Сегодня мы рассмотрим, какие величины называются обратно пропорциональными, как выглядит график обратной пропорциональности и как все это может вам пригодится не только на уроках математики, но и вне школьных стен.

Такие разные пропорциональности

Пропорциональностью называют две величины, которые взаимно зависимы друг от друга.

Зависимость может быть прямой и обратной. Следовательно, отношения между величинами описывают прямая и обратная пропорциональность.

Прямая пропорциональность – это такая зависимость двух величин, при которой увеличение либо уменьшение одной из них ведет к увеличению либо уменьшению другой. Т.е. их отношение не изменяется.

Например, чем больше усилий вы прилагаете для подготовки к экзаменам, тем выше ваши оценки. Или чем больше вещей вы берете с собой в поход, тем тяжелее нести ваш рюкзак. Т.е. количество затраченных на подготовку к экзаменам усилий прямо пропорционально полученным оценкам. И количество запакованных в рюкзак вещей прямо пропорционально его весу.

Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (ее называют аргументом) вызывает пропорциональное (т.е. во столько же раз) увеличение либо уменьшение зависимой величины (ее называют функцией).

Проиллюстрируем простым примером. Вы хотите купить на рынке яблок. Яблоки на прилавке и количество денег в вашем кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите яблок, тем меньше денег у вас останется.

Функция и ее график

Функцию обратной пропорциональности можно описать как y = k/x . В котором x ≠ 0 и k ≠ 0.

Эта функция обладает следующими свойствами:

  1. Областью ее определения является множество всех действительных чисел, кроме x = 0. D (y ): (-∞; 0) U (0; +∞) .
  2. Областью значений являются все действительные числа, кроме y = 0. Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞) .
  3. Не имеет наибольших и наименьших значений.
  4. Является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.
  5. Непериодическая.
  6. Ее график не пересекает оси координат.
  7. Не имеет нулей.
  8. Если k > 0 (т.е. аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
  9. При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные – (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

График функции обратной пропорциональности называется гиперболой. Изображается следующим образом:

Задачи на обратную пропорциональность

Чтобы стало понятнее, давайте разберем несколько задач. Они не слишком сложные, а их решение поможет вам наглядно представить, что такое обратная пропорциональность и как эти знания могут пригодиться в вашей обычной жизни.

Задача №1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Чтобы доехать до места назначения, ему потребовалось 6 часов. Сколько времени ему потребуется, чтобы преодолеть такое же расстояние, если он будет двигаться со скоростью в 2 раза выше?

Можем начать с того, что запишем формулу, которая описывает отношения времени, расстояния и скорости: t = S/V. Согласитесь, она очень напоминает нам функцию обратной пропорциональности. И свидетельствует о том, что время, которое автомобиль проводит в пути, и скорость, с которой он движется, находятся в обратной пропорциональности.

Чтобы убедиться в этом, давайте найдем V 2 , которая по условию выше в 2 раза: V 2 = 60 * 2 = 120 км/ч. Затем рассчитаем расстояние по формуле S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Теперь совсем несложно узнать время t 2 , которое требуется от нас по условию задачи: t 2 = 360/120 = 3 ч.

Как видите время в пути и скорость движения действительно обратно пропорциональны: со скоростью в 2 раза выше изначальной автомобиль потратит в 2 раза меньше времени на дорогу.

Решение этой задачи можно записать и в виде пропорции. Для чего сначала составим такую схему:

↓ 60 км/ч – 6 ч

↓120 км/ч – х ч

Стрелки обозначают обратно пропорциональную зависимость. А также подсказывают, что при составлении пропорции правую часть записи надо перевернуть: 60/120 = х/6. Откуда получаем х = 60 * 6/120 = 3 ч.

Задача №2. В мастерской трудятся 6 рабочих, которые с заданным объемом работы справляются за 4 часа. Если количество рабочих сократить в 2 раза, сколько времени потребуется оставшимся, чтобы выполнить тот же объем работы?

Запишем условия задачи в виде наглядной схемы:

↓ 6 рабочих – 4 ч

↓ 3 рабочих – х ч

Запишем это в виде пропорции: 6/3 = х/4. И получим х = 6 * 4/3 = 8 ч. Если рабочих станет в 2 раза меньше, оставшиеся затратят на выполнение всей работы в 2 раза больше времени.

Задача №3. В бассейн ведут две трубы. Через одну трубу вода поступает со скоростью 2 л/с и наполняет бассейн за 45 минут. Через другую трубу бассейн наполнится за 75 минут. С какой скоростью вода поступает в бассейн через эту трубу?

Для начала приведем все данные нам по условию задачи величины к одинаковым единицам измерения. Для этого выразим скорость наполнения бассейна в литрах в минуту: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/мин.

Поскольку из условия следует, что через вторую трубу бассейн заполняется медленнее, значит, и скорость поступления воды ниже. На лицо обратная пропорциональность. Неизвестную нам скорость выразим через х и составим такую схему:

↓ 120 л/мин – 45 мин

↓ х л/мин – 75 мин

А затем составим пропорцию: 120/х = 75/45, откуда х = 120 * 45/75 = 72 л/мин.

В задаче скорость наполнения бассейна выражена в литрах в секунду, приведем полученный нами ответ к такому же виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Задача №4. В небольшой частной типографии печатают визитки. Сотрудник типографии работает со скоростью 42 визитки в час и трудится полный рабочий день – 8 часов. Если бы он работал быстрее и печатал 48 визиток за час, насколько раньше он смог бы уйти домой?

Идем проверенным путем и составляем по условию задачи схему, обозначив искомую величину как х:

↓ 42 визитки/ч – 8 ч

↓ 48 визитки/ч – х ч

Перед нами обратно пропорциональная зависимость: во сколько раз больше визиток в час напечатает сотрудник типографии, во столько же раз меньше времени ему потребуется на выполнение одной и той же работы. Зная это, составим пропорцию:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким образом, справившись с работой за 7 часов, сотрудник типографии смогу бы уйти домой на час раньше.

Заключение

Нам кажется, что эти задачи на обратную пропорциональность действительно несложные. Надеемся, что теперь вы тоже считаете их такими. А главное, что знание об обратно пропорциональной зависимости величин действительно может оказаться для вас полезным еще не раз.

Не только на уроках математики и экзаменах. Но и тогда, когда вы соберетесь отправиться в путешествие, пойдете за покупками, решите немного подработать в каникулы и т.п.

Расскажите нам в комментариях, какие примеры обратной и прямой пропорциональной зависимости вы замечаете вокруг себя. Пускай это будет такая игра. Вот увидите, как это увлекательно. Не забудьте «расшарить» эту статью в социальных сетях, чтобы ваши друзья и одноклассники тоже смогли поиграть.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Повторим теорию о функциях. Функция - это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный! ) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если есть функция\(y = f(x)\) , это значит, что каждому допустимому значению переменной \(x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \(y\) (называемой «функцией»).

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида \(y = \frac{k}{x}\) ​​, где \(k \ne 0.\)

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
Определим область определения. Чему может быть равен \(x\) ? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить - это 0, поэтому \(x \ne 0.\) :

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

или, что то же самое:

\(D(y) = R\backslash \{ 0\} .\)

Такая запись означает, что \(x\) может быть любым числом, кроме 0: знак «R» обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком «\» обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число 0 в фигурных скобках означает просто число 0; получается, что из всех возможных чисел мы исключаем 0.

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если \(k \ne 0.\) , то на что бы мы его не делили, 0 не получится:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

или\(E(y) = R\backslash \{ 0\} .\)

Также возможны некоторые вариации формулы \(y = \frac{k}{x}\) ​​. Например, \(y = \frac{k}{{x + a}}\) ​​ - это тоже функция, описывающая обратную зависимость. Область определения и область значений этой функции следующие:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Рассмотрим пример , приведем выражение к виду обратной зависимости:

\(y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}.\)

\(y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{{x - 3 + 3 + 2}}{{x - 3}} = \frac{{(x - 3) + 5}}{{x - 3}}.\)

Искусственно ввели значение 3 в числитель, а теперь почленно разделим числитель на знаменатель, получим:

\(y = \frac{{(x - 3) + 5}}{{x - 3}} = \frac{{x - 3}}{{x - 3}} + \frac{5}{{x - 3}} = 1 + \frac{5}{{x - 3}}.\)

Получили обратную зависимость плюс число 1.

График обратной зависимости

Начнем с простого случая \(y = \frac{1}{x}.\)

Составим таблицу значений:

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Соединяем точки, график будет выглядеть так:

Этот график называется «гипербола» . Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом. Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям Ox и Oy , но никогда их не достигает.

Отметим некоторые особенности функции:

  1. Если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси Ox.
  2. Чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

Обратная зависимость в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный - это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. Вспомним формулу скорости:

\(v = \frac{S}{t},\)

где v - скорость, t - время в пути, S - расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время: \(t = \frac{S}{v}.\)

1 урок по теме

Выполнила:

Телегина Л.Б.

Цель урока:

  1. повторить весь изученный материал по функциям.
  2. ввести определение обратной пропорциональности и научить строить её график.
  3. развивать логическое мышление.
  4. воспитывать внимание, аккуратность, точность.

План урока:

  1. Повторение.
  2. Объяснение нового материала.
  3. Физкультминутка.
  4. Закрепление.

Оборудование: плакаты.

Ход урока:

  1. Урок начинается с повторения. Учащимся предлагается разгадать кроссворд (который заранее подготовлен на большом листе бумаги).

7 11

Вопросы кроссворда:

1. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. [Функция].

2. Независимая переменная. [Аргумент].

3. Множество точек координатной плоскости абсциссы, которых равны значениям аргумента, а ординаты – значениям функции. [График].

4. Функция, заданная формулой y=kx+b. [Линейная].

5. Каким коэффициентом называют число k в формуле y=kx+b? [Угловым].

6. Что служит графиком линейной функции? [Прямая].

7. Если k≠0, то график y=kx+b пересекает эту ось, а если k=0, то параллелен ей. Какой буквой эта ось обозначается? [Икс].

8. Слово в названии функции y=kx? [Пропорциональность].

9. Функция, заданная формулой y=x 2 . [Квадратичная].

10. Название графика квадратичной функции. [Парабола].

11. Буква латинского алфавита, которой часто обозначают функцию. [Игрек].

12. Один из способов задания функции. [Формула].

Учитель : Какие основные способы задания функции нам известны?

(Один учащийся получает задание у доски: заполнить таблицу значений функции 12/x по данным значениям её аргумента, а затем построить на координатной плоскости соответствующие точки).

Остальные отвечают на вопросы учителя: (которые заранее записаны на доске)

1. Как называются следующие функции, заданные формулами: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Укажите область определения следующих функций: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

Затем учащиеся работают по таблице, отвечая на поставленные учителем вопросы:

1. На каком рисунке из таблицы изображены графики:

а) линейной функции;

б) прямой пропорциональности;

в) квадратичной функции;

г) функции вида y=kx 3 ?

2. Какой знак имеет коэффициент k в формулах вида y=kx+b, которым соответствуют графики на рисунках 1, 2, 4, 5 таблицы?

3. Найти в таблице графики линейных функций, у которых угловые коэффициенты:

а) равны;

б) равны по модулю и противоположны по знаку.

(Затем весь класс проверяет, верно ли ученик, вызванный к доске заполнил таблицу и расставил точки на координатной плоскости).

2. Объяснение начинается с мотивации.

Учитель: Как известно, всякая функция описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире.

Рассмотрим, например, прямоугольник со сторонами x и y и площадью 12см 2 . Известно, что x*y=12, но что будет, если начать изменять одну из сторон прямоугольника, допустим сторону длиной x ?

Длину стороны y можно узнать из формулы y=12/x. Если x увеличить в 2 раза, то будет иметь y=12/2x, т.е. сторона y уменьшится в 2 раза. Если значение x увеличить в 3, 4, 5… раз, то значение y во столько же раз уменьшится. Наоборот, если x уменьшать в несколько раз, то y будет увеличиваться во столько же раз. (Работа по таблице).

Поэтому функцию вида y=12/x называют обратной пропорциональностью. В общем виде она записывается так y=k/x, где k-константа, причём k≠0.

Это тема сегодняшнего урока, записали в тетрадях. Даю строгое определение. Для функции y=12/x, являющейся частным видом обратной пропорциональности, мы уже записали в таблице ряд значений аргумента и функции и изобразим соответствующие точки на координатной плоскости. Как же выглядит график данной функции? По построенным точкам трудно судить обо всём графике, ведь точки можно соединить как угодно. Давайте попробуем вместе сделать выводы о графике функции, вытекающие из рассмотрения таблицы и формулы.

Вопросы к классу:

  1. Какова область определения функции y=12/x?
  2. Положительны или отрицательны значения y, если

а) x

б) x>0?

3. Как изменяется значение переменной y с изменением значения x ?

Итак,

  1. точка (0,0) не принадлежит графику, т.е. он не пересекает ни оси OX, ни оси OY;
  2. график находится в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях;
  3. плавно приближается к координатным осям как в Ι координатной четверти, так и в ΙΙΙ, причём он подходит к осям как угодно близко.

Располагая этими сведениями, мы уже можем соединить точки на рисунке (учитель это делает сам на доске) и увидеть график функции y=12/x целиком. Полученная кривая называется гиперболой, что в переводе с греческого означает «прохожу через что-либо». Эта кривая была открыта математиками древнегреческой школы примерно в 4 веке до н.э. Термин, гипербола ввёл Аполлоний из города Пергам (Малая Азия), живший в ΙΙΙ- ΙΙ в. до н.э.

Теперь рядом с графиком функции y=12/x построим график функции y=-12/x. (Учащиеся выполняют это задание в тетрадях, а один ученик - у доски).

Сравнивая оба графика, учащиеся замечают, что второй занимает 2 и 4 координатные четверти. К тому же, если график функции y=12/x отобразить симметрично относительно оси ОУ, то получится график функции y=-12/x.

Вопрос: Как зависит расположение графика гиперболы y=k/x от знака и от значения коэффициента k?

Учащиеся убеждаются, что если k>0, то график расположен в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях, а если k

  1. Физкультминутку проводит учитель.
  1. Закрепление изучаемого проходит при выполнении №180, 185 из учебника.
  1. Подводится итог урока, оценки, задание на дом: п.8 № 179, 184.

2 урок по теме

«Функция обратной пропорциональности и её график».

Выполнила:

Телегина Л.Б.

Цель урока:

  1. закрепить навык построения графика функции обратной пропорциональности;
  2. развивать интерес к предмету, логическое мышление;
  3. воспитывать самостоятельность, внимание.

План урока:

  1. Проверка выполнения домашнего задания.
  2. Устная работа.
  3. Решение задач.
  4. Физкультминутка.
  5. Разноуровневая самостоятельная работа.
  6. Подведение итогов, оценки, задание на дом.

Оборудование: карточки.

Ход урока:

  1. Учитель объявляет тему урока, цели и план занятия.

Затем двое учащихся выполняют на доске заданные на дом номера 179, 184.

  1. Остальные учащиеся работают фронтально, отвечая на вопросы учителя.

Вопросы:

  • Дать определение функции обратной пропорциональности.
  • Что является графиком функции обратной пропорциональности.
  • Как зависит расположение графика гиперболы y=k/x от значения коэффициента k?

Задания:

  1. Среди функций, заданных формулами назвать функции обратной пропорциональности:

а) y=x 2 +5, б) y=1/х, в) y= 4x-1, г) y=2x, д) y=7-5x, е) y=-11/x, ж) y=x 3 , з) y=15/x-2.

2. Для функций обратной пропорциональности назвать коэффициент и указать в каких четвертях лежит график.

3. Найти область определения для функций обратной пропорциональности.

(Затем учащиеся карандашом проверяют друг у друга выполнение домашнего задания по проверенному учителем решениям номеров на доске и выставляют оценку).

Фронтальная работа по учебнику № 190, 191, 192, 193 (устно).

  1. Выполнение в тетрадях и на доске из учебника № 186(б), 187(б), 182.

4. Физкультминутку проводит учитель.

5. Самостоятельная работа даётся в трёх вариантах различной сложности (раздаётся на карточках).

Ι в. (облегчённый).

Постройте график функции обратной пропорциональности y=-6/x с помощью таблицы:

Используя график, найти:

а) значение у, если х = - 1,5; 2;

б) значение х, при котором у = - 1; 4.

ΙΙ в. (средней трудности)

Постройте график функции обратной пропорциональности y=16/x, предварительно заполнив таблицу.

Используя график, найти при каких значениях х у >0.

ΙΙΙ в. (повышенной трудности)

Постройте график функции обратной пропорциональности y=10/x-2, предварительно заполнив таблицу.

Найти область определения данной функции.

(Листы с построенными графиками учащиеся сдают на проверку).

6. Подводится итог урока, оценки, задание на дом: № 186 (а), 187 (а).


Знание языка – это не только необходимость для поступления. Сегодня без английского очень сложно продвинуться по карьерной лестнице, поскольку практически все престижные профессии подразумевают хотя бы средний уровень владения иностранным. Поэтому если в школе был недостаточно хороший уровень преподавания, то выпускнику необходимо записаться на курсы английского ГИА, чтобы не только подтянуть говорение и перевод, но и обеспечить себе перспективную карьеру.

Подготовка к выпускному тестированию

Несмотря на то, что экзамен проводится в письменной форме, школьник должен уметь следующее:

  • грамотно писать;
  • делать переводы, понимая не только основную мысль, но и тонкости, игру слов, фразеологизмы;
  • иметь чистую устную речь;
  • обладать большим запасом лексики;
  • легко проходить аудирование.

Благодаря таким знаниям выпускник сможет правильно ответить на все вопросы, так как большинство из них базируется не только на правилах грамматики и орфографии, но и на устном общении, хорошем понимании языка. Поэтому если выбрана самостоятельная подготовка к тесту ГИА по английскому языку, то на нее стоит выделять хотя бы один, а лучше два часа в день. Во время работы нужно постоянно увеличивать свой запас лексики, запоминая и записывая новые слова, которые встречаются в фильмах и книгах. Также очень важно смотреть больше видео, поскольку устная речь носителей улучшает говорение.

Не стоит забывать и об аудировании, так как во всех тестах есть задания, в которых необходимо выбрать правильный вариант написания сложного слова. Не меньше внимания нужно уделять и переводу оригинальных текстов, начиная от классической литературы и заканчивая современными газетными статьями, смешными историями. Все это предполагает очень объемную работу, поэтому подготовка к выпускному ГИА по английскому языку будет более успешной, если записаться на курсы.

Учебный центр «Годограф»

Особенность нашего заведения состоит в том, что с детьми занимаются не только преподаватели, но и репетиторы, которые стажировались и преподавали в вузах англоязычных стран. Поэтому они могут обеспечить ребятам общение на уровне носителей. Также преподаватели используют индивидуальные методики и подходы, позволяющие не просто заучить слова, а понять их, провести ассоциации и запомнить навсегда. В учебном центре работают репетиторы, которые прошли множество собеседований и были признанными лучшими в своем деле. Поэтому курсы английского языка к ГИА/ОГЭ в

ГИА - первое серьезное испытание в жизни российского школьника. На экзамене проверяют, позволяют ли текущие знания ученика продолжать учиться в старшей школе или в средне-специальном учебном заведении. ГИА по английскому языку пользуется особой популярностью. Помимо того, что ГИА - хороший способ подтянуть общие знания английского языка, это еще становится началом серьезной подготовки к ЕГЭ. Поэтому подготовка к ГИА по английскому языку поможет не только уверенно сдать экзамен, но и получить важные навыки, которые пригодятся в будущем.

Подготовка ОГЭ по английскому языку

ОГЭ - еще одно распространенное название ГИА. Подготовка ОГЭ по английскому включает в себя:

Повышение уровня знаний английского языка помогают ученику более уверенно чувствовать себя на экзамене. Крепкие знания - главный фактор успеха на любом экзамене. Знание регламента экзамена и умение правильно распределить время позволяют школьнику избавиться от лишнего стресса на самом экзамене. Изучение вопросов и заданий нужно, чтобы ученик знал, что его ждет на экзамене и как с этим работать. Работа с вариантами экзамена также помогают девятикласснику почувствовать уверенность в своих силах.

Курсы подготовки к ГИА

Многие школы Москвы предлагают девятиклассникам курсы подготовки к ГИА по английскому языку. Обычно курсы проходят:

  • в группе;
  • очно с личным репетитором;
  • индивидуально онлайн.

    • Занятия в группе более привычны для подростка - они похожи на то, с чем он ежедневно сталкивается в школе. Групповые занятия - хороший выбор, если вы начинаете подготовку минимум за полгода до самого экзамена. Индивидуальные занятия обычно оказываются более эффективными, так как все внимание преподавателя сосредоточено только на одном ученике. Это позволяет лучше проработать каждый аспект экзамена, выявить и устранить пробелы в знаниях и найти ответы на все возникшие вопросы и сомнения.