Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

Задачи к главе IV

4.1. Сколько плоскостей в пространстве можно провести: а) через точку; б) через две различные точки; в) через три различные точки, не лежащие на одной прямой; г) через три различные точки; д) через четыре точки?

4.2. Сколько плоскостей в пространстве можно провести: а) через одну прямую; б) через две пересекающиеся прямые; в) через две произвольные прямые?

4.3. Сколько плоскостей в пространстве можно провести: а) через прямую и точку; б) через две пересекающиеся прямые и точку?

4.4. В пространстве даны четыре точки, никакие три из них не принадлежат одной прямой. Через каждую пару данных точек проведена прямая. Сколько можно провести таких прямых?

4.5. В пространстве даны четыре точки, никакие три из них не принадлежат одной прямой. Через каждые три из этих точек проведена плоскость. Сколько можно провести таких плоскостей?

4.6. Верно ли утверждение: если прямая l 1 пересекает прямую l 2 , а прямая l 2 пересекает прямую l 3 , то прямая l 1 пересекает прямую l 3 ?

4.7. Верно ли утверждение: если прямые l 1 , l 2 скрещивающиеся и прямые l 2 , l 3 скрещивающиеся, то l 1 и l 3 скрещивающиеся?

4.8. Сколько пар скрещивающихся ребер, т. е. ребер, лежащих на скрещивающихся прямых, имеется в треугольной пирамиде?

4.9. Сколько пар параллельных и скрещивающихся ребер имеется в параллелепипеде?

4.10. Доказать, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

4.11. Как построить прямую, скрещивающуюся:

а) с каждой из двух пересекающихся прямых;

б) с каждой из двух параллельных прямых?

4.12. Сколько плоскостей, параллельных прямой l , можно провести через данную вне этой прямой точку А?

4.13. Прямая l параллельна плоскости р . Сколько прямых, параллельных прямой l , можно провести в плоскости р ? Каково взаимное расположение всех этих прямых?

4.14. Известно, что прямая l параллельна прямой т , которая параллельна плоскости р . Будет ли прямая l параллельна плоскости р ?

4.15. Пусть прямые l и т параллельны, и через каждую из них проведено по одной плоскости. Доказать, если эти плоскости пересекаются, то прямая их пересечения параллельна прямым l и т .

4.16. Доказать, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

4.17. Докажите, что если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

4.18. Докажите, что если плоскость р 1 параллельна плоскости р 2 , а р 2 параллельна плоскости р 3 , то р 1 параллельна р 3 . (Свойство транзитивности.)

4.19. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, имеют равные длины.

4.20. Постройте плоскость, проходящую через данную прямую l , параллельно прямой т (прямые l и т скрещивающиеся).

4.21. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между прямыми: a) AD и ВВ 1 б) AD и A 1 D 1)в) АС и В 1 D 1 г) АС и A 1 D 1 .

4.22. Докажите, что если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то эти прямые параллельны.

4.23. Докажите, что если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то эти плоскости параллельны.

4.24. Отрезки АВ и ВС -стороны квадрата ABCD. Через прямые АВ и ВС проведены соответственно плоскости р 1 и р 2 . Прямая l - линия пересечения плоскостей р 1 и р 2 , причем l _|_ (АВ). Докажите, что (АВ) _|_ р 2 .

4.25. Точка О - центр квадрата со стороной т . Отрезок ОМ перпендикулярен плоскости квадрата, |ОМ| = m / 2 . Найдите расстояние от точки М до вершины квадрата.

4.26. Найдите расстояние от точки М до плоскости равностороннего треугольника, если сторона этого треугольника равна 3 √3 см, а расстояние от точки до каждой из вершин треугольника равно 5 см.

4.27. Найдите множество всех точек пространства, равноудаленных от трех данных точек.

4.28. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC катеты равны а см. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости /\ ABC перпендикуляр CD, причем
| CD | = 2а см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

4.29. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 4 см и 3 см. Через вершину прямого угла С треугольника проведен перпендикуляр п к плоскости ABC. Найдите расстояние от точки М n до гипотенузы треугольника, если | МС | = 2,6 см.

4.30. Если грани одного двугранного угла служат продолжением граней другого, то такие двугранные углы называются вертикальными. Докажите, что вертикальные двугранные углы конгруэнтны.

4.31. Из точки М окружности проведен к плоскости круга, ограниченного этой окружностью, перпендикуляр МА. Из точки M проведен диаметр MB; [ВС] - произвольная хорда. Точка А соединена с точками В и С. Определите вид треугольника ABC.

4.32. Докажите, что если плоскости р и q перпендикулярны, а прямая 1 р перпендикулярна прямой т = p q , то 1 _|_ q .

4.33. Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости р, q, r. Докажите, что если
р _|_ r и q _|_ r , то прямая т = p q перпендикулярна плоскости r .

4.34. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

4.35. Полуплоскость, имеющая своим ребром ребро двугранного угла и делящая его на две конгруэнтные части, называется биссекторной . Докажите, что биссекторные полуплоскости двух смежных углов перпендикулярны между собой.

4.36. На модели куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 укажите проекции следующих фигур на плоскость грани АА 1 В 1 В: , , , , /\ С 1 СВ, /\ ACD, квадрата BB 1 C 1 C.

4.37. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . а) Найдите проекцию точки M на плоскости граней ABCD, AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B. б) Найдите проекцию точки N = [СD 1 ] на плоскости указанных граней.

4.38. Каковы проекции двух прямых l 1 и l 2 на плоскость р , если:

а) прямые l 1 и l 2 пересекаются;

б) прямые l 1 и l 2 скрещиваются;

в) прямые l 1 и l 2 параллельны. Рассмотрите все возможные случаи.

4.39. Точки А и В принадлежат плоскости р ; конгруэнтные отрезки АА 1 и BB 1 перпендикулярны плоскости р и расположены по разные стороны от нее. Найдите величины углов четырехугольника AA 1 ВВ 1 , если |AA 1 | = |АВ|.

4.40. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна т , величина его острого угла 60°. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 30°.

4.41. Стороны треугольника равны 3,9 см, 4,1 см и 2,8 см. Найдите площадь его проекции на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 60°.

4.42. Постройте сечение куба AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки М, N и К, если

М = А 1 , | ND 1 | = | ND |, | DK | == 2| KС |, N , K .

4.43. Постройте сечение куба ABCDA"B"C"D" с ребром а плоскостью, проходящей через середины ребер и [В"С"] и вершины А" и С. Найдите площадь сечения.

4.44. Постройте сечение куба плоскостью так, чтобы оно было правильным шестиугольником.

4.45. В тетраэдре МАВС проведите сечения через середину ребра [АВ] параллельно ребрам: а) [АС] и ; б) [ВС] и [СМ]; в) [ВС] и [АМ].

4.46. Найдите площадь сечения, проведенного через середины двух смежных боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной а и высотой h перпендикулярно основанию пирамиды.

4.47. Существует ли трехгранный угол, плоские углы которого равны: а) 120°, 97°, 33°;
б) 120°, 120°, 130°; в) 108°, 92°, 160°; г) 157°, 82°, 64°.

4.48. В трехгранном угле два плоских угла по 45°, а двугранный угол между ними - 90°. Найдите третий плоский угол.

4.49. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3√2 см и 14 см, угол между ними 135°, боковое ребро 12 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

4.50. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см; полная поверхность призмы 144 см 2 . Найдите сторону основания и боковое ребро призмы.

4.51. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда равна 352 см 2 . Найдите его измерения, если они относятся, как 1:2:3.

4.52. Ребро куба равно а . Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы ребер, выходящих из одной вершины.

4.53. Ребро куба равно а . Найдите длину отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер.

4.54. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона основания равна а , апофема пирамиды равна 3 / 2 а . Найдите высоту пирамиды.

4.55. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно т , а плоский угол при вершине равен β .

4.56. Дана пирамида, высота которой равна 16 м, а площадь основания 512 м 2 . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проведенной параллельно основанию на расстоянии 5 м от вершины.

4.57. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 14 см, а площадь диагонального сечения 14 см 2 .

4.58. Ромб с диагоналями 12 см и 16 см служит основанием пирамиды. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна 6,4 см. Найдите полную поверхность пирамиды.

4.59. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 28 см, а боковое ребро
36 см. Найдите сторону основания.

4.60. Докажите, что боковое ребро правильной треугольной пирамиды перпендикулярно противоположному ребру основания.

4.61. Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна площади основания, деленной на косинус угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

4.62 У двух правильных многогранников ребра равны, а площади поверхностей относятся, как √3 : 6. Определите эти многогранники.

4.63. Если обозначить ребро правильного многогранника через а , то площадь его поверхности равна S = 5a 2 √3 . Определите многогранник.

4.64. Найдите двугранный угол между гранями правильного тетраэдра.

4.65. Найдите двугранный угол между соседними гранями правильного октаэдра.

4.66. Точки M, A, В и С не принадлежат одной плоскости; (MA) _|_ (BС),
(MB) _|_ (AC). Докажите, что (МС) _|_ (АВ).

4.67. На точку A действуют силы F 1 , F 2 , F 3 , причем | F 1 ] = 3 Н, | F 2 | = 4 Н и | F 3 | = 5 Н. Величина угла между силами F 1 и F 2 равна 60°, а сила F 3 перпендикулярна каждой из них. Найдите величину равнодействующей.

Урок позволяет рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве; формирует навык чтения и построения чертежей, пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам. Развивает пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;

Скачать:


Предварительный просмотр:

Взаимное расположение прямых в пространстве

Цели урока:

обучающие:

  • рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве;
  • формировать навык чтения и построения чертежей, пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам.

развивающие:

  • развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
  • вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

воспитательные:

  • воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества;
  • формировать эмоциональную культуру и культуру общения,
  • развивать чувство патриотизма, любви к родному городу.

Методы обучения:

  • словесный,
  • наглядный,
  • деятельностный

Формы обучения:

  • коллективная,
  • индивидуальная

Средства обучения: (в том числе технические средства обучения)

  • компьютер,
  • мультимедийный проектор,
  • экран,
  • принтер,
  • печатные средства (раздаточный материал),
  • кроссворд.

Вступительное слово учителя.

Применяя изученные знания из курса планиметрии о взаимном расположении прямых на плоскости, попытаемся решить вопрос о взаимном расположении прямых в пространстве.

Урок помогли подготовить учащиеся Скотникова Ольга и Штефан Юлия, которые методом самостоятельного поиска фотографий с достопримечательностями города Хабаровска рассмотрели различные варианты взаимного расположения прямых в пространстве.

Они не только сумели рассмотреть различные варианты взаимного расположения прямых в пространстве, но и выполнили творческую работу - создали мультимедийную презентацию.

Презентации творческих отчетов с кратким пояснением и исторической справкой достопримечательностей нашего города:

К 150-летнему юбилею нашего города постарались мастера света и на набережной устроили великолепное лазерное шоу. Слайд№2

Внимание многочисленных гостей Хабаровска привлекает монументальный памятник, установленный на Комсомольской площади. Двадцатидвухметровый монумент увековечил память о героическом подвиге дальневосточных красногвардейцев и партизан, навсегда освободивших край от белогвардейцев и иностранных интервентов. Памятник был открыт в октябре 1956г. Слайд№3

Железнодорожный вокзал Хабаровска был построен в 1929 г. и в те годы считался одним из самых больших и красивых вокзалов Дальнего Востока. В настоящее время вокзал реконструирован, полностью изменен его интерьер и он снова приобрел облик русского вокзала 20 века. Слайд№4

Вывод по слайдам №3№4 . Слайд№5

Аэропорт г. Хабаровска имеет статус международного, оснащен современным оборудованием, авиационно-техническая База способна обслуживать любые типы самолетов, вплоть до Боинга-747.

Широкая сеть регулярных маршрутов связывает Хабаровск с десятками городов России, СНГ, Дальнего зарубежья. Комфортабельные воздушные суда уходят из аэропортов Хабаровска и возвращаются обратно в самое удобное для пассажиров время.

Необходимо принимать правильные решения в течение ограниченного времени при управлении полетами самолетов в зависимости от их взаимного расположения в воздушном пространстве и на аэродроме. Слайд№6

Утес - это замечательное место стало одним из символов Хабаровска. Можно сказать, что история города началась именно с этого места.

В 1858г. капитан Я.В.Дьяченко высадился здесь со своим отрядом и решил основать здесь свой лагерь. Позднее он стал военным поселением, затем деревней Хабаровкой, а теперь это прекрасный город Хабаровск.

Здание располагает большим балконом, который является великолепной смотровой площадкой, позволяющей увидеть набережную, пляж и просторы Амура, уходящие за горизонт. Слайд№7

Подведение итогов презентаций.

Как вы оцениваете творческую подготовку к уроку Ваших одноклассниц?

Сделаем вывод.. Какие варианты взаимного расположения прямых в пространстве мы узнали сегодня на уроке? Слайд№8

Закрепление.

Математический диктант , учащиеся выполняют на отдельных листах по готовым чертежам и сдают на проверку помощникам-консультантам, которые проверяют и результаты проверки заносят в специальную ведомость.

Дано:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - КУБ.

K, M, N - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР

B 1 C 1 , D 1 D, D 1 C 1 СООТВЕТСТВЕННО,

P - ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

ДИАГОНАЛЕЙ ГРАНИ AA 1 B 1 B.

Определите взаимное расположение прямых. Слайд№9,10,11,12,13,14

Самопроверка. Слайд№15

2. Дано:

SABC - ТЕТРАЭДР.

K, M, N, P - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР

SA, SC, AB, BC СООТВЕТСТВЕННО.

Слайд№16,1,18,19,20

Самопроверка. Слайд№21

После выполнения математического диктанта - краткое устное объяснение с обоснованием всех заданий.

Тест, учащиеся выполняют по раздаточному материалу и также сдают на проверку помощникам-консультантам, которые проверяют и результаты проверки заносят в специальную ведомость

Вопрос 1.

Сколько существует случаев взаимного расположения двух различных прямых в пространстве?

а) 2

б) 3

в) 1

Вопрос 2.

В тексте дано определение скрещивающихся прямых. Правильно ли следующее определение: "Две прямые называются cкрещивающимися, если не существует плоскости, в которой лежат обе эти прямые".

а) нет

б) да

в) ответить однозначно нельзя

Вопрос 3.

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет треугольная пирамида?

а) 2

б) 3

в) 1

Вопрос 4.

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет четырехугольная пирамида?

а) 2

б) 4

в) 6

Вопрос 5.

Дана прямая a и точка A вне ее. Сколько прямых, скрещивающихся с a, можно провести через точку A?

а) 2

б) множество

в) 1

Вопрос 6.

Для того, чтобы две прямые не были скрещивающимися (необходимо или достаточно) чтобы они пересекались.

Вопрос 7.

Для того, чтобы две прямые были параллельными (необходимо или достаточно) чтобы они лежали в одной плоскости.

Самостоятельная работа по вариантам

1 вариант

Даны скрещивающиеся прямые a, b и точка T. Провести через точку T прямую, пересекающую прямые a и b.

2 вариант

Прямые a и b скрещивающиеся. Провести прямую, пересекающую b и параллельную прямой a.

Ведомость учета результатов математического диктанта и тестирования

ФИО

Математический диктант

Тест

См/р

Домашнее задание.

Подготовить творческий отчет о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.

Подведение итогов.

Кроссворд.

Параллельные прямые Пересекающиеся прямые Скрещивающиеся прямые

Лежат в одной плоскости пересекаются параллельны а а а b b b скрещиваются

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – КУБ. K, M, N – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР B 1 C 1 , D 1 D, D 1 C 1 СООТВЕТСТВЕННО, P – ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДИАГОНАЛЕЙ ГРАНИ AA 1 B 1 B.

A B 1 A 1 P C B D D 1 M N K C 1 Определите взаимное расположение прямых.

A B 1 A 1 P C B D D 1 M N K C 1

A B 1 A 1 P C B D D 1 M N K C 1

A B 1 A 1 P C B D D 1 M N K C 1

A B 1 A 1 P C B D D 1 M N K C 1

Проверь себя Скрещиваются Пересекаются Параллельны Скрещиваются Пересекаются

A B P M N C S K Дано: SABC - ТЕТРАЭДР. ТОЧКИ K, M, N, P – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР SA, SC, AB, BC СООТВЕТСТВЕННО.

A B P M N C S K Определите взаимное расположение прямых.

Проверь себя Параллельны. Скрещиваются. Пересекаются. Пересекаются.

2 1. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. 2.Математическое утверждение не требующее доказательства. 3. Одна из простейших фигур и планиметрии и стереометрии. 4. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости. 5. Защитное приспособление воина в виде круга, овала, прямоугольника. 6. Теорема, в которой по заданному свойству нужно определить предмет 7. Направленный отрезок 8. Планиметрия - плоскость, стереометрия - … 9. Женская одежда в форме трапеции. 10. Одна точка, принадлежащая обеим прямым. 11. Какую форму имеют гробницы фараонов в Египте? 12. Какую форму имеет кирпич? 13. Одна из основных фигур в стереометрии. 14. Она может быть прямой, кривой, ломаной.