Переход к новому базису.

Пусть (1) и (2) – два базиса одного и того же m-мерного линейного пространства X.

Так как (1) – базис, то по нему можно разложить векторы второго базиса:

Из коэффициентов при составим матрицу:

(4) – матрица преобразования координат при переходе от базиса (1) к базису (2).

Пусть вектор, тогда (5) и (6).

Соотношение (7) означает, что

Матрица Р – невырожденная, так как в противном случае имело бы место линейная зависимость между ее столбцами, а тогда и между векторами.

Верно и обратное: любая невырожденная матрица является матрицей преобразования координат, определяемого формулами (8). Т.к. Р – невырожденная матрица, то для нее существует обратная. Умножая обе части (8) на, получим: (9).

Пусть в линейном пространстве X выбрано 3 базиса: (10), (11), (12).

Откуда, т.е. (13).

Т.о. при последовательном преобразовании координат матрица результирующего преобразования равна произведению матриц составляющих преобразований.

Пусть линейный оператор и пусть в X выбрана пара базисов: (I) и (II), и в Y – (III) и (IV).

Оператору А в паре базисов I – III соответствует равенство: (14). Этому же оператору в паре базисов II – IV соответствует равенство: (15). Т.о. для данного оператора А имеем две матрицы и. Мы хотим установить зависимость между ними.

Пусть Р – матрица преобразования координат при переходе от I к III.

Пусть Q – матрица преобразования координат при переходе от II к IV.

Тогда (16), (17). Подставим выражения для и из (16) и (17) в (14), получим:

Сравнивая данное равенство с (15), получим:

Соотношение (19) связывает матрицу одного и того же оператора в разных базисах. В случае, когда пространства X и Y совпадают, роль III базиса играет I, а IV – II-ой, тогда соотношение (19) принимает вид: .

Библиография:

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с

Лекция №16 (II семестр)

Тема: Необходимое и достаточное условие эквивалентности матриц.

Две матрицы, А и В, одинаковых размеров, называются эквивалентными , если существуют две невырожденные матрицы R и S, такие, что (1).

Пример: Две матрицы, соответствующие одному и тому же оператору при различных выборах базисов в линейных пространствах X и Y эквивалентны.

Ясно, что отношение, определенное на множестве всех матриц одного размера с помощью вышеприведенного определения является отношением эквивалентности.



Теорема 8: Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они были одного ранга.

Доказательство:

1. Пусть А и В – две матрицы, для которых имеет смысл. Ранг произведения (матрицы С) не выше ранга каждого из сомножителей.

Мы видим, что k-ый столбец матрицы С является линейной комбинацией векторов столбцов матрицы А и это выполняется для всех столбцов матрицы С, т.е. для всех. Т.о. , т.е. – подпространство линейного пространства.

Так как и так как размерность подпространства меньше или равна размерности пространства, то ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы А.

В равенствах (2) зафиксируем индекс i и будем придавать k всевозможные значения от 1 до s. Тогда получим систему равенств, аналогичную системе (3):

Из равенств (4) видно, что i-я строка матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В для всех i, а тогда линейная оболочка, натянутая на строки матрицы С, содержится в линейной оболочке, натянутой на строки матрицы В, а тогда размерность этой линейной оболочки меньше или равна размерности линейной оболочки векторов строк матрицы В, значит, ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы В.

2. Ранг произведения матрицы А слева и справа на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.(). Т.е. ранг матрицы С равен рангу матрицы А.

Доказательство: Согласно доказанному в случае (1) . Так как матрица Q – невырожденная, то для нее существует: и в соответствии с доказанным в предыдущем утверждении.

3. Докажем, что если матрицы эквивалентны, то они имеют одинаковые ранги. По определению, А и В эквивалентны, если существуют такие R и S, что. Так как при умножении А слева на R и справа на S получаются матрицы того же ранга, как доказано в пункте (2), ранг А равен рангу В.

4. Пусть матрицы А и В одинакового ранга. Докажем, что они эквивалентны. Рассмотрим, .

Пусть X и Y – два линейных пространства, в которых выбраны базисы (базис X) и (базис Y). Как известно, любая матрица вида определяет некоторый линейный оператор, действующий из X в Y.

Так как r – ранг матрицы А, то среди векторов в точности r линейно независимых. Не ограничивая общности, можно считать, что – первые r векторов – линейно независимы. Тогда все остальные через них линейно выражаются, и можно записать:

Определим в пространстве X новый базис, следующим образом: . (7)

Новый базис в пространстве Y следующим образом:

Векторы, по условию, линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами до базиса Y: (8). Итак (7) и (8) – два новых базиса X и Y. Найдем матрицу оператора А в этих базисах:

Итак, в новой паре базисов матрицей оператора А является матрица J. Матрица А изначально была произвольной прямоугольной матрицей вида, ранга r. Так как матрицы одного и того же оператора в разных базисах эквивалентны, то этим показано, что любая прямоугольная матрица вида ранга r эквивалентна J. Так как мы имеем дело с отношением эквивалентности, этим показано, что любые две матрицы А и В вида и ранга r, будучи эквивалентны матрице J эквивалентны между собой.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №17 (II семестр)

Тема: Собственные значения и собственные векторы. Собственные подпространства. Примеры.

Эквивалентные матрицы

Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

2. Пример: Определить ранг матрицы.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере - это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре.

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и det A = 0, то по крайней мере один из столбцов - линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где aij - коэффициенты, а bi - постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А*= называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера - Капели (условие совместности системы).

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде.

Пусть R и S два векторных пространства размерности n и m соответственно над числовым полем K , и пусть A линейный оператор отображающий R в S . Выясним, как меняется матрица оператора A при изменении базисов в пространствах R в S .

Выберем произвольные базисы в пространствах R в S и обозначим через и соответственно. Тогда (см. в линейные операторы) векторному равенству

y=Ax.
(1)

соответствует матричное равенство

y=Ax.
(2)

где х и у векторы x и y , представленные в виде координатных столбцов в базисах и соответственно.

Выберем теперь в пространствах R и S другие базисы и. В новых базисах векторному равенству (1) будет соответствовать матричное равенство

Тогда, учитывая (3) и (4), имеем

Определение 1. Две прямоугольные матрицы A и B одинаковых размеров называются эквивалентными, если существуют две квадратные невырожденные матрицы P и T такие, что выполнено равенство

B=PAT.
(7)

Отметим, что если A -матрица порядка m×n , то P и T квадратные матрицы порядков m и n , соответственно.

Из (6) следует, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору A при различном выборе базисов в пространствах R и S эквивалентны между собой. Верно и обратное утверждение. Если матрица A соответствует оператору A , а матрица B эквивалентна матрице A , то она соответствует этому же линейному оператору A при других базисах в R и S .

Выясним, при каких условиях две матрицы эквивалентны.

Теорема. Для того, чтобы две матрицы одинаковых размеров были эквивалентны между собой, необходимо и достаточно, чтобы они имели один и тот же ранг .

Доказательство. Необходимость. Так как умножение матрицы на квадратную невырожденную матрицу не может изменить ранг матрицы, то из (7) имеем:

rang B=rang A.

Достаточность. Пусть задан линейный оператор A , отображающий пространство R в S и пусть этому оператору отвечает матрица A размера m×n в базисах в R и в S , соответственно. Обозначим через r число линейно независимых векторов из числа Ae 1 , Ae 2 ,..., Ae n . Пусть линейно независимы первые r векторы Ae 1 , Ae 2 ,..., Ae r . Тогда остальные n-r векторы выражаются линейно через эти векторы:

Ae k = n c ij Ae j , (k=r +1,...n )
∑
j=1
(8)

Зададим новый базис в пространстве R :

Дополним эти векторы некоторыми векторами до базиса в S .

Тогда матрица оператора A в новых базисах , согласно (9) и (10) будет иметь следующий вид:

(11)

где в матрице E " -на главной диагонали стоят r единиц, а остальные элементы равны нулю.

Так как матрицы A и E " соответствуют одному и тому же оператору A , то они эквивалентны между собой. Выше мы показали, что эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг, следовательно ранг исходной матрицы A равен r .

Из вышеуказанного следует, что произвольная m×n матрица ранга r эквивалентна матрице E " - порядка m×n . Но E " - однозначно определяется заданием размерности m×n матрицы и его ранга r . Следовательно все прямоугольные матрицы порядка m×n и ранга r эквивалентны одной и той же матрице E " и, следовательно, эквивалентны между собой.■

Простейший вид матрицы линейного оператора.

Матрицы A и B называются эквивалентными, если найдутся невырожденные матрицы Q и T , что A =QBT .

Теорема 6.1. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны.

Доказательство . Поскольку ранг произведения не превосходит ранги сомножителей, то . Так как , то . Объединяя два неравенства, получаем требуемое утверждение.

Теорема 6.2. Элементарными преобразованиями со строками и столбцами матрицу A можно привести к блочному виду , где - единичная матрица порядка k , а 0 – нулевая матрица соответствующих размеров.

Доказательство. Приведем алгоритм приведения матрицы A к указанному виду. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.

1. Положим r =1.

2. Если то перейдем на шаг 4, иначе перейдем на шаг 3.

3. Сделаем преобразования со строками , где i =r +1,…,m , и со столбцами , где j =r +1,…,n , и . Увеличим r на 1 и вернемся на шаг 2.

4. Если , при i =r +1,…,m , j =r +1,…,n , то конец. В противном случае найдем i ,j >r , что . Переставим строки и столбцы , вернемся на шаг 2.

Очевидно, что алгоритмом будет строиться последовательность эквивалентных матриц, последняя из которых имеет требуемый вид.

Теорема 6.3. Матрицы A и B одинаковых размеров эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны.

Доказательство. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны (Теорема 6.1). Пусть ранги матриц равны. Тогда найдутся невырожденные матрицы, что , где r =rgA =rgB (Теорема 6.2). Следовательно, , и матрицы A и B – эквивалентны.

Результаты данного пункта позволяют находить простейший вид матрицы линейного оператора и базисы пространств, в которых матрица линейного оператора имеет этот простейший вид.