После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость коэффициентов, т.е. всего уравнения в целом. Такой анализ осуществляется на основе проверки гипотезы об общей значимости гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:
H 0: b 1 = b 2 = ... = b m = 0.
Если данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние всех m объясняющих переменных Х 1 , Х 2 , ..., Х m модели на зависимую переменную Y можно считать статистически несущественным, а общее качество уравнения регрессии – невысоким.
Проверка данной гипотезы осуществляется на основе дисперсионного анализа сравнения объясненной и остаточной дисперсии.
Н 0: (объясненная дисперсия) = (остаточная дисперсия),
H 1: (объясненная дисперсия) > (остаточная дисперсия).
Строится F-статистика:
где 
– объясненная регрессией дисперсия;
– остаточная дисперсия (сумма квадратов отклонений, поделённая на число степеней свободы n-m-1). При выполнении предпосылок МНК построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы n1 = m, n2 = n–m–1. Поэтому, если при требуемом уровне значимости a F набл > F a ; m ; n - m -1 = F a (где F a ; m ; n - m -1 - критическая точка распределения Фишера), то Н 0 отклоняется в пользу Н 1 . Это означает, что объяснённая регрессией дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, а следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной Y. Если F набл < F a ; m ; n - m -1 = F кр. , то нет основания для отклонения Н 0 . Значит, объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, а следовательно, общее качество модели невысоко.
Однако на практике чаще вместо указанной гипотезы проверяют тесно связанную с ней гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации R 2:
Н 0: R 2 > 0.
Для проверки данной гипотезы используется следующая F-статистика:
. (8.20)
Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости H 0 имеет распределение Фишера, аналогичное распределению F-статистики (8.19). Действительно, разделив числитель и знаменатель дроби в (8.19) на общую сумму квадратов отклонений 
и зная, что она распадается на сумму квадратов отклонений, объяснённую регрессией, и остаточную сумму квадратов отклонений (это является следствием, как будет показано позже, системы нормальных уравнений)
,
мы получим формулу (8.20):
Из (8.20) очевидно, что показатели F и R 2 равны или не равны нулю одновременно. Если F = 0, то R 2 = 0, и линия регрессии Y = является наилучшей по МНК, и, следовательно, величина Y линейно не зависит от Х 1 , Х 2 , ..., Х m . Для проверки нулевой гипотезы Н 0: F = 0 при заданном уровне значимости a по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение F кр = F a ; m ; n - m -1 . Нулевая гипотеза отклоняется, если F > F кр. Это равносильно тому, что R 2 > 0, т.е. R 2 статистически значим.
Анализ статистики F позволяет сделать вывод о том, что для принятия гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии коэффициент детерминации R 2 не должен существенно отличаться от нуля. Его критическое значение уменьшается при росте числа наблюдений и может стать сколь угодно малым.
Пусть, например, при оценке регрессии с двумя объясняющими переменными X 1 i , X 2 i по 30 наблюдениям R 2 = 0,65. Тогда
F набл = =25,07.
По таблицам критических точек распределения Фишера найдем F 0,05; 2; 27 = 3,36; F 0,01; 2; 27 = 5,49. Поскольку F набл = 25,07 > F кр как при 5%–м, так и при 1%–м уровне значимости, то нулевая гипотеза в обоих случаях отклоняется.
Если в той же ситуации R 2 = 0,4, то
F набл = = 9.
Предположение о незначимости связи отвергается и здесь.
Отметим, что в случае парной регрессии проверка нулевой гипотезы для F-статистики равносильна проверке нулевой гипотезы для t-статистики
коэффициента корреляции. В этом случае F-статистика равна квадрату t-статистики. Самостоятельную значимость коэффициент R 2 приобретает в случае множественной линейной регрессии.
8.6. Дисперсионный анализ для разложения общей суммы квадратов отклонений. Степени свободы для соответствующих сумм квадратов отклонений
Применим изложенную выше теорию для парной линейной регрессии.
После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом даётся с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. b = 0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.
Непосредственному расчёту F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нём занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения на две части – “объяснённую” и “необъяснённую”:
Уравнение (8.21) является следствием системы нормальных уравнений, выведенных в одной предыдущих тем.
Доказательство выражения (8.21).
Осталось доказать, что последнее слагаемое равно нулю.
Если сложить от 1 до n все уравнения
y i = a+b×x i +e i , (8.22)
то получим åy i = a×å1+b×åx i +åe i . Так как åe i =0 и å1 =n, то получим
Тогда 
.
Если же вычесть из выражения (8.22) уравнение (8.23), то получим
В результате получим
Последние суммы равны нулю в силу системы двух нормальных уравнений.
Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения вызвана влиянием множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы. Если фактор на оказывает никакого влияния на результат, то линия регрессии параллельна оси OX и . Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связана с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объяснённая регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.
Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т.е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъяснённая вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объяснённую вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное влияние на признак у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации будет приближаться к единице.
Любая сумма квадратов связана с числом степеней свободы (df – degrees of freedom), с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов требуется (n-1) независимых отклонений, ибо по совокупности из n единиц после расчёта среднего свободно варьируют лишь (n-1) число отклонений. Например, мы имеем ряд значений у: 1,2,3,4,5. Среднее из них равно 3, и тогда n отклонений от среднего составят: -2, -1, 0, 1, 2. Так как , то свободно варьируют лишь четыре отклонения, а пятое отклонение может быть определено, если предыдущие четыре известны.
При расчёте объяснённой или факторной суммы квадратов 
используются теоретические (расчётные) значения результативного признака
Тогда сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессии, равна
Поскольку при заданном объёме наблюдений по x и y факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от константы регрессии b, то данная сумма квадратов имеет только одну степень свободы.
Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммой квадратов отклонений. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы общей суммы квадратов определяется числом единиц варьируемых признаков, и поскольку мы используем среднюю вычисленную по данным выборки, то теряем одну степень свободы, т.е. df общ. = n–1.
Итак, имеем два равенства:
Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы D.
;
;
.
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчёте на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера
где F-критерий для проверки нулевой гипотезы H 0: D факт = D ост.
Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для H 0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при различных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признаётся достоверным, если оно больше табличного. Если F факт > F табл, то нулевая гипотеза H 0: D факт = D ост об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.
Если F факт < F табл, то вероятность нулевой гипотезы H 0: D факт = D ост выше заданного уровня (например, 0,05) и она не может быть отклонена без серьёзного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. Гипотеза H 0 не отклоняется.
В рассматриваемом примере из главы 3:
= 131200 -7*144002 = 30400 – общая сумма квадратов;
1057,878*(135,43-7*(3,92571) 2) = 28979,8 – факторная сумма квадратов;
=30400-28979,8 = 1420,197 – остаточная сумма квадратов;
D факт = 28979,8;
D ост = 1420,197/(n-2) = 284,0394;
F факт =28979,8/284,0394 = 102,0274;
F a =0,05; 2; 5 =6,61; F a =0,01; 2; 5 = 16,26.
Поскольку F факт > F табл как при 1%-ном, так и при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).
Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации . Факторную сумму квадратов отклонений можно представить как
,
а остаточную сумму квадратов – как
.
Тогда значение F-критерия можно выразить как
.
Оценка значимости регрессии обычно даётся в виде таблицы дисперсионного анализа
| Источники вариации | Число степеней свободы | Сумма квадратов отклонений | Дисперсия на одну степень свободы | F-отношение | |
| фактическое | Табличное при a=0,05 | ||||
| Общая | |||||
| Объяснённая | 28979,8 | 28979,8 | 102,0274 | 6,61 | |
| Остаточная | 1420,197 | 284,0394 | , его величина сравнивается с табличным значением при определённом уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2).
Оценка статистической значимости параметров и уравнения в целом – это обязательная процедура, которая позволяет сделать ввод о возможности использования построенного уравнения связи для принятия управленческих решений и прогнозирования.
Оценка статистической значимости уравнения регрессии осуществляется с использованием F-критерия Фишера, который представляет собой отношение факторной и остаточных дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.
Факторная дисперсия – объясненная часть вариации признака-результата, то есть обусловленная вариацией тех факторов, которые включены в анализ (в уравнение):
где k – число факторов в уравнении регрессии (число степеней свободы факторной дисперсии); - среднее значение зависимой переменной; - теоретическое (рассчитанное по уравнению регрессии) значение зависимой переменной у i – й единицы совокупности.
Остаточная дисперсия – необъясненная часть вариации признака-результата, то есть обусловленная вариацией прочих факторов, не включенных в анализ.
= 
, (71)
где - фактическое значение зависимой переменной у i – й единицы совокупности; n-k-1 – число степеней свободы остаточной дисперсии; n – объем совокупности.
Сумма факторной и остаточной дисперсий, как отмечалось выше, есть общая дисперсия признака-результата.
F-критерия Фишера рассчитывается по следующей формуле:
F-критерий Фишера – величина, отражающая соотношение объясненной и необъясненной дисперсий, позволяет ответить на вопрос: объясняют ли включенные в анализ факторы статистическую значимую часть вариации признака-результата. F-критерий Фишера табулирован (входом в таблицу является число степеней свободы факторной и остаточной дисперсий). Если 
, то уравнение регрессии признается статистически значимым и, соответственно, статистически значим коэффициент детерминации. В противном случае, уравнение – статистически не значимо, т.е. не объясняет существенной части вариации признака-результата.
Оценка статистической значимости параметров уравнения осуществляется на основе t-статистики, которая рассчитывается как отношение модуля параметров уравнения регрессии к их стандартным ошибкам (
):
, где 
; (73)
, где 
. (74)
В любой статистической программе расчет параметров всегда сопровождается расчетом значений их стандартных (среднеквадратических) ошибок и t-статистики. Параметр признаются статистически значимым, если фактическое значение t-статистики больше табличного.
Оценка параметров на основе t-статистики, по существу, является проверкой нулевой гипотезы о равенстве генеральных параметров нулю (H 0: =0; H 0: =0;), то есть о не значимости параметров уравнения регрессии. Уровень значимости принятия нулевых гипотез = 1-0,95=0,05 (0,95 – уровень вероятности, как правило, устанавливаемый в экономических расчетах). Если расчетный уровень значимости меньше 0,05 , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная - о статистической значимости параметра.
Проводя оценку статистической значимости уравнения регрессии и его параметров, мы можем получить различное сочетание результатов.
· Уравнение по F-критерию статистически значимо и все параметры уравнения по t-статистике тоже статистически значимы. Данное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений (на какие факторы следует воздействовать, чтобы получить желаемый результат), так и для прогнозирования поведения признака-результата при тех или иных значениях факторов.
· По F-критерию уравнение статистически значимо, но незначимы отдельные параметры уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений (касающихся тех факторов, по которым получено подтверждение статистической значимости их влияния), но уравнение не может быть использовано для прогнозирования.
· Уравнение по F-критерию статистически незначимо. Уравнение не может быть использовано. Следует продолжить поиск значимых признаков-факторов или аналитической формы связи аргументов и отклика.
Если подтверждена статистическая значимость уравнения и его параметров, то может быть реализован, так называемый, точечный прогноз, т.е. рассчитывается вероятное значение признака-результата (y) при тех или иных значениях факторов (x). Совершенно очевидно, что прогнозное значение зависимой переменной не будет совпадать с фактическим ее значением. Это связано, прежде всего, с самой сутью корреляционной зависимости. Одновременно на результат воздействует множество факторов, из которых только часть может быть учтена в уравнении связи. Кроме того, может быть неверно выбрана форма связи результата и факторов (тип уравнения регрессии). Между фактическими значениями признака-результата и его теоретическими (прогнозными) значениями всегда существует различие (
). Графически эта ситуация выражается в том, что не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии. Лишь при функциональной связи линия регрессии пройдет через все точки поля корреляции. Разность между фактическими и теоретическими значениями результативного признака называют отклонениями или ошибками, или остатками. На основе этих величин и рассчитывается остаточная дисперсия, являющаяся оценкой среднеквадратической ошибки уравнения регрессии. Величина стандартной ошибки используется для расчета доверительных интервалов прогнозного значения признака-результата (Y).
После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включённых в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.
Проверка значимости производится на основе дисперсионного анализа.
Согласно идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений (СКО) y от среднего значения раскладывается на две части - объясненную и необъясненную:
или, соответственно:
Здесь возможны два крайних случая: когда общая СКО в точности равна остаточной и когда общая СКО равна факторной.
В первом случае фактор х не оказывает влияния на результат, вся дисперсия y обусловлена воздействием прочих факторов, линия регрессии параллельна оси Ох и уравнение должно иметь вид.
Во втором случае прочие факторы не влияют на результат, y связан с x функционально, и остаточная СКО равна нулю.
Однако на практике в правой части присутствуют оба слагаемых. Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации y приходится на объясненную вариацию. Если объясненная СКО будет больше остаточной СКО, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат y. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации будет приближаться к единице.
Число степеней свободы (df-degrees of freedom) - это число независимо варьируемых значений признака.
Для общей СКО требуется (n-1) независимых отклонений,
Факторная СКО имеет одну степень свободы, и
Таким образом, можем записать:
Из этого баланса определяем, что = n-2.
Разделив каждую СКО на свое число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или дисперсию на одну степень свободы: - общая дисперсия, - факторная, - остаточная.
Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии
Хотя теоретические значения коэффициентов уравнения линейной зависимости предполагаются постоянными величинами, оценки а и b этих коэффициентов, получаемые в ходе построения уравнения по данным случайной выборки, являются случайными величинами. Если ошибки регрессии имеют нормальное распределение, то оценки коэффициентов также распределены нормально и могут характеризоваться своими средними значениями и дисперсией. Поэтому анализ коэффициентов начинается с расчёта этих характеристик.
Дисперсии коэффициентов рассчитываются по формулам:
Дисперсия коэффициента регрессии:
где - остаточная дисперсия на одну степень свободы.
Дисперсия параметра:
Отсюда стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:
Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:
Они служат для проверки нулевых гипотез о том, что истинное значение коэффициента регрессии b или свободного члена a равно нулю: .
Альтернативная гипотеза имеет вид: .
t - статистики имеют t - распределение Стьюдента с степенями свободы. По таблицам распределения Стьюдента при определённом уровне значимости б и степенях свободы находят критическое значение.
Если, то нулевая гипотеза должна быть отклонена, коэффициенты считаются статистически значимыми.
Если, то нулевая гипотеза не может быть отклонена. (В случае, если коэффициент b статистически незначим, уравнение должно иметь вид, и это означает, что связь между признаками отсутствует. В случае, если коэффициент а статистически незначим, рекомендуется оценить новое уравнение в виде).
Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии:
Доверительный интервал для а: .
Доверительный интервал для b:
Это означает, что с заданной надёжностью (где - уровень значимости) истинные значения а, b находятся в указанных интервалах.
Коэффициент регрессии имеет четкую экономическую интерпретацию, поэтому доверительные границы интервала не должны содержать противоречивых результатов, например, Они не должны включать нуль.
Анализ статистической значимости уравнения в целом.
Распределение Фишера в регрессионном анализе
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F- критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза о том, что все коэффициенты регрессии, за исключением свободного члена а, равны нулю и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат y (или).
Величина F - критерия связана с коэффициентом детерминации. В случае множественной регрессии:
где m - число независимых переменных.
В случае парной регрессии формула F - статистики принимает вид:
При нахождении табличного значения F- критерия задается уровень значимости (обычно 0,05 или 0,01) и две степени свободы: - в случае множественной регрессии, - для парной регрессии.
Если, то отклоняется и делается вывод о существенности статистической связи между y и x.
Если, то вероятность уравнение регрессии считается статистически незначимым, не отклоняется.
Замечание. В парной линейной регрессии. Кроме того, поэтому. Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.
Распределение Фишера может быть использовано не только для проверки гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии, но и гипотезы о равенстве нулю части этих коэффициентов. Это важно при развитии линейной регрессионной модели, так как позволяет оценить обоснованность исключения отдельных переменных или их групп из числа объясняющих переменных, или же, наоборот, включения их в это число.
Пусть, например, вначале была оценена множественная линейная регрессия по п наблюдениям с т объясняющими переменными, и коэффициент детерминации равен, затем последние k переменных исключены из числа объясняющих, и по тем же данным оценено уравнение, для которого коэффициент детерминации равен (, т.к. каждая дополнительная переменная объясняет часть, пусть небольшую, вариации зависимой переменной).
Для того, чтобы проверить гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при исключённых переменных, рассчитывается величина
имеющая распределение Фишера с степенями свободы.
По таблицам распределения Фишера, при заданном уровне значимости, находят. И если, то нулевая гипотеза отвергается. В таком случае исключать все k переменных из уравнения некорректно.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены и по поводу обоснованности включения в уравнение регрессии одной или нескольких k новых объясняющих переменных.
В этом случае рассчитывается F - статистика
имеющая распределение. И если она превышает критический уровень, то включение новых переменных объясняет существенную часть необъяснённой ранее дисперсии зависимой переменной (т.е. включение новых объясняющих переменных оправдано).
Замечания. 1. Включать новые переменные целесообразно по одной.
2. Для расчёта F - статистики при рассмотрении вопроса о включении объясняющих переменных в уравнение желательно рассматривать коэффициент детерминации с поправкой на число степеней свободы.
F - статистика Фишера используется также для проверки гипотезы о совпадении уравнений регрессии для отдельных групп наблюдений.
Пусть имеются 2 выборки, содержащие, соответственно, наблюдений. Для каждой из этих выборок оценено уравнение регрессии вида. Пусть СКО от линии регрессии (т.е.) равны для них, соответственно, .
Проверяется нулевая гипотеза: о том, что все соответствующие коэффициенты этих уравнений равны друг другу, т.е. уравнение регрессии для этих выборок одно и то же.
Пусть оценено уравнение регрессии того же вида сразу для всех наблюдений, и СКО.
Тогда рассчитывается F - статистика по формуле:
Она имеет распределение Фишера с степенями свободы. F - статистика будет близкой к нулю, если уравнение для обеих выборок одинаково, т.к. в этом случае. Т.е. если, то нулевая гипотеза принимается.
Если же, то нулевая гипотеза отвергается, и единое уравнение регрессии построить нельзя.
Итоговые тесты по эконометрике
1. Оценка значимости параметров уравнения регрессии осуществляется на основе:
А) t - критерия Стьюдента;
б) F -критерия Фишера – Снедекора;
в) средней квадратической ошибки;
г) средней ошибки аппроксимации.
2. Коэффициент регрессии в уравнении , характеризующем связь между объемом реализованной продукции (млн. руб.) и прибылью предприятий автомобильной промышленности за год (млн. руб.) означает, что при увеличении объема реализованной продукции на 1 млн. руб. прибыль увеличивается на:
г) 0,5млн. руб.;
в) 500тыс. руб.;
Г) 1,5 млн. руб.
3. Корреляционное отношение (индекс корреляции) измеряет степень тесноты связи между Х и Y :
а) только при нелинейной форме зависимости;
Б) при любой форме зависимости;
в) только при линейной зависимости.
4. По направлению связи бывают:
а) умеренные;
Б) прямые;
в) прямолинейные.
5. По
17 наблюдениям построено уравнение
регрессии:
.
Для проверки значимости уравнения
вычислено
наблюдаемое
значение
t
- статистики: 3.9. Вывод:
А) Уравнение значимо при a= 0,05;
б) Уравнение незначимо при a = 0,01;
в) Уравнение незначимо при a = 0,05.
6. Каковы последствия нарушения допущения МНК «математическое ожидание регрессионных остатков равно нулю»?
А) Смещенные оценки коэффициентов регрессии;
б) Эффективные, но несостоятельные оценки коэффициентов регрессии;
в) Неэффективные оценки коэффициентов регрессии;
г) Несостоятельные оценки коэффициентов регрессии.
7. Какое из следующих утверждений верно в случае гетероскедастичности остатков?
А) Выводы по t и F- статистикам являются ненадежными;
г) Оценки параметров уравнения регрессии являются смещенными.
8. На чем основан тест ранговой корреляции Спирмена?
А) На использовании t – статистики;
в) На использовании
;
9. На чем основан тест Уайта?
б) На использовании F– статистики;
В) На
использовании
;
г) На графическом анализе остатков.
10. Каким методом можно воспользоваться для устранения автокорреляции?
11. Как называется нарушение допущения о постоянстве дисперсии остатков?
а) Мультиколлинеарность;
б) Автокорреляция;
В) Гетероскедастичность;
г) Гомоскедастичность.
12. Фиктивные переменные вводятся в:
а) только в линейные модели;
б) только во множественную нелинейную регрессию;
в) только в нелинейные модели;
Г) как в линейные, так и в нелинейные модели, приводимые к линейному виду.
13. Если в матрице
парных коэффициентов корреляции
встречаются
,
то это свидетельствует:
А) О наличии мультиколлинеарности;
б) Об отсутствии мультиколлинеарности;
в) О наличии автокорреляции;
г) Об отсутствии гетероскедастичности.
14. С помощью какой меры невозможно избавиться от мультиколлинеарности?
а) Увеличение объема выборки;
Г) Преобразование случайной составляющей.
15. Если
и ранг матрицы А меньше (К-1) то уравнение:
а) сверхиденцифицировано;
Б) неидентифицировано;
в) точно идентифицировано.
16.Уравнение регрессии имеет вид:
А)
;
б)
;
в)
.
17.В чем состоит проблема идентификации модели?
А) получение однозначно определенных параметров модели, заданной системой одновременных уравнений;
б) выбор и реализация методов статистического оценивания неизвестных параметров модели по исходным статистическим данным;
в) проверка адекватности модели.
18. Какой метод применяется для оценивания параметров сверхиденцифицированного уравнения?
В) ДМНК, КМНК;
19. Если качественная переменная имеет k альтернативных значений, то при моделировании используются:
А) (k-1) фиктивная переменная;
б) kфиктивных переменных;
в) (k+1) фиктивная переменная.
20. Анализ тесноты и направления связей двух признаков осуществляется на основе:
А) парного коэффициента корреляции;
б) коэффициента детерминации;
в) множественного коэффициента корреляции.
21. В линейном
уравнении
x
=
а
0
+a
1
х
коэффициент регрессии показывает:
а) тесноту связи;
б) долю дисперсии "Y", зависимую от "X";
В) на сколько в среднем изменится "Y" при изменении "X" на одну единицу;
г) ошибку коэффициента корреляции.
22. Какой показатель используется для определения части вариации, обусловленной изменением величины изучаемого фактора?
а) коэффициент вариации;
б) коэффициент корреляции;
В) коэффициент детерминации;
г) коэффициент эластичности.
23. Коэффициент эластичности показывает:
А) на сколько % изменится значение y при изменении x на 1 %;
б) на сколько единиц своего измерения изменится значение yпри измененииxна 1 %;
в) на сколько % изменится значение yпри измененииxна ед. своего измерения.
24. Какие методы можно применить для обнаружения гетероскедастичности ?
А) Тест Голфелда-Квандта;
Б) Тест ранговой корреляции Спирмена;
в) Тест Дарбина- Уотсона.
25. На чем основан тест Голфельда -Квандта
а) На использовании t– статистики;
Б) На использовании F – статистики;
в) На использовании
;
г) На графическом анализе остатков.
26. С помощью каких методов нельзя устранить автокорреляцию остатков?
а) Обобщенным методом наименьших квадратов;
Б) Взвешенным методом наименьших квадратов;
В) Методом максимального правдоподобия;
Г) Двухшаговым методом наименьших квадратов.
27. Как называется нарушение допущения о независимости остатков?
а) Мультиколлинеарность;
Б) Автокорреляция;
в) Гетероскедастичность;
г) Гомоскедастичность.
28. Каким методом можно воспользоваться для устранения гетероскедастичности?
А) Обобщенным методом наименьших квадратов;
б) Взвешенным методом наименьших квадратов;
в) Методом максимального правдоподобия;
г) Двухшаговым методом наименьших квадратов.
30. Если по t -критерию большинство коэффициентов регрессии статистически значимы, а модель в целом по F - критерию незначима то это может свидетельствовать о:
а) Мультиколлинеарности;
Б) Об автокорреляции остатков;
в) О гетероскедастичности остатков;
г) Такой вариант невозможен.
31. Возможно ли с помощью преобразования переменных избавиться от мультиколлинеарности?
а) Эта мера эффективна только при увеличении объема выборки;
32. С помощью какого метода можно найти оценки параметра уравнения линейной регрессии:
А) методом наименьшего квадрата;
б) корреляционно-регрессионного анализа;
в) дисперсионного анализа.
33. Построено множественное линейное уравнение регрессии с фиктивными переменными. Для проверки значимости отдельных коэффициентов используется распределение:
а) Нормальное;
б) Стьюдента;
в) Пирсона;
г) Фишера-Снедекора.
34. Если
и ранг матрицы А больше (К-1) то уравнение:
А) сверхиденцифицировано;
б) неидентифицировано;
в) точно идентифицировано.
35. Для оценивания параметров точно идентифицируемой системы уравнений применяется:
а) ДМНК, КМНК;
б) ДМНК, МНК, КМНК;
36. Критерий Чоу основывается на применении:
А) F - статистики;
б) t - статистики;
в) критерии Дарбина –Уотсона.
37. Фиктивные переменные могут принимать значения:
г) любые значения.
39.
По 20 наблюдениям построено уравнение
регрессии:
.
Для
проверки значимости уравнения вычислено
значение статистики:
4.2.
Выводы:
а) Уравнение значимо при a=0.05;
б) Уравнение незначимо при a=0.05;
в) Уравнение незначимо при a=0.01.
40. Какое из следующих утверждений не верно в случае гетероскедастичности остатков?
а) Выводы по tиF- статистикам являются ненадежными;
б) Гетероскедастичность проявляется через низкое значение статистики Дарбина-Уотсона;
в) При гетероскедастичности оценки остаются эффективными;
г) Оценки являются смещенными.
41. Тест Чоу основан на сравнении:
А) дисперсий;
б) коэффициентов детерминации;
в) математических ожиданий;
г) средних.
42.
Если в тесте Чоу
то считается:
А) что разбиение на подынтервалы целесообразно с точки зрения улучшения качества модели;
б) модель является статистически незначимой;
в) модель является статистически значимой;
г) что нет смысла разбивать выборку на части.
43. Фиктивные переменные являются переменными:
а) качественными;
б) случайными;
В) количественными;
г) логическими.
44. Какой из перечисленных методов не может быть применен для обнаружения автокорреляции?
а) Метод рядов;
б) критерий Дарбина-Уотсона;
в) тест ранговой корреляции Спирмена;
Г) тест Уайта.
45. Простейшая структурная форма модели имеет вид:
А)
б)
в)
г)
.
46. С помощью каких мер возможно избавиться от мультиколлинеарности?
а) Увеличение объема выборки;
б) Исключения переменных высококоррелированных с остальными;
в) Изменение спецификации модели;
г) Преобразование случайной составляющей.
47. Если
и ранг матрицы А равен (К-1) то уравнение:
а) сверхиденцифицировано;
б) неидентифицировано;
В) точно идентифицировано;
48. Модель считается идентифицированной, если:
а) среди уравнений модели есть хотя бы одно нормальное;
Б) каждое уравнение системы идентифицируемо;
в) среди уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное;
г) среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное.
49. Какой метод применяется для оценивания параметров неиденцифицированного уравнения?
а) ДМНК, КМНК;
б) ДМНК, МНК;
В) параметры такого уравнения нельзя оценить.
50. На стыке каких областей знаний возникла эконометрика:
А) экономическая теория; экономическая и математическая статистика;
б) экономическая теория, математическая статистика и теория вероятности;
в) экономическая и математическая статистика, теория вероятности.
51. В множественном линейном уравнении регрессии строятся доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с помощью распределения:
а) Нормального;
Б) Стьюдента;
в) Пирсона;
г) Фишера-Снедекора.
52. По 16 наблюдениям построено парное линейное уравнение регрессии. Для проверки значимости коэффициента регрессии вычислено t на6л =2.5.
а) Коэффициент незначим при a=0.05;
б) Коэффициент значим при a=0.05;
в) Коэффициент значим при a=0.01.
53. Известно, что между величинами X и Y существует положительная связь. В каких пределах находится парный коэффициент корреляции?
а) от -1 до 0;
б) от 0 до 1;
В) от –1 до 1.
54. Множественный коэффициент корреляции равен 0.9. Какой процент дисперсии результативного признака объясняется влиянием всех факторных признаков?
55. Какой из перечисленных методов не может быть применен для обнаружения гетероскедастичности ?
А) Тест Голфелда-Квандта;
б) Тест ранговой корреляции Спирмена;
в) метод рядов.
56. Приведенная форма модели представляет собой:
а) систему нелинейных функций экзогенных переменных от эндогенных;
Б) систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных;
в) систему линейных функций экзогенных переменных от эндогенных;
г) систему нормальных уравнений.
57. В каких пределах меняется частный коэффициент корреляции вычисленный по рекуретным формулам?
а) от
-
до +
;
б) от 0 до 1;
в) от
0 до +
;
Г) от –1 до +1.
58. В каких пределах меняется частный коэффициент корреляции вычисленный через коэффициент детерминации?
а) от
-
до +
;
Б) от 0 до 1;
в) от
0 до +
;
г) от –1 до +1.
59. Экзогенные переменные:
а) зависимые переменные;
Б) независимые переменные;
61. При добавлении в уравнение регрессии еще одного объясняющего фактора множественный коэффициент корреляции:
а) уменьшится;
б) возрастет;
в) сохранит свое значение.
62. Построено гиперболическое уравнение регрессии: Y = a + b / X . Для проверки значимости уравнения используется распределение:
а) Нормальное;
Б) Стьюдента;
в) Пирсона;
г) Фишера-Снедекора.
63. Для каких видов систем параметры отдельных эконометрических уравнений могут быть найдены с помощью традиционного метода наименьших квадратов?
а) система нормальных уравнений;
Б) система независимых уравнений;
В) система рекурсивных уравнений;
Г) система взаимозависимых уравнений.
64. Эндогенные переменные:
А) зависимые переменные;
б) независимые переменные;
в) датированные предыдущими моментами времени.
65. В каких пределах меняется коэффициент детерминации?
а) от
0 до +
;
б) от
-
до +
;
В) от 0 до +1;
г) от -l до +1.
66. Построено множественное линейное уравнение регрессии. Для проверки значимости отдельных коэффициентов используется распределение:
а) Нормальное;
б) Стьюдента;
в) Пирсона;
Г) Фишера-Снедекора.
67. При добавлении в уравнение регрессии еще одного объясняющего фактора коэффициент детерминации:
а) уменьшится;
Б) возрастет;
в) сохранит свое значение;
г) не уменьшится.
68. Суть метода наименьших квадратов заключается в том, что:
А) оценка определяется из условия минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных от определяемой оценки;
б) оценка определяется из условия минимизации суммы отклонений выборочных данных от определяемой оценки;
в) оценка определяется из условия минимизации суммы квадратов отклонений выборочной средней от выборочной дисперсии.
69. К какому классу нелинейных регрессий относится парабола:
73. К какому классу нелинейных регрессий относится экспоненциальная кривая:
74. К какому классу
нелинейных регрессий относится функция
вида ŷ
:
А) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ переменных, но линейных по оцениваемым параметрам;
б) нелинейные регрессии по оцениваемым параметрам.
78. К какому классу
нелинейных регрессий относится функция
вида ŷ
:
а) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ переменных, но линейных по оцениваемым параметрам;
Б) нелинейные регрессии по оцениваемым параметрам.
79.
В уравнении регрессии в форме гиперболы
ŷ
если величина
b
>0
,
то:
А) при увеличении факторного признака х значения результативного признака у замедленно уменьшаются, и при х→∞ средняя величина у будет равна а;
б)
то значение результативного признака
у
возрастает с замедленным ростом при
увеличении факторного признака х
,
и при х→∞
81. Коэффициент
эластичности определяется по формуле
А) Линейной функции;
б) Параболы;
в) Гиперболы;
г) Показательной кривой;
д) Степенной.
82. Коэффициент
эластичности определяется по формуле
для модели регрессии в форме:
а) Линейной функции;
Б) Параболы;
в) Гиперболы;
г) Показательной кривой;
д) Степенной.
86. Уравнение
называется:
А) линейным трендом;
б) параболическим трендом;
в) гиперболическим трендом;
г) экспоненциальным трендом.
89. Уравнение
называется:
а) линейным трендом;
б) параболическим трендом;
в) гиперболическим трендом;
Г) экспоненциальным трендом.
90. Система виды
называется:
А) системой независимых уравнений;
б) системой рекурсивных уравнений;
в) системой взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений.
93. Эконометрику можно определить как:
А) это самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией;
Б) наука об экономических измерениях;
В) статистический анализ экономических данных.
94. К задачам эконометрики можно отнести:
А) прогноз экономических и социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы;
Б) имитация возможных сценариев социально-экономического развития системы для выявления того, как планируемые изменения тех или иных поддающихся управлению параметров скажутся на выходных характеристиках;
в) проверка гипотез по статистическим данным.
95. По характеру различают связи:
А) функциональные и корреляционные;
б) функциональные, криволинейные и прямолинейные;
в) корреляционные и обратные;
г) статистические и прямые.
96. При прямой связи с увеличением факторного признака:
а) результативный признак уменьшается;
б) результативный признак не изменяется;
В) результативный признак увеличивается.
97. Какие методы используются для выявления наличия, характера и направления связи в статистике?
а) средних величин;
Б) сравнения параллельных рядов;
В) метод аналитической группировки;
г) относительных величин;
Д) графический метод.
98. Какой метод используется для выявления формы воздействия одних факторов на другие?
а) корреляционный анализ;
Б) регрессионный анализ;
в) индексный анализ;
г) дисперсионный анализ.
99. Какой метод используется для количественной оценки силы воздействия одних факторов на другие:
А) корреляционный анализ;
б) регрессионный анализ;
в) метод средних величин;
г) дисперсионный анализ.
100. Какие показатели по своей величине существуют в пределах от минус до плюс единицы:
а) коэффициент детерминации;
б) корреляционной отношение;
В) линейный коэффициент корреляции.
101. Коэффициент регрессии при однофакторной модели показывает:
А) на сколько единиц изменяется функция при изменении аргумента на одну единицу;
б) на сколько процентов изменяется функция на одну единицу изменения аргумента.
102. Коэффициент эластичности показывает:
а) на сколько процентов изменяется функция с изменением аргумента на одну единицу своего измерения;
Б) на сколько процентов изменяется функция с изменением аргумента на 1%;
в) на сколько единиц своего измерения изменяется функция с изменением аргумента на 1%.
105. Величина индекса корреляции, равная 0,087, свидетельствует:
А) о слабой их зависимости;
б) о сильной взаимосвязи;
в) об ошибках в вычислениях.
107. Величина парного коэффициента корреляции, равная 1,12, свидетельствует:
а) о слабой их зависимости;
б) о сильной взаимосвязи;
В) об ошибках в вычислениях.
109. Какие из приведенных чисел могут быть значениями парного коэффициента корреляции:
111. Какие из приведенных чисел могут быть значениями множественного коэффициента корреляции:
115. Отметьте правильную форму линейного уравнения регрессии:
а) ŷ
;
б) ŷ
;
в) ŷ
;
Г) ŷ
.
Для проверки значимости анализируется отношение коэффициента регрессии и его среднеквадратичного отклонения. Это отношение является распределением Стьюдента, то есть для определения значимости используем t – критерий:
- СКО
от остаточной
дисперсии;
- сумма отклонений
от среднего значения
Если t рас. >t таб. , то коэффициент b i является значимым.
Доверительный интервал определяется по формуле:
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Взять исходные данные согласно варианту работы (по номеру студента в журнале). Задан статический объект управления с двумя входами X 1 , X 2 и одним выходом Y . На объекте проведен пассивный эксперимент и получена выборка объемом 30 точек, содержащая значения Х 1 , Х 2 и Y для каждого эксперимента.
Открыть новый файл в Excel 2007. Ввести исходную информацию в столбцы исходной таблицы - значения входных переменных X 1 , Х 2 и выходной переменной Y .
Подготовить дополнительно два столбца для ввода расчетных значений Y и остатков.
Вызвать программу «Регрессия»: Данные/ Анализ данных/ Регрессия.
Рис. 1. Диалоговое окно «Анализ данных».
Ввести в диалоговое окно «Регрессия» адреса исходных данных:
входной интервал Y, входной интервал X (2 столбца),
установить уровень надежности 95%,
в опции «Выходной интервал, указать левую верхнюю ячейку места вывода данных регрессионного анализа (первую ячейку на 2-странице рабочего листа),
включить опции «Остатки» и «График остатков»,
нажать кнопку ОК для запуска регрессионного анализа.
Рис. 2. Диалоговое окно «Регрессия».
Excel выведет 4 таблицы и 2 графика зависимости остатков от переменных Х1 и Х2 .
Отформатировать таблицу «Вывод итогов» - расширить столбец с наименованиями выходных данных, сделать во втором столбце 3 значащие цифры после запятой.
Отформатировать таблицу «Дисперсионный анализ»- сделать удобным для чтения и понимания количество значащих цифр после запятых, сократить наименование переменных и настроить ширину столбцов.
Отформатировать таблицу коэффициентов уравнения - сократить наименование переменных и скорректировать при необходимости ширину столбцов, сделать удобным для чтения и понимания количество значащих цифр, удалить 2 последних столбца (значения и разметку таблицы).
Данные из таблицы «Вывод остатка» перенести в подготовленные столбцы исходной таблицы, затем таблицу «Вывод остатка» удалить (опция «специальная вставка»).
Ввести полученные оценки коэффициентов в исходную таблицу.
Подтянуть таблицы результатов по максимуму вверх страницы.
Построить под таблицами диаграммы Y эксп , Y расч и ошибки прогноза (остатка).
Отформатировать диаграммы остатков. По полученным графикам оценить правильность модели по входам Х1, Х2 .
Распечатать результаты регрессионного анализа.
Разобраться с результатами регрессионного анализа.
Подготовить отчет по работе.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Прием выполнения регрессионного анализа в пакете EXCEL представлен на рисунках 3-5.
Рис. 3. Пример регрессионного анализа в пакете EXCEL.
Рис.4 . Графики остатков переменных Х1, Х2
Рис. 5. Графики Y эксп ,Y расч и ошибки прогноза (остатка).
По данным регрессионного анализа можно сказать:
1. Уравнение регрессии полученное с помощью Excel, имеет вид:
Коэффициент детерминации:
Вариация результата на 46,5% объясняется вариацией факторов.
Общий F-критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии. Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного значения F-критерия Фишера.
Так как фактическое
значение превышает табличное
,
то делаем вывод, что полученной уравнение
регрессии статистически значимо.
Коэффициент множественной корреляции:
b 0 :
t таб. (29, 0.975)=2.05
b 0 :
Доверительный интервал:
Определяем доверительный интервал для коэффициента b 1 :
Проверка значимости коэффициента b 1 :
t рас. >t таб. , коэффициент b 1 является значимым
Доверительный интервал:
Определяем доверительный интервал для коэффициентаb 2 :
Проверка значимости для коэффициентаb 2 :
Определяем доверительный интервал:
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Таблица 2. Варианты заданий
|
№ варианта | |||||||||||||||
|
Результативный признак Y i |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
|
№ фактора X i | |||||||||||||||
|
№ фактора X i |
Продолжение таблицы 1
|
№ варианта | |||||||||||||||
|
Результативный признак Y i |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
|
№ фактора X i | |||||||||||||||
|
№ фактора X i |
Таблица 3. Исходные данные
|
Y 1 |
Y 2 |
Y 3 |
X 1 |
X 2 |
X 3 |
X 4 |
X 5 |
|
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Задачи регрессионного анализа.
Предпосылки регрессионного анализа.
Основное уравнение дисперсионного анализа.
Что показывает F- отношение Фишера?
Как определяется табличное значение критерия Фишера?
Что показывает коэффициент детерминации?
Как определить значимость коэффициентов регрессии?
Как определить доверительный интервал коэффициентов регрессии?
Как определить расчетные значение t-критерия?
Как определить табличное значение t-критерия?
Сформулируйте основную идею дисперсионного анализа, для решения каких задач он наиболее эффективен?
Каковы основные теоретические предпосылки дисперсионный анализ?
Произведите разложение общей суммы квадратов отклонений на составляющие в дисперсионном анализе.
Как получить оценки дисперсий из сумм квадратов отклонений?
Как получаются необходимые числа степеней свободы?
Как определяется стандартная ошибка?
Поясните схему двухфакторного дисперсионного анализа.
Чем отличается перекрестная классификация от иерархической классификации?
Чем отличаются сбалансированные данные?
Отчет оформляется в текстовом редакторе Word на бумаге формата А4 ГОСТ 6656-76 (210х297 мм) и содержит:
Результаты вычисления.
Название лабораторной работы.
Цель работы.
ВРЕМЯ, ОТВЕДЕННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ
ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Подготовка к работе – 0,5 акад. часа.
Выполнение работы – 0,5 акад. часа.
Расчеты на ЭВМ – 0,5 акад. часа.
Оформление работы – 0,5 акад. часа.
ЛитЕратура
Идентификация объектов управления. / А. Д. Семенов, Д. В. Артамонов, А. В. Брюхачев. Учебное пособие. - Пенза: ПГУ, 2003. - 211 с.
Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTIC и EXCEL. / Вуколов Э.А. Учебное пособие. - М.: ФОРУМ, 2008. - 464 с.
Основы теории идентификации объектов управления. / А.А. Игнатьев, С.А. Игнатьев. Учебное пособие. - Саратов: СГТУ, 2008. - 44 с.
Теория вероятности и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL. / Г.В. Горелова, И.А. Кацко. - Ростов н/Д: Феникс, 2006.- 475 с.
Цель работы 2
Основные понятия 2
Порядок выполнения работы 6
Пример выполнения работы 9
Вопросы для самоконтроля 13
Время, отведенное на выполнение работы 14
