Задачи по механике (кинематика), на тему Перемещение при равноускоренном движении

От остановки одновременно отходят трамвай и троллейбус. Ускорение троллейбуса в 2 раза больше, чем трамвая. Сравнить пути, пройденные троллейбусом и трамваем за одно и то же время, и приобретенные ими скорости
РЕШЕНИЕ

Шарик, скатываясь с наклонного желоба из состояния покоя, за первую секунду прошел путь 10 см. Какой путь он пройдет за 3 с
РЕШЕНИЕ

Мотоциклист на расстоянии 10 м от железнодорожного переезда начал тормозить. Его скорость в это время была 20 км/ч. Определить положение мотоцикла относительно переезда через 1 с от начала торможения. Ускорение мотоцикла 1 м/с2

За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,6 м/с2, пройдет 30 м
РЕШЕНИЕ

Первый вагон трогающегося от остановки поезда проходит за 3 с мимо наблюдателя, находившегося до отправления поезда у начала этого вагона. За какое время пройдет мимо наблюдателя весь поезд, состоящий из 9 вагонов? Промежутками между вагонами пренебречь
РЕШЕНИЕ

К. Э. Циолковский в книге Вне Земли, рассматривая полет ракеты, пишет: ...через 10 секунд она была от зрителя на расстоянии 5 км. С каким ускорением двигалась ракета и какую она приобрела скорость

Пуля в стволе автомата Калашникова движется с ускорением 616 км/с2. Какова скорость вылета пули, если длина ствола 41,5 см
РЕШЕНИЕ

Во сколько раз скорость пули в середине ствола ружья меньше, чем при вылете из ствола
РЕШЕНИЕ

При аварийном торможении автомобиль, движущийся со скоростью 72 км/ч, остановился через 5 с. Найти тормозной путь
РЕШЕНИЕ

Длина разбега при взлете самолета Ту-154 равна 1215 м, а скорость отрыва от земли 270 км/ч. Длина пробега при посадке этого самолета 710 м, а посадочная скорость 230 км/ч. Сравнить ускорения (по модулю) и время разбега и посадки
РЕШЕНИЕ

При скорости v1 = 15 км/ч тормозной путь автомобиля равен s1= 1,5 м. Каким будет тормозной путь s2 при скорости v2 = 90 км/ч? Ускорение в обоих случаях одно и то же
РЕШЕНИЕ

Тело, двигаясь прямолинейно с ускорением 5 м/с2, достигло скорости 30 м/с, а затем, двигаясь равнозамедленно, остановилось через 10 с. Определить путь, пройденный телом
РЕШЕНИЕ

Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают движение из состояния покоя. Ускорение мотоциклиста в 3 раза больше, чем велосипедиста. Во сколько раз большую скорость разовьет мотоциклист: а) за одно и то же время; б) на одном и том же пути
РЕШЕНИЕ

Зависимость скорости материальной точки от времени задана формулой vx = 6t. Написать уравнение движения х = x(t) если в начальный момент (t = 0) движущаяся точка находилась в начале координат (х = 0). Вычислить путь, пройденный материальной точкой за 10 с
РЕШЕНИЕ

Уравнение движения материальной точки имеет вид х = 0,4t2. Написать формулу зависимости vx(t) и построить график. Показать на графике штриховкой площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 с, и вычислить этот путь
РЕШЕНИЕ

Уравнение движения материальной точки имеет вид х = -0,2t2. Какое это движение? Найти координату точки через 5 с и путь, пройденный ею за это время
РЕШЕНИЕ

Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея начальную скорость 5 м/с, спускается с горы с ускорением -0,2 м/с2; другой, имея начальную скорость 1,5 м/с, спускается с горы с ускорением 0,2 м/с2. Через какой промежуток времени они встретятся и какое расстояние до встречи пройдет каждый из них, если расстояние между ними в начальный момент равно 130 м

Уклон длиной 100 м лыжник прошел за 20 с, двигаясь с ускорением 0,3 м/с2. Какова скорость лыжника в начале и в конце уклона
РЕШЕНИЕ

Поезд, двигаясь под уклон, прошел за 20 с путь 340 м и развил скорость 19 м/с. С каким ускорением двигался поезд и какой была скорость в начале уклона
РЕШЕНИЕ

Уравнения движения по шоссе (см. рис. 8) велосипедиста, пешехода и бензовоза имеют вид: х1 = -0,4t2, х2 = 400 - 0,6t и х3 = -300 соответственно. Найти для каждого из тел: координату в момент начала наблюдения, проекции на ось X начальной скорости и ускорения, а также направление и вид движения. Сделать пояснительный рисунок, указав положения тел при t = 0 и начертив векторы скоростей и ускорений
РЕШЕНИЕ

Движения четырех материальных точек заданы следующими уравнениями соответственно: х1 = 10t + 0,4t2; х2 = 2t - t2; х3 = -4t + 2t2; х4 = -t - 6t2. Написать уравнение vх = vx(t) для каждой точки; построить графики этих зависимостей; описать движение каждой точки
РЕШЕНИЕ

Написать уравнения х = x(t) для движений, графики скоростей которых даны на рисунке 18. Считать, что в начальный момент (t = 0) тела находятся в начале координат (x = 0).
РЕШЕНИЕ

Мальчик съехал на санках с горы длиной 40 м за 10 с, а затем проехал по горизонтальному участку еще 20 м до остановки. Найти скорость в конце горы, ускорения на каждом из участков, общее время движения и среднюю скорость на всем пути. Начертить график скорости
РЕШЕНИЕ

Велосипедист начал свое движение из состояния покоя и в течение первых 4 с двигался с ускорением 1 м/с2; затем в течение 0,1 мин он двигался равномерно и последние 20 м - равнозамедленно до остановки. Найти среднюю скорость за все время движения. Построить график зависимости vx(t)
РЕШЕНИЕ

Расстояние между двумя станциями поезд прошел со средней скоростью vcp = 72 км/ч за t = 20 мин. Разгон и торможение вместе длились t1 = 4 мин, а остальное время поезд двигался равномерно. Какой была скорость и поезда при равномерном движении
РЕШЕНИЕ

Движения двух автомобилей по шоссе заданы уравнениями X1 = 2t + 0,2t2 и х2 = 80 - 4t. Описать картину движения. Найти: а) время и место встречи автомобилей; б) расстояние между ними через 5 с от начала отсчета времени; в) координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился в начале отсчета
РЕШЕНИЕ

В момент начала наблюдения расстояние между двумя телами равно 6,9 м. Первое тело движется из состояния покоя с ускорением 0,2 м/с2. Второе движется вслед за ним, имея начальную скорость 2 м/с и ускорение 0,4 м/с2. Написать уравнения х = x(t) в системе отсчета, в которой при t = 0 координаты тел принимают значения, соответственно равные х1 = 6,9 м, х2 = 0. Найти время и место встречи тел
РЕШЕНИЕ

Движения двух мотоциклистов заданы уравнениями x1 = 15 + t2 и x2 = 8t. Описать движение каждого мотоциклиста; найти время и место их встречи

Равноускоренное движение это движение с постоянным вектором ускорения ~a. Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.

1.4.1 Зависимость скорости от времени

При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.

Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:

Каков смысл константы ~c ? В начальный момент времени t = 0 скорость равна своему начальному значению: ~v = ~v0 . Поэтому, полагая t = 0 в формуле (1.38 ), получим:

~v0 = ~c:

Итак, константа ~c это начальная скорость тела. Теперь соотношение (1.38 ) принимает свой окончательный вид:

В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Так, в прямоугольной декартовой системе координат OXY Z векторное соотношение (1.39 ) даёт три скалярных равенства:

vx = v0x + ax t; vy = v0y + ay t; vz = v0z + az t:

1.4.2 Закон движения

Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспоминаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:

d~r dt = ~v:

Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (1.39 ):

Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (1.40 ). Это несложно. Чтобы получить ~v0 , надо продифференцировать функцию ~v0 t. Чтобы получить ~at, нужно продифференцировать выражение ~at2 =2. Не забудем добавить и произвольную константу ~c:

Ясно, что ~c это начальное значение ~r0 радиус-вектора ~r в момент времени t = 0. В

Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (1.41 )

Формулы (1.42 ) (1.44 ) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.

Снова вернёмся к закону движения (1.41 ). Заметим, что ~r ~r0 = ~s перемещение тела. Тогда получаем зависимость перемещения от времени:

~at2 ~s = ~v 0 t + 2 :

1.4.3 Прямолинейное равноускоренное движение

Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось OX. Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:

vx = v0x + ax t;

x = x0 + v0x t +a x 2 t 2 ; sx = v0x t +a x 2 t 2 ;

где sx = x x0 проекция перемещения на ось OX.

Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой

формулы время:

t = v xv 0xa x

и подставим в формулу для перемещения:

s x = v 0x v xv 0x+ a xv xv 0x2 : a x 2 a x

Преобразуем:

и окончательно получаем:

v 2v 2

s x = x 0x:

Эта формула не содержит времени t и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.

1.4.4 Свободное падение

Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.

Свободное падение тела, назависимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения ~g, направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают g = 10 м=с2 .

Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.

Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи h = 2 км.

Решение. Направим ось OY вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой

На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду. Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!

Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0 = 30 м/с. Найти его скорость через t = 5 c.

Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу

vy = v0y + ay t:

Здесь v0y = v0 , ay = g, так что vy = v0 gt. Вычисляем: vy = 30 10 5 = 20 м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.

Задача. С балкона, находящегося на высоте h = 15 м, бросили вертикально вверх камень со скоростью v0 = 10 м/с. Через какое время камень упадёт на землю?

Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли.

Берём формулу

y = y0 + v0y t +a y 2 t 2 :

Имеем: y = 0, y0 = h, v0y = v0 , ay = g, так что 0 = h + v0 t2 = 15 + 10t 5t2 , или t2 2t 3 = 0. Решая квадратное уравнение, получим t = 3 c.

1.4.5 Горизонтальный бросок

Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.

Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью v0 с высоты h. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.

Выберем систему координат OXY так, как показано на рис. 1.15 .

Время полёта T найдём из условия, что в момент падения координата тела y обращается в нуль:

Дальность полёта L это значение координаты x в момент времени T:

2h L = x(T) = v0 T = v0 g :

Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (1.45 ). Выражаем t из первого уравнения и подставляем во второе:

t = x ) v0

Получили зависимость y от x, которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.

1430. Мотоцикл в течение 5 с может увеличить скорость от 0 до 72 км/ч. Определите ускорение мотоцикла.

1431. Определите ускорение лифта в высотном здании, если он увеличивает свою скорость на 3,2 м/с в течение 2 с.

1432. Автомобиль, двигавшийся со скоростью 72 км/ч, равномерно тормозит и через 10 с останавливается. Каково ускорение автомобиля?

1433. Как назвать движения, при которых ускорение постоянно? равно нулю?
Равноускоренное.
Равномерное.

1434. Санки, скатываясь с горы, движутся равноускоренно и в конце третьей секунды от начала движения имеют скорость 10,8 км/ч. Определите, с каким ускорением движутся санки.

1435. Скорость автомобиля за 1,5 мин движения возросла от 0 до 60 км/ч. Найдите ускорение автомобиля в м/с2 , в см/с2.

1436. Мотоцикл «Хонда», двигавшийся со скоростью 90 км/ч, начал равномерно тормозить и через 5 с сбросил скорость до 18 км/ч. Каково ускорение мотоцикла?

1437. Объект из состояния покоя начинает двигаться с постоянным ускорением, равным 6 10-3 м/с2. Определите скорость через 5 мин после начала движения. Какой путь прошел объект за это время?

1438. Яхту спускают на воду по наклонным стапелям. Первые 80 см она прошла за 10 с. За какое время яхта прошла оставшиеся 30 м, если ее движение оставалось равноускоренным?

1439. Грузовик трогается с места с ускорением 0,6 м/с2. За какое время он пройдет путь в 30 м?

1440. Электричка отходит от станции, двигаясь равноускоренно в течение 1 мин 20 с. Каково ускорение электрички, если за это время ее скорость стала 57,6 км/ч? Какой путь она прошла за указанное время?

1441. Самолет для взлета равноускоренно разгоняется в течение 6 с до скорости 172,8 км/ч. Найдите ускорение самолета. Какое расстояние прошел самолет при разгоне?

1442. Товарный поезд, трогаясь с места, двигался с ускорением 0,5 м/с2 и разогнался до скорости 36 км/ч. Какой путь он при этом прошел?

1443. От станции равноускоренно тронулся скорый поезд и, пройдя 500 м, достиг скорости 72 км/ч. Каково ускорение поезда? Определите время его разгона.

1444. При выходе из ствола пушки снаряд имеет скорость 1100 м/с. Длина ствола пушки равна 2,5 м. Внутри ствола снаряд двигался равноускоренно. Каково его ускорение? За какое время снаряд прошел всю длину ствола?

1445. Электричка, шедшая со скоростью 72 км/ч, начала тормозить с постоянным ускорением, равным по модулю 2 м/с2. Через какое время она остановится? Какое расстояние она пройдет до полной остановки?

1446. Городской автобус двигался равномерно со скоростью 6 м/с, а затем начал тормозить с ускорением, по модуля равным 0,6 м/с2. За какое время до остановки и на каком расстоянии от нее надо начать торможение?

1447. Санки скользят по ледяной дорожке с начальной скоростью 8 м/с, и за каждую секунду их скорость уменьшается на 0,25 м/с. Через какое время санки остановятся?

1448. Мотороллер, двигавшийся со скоростью 46,8 км/ч, останавливается при равномерном торможении в течение 2 с. Каково ускорение мотороллера? Каков его тормозной путь?

1449. Теплоход, плывущий со скоростью 32,4 км/ч, стал равномерно тормозить и, подойдя к пристани через 36 с, полностью остановился. Чему равно ускорение теплохода? Какой путь он прошел за время торможения?

1450. Товарняк, проходя мимо шлагбаума, приступил к торможению. Спустя 3 мин он остановился на разъезде. Какова начальная скорость товарняка и модуль его ускорения, если шлагбаум находится на расстоянии 1,8 км от разъезда?

1451. Тормозной путь поезда 150 м, время торможения 30 с. Найдите начальную скорость поезда и его ускорение.

1452. Электричка, двигавшаяся со скоростью 64,8 км/ч, после начала торможения до полной остановки прошла 180 м. Определите ее ускорение и время торможения.

1453. Аэроплан летел равномерно со скоростью 360 км/ч, затем в течение 10 с он двигался равноускоренно: его скорость возрастала на 9 м/с за секунду. Определите, какую скорость приобрел аэроплан. Какое расстояние он пролетел при равноускоренном движении?

1454. Мотоцикл, двигавшийся со скоростью 27 км/ч, начал равномерно ускоряться и через 10 с достиг скорости 63 км/ч. Определите среднюю скорость мотоцикла при равноускоренном движении. Какой путь он проехал за время равноускоренного движения?

1455. Прибор отсчитывает промежутки времени, равные 0,75 с. Шарик скатывается с наклонного желоба в течение трех таких промежутков времени. Скатившись с наклонного желоба, он продолжает двигаться по горизонтальному желобу и проходит в течение первого промежутка времени 45 см. Определите мгновенную скорость шарика в конце наклонного желоба и ускорение шарика при движении по этому желобу.

1456. Отходя от станции, поезд движется равноускоренно с ускорением 5 см/с2. По прошествии какого времени поезд приобретает скорость 36 км/ч?

1457. При отправлении поезда от станции его скорость в течение первых 4 с возросла до 0,2 м/с, в течение следующих 6 с еще на 30 см/с и за следующие 10 с на 1,8 км/ч. Как двигался поезд в течение этих 20 с?

1458. Санки, скатываясь с горы, движутся равноускоренно. На некотором участке пути скорость санок в течение 4 с возросла от 0,8 м/с до 14,4 км/ч. Определите ускорение санок.

1459. Велосипедист начинает двигаться с ускорением 20 см/с2. По истечении какого времени скорость велосипедиста будет равна 7,2 км/ч?

1460. На рисунке 184 дан график скорости некоторого равноускоренного движения. Пользуясь масштабом, данным на рисунке, определите путь, проходимый в этом движении в течение 3,5 с.

1461. На рисунке 185 изображен график скорости некоторого переменного движения. Перечертите рисунок в тетрадь и обозначьте штриховкой площадь, численно равную пути, проходимому в течение 3 с. Чему примерно равен этот путь?

1462. В течение первого промежутка времени от начала равноускоренного движения шарик проходит по желобу 8 см. Какое расстояние пройдет шарик в течение трех таких же промежутков, прошедших от начала движения?

1463. В течение 10 равных промежутков времени от начала движения тело, двигаясь равноускоренно, прошло 75 см. Сколько сантиметров прошло это тело в течение двух первых таких же промежутков времени?

1464. Поезд, отходя от станции, движется равноускоренно и в течение двух первых секунд проходит 12 см. Какое расстояние пройдет поезд в течение 1 мин, считая от начала движения?

1465. Поезд, отходя от станции, движется равноускоренно с ускорением 5 см/с2. Сколько времени потребуется для развития скорости 28,8 км/ч и какое расстояние пройдет поезд за это время?

1466. Паровоз по горизонтальному пути подходит к уклону со скоростью 8 м/с, затем движется вниз по уклону с ускорением 0,2 м/с. Определите длину уклона, если паровоз проходит его за 30 с.

1467. Начальная скорость тележки, движущейся вниз по наклонной доске, равна 10 см/с. Всю длину доски, равную 2 м, тележка прошла в течение 5 сек. Определите ускорение тележки.

1468. Пуля вылетает из ствола ружья со скоростью 800 м/с. Длина ствола 64 см. Предполагая движение пули внутри ствола равноускоренным, определите ускорение и время движения.

1469. Автобус, двигаясь со скоростью 4 м/с, начинает равномерно ускоряться на 1 м/с за секунду. Какой путь пройдет автобус за шестую секунду?

1470. Грузовик, имея некоторую начальную скорость, начал двигаться равноускоренно: за первые 5 с прошел 40 м, а за первые 10 с - 130 м. Найдите начальную скорость грузовика и его ускорение.

1471. Катер, отходя от пристани, начал равноускоренное движение. Пройдя некоторое расстояние, он достиг скорости 20 м/с. Какова была скорость катера в тот момент, когда он проплыл половину этого расстояния?

1472. Лыжник скатывается с горы с нулевой начальной скоростью. На середине горы его скорость была 5 м/с, через 2 с скорость стала 6 м/с. Считая, что она увеличивается равномерно, определите скорость лыжника через 8 с после начала движения.

1473. Автомобиль тронулся с места и двигается равноускоренно. За какую секунду от начала движения путь, пройденный автомобилем, вдвое больше пути, пройденного им в предыдущую секунду?

1474. Найдите путь, пройденный телом за восьмую секунду движения, если оно начинает двигаться равноускоренно без начальной скорости и за пятую секунду проходит путь 27 м.

1475. Провожающие стоят у начала головного вагона поезда. Поезд трогается и движется равноускоренно. За 3 с весь головной вагон проходит мимо провожающих. За какое время пройдет мимо провожающих весь поезд, состоящий из 9 вагонов?

1476. Материальная точка движется по закону x = 0,5t2. Какое это движение? Каково ускорение точки? Постройте график зависимости от времени:
а) координаты точки;
б) скорости точки;
в) ускорения.

1477. Поезд остановился через 20 с после начала торможения, пройдя за это время 120 м. Определите первоначальную скорость поезда и ускорение поезда.

1478. Поезд, идущий со скоростью 18 м/с, начал тормозить, и через 15 с остановился. Считая движение поезда при торможении равнозамедленным, определите путь, пройденный поездом за эти 15 с.

1479. Постройте графики скорости равнозамедленного движения для случаев:
1) V0 = 10 м/с, а = - 1,5 м/с2;
2) V0 = 10 м/с; а = - 2 м/с2.
Масштаб в обоих случаях одинаков: 0,5 см – 1 м/с; о,5 см – 1 сек.

1480. Изобразите пройденный путь за время t на графике скорости равнозамедленного движения. Принять V0 = 10 м/с, а = 2 м/с2.

1481. Опишите движения, графики скоростей которых даны на рисунке 186, а и б.
а) движение будет равнозамедленным;
б) сначала тело будет двигаться равноускоренно, затем равномерно. На 3м участке движение будет равнозамедленное.