов, бесконечные системы уравнений, интерполирование функций многочленами и др.
И в дальнейшем, как и в этот начальный период, теория Т. р. служила источником новых идей математи. Вопрос, приведший к спорам математиков 18 в., был решен в 1807 Ж. Фурье (J. Fourier), указавшим формулы для вычисления коэффициентов Т. р. (1), к-рый должен. представлять на функцию f(x):

и применившим их при решении задач теплопроводности. Формулы (2) получили название формул Фурье, хотя они встречались ранее у А. Клеро (A. Clairaut, 1754), а Л. Эйлер (1777) приходил к ним с помощью почленного интегрирования. Т. р. (1), коэффициенты к-рого определяются по формулам (2), наз. рядом Фурье функции f, а числа а k , b k - коэффициентами Фурье.
Характер получаемых результатов зависит от того, как понимается представление функции рядом, как понимается интеграл в формулах (2). Современный вид теория Т. р. приобрела после появления интеграла Лебега.
Теорию Т. р. можно условно разделить на два больших раздела - теорию Фурье рядов, в к-рой предполагается, что ряд (1) является рядом Фурье нек-рой функции, и теорию общих Т. р., где такое предположение не делается. Ниже указываются основные результаты, полученные в теории общих Т. р. (при этом мера множеств и измеримость функций понимаются по Лебегу).
Первым систематич. исследованием Т. р., в к-ром не предполагалось, что эти ряды являются рядами Фурье, была диссертация В. Римана (В. Riemann, 1853). Поэтому теорию общих Т. р. наз. иногда римановской теорией Т. р.
Для изучения свойств произвольного Т. р. (1) со стремящимися к нулю коэффициентами Б. Риман рассматривал непрерывную функцию F(х), являющуюся суммой равномерно сходящегося ряда

полученного после двукратного почленного интегрирования ряда (1). Если ряд (1) сходится в нек-рой точке хк числу s, то в этой точке существует и равна s вторая симметрич. производная функции F:

то это приводит к суммированию ряда (1), порождаемому множителями наз. методом суммирования Римана. С помощью функции Fформулируется принцип локализации Римана, согласно к-рому поведение ряда (1) в точке хзависит только от поведения функции Fв произвольно малой окрестности этой точки.
Если Т. р. сходится на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю (теорема Кантора - Лебега). Стремление к нулю коэффициентов Т. р. следует также из его сходимости на множестве второй категории (У. Юнг, W. Young, 1909).
Одной из центральных проблем теории общих Т. р. является задача о представлении произвольной функции Т. р. Усилив результаты Н. Н. Лузина (1915) о представлении функций Т. р., суммируемыми почти всюду методами Абеля - Пуассона и Римана, Д. Е. Меньшов доказал (1940) следующую теорему, относящуюся к наиболее важному случаю, когда представление функции f понимается как сходимость Т. р. к f (x)почти всюду. Для каждой измеримой и конечной почти всюду функции f существует Т. р., сходящийся к ней почти всюду (теорема Меньшова). Следует отметить, что если даже функция f интегрируема, то в качестве такого ряда нельзя, вообще говоря, взять ряд Фурье функции f, т. к. существуют ряды Фурье, расходящиеся всюду.
Приведенная теорема Меньшова допускает следующее уточнение: если функция f измерима и конечна почти всюду, то существует такая непрерывная функция что почти всюду и почленно продифференцированный ряд Фурье функции j сходится к f(х)почти всюду (Н. К. Бари, 1952).
Неизвестно (1984), можно ли в теореме Меньшова опустить условие конечности функции f почти всюду. В частности, неизвестно (1984), может ли Т. р. сходиться почти всюду к
Поэтому задача о представлении функций, к-рые могут принимать бесконечные значения на множестве положительной меры, была рассмотрена для случая, когда сходимость почти всюду заменяется на более слабое требование - сходимость по мере. Сходимость по мере к функциям, к-рые могут принимать бесконечные значения, определяется так: последовательность частных сумм Т. p. s n (x)сходится по мере к функции f(х). если где f n (x)сходятся к / (х)почти всюду, а последовательность сходится по мере к нулю. В этой постановке вопрос о представлении функций решен до конца: для каждой измеримой функции существует Т. р., сходящийся к ней по мере (Д. Е. Меньшов, 1948).
Много исследований посвящено проблеме единственности Т. р.: могут ли два разных Т. расходиться к одной и той же функции; в др. формулировке: если Т. р. сходится к нулю, то следует ли отсюда, что все коэффициенты ряда равны нулю. Здесь можно иметь в виду сходимость во всех точках или во всех точках вне нек-рого множества. Ответ на эти вопросы существенно зависит от свойств того множества, вне к-рого сходимость не предполагается.
Установилась следующая терминология. Множество наз. единственности множеством или U- множеством, если из сходимости Т. р. к нулю на всюду, кроме, быть может, точек множества Е, следует, что все коэффициенты этого ряда равны нулю. В противном случае Еназ. М-множеством.
Как показал Г. Кантор (G. Cantor, 1872), пустое множество, а также любое конечное множество являются U-множествами. Произвольное счетное множество также является U-множеством (У. Юнг, 1909). С др. стороны, каждое множество положительной меры является М-множеством.
Существование М-множеств меры нуль было установлено Д. Е. Меньшовым (1916), к-рый построил первый пример совершенного множества, обладающего этими свойствами. Этот результат имеет принципиальное значение в проблеме единственности. Из существования М-множеств меры нуль следует, что при представлении функций Т. р., сходящимися почти всюду, эти ряды определяются заведомо неоднозначно.
Совершенные множества могут быть и U-множествами (Н. К. Бари; А. Райхман, A. Rajchman, 1921). В проблеме единственности существенную роль играют весьма тонкие характеристики множеств меры нуль. Общий вопрос о классификации множеств нулевой меры на М- и U-множества остается (1984) открытым. Он не решен даже для совершенных множеств.
К проблеме единственности примыкает следующая задача. Если Т. р. сходится к функции то должен ли этот ряд быть рядом Фурье функции /. П. Дюбуа-Реймон (P. Du Bois-Reymond, 1877) дал положительный ответ на этот вопрос, если f интегрируема в смысле Римана, а ряд сходится к f(х)во всех точках. Из результатов III. Ж. Bалле Пуссена (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) следует, что ответ положителен и в том случае, когда всюду, кроме счетного множества точек, ряд сходится и его сумма конечна.
Если Т. р, в нек-рой точке x 0 сходится абсолютно, то точки сходимости этого ряда, а также точки его абсолютной сходимости расположены симметрично относительно точки x 0 (П. Фату, P. Fatou, 1906).
Согласно Данжуа - Лузина теореме из абсолютной сходимости Т. р. (1) на множестве положительной меры следует сходимость ряда и, следовательно, абсолютная сходимость ряда (1) для всех х. Этим свойством обладают и множества второй категории, а также нек-рые множества меры нуль.
Приведенный обзор охватывает только одномерные Т. р. (1). Имеются отдельные результаты, относящиеся к общим Т. р. от нескольких переменных. Здесь во многих случаях нужно еще найти естественные постановки задач.

Лит. : Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965; Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951; Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948, с. 225-61.
С. А. Теляковский.

• - конечная тригонометрическая сумма,- выражение вида с действительными коэффициентами а 0, а k, bk, k=l, . . ., п;число n наз. порядком Т. 0)...

  Математическая энциклопедия

• - ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида или в комплексной форме где ak, bk или, соответственно, ck наз. коэффициентами Т. р. Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера...

  Математическая энциклопедия

• - триангуляционный пункт, - геодезический пункт, положение к-рого на земной поверхности определено методом триангуляции...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - см. Триангуляция...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - в геодезии, сооружение, устанавливаемое на местности в тригонометрических пунктах. Т. з. состоит из двух частей - наружной и подземной...

  Большая Советская энциклопедия

• - функциональный ряд вида, то есть ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Т. р. записываются в комплексной форме...

Числа a n , b n или c n называют коэффициентами Т. р.

Т. р. играют весьма важную роль в математике и её приложениях. Прежде всего Т. р. дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Т. р., естественно, появляются при решении ряда задач математической физики, среди которых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Т. р. способствовала уточнению основных понятий математического анализа (функция, интеграл), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.

Эйлер указал на связь между степенными рядами и Т. р.: если c n действительны, то

а именно:

Лит.: Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. - Л., 1951; Барин. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1965.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Тригонометрический ряд" в других словарях:

Ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида или в комплексной форме где ak, bk или, соответственно, ck наз. коэффициентами Т. р. Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера (L. Euler, 1744). Он получил разложения В сер. 18 в. в связи с… … Математическая энциклопедия

Ряд вида, где коэффициенты a0, а1, b1, а2, b2 ... не зависят от переменного х … Большой Энциклопедический словарь

В математике, тригонометрический ряд это любой ряд вида: Тригонометрический ряд называется рядом Фурье функции, если коэффициенты и определяются следующим образом … Википедия

Ряд вида, где коэффициент а0, a1, b1, a2, b2, ... не зависят от переменного х. * * * ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД, ряд вида, где коэффициенты a0, а1, b1, а2, b2 ... не зависят от переменного х … Энциклопедический словарь

Тригонометрический ряд Фурье представление произвольной функции с периодом в виде ряда (1) или используя комплексную запись, в виде ряда: . Содержание … Википедия

бесконечный тригонометрический ряд Фурье - — Тематики электросвязь, основные понятия EN Fourier series … Справочник технического переводчика

Ряд вида Рядом типа (1) К. Вейерштрасс (К. Weierstrass) в 1872 представил непрерывную нигде не дифференцируемую функцию. Ж. Адамар (J. Hadamard) в 1892 применил ряды (1), назвав их лакунарными, к изучению аналитич. родолжения функции. Систематич … Математическая энциклопедия

К ряду ряд Эти ряды являются соответственно действительной и мнимой частями ряда при z=eix. Формула для частных сумм сопряженного к ряду Фурье функции j(x)тригонометрич. ряда где сопряженное Дирихле ядро. Если f(x) функция ограниченной вариации… … Математическая энциклопедия

Добавление членов ряда Фурье … Википедия

I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… … Большая советская энциклопедия