Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта, и диск Луны. Математики стали заниматься геометрической фигурой - кругом на плоскости - очень давно.

Кругом с центром и радиусом называется множество точек плоскости, удаленных от на расстояние, не большее . Круг ограничен окружностью, состоящей из точек, удаленных от центра в точности на расстояние . Отрезки, соединяющие центр с точками окружности, имеют длину и также называются радиусами (круга, окружности). Части круга, на которые он делится двумя радиусами, называются круговыми секторами (рис. 1). Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности, - делит круг на два сегмента, а окружность – на две дуги (рис. 2). Перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит ее и стягиваемые ею дуги пополам. Хорда тем длиннее, чем ближе она расположена к центру; самые длинные хорды - хорды, проходящие через центр, - называются диаметрами (круга, окружности).

Если прямая удалена от центра круга на расстояние , то при она не пересекается с кругом, при пересекается с кругом по хорде и называется секущей, при имеет с кругом и окружностью единственную общую точку и называется касательной. Касательная характеризуется тем, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. К кругу из точки, лежащей вне его, можно провести две касательные, причем их отрезки от данной точки до точек касания равны.

Дуги окружности, как и углы, можно измерять в градусах и его долях. За градус принимают часть всей окружности. Центральный угол (рис. 3) измеряется тем же числом градусов, что и дуга , на которую он опирается; вписанный угол измеряется половиной дуги . Если вершина угла лежит внутри круга, то этот угол в градусной мере равен полусумме дуг и (рис. 4,а). Угол с вершиной вне круга (рис. 4,б), высекающий на окружности дуги и , измеряется полуразностью дуг и . Наконец, угол между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги окружности (рис. 4,в).

Круг и окружность имеют бесконечное множество осей симметрии.

Из теорем об измерении углов и подобия треугольников следуют две теоремы о пропорциональных отрезках в круге. Теорема о хордах говорит, что если точка лежит внутри круга, то произведение длин отрезков проходящих через нее хорд постоянно. На рис. 5,a . Теорема о секущей и касательной (имеются в виду длины отрезков частей этих прямых) утверждает, что если точка лежит вне круга, то произведение секущей на ее внешнюю часть тоже неизменно и равно квадрату касательной (рис. 5,б).

Еще в древности пытались решить задачи, связанные с кругом, - измерить длину окружности или ее дуги, площадь круга или сектора, сегмента. Первая из них имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернуть ее и приложить к линейке или же отметить на окружности точку и «прокатить» ее вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность). Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для всех окружностей. Это отношение принято обозначать греческой буквой («пи» - начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает «окружность»).

Однако древнегреческих математиков такой эмпирический, опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял: окружность - это линия, т.е., по Евклиду, «длина без ширины», а таких нитей не бывает. Если же мы катим окружность по линейке, то возникает вопрос: почему при этом мы получим длину окружности, а не какую-нибудь другую величину? К тому же такой подход не позволял определить площадь круга.

Выход был найден такой: если рассмотреть вписанные в круг правильные -угольники , то при , стремящемся к бесконечности, в пределе стремятся к . Поэтому естественно ввести следующие, уже строгие, определения: длина окружности - это предел последовательности периметров правильных вписанных в окружность -угольников, а площадь круга - предел последовательности их площадей. Такой подход принят и в современной математике, причем по отношению не только к окружности и кругу, но и к другим кривым или ограниченным криволинейными контурами областям: вместо правильных многоугольников рассматривают последовательности ломаных с вершинами на кривых или контурах областей, а предел берется при стремлении длины наибольшего звена ломаной к нулю.

Аналогичным образом определяется длина дуги окружности: дуга делится на равных частей, точки деления соединяются ломаной и длина дуги полагается равной пределу периметров таких ломаных при , стремящемся к бесконечности. (Подобно древним грекам, мы не уточняем само понятие предела - оно относится уже не к геометрии и было вполне строго введено лишь в XIX в.)

Из самого определения числа следует формула для длины окружности:

Для длины дуги можно записать аналогичную формулу: поскольку для двух дуг и с общим центральным углом из соображений подобия вытекает пропорция , а из нее - пропорция , после перехода к пределу мы получаем независимость (от радиуса дуги) отношения . Это отношение определяется только центральным углом и называется радианной мерой этого угла и всех отвечающих ему дуг с центром в . Тем самым получается формула для длины дуги:

где - радианная мера дуги.

Записанные формулы для и - это всего лишь переписанные определения или обозначения, но с их помощью получаются уже далекие от просто обозначений формулы для площадей круга и сектора:

Для вывода первой формулы достаточно перейти к пределу в формуле для площади вписанного в круг правильного -угольника:

По определению левая часть стремится к площади круга , а правая - к числу

и , основания его медиан и , середины и отрезков прямых от точки пересечения его высот до его вершин.

Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это - точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида (рис. 2). Одна из этих окружностей вписанная, остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек и называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой - его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.


Возьмем произвольную окружность с центром в точке О и прямую a.
Если прямая a пройдет через точку O, то она пересечет данную окружность в двух точках K и L, которые являются концами диаметра, лежащего на прямой а.

Если прямая a не будет проходить через центр О окружности, то выполним вспомогательное построение и проведем прямую OH перпендикулярно прямой a и обозначим полученное расстояние от центра окружности до прямой a переменной rasstoyanie. Определим, сколько будет общих точек у прямой a и окружности в зависимости от соотношения между переменной rasstoyanie и radius.
Может быть 3 варианта:

  1. rasstoyanie < radius . В таком случае точка H будет лежать в середине круга, который ограничен данной окружностью.


Отложим на прямой а отрезок HD = r adius .

В OHD гипотенуза OD больше катета HD , поэтому OD > r adius . Следовательно, точка D лежит за кругом, который ограничен данной окружностью. Значит, один конец отрезка HD находится в середине круга, а другой – за кругом. Таким образом, на отрезке HD можно обозначить точку A , которая лежит на окружности, то есть OA = r adius .

Продлим луч HA и отложим на нем отрезок BН , который равен отрезку AН.

Получены 2 прямоугольных треугольника OHA и OHB , которые равны по двум катетам. Тогда их соответствующие стороны равны: OB = OA = r . Следовательно, B тоже является общей точкой окружности и прямой. Так как 3 точки окружности не могут лежать на одной прямой, то другие общие точки прямой a и окружности не существуют.
Таким образом, если расстояние между центром окружности и прямой меньше от радиуса окружности (rasstoyanie < r adius ), то у прямой и окружности 2 общие точки.

  1. rasstoyanie = r adius . Поскольку OH = r adius , то точка H принадлежит окружности и, поэтому, является общей точкой для прямой a и окружности.


Для любых других точек прямой a (например, точки и M ) наклонная OM больше отрезка OH , то есть OM > OH = r adius , и следовательно точка M не принадлежит заданной окружности.
Следовательно, если расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности (rasstoyanie = r adius ), то у прямой и окружности лишь одна общая точка.

  1. rasstoyanie > r adius . Так как OH > radius, то для любых точек прямой a (например, точки M ) выполняется неравенство OM > OH > r adius . Таким образом, точка M не принадлежит окружности.


Следовательно, если расстояние между центром окружности и прямой больше от радиуса окружности (rasstoyanie > r adius ), то у прямой и окружности нет общих точек.

Взаимное расположение прямой и окружности Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух концах диаметра, лежащего на. этой примой.

Пусть прямая р не проходит через центр О окружности радиуса r. Проведем перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е, расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 1). Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.

1) dр от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины, которых равны (рис. 1)По теореме Пифагора ОА=,

0 B= Следовательно, точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой р и данной окружности.

Докажем, что прямая р и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют еще одну общую точку С. Тогда медиана-OD равнобедренного треугольника ОАС . проведенная к основанию АС, является высотой этого треугольника, поэтому О D p . Отрезки OD и ОН не совпадают

так как середина D отрезка АС не впадает с точкой Н - серединой отрезка, AB. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра: ОН и OD - к прямой р, что невозможно. Итак если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности(d < р), то прямая и окружность име ют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

2) d= r. В этом случае ОН= r, т. е. точка Н лежит на окружности и, значит, является обшей точкой прямой и окружности (рис. 1, б). Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р. Отличной от точки Н, ОМ>ОН= r (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно , точка М не лежит на окружности. Итак, если рас стояние от центра окружности до прямой равно радиусу то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

3) d> r В этом случае -ОН> r поэтому . для любой точки М прямой р 0МОН.> r(рис. 1,а) Следовательно точка М не лежит на окружности. Итак, .если расстояние от центра окруж ности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Мы доказали, что прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 2 прямая р - касательная к окружности с центром О, А - точка касания.

Докажем теорему о свойстве касательной.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство. Пусть р - касательная к окружности с центром О. А - точка касания (см. рис. 2). Докажем. что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.

Предположим, что это не так. Тогда радиус: ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА , то расстояния от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию; прямая р - касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказала.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром О , проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С (рис. 3). Отрезки АВ и АС назовем отрезками касатель ных, проведенными из точки А. Они обладают следующим свойством, вытекающим из доказанной теоремы:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Для доказательства этого утверждения обратимся к рисунку 3. По теореме о свойство касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Рис. 2 Рис. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Проведя через точку касания диаметр МЕ , будем иметь: ; поэтому

Рис. 1 Рис. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197">

Зависимость между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра.

Теоремы. В одном круге или в равных кругах :

1) если дуги, равны, то стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра;

2) если две дуги, меньшие полуокружности, не равны, то большая из них стягивается большей хордой и из обеих хорд большая расположена ближе к центру .

1) Пусть дуга АВ равна дуге CD (рис. 1), требуется доказать, что хорды АВ и CD равны, а также равны и перпендикуляры ОЕ и OF, опущенные из центра на хорды.

Повернем сектор OAJB вокруг центра О в направлении, указанном стрелкой на столько, чтобы радиус ОБ совпал с ОС. Тогда дуга ВА. пойдет по дуге CD и вследствие их равенства эти дуги совместятся. Значит, хорда AS совместится с хордой CD и перпендикуляр ОЕ совпадет с OF (из одной точки можно опустить на прямую только один перпендикуляр), т. е. AB= CD и OE= OF.

2) Пусть дуга АВ (рис. 2) меньше дуги CD, и притом обе дуги меньше полуокружности; требуется доказать, что хорда АВ меньше хорды CD, а перпендикуляр ОЕ больше перпендикуляра OF . Отложим на дуге CD дугу СК, равную АВ, и проведем вспомогательную хорду СК , которая, по доказанному, равна хорде АВ и одинаково с ней удалена от центра. У треугольников COD и СОК две стороны одного равны двум сторонам другого (как радиусы), а углы, заключенные между этими сторонами, не равны; в этом случае, как мы знаем, против большего из углов, т. е. lCOD, должна лежать большая сторона, значит, CD> CK, и потому CD> AB.

Для доказательства того, что OE> OF, проведем OLXCK и примем во внимание, что, по доказанному, OE= OL; следовательно, нам достаточно сравнить OF с OL. В прямоугольном треугольнике 0 FM (покрытом на рисунке штрихами) гипотенуза ОМ больше катета OF; но OL> OM; значит, и подавно OL> OF. и потому OE> OF.

Теорема, доказанная нами для одного круга, остается верной и для равных кругов, потому что такие круги один от другого отличаются только положением.

Обратные теоремы. Так как в предыдущем параграфе рассмотрены всевозможные взаимно исключающие случаи относительно сравнительной величины двух дуг одного радиуса, причем получились взаимно исключающие выводы относительно сравнительной величины хорд и расстояний их от центра, то обратные предложения должны быть верны, в. именно:

В одном круге или е равных кругах:

1) равные хорды одинакова удалены от центра и стягивают равные дуги;

2) хорды, одинаково удаленные от центра, равны и стягивают равные дуги;

3) из двух неравных хорд большая ближе к центру и стягивает большую дугу;

4) из двух хорд, неодинаково удаленных от центра, которая ближе к центру, больше и стягивает большую дугу.

Эти предложения легко доказываются от противного. Например, для доказательства первого из них рассуждаем так: если бы данные хорды стягивали неравные дуги, то, согласно прямой теореме, они были бы не равны, что противоречит условию; значит, равные хорды должны стягивать равные дуги; а если дуги равны, то, согласно прямой теореме, стягивающие их хорды одинаково удалены от центра.

Теорема. Диаметр есть наибольшая из хорд .

Если соединим с центром О концы какой-нибудь хорды, не проходящей через центр, например хорды АВ (рис. 3) то получим треугольник АОВ, в котором одна сторона есть эта хорда, а две другие - радиусы, Но в треугольнике каждая сторона менее суммы двух других сторон; следовательно, хорда АВ менее суммы двух радиусов; тогда как всякий диаметр CD равен сумме двух радиусов. Значит, диаметр больше всякой хорды, не проходящей через центр. Но так как диаметр есть тоже хорда, то можно сказать, что диаметр есть наибольшая из хорд.

Рис. 1 Рис. 2

Теорема касательных.

Как уже было сказано, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеют одинаковую длину. Эту длину называют касательным расстоянием от точки до окружности.

Без теоремы о касательных не обходиться решение не одной задачи о вписанных окружностях, иными словами, об окружностях, касающихся сторон многоугольника.

Касательные расстояния в треугольнике.

Найдем длины отрезков, на которые стороны треугольника АВС разбиваются точками касания с вписанной в него окружностью (рис. 1,а), например касательное расстояние tа от точки А до окружности. Сложим стороны b и c , а затем из суммы вычтем сторону а . Учитывая равенство касательных, проведенных из одной вершины, получим 2tа . Итак,

ta=(b+ c- a)/ 2=p- a ,

где p=(a+ b+ c)/ 2 – полупериметр данного треугольника. Длина отрезков сторон, прилегающим к вершинам В и С , равны соответственно p- b и p- c.

Аналогично, для вневписанной окружности треугольника, касающейся (снаружи) стороны а (рис. 1,б), касательные расстояния от В и С равны соответственно p- c и p- b , а от вершины А - просто p .

Заметим, что эти формулы можно использовать и «в обратную сторону».

Пусть в угол ВАС вписана окружность, причем касательное расстояние от вершины угла до окружности равно p или p- a , где p – полупериметр треугольника АВС , а а=ВС . Тогда окружность касается прямой ВС (соответственно снаружи или внутри треугольника).

В самом деле, пусть, например, касательное расстояние равно p- a . Тогда наши окружности касаются сторон угла в тех же самых точках, что и вписанная окружность треугольника АВС , а значит, совпадает с ней. Следовательно, она касается прямой ВС .

Описанный четырехугольник. Из теоремы о равенстве касательных сразу получается (рис. 2,а), что

если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

AD+ BC= AB+ CD

Отметим, что описанный четырехугольник обязательно выпуклый. Верно и обратное:

Если четырехугольник выпуклый и суммы его противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Докажем это для четырехугольника, отличного от параллелограмма. Пусть какие-то две противоположные стороны четырехугольника, например AB и DC, при продолжении пересекутся в точке Е (рис. 2,б). Впишем окружность в треугольник ADE . Ее касательное расстояние te до точки E выражается формулой

te= ½ (AE+ ED- AD).

Но по условию суммы противоположных сторон четырехугольника равны, а значит, AD+ BC= AB+ CD , или AD= AB+ CD- BC . Подставив это значение в выражение для te , получим

te =½ ((AE- AB)+(ED- CD)+ BC)= ½ (BE+ EC+ BC),

а это – полупериметр треугольника BCE . Из доказанного выше условия касания следует, что наша окружность касается BC .

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Две касательные, проведённые к окружности из точки вне её, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром, что следует из равенства прямоугольных треугольников АОВ и АОВ1

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ ГЕОМЕТРИЯ 8 класс по учебнику Л.А.Атанасяна

Как вы думаете, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? О

О Сначала вспомним как задаётся окружность Окружность (О, r) r – радиус r A B АВ – хорда С D CD - диаметр

Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в первом случае: d – расстояние от центра окружности до прямой О А В Н d

Второй случай: О Н r одна общая точка d = r d – расстояние от центра окружности до прямой d

Третий случай: О H d r d > r d – расстояние от центра окружности до прямой не имеют общих точек

Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? d r две общие точки одна общая точка не имеют общих точек Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Касательная к окружности Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. O s = r M m

Выясните взаимное расположение прямой и окружности, если: r = 15 см, s = 11 см r = 6 см, s = 5 ,2 см r = 3,2 м, s = 4 ,7 м r = 7 см, s = 0,5 дм r = 4 см, s = 4 0 мм прямая – секущая прямая – секущая общих точек нет прямая – секущая прямая - касательная

Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. m – касательная к окружности с центром О М – точка касания OM - радиус O M m

Свойство касательных, проходящих через одну точку: ▼ По свойству касательной ∆ АВО, ∆ АСО–прямоугольные ∆ АВО= ∆ АСО–по гипотенузе и катету: ОА – общая, ОВ=ОС – радиусы АВ=АС и ▲ О В С А 1 2 3 4 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной. окружность с центром О радиуса OM m – прямая, которая проходит через точку М и m – касательная O M m

Решите № 633. Дано: OABC- квадрат AB = 6 см Окружность с центром O радиуса 5 см Найти: секущие из прямых OA , AB , BC , АС О А В С О

Решите № 638, 640. д/з: выучить конспект, № 631, 635


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Цель: закрепить умение определять взаимное расположение прямой и плоскости, проверить навыки решения задач, воспитывать чувство коллективизма. ...

взаимное расположение прямой и окружности. 8класс.

В презентацию помещены четыре устные задачи, решаемые по готовым чертежам. Цель: подготовить учащихся к изучению нового материала....

Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух ркружностей.

Конспект и презентация к уроку по теме "Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей". Урок в 6 классе по учебнику "Математика - 6" под ред. Г.В. Дорофеев, И...