Стохастические процессы подразделяются на стационарные и нестационарные процессы. Стохастический процесс является стационарным, если он находится в определенном смысле в статистическом равновесии, т.е. его свойства с вероятностной точки зрения не зависят от времени. Процесс не стационарен, если эти условия нарушаются.
Важное теоретическое значение имеют гауссовские процессы. Это такие процессы, в которых любой набор наблюдений имеет совместное нормальное распределение. Как правило, термин "временной ряд" сам по себе подразумевает, что этот ряд является одномерным (скалярным).
При анализе экономических временных рядов традиционно различают разные виды эволюции (динамики). Эти виды динамики могут, вообще говоря, комбинироваться. Тем самым задается разложение временного ряда на составляющие или компоненты, которые с экономической точки зрения несут разную содержательную нагрузку. Различают два вида компонент: систематические (это результат воздействия на временной ряд постоянно действующих факторов) и случайные (это случайный шум или ошибка, нерегулярно воздействующие на ряд).
Перечислим наиболее важные компоненты. К систематическим относятся следующие:
тенденция - соответствует медленному изменению, происходящему в некотором направлении, которое сохраняется в течение значительного промежутка времени. Тенденцию называют также трендом или долговременным движением;
циклические колебания - это более быстрая, чем тенденция, квазипериодическая динамика, выходящая за рамки одного периода и в которой есть фаза возрастания и фаза убывания. Промежуток времени между двумя вершинами или впадинами считается длиною цикла. На циклические компоненты оказывают влияние трудно идентифицируемые формальными методами факторы (изменение политической ситуации, прирост или истощение ресурсов и др.). Наиболее часто цикл связан с флуктуациями экономической активности;
сезонные колебания - соответствуют изменениям, которые происходят регулярно в течение года, недели или суток, т.е. внутри одного выделенного периода. Они связаны с сезонами и ритмами человеческой активности;
календарные эффекты - это отклонения, связанные с определенными предсказуемыми календарными событиями, такими, как праздничные дни, количество рабочих дней за месяц, високосный год и т.п.
Систематические компоненты могут одновременно все присутствовать во временном ряде.
Случайные компоненты включают в себя следующие виды:
случайные флуктуации - беспорядочные движения относительно большой частоты. Они порождаются влиянием разнородных событий на изучаемую величину (несистематический или случайный эффект). Часто такую составляющую называют шумом (этот термин пришел из технических приложений).
выбросы - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, которые резко, но лишь очень кратковременно отклоняют ряд от общего закона, по которому он движется.
структурные сдвиги - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, имеющие скачкообразный характер и меняющие тенденцию.
Некоторые экономические ряды можно считать представляющими те или иные виды таких движений почти в чистом виде. Но большая часть их имеет очень сложный вид. В них могут проявляться, например, как общая тенденция возрастания, так и сезонные изменения, на которые могут накладываться случайные флуктуации. Часто для анализа временных рядов оказывается полезным изолированное рассмотрение отдельных компонент.
Для того чтобы можно было разложить конкретный ряд на эти составляющие, требуется сделать какие-то допущения о том, какими свойствами они должны обладать. Желательно построить сначала формальную статистическую модель, которая бы включала в себя в каком-то виде эти составляющие, затем оценить ее, а после этого на основании полученных оценок вычленить составляющие. Однако построение формальной модели является сложной задачей. В частности, из содержательного описания не всегда ясно, как моделировать те или иные компоненты. Например, тренд может быть детерминированным или стохастическим. Аналогично, сезонные колебания можно комбинировать с помощью детерминированных переменных или с помощью стохастического процесса определенного вида. Компоненты временного ряда могут входить в него аддитивно или мультипликативно, либо в смешенном виде. Более того, далеко не все временные ряды имеют достаточно простую структуру, чтобы можно было разложить их на указанные составляющие. Существует два основных подхода к разложению временных рядов на компоненты. Первый подход основан на использовании множественных регрессий с факторами, являющимися функциями времени, второй основан на применении линейных фильтров.
Еще статьи по экономике
Статистическое исследование рынка труда
Проблема рынка труда, занятости и безработицы являются одной из важнейших социально-экономических проблем нашего времени. В условиях переходной экономики эти проблемы проявляются особенно ос...
Комплексный экономический анализ производственно-хозяйственной деятельности медицинской организации
Анализ
финансово-хозяйственной деятельности предприятий как наука представляет собой
систему специальных знаний, связанных с исследованием тенденций хозяйственного
развития, н...
Кооперативные уставы, их виды и содержание
Кооператив
- это самодеятельная организация работников - собственников, организующих его
деятельность в целях получения прибыли или реализации в своих интересах
различного род...
- СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
то же, что случайный … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
процесс, то же, что случайный процесс … - ПРОЦЕСС
ФОРМУЛЯРНЫЙ - см ФОРМУЛЯРНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
УГОЛОВНЫЙ - см УГОЛОВНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ТОКИЙСКИЙ - см ТОКИЙСКИЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ПЕРЕВОЗОЧНЫЙ - см ПЕРЕВОЗОЧНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
НЮРНБЕРГСКИЙ - см НЮРНБЕРГСКИЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ЛЕГИСАКЦИОННЫЙ - см ЛЕГИСАК -ЦИОННЫЙ … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
КОНСТИТУЦИОННЫЙ - см. КОНСТИТУЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ИЗБИРАТЕЛЬНЫЙ - см. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЙ - см ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ГРАЖДАНСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ - см. МЕЖДУНАРОДНЫЙ ГРАЖДАНСКИЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
БЮДЖЕТНЫЙ - см. БЮДЖЕТНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
АДМИНИСТРАТИВНЫЙ- см АДМИНИСТРАТИВНЫЙ … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Большом энциклопедическом словаре:
(от греч. stochastikos - умеющий угадывать) случайный, … - ПРОЦЕСС в Большом энциклопедическом словаре:
(от лат. processus - продвижение) 1) последовательная смена явлений, состояний в развитии чего-нибудь. 2) Совокупность последовательных действий для достижения какого-либо … - ПРОЦЕСС в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(от лат. processus - продвижение), 1) последовательная смена состояний стадий развития. 2) Совокупность последовательных действий для достижения какого-либо результата (например, … - ПРОЦЕСС
[от латинского processus прохождение, продвижение] 1) последовательная смена состояний, тесная связь закономерно следующих друг за другом стадий развития, представляющих непрерывное … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Энциклопедическом словарике:
ая, ое мат. Случайный, происходящий с вероятностью, которую невозможно предсказать. С. процесс. Стохас-тичность - свойство … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ
СТОХАСТ́ИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС, то же, что случайный процесс … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Большом российском энциклопедическом словаре:
СТОХАСТ́ИЧЕСКИЙ (от греч. stochastikos - умеющий угадывать), случайный, … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 16-ти", 25-30.10.1880 в С.-Петербурге, первый крупный процесс над членами "Нар. воли". Обвинение в подготовке покушений на имп. Александра II. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 14-ти", 24-28.9.1884 в С.-Петербурге над членами "Нар. воли". Обвинение в подготовке гос. переворота и покушений на имп. Александра II. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 32-х", в Сенате в 1863-65, по обвинению в сношениях с А.И. Герценом и Н.П. Огарёвым. Гл. обвиняемые Н.А. Серно- … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 193-х" ("Большой процесс"), 18.10.1877-23.1.1878 в С.-Петербурге, крупнейший полит. процесс в России 1870-х гг. над рев. народниками - участниками "хождения … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 17-ти", 28.3-5.4.1883 в С.-Петербурге над членами "Нар. воли" (5 чл., 2 агента Исполнит. к-та) по обвинению в подготовке покушений … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 50-ти", 21.2-14.3.1877 над членами группы "москвичей" (в т.ч. 14 рабочих, 16 женщин). 10 чел. приговорены к разл. срокам каторги, … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 12-ти", 1-9.11.1884 в Киеве над членами "Нар. воли". В.С. Панкратов приговорён к 20 годам каторги, остальные - к разл. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 27-ми", в C.-Петербурге в 1861- 1863 по делу нелегального изд-ва и 1-й Вольной типографии в Москве. П.Г. Заичневский, В.Д. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦЕСС 21-го", 26.5-5.6.1887 в С.-Петербурге (Г.А. Лопатин и др.), по обвинению в принадлежности к "Нар. воле" и убийстве жандармского подполк. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 28-ми", 25.7-5.8.1879 в Одессе над рев. народниками (Д.А. Лизогуб, С.Ф. Чубаров, С.Я. Виттенберг и др.). Обвинение в принадлежности к … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 20-ти", 9-15.2.1882 в С.-Петербурге над членами "Нар. воли" (11 чл., 9 агентов Исполнит. к-та). Обвинение в подготовке 8 покушений … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
ПРОЦ́ЕСС (от лат. рrосеssus - продвижение), последоват. смена явлений, состояний в развитии чего-нибудь. Совокупность последоват. действий для достижения к.-л. результата … - ПРОЦЕСС в Популярном толково-энциклопедическом словаре русского языка:
-а, м. 1) Ход развития какого-л. явления; последовательная смена состояний в развитии чего-л. Исторический процесс. Необратимый процесс. Процесс воспитания. Процесс … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Тезаурусе русской деловой лексики:
- СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Новом словаре иностранных слов:
(гр. stochasis догадка) случайный, или вероятностный, напр, с. процесс - процесс, характер изменения которого во времени точно предсказать … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Словаре иностранных выражений:
[ случайный, или вероятностный, напр, с. процесс - процесс, характер изменения которого во времени точно предсказать … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Тезаурусе русского языка:
Syn: вероятностный, случайный Ant: закономерный, … - ПРОЦЕСС в Словаре синонимов Абрамова:
см. действие, дело, спор || вести … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в словаре Синонимов русского языка:
Syn: вероятностный, случайный Ant: закономерный, … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Полном орфографическом словаре русского языка.
- СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Орфографическом словаре.
- ПРОЦЕСС в Словаре русского языка Ожегова:
ход, развитие какого-нибудь явления, последовательная смена состояний в развитии чего-нибудь П. роста. Творческий п. Производственный п. процесс! порядок разбирательства … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ
(от греч. stochastikos - умеющий угадывать), случайный, … - «ПРОЦЕСС в Современном толковом словаре, БСЭ:
12-ти» , 1-9.11.1884 в Киеве над членами «Народной воли». Приговор: В. С. Панкратов к 20 годам каторги, остальные к различным … - ПРОЦЕСС в Толковом словаре русского языка Ушакова:
процесса, м. (латин. processus). 1. Ход, развитие какого-н. явления; последовательная закономерная смена состояний в развитии чего-н. Процесс ликвидации феодализма и … - СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС в Большом энциклопедическом словаре:
(вероятностный или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена …
Материал из synset
Эти материалы являются сокращённой электронной версией книги "Стохастический мир". После конвертации из LaTex появились неизбежные артефакты, которые будут постепенно устраняться. Об ошибках или опечатках, найденных в последней версии убедительная просьба сообщать, например, в закладке "обсуждение" вверху на этой странице или почтой mathсайт. Вы этим очень поможете в улучшении книги. Приветствуются также комментарии общего плана: что понравилось, а что нет. Для чтения книги в web-браузере стоит прочитать совет по настройке браузера для более комфортного просмотра формул.
С уважением, Степанов Сергей Сергеевич.
Случайные события
Стохастические уравнения
Средние значения стохастических процессов
Вероятности стохастических процессов
Стохастические интегралы
Системы уравнений
Стохастическая природа
Стохастическое общество
Краткое содержание
Случайные события
Абсолютно детерминированных событий и процессов не бывает. Вселенная разговаривает с нами на языке теории вероятностей. Предполагается, что Читатель хорошо знаком с ней, поэтому напоминаются только факты, необходимые для дальнейшего изучения предмета.
Первый раздел является вводным, он подводит к необходимости использования стохастических дифференциальных уравнений при исследовании различных систем. Затем обсуждается понятие плотности вероятностей, позволяющей вычислять наблюдаемые в среднем величины. Гауссова вероятность лежит в основе шума, воздействующего на детерминированную динамику. Стохастическая связь между случайными величинами и, наоборот, их независимость важны при обнаружении закономерностей между различными объектами и их характеристиками. Ключевым разделом главы является Модель аддитивного блуждания . Именно обобщение этой простой модели приведёт нас в следующей главе к стохастическим дифференциальным уравнениям. Последний раздел Мартингалы и бесплатный сыр содержит ряд формальных определений, которые при желании можно опустить.
Стохастические уравнения
Эта глава является ключевой. В ней вводится основной математический объект нашего интереса -- стохастические дифференциальные уравнения. Мы будем использовать максимально неформальный, интуитивный путь, считая, что получение конкретных практических результатов важнее, чем математически строгое их обоснование.
Стохастические уравнения представляют собой достаточно естественный непрерывный по времени предел дискретных случайных процессов, рассмотренных в предыдущей главе. Даже решая непрерывное уравнение, мы будем постоянно возвращаться к его дискретному аналогу, как для получения общих аналитических результатов, так и для численного моделирования. Исключительно важным результатом главы является лемма Ито, при помощи которой мы научимся находить точные решения уравнений в некоторых простых, но важных для практических приложений задачах. Затем обсуждаются способы вычисления автокорреляционной функции случайного процесса и его спектральные свойства. В заключение мы затронем тему систем уравнений, к которой более последовательно вернёмся в шестой главе.
Средние значения
Дифференциальное уравнение для случайной функции x(t) - это лишь один из возможных языков описания стохастического процесса. В ситуации, когда система эволюционирует со временем, средние значения также изменяются и подчиняются определённым дифференциальным уравнениям. Фактически, их решение является наиболее прямым способом получения практически полезных результатов.
Мы начнём эту главу с вывода динамического уравнения для средних. С его помощью будет получено простое выражение для плотности вероятности в ситуации, когда система имеет стационарный режим. Затем мы подробно проанализируем две стохастические задачи: уравнение Феллера и логистическое уравнение. В заключение будут рассмотрены метод разложения средних величин в степенной ряд по времени и квазидетерминированное приближение.
Вероятности
Ещё одним способом получения информации о поведении стохастического процесса является решение уравнений для условной плотности вероятности которым посвящена эта глава.
На простых примерах будут продемонстрированы методы решения подобных уравнений. Затем мы рассмотрим вопрос о граничных условиях, которые наиболее естественным образом учитываются при помощи уравнения Фоккера-Планка. Будет вычислено среднее время достижения границы и построен простой метод решения уравнения Фоккера-Планка при наличии граничных условий. Решения уравнений x(t) мы часто записываем при помощи гауссовой случайной переменной.
Стохастические интегралы
Как и в обычном анализе, если определено стохастическое дифференцирование, то естественно ввести и стохастическое интегрирование. Соответствующая техника даст нам ещё один инструмент получения соотношений для иногда достаточно общих случайных процессов. Это очень красивый раздел стохастической математики, который к тому же активно используется в учебной и научной литературе.
В дифференциальных уравнениях присутствуют два бесконечно малых изменения -- снос, пропорциональный dt, и волатильность шума. Соответственно, возможно два вида интегралов. В первом разделе мы рассмотрим стохастические интегралы по dt, изучим их основные свойства и найдём представление некоторых интегралов через обычные случайные величины. Во втором разделе рассматривается интеграл Ито по . Далее будут получены условия, при которых решение стохастического дифференциального уравнения единственно, и рассмотрен итерационный метод построения этого решения.
Системы уравнений
Одномерные стохастические уравнения позволяют описывать только сравнительно простые системы. Даже для обычного физического осциллятора необходимо решать систему из двух уравнений первого порядка. Реальность в общем случае -- многомерна. Она даёт нам множество примеров достаточно сложных, но исключительно интересных случайных процессов.
Как и в одномерном случае, мы начнём с дискретных процессов, обобщение которых на непрерывный случай приведёт нас к системе стохастических дифференциальных уравнений. Фактически, эта глава повторяет большинство результатов предыдущих глав. Для тех, кто уверенно владеет тензорной и матричной алгеброй, соответствующие обобщения служат лишь способом повторения уже известного материала. После вывода основных многомерных уравнений будут рассмотрены решения некоторых задач.
Стохастическая природа
В этой главе приведены примеры природных систем, которые естественным образом описываются при помощи стохастических дифференциальных уравнений. Эти системы охватывают широкий спектр приложений от физики до биологии, однако не требуют глубоких познаний в соответствующих областях. Большинство разделов не связаны друг с другом и могут быть прочитаны в любом порядке, независимо друг от друга. Первое стохастическое дифференциальное уравнение в 1908 году записал Поль Ланжевен (Paul Langevin). Именно с него начинается эта глава.
Стохастическое общество
В этой главе собраны некоторые примеры применения стохастических методов к финансовым рынкам и экономике. Волатильный характер цен и экономических индикаторов приводит к тому, что динамика соответствующих систем является существенно стохастической, и член в уравнениях Ито играет ведущую роль.
Сначала мы сделаем небольшой экскурс в финансовые рынки и эмпирические свойства цен финансовых инструментов. Затем рассмотрим теорию диверсификации и бета - коэффициенты. Стохастические методы оказываются очень полезными при изучении сложных финансовых инструментов. Примером такого инструмента является опцион. Мы рассмотрим основные его свойства и двумя различными способами выведем формулу Блэка-Шоулза. После этого будет рассмотрена простая однофакторная модель кривой доходности.
Слово стохастический используется математиками и физиками для описания процессов, в которых имеется элемент случайности. Оно происходит непосредственно от греческого слова «атоааизеоа». В этике Аристотеля это слово используется в смысле «способности угадывать». Математики применили это слово, очевидно, на том основании, что при необходимости угадывать появляется элемент случайности. В «Новом международном словаре» Вебстера слово стохастический определено как предположительный. Мы, таким образом, замечаем, что техническое значение этого слова не находится в точном соответствии с его лексическим (словарным) определением. В том же смысле, что и «стохастический процесс», некоторые авторы пользуются выражением «случайный процесс». В дальнейшем мы будем говорить о процессах и сигналах, которые не являются чисто случайными, но содержат в себе случайность в той или иной степени. По этой причине мы предпочитаем слово «стохастический».
Рис. 3.1-1. Сравнение типичного стохастического и предсказуемого сигналов.
На рис. 3.1-1 сравниваются простые формы колебаний стохастического и регулярного сигналов. Если повторить эксперимент по измерению стохастического сигнала, то мы получим колебания новой формы, отличной от предыдущей, но все еще проявляющей некоторое сходство в характерных чертах. Запись колебаний волн океана
является еще одним примером стохастического сигнала. Почему необходимо говорить об этих, довольно необычных, стохастических сигналах? Ответ на этот вопрос основан на том факте, что входные сигналы систем автоматики зачастую не являются полностью предсказуемыми подобно синусоиде или простейшему переходному процессу. В действительности, стохастические сигналы встречаются при исследованиях автоматических систем чаще, чем предсказуемые сигналы. Тем не менее то обстоятельство, что предсказуемые сигналы имеют большое значение до настоящего времени, не является серьезным упущением. Весьма часто можно прийти к приемлемой методике, подбирая сигналы из класса предсказуемых сигналов так, чтобы отобразить характерные особенности истинного сигнала, являющегося по своей природе стохастическим. Примером такого рода является использование нескольких соответственно подобранных синусоид с целью представить стохастические изменения моментов, обусловливающих качку, в задаче об устойчивости корабля. С другой стороны, мы встречаем такие задачи, в которых представление истинного стохастического сигнала с помощью предсказуемой функции весьма затруднительно. В качестве первого примера рассмотрим схему системы автоматического слежения за целью и управления огнем. Здесь наводящее радиолокационное устройство измеряет ошибку наведения не точно, а только приблизительно. Разность между истинной ошибкой наведения и тем, что измеряет радиолокатор, часто называют радиолокационным шумом. Обычно очень трудно аппроксимировать радиолокационный шум несколькими синусоидами или другими простыми функциями. Другим примером является плетение текстильных волокон. В процессе плетения из беспорядочно запутанных связок волокна (называемых пряжей) вытягивается нить. Толщину нити, в некотором смысле, можно рассматривать как входной сигнал при регулировании процесса плетения. Отклонения в этом процессе происходят из-за изменения числа и толщины отдельных волокон в различных переплетающихся участках пряжи. Очевидно, этот тип отклонений является по своей природе стохастическим, и его затруднительно аппроксимировать любыми регулярными функциями.
Предыдущие рассуждения показывают, что стохастические сигналы при исследовании систем регулирования играют важную роль. Пока мы говорили о стохастических сигналах как о сигналах, вызванных процессами, содержащими некоторый элемент случайности. Чтобы перейти к дальнейшему, мы должны уточнить понятия о таких сигналах. Современная физика, в особенности квантовая механика, учит, что все физические процессы при детальном исследовании
оказываются разрывными и недетерминированными. Законы классической механики заменяются статистическими законами, основанными на вероятности событий. Например, мы обычно считаем напряжение колебаний, возникающих на экране вакуумной трубки осциллографа, гладкой функцией. Однако мы знаем, что если исследовать эти колебания при помощи микроскопа, они не будут выглядеть столь гладко из-за дробового шума в трубке, сопровождающего возбуждение колебаний. После некоторого размышления нетрудно склониться к тому, что все сигналы в природе являются стохастическими. Хотя сначала мы предположили, что по сравнению с синусоидой или функцией единичного скачка стохастический сигнал является относительно абстрактным понятием, но в действительности вернее обратное: синусоида, функция единичного скачка и вообще регулярные сигналы представляют абстракцию. Однако, подобно евклидовой геометрии, - это полезная абстракция.
Стохастический сигнал не может быть представлен графически наперед заданным образом, так как он обусловлен процессом, содержащим элемент случайности. Мы не можем сказать, какова величина стохастического сигнала в будущий момент времени. О стохастическом сигнале в будущий момент времени можно сказать только какова вероятность, что его величина попадает в определенный интервал. Мы, таким образом, видим, что понятия функции для стохастического сигнала и для регулярного сигнала совершенно различны. Для регулярной переменной величины идея функции подразумевает определенную зависимость переменной от ее аргумента. С каждой величиной аргумента мы связываем одно или несколько значений переменной. В случае стохастической функции мы не можем связать единственным образом величину переменной с некоторым частным значением аргумента. Все, что мы можем сделать - это связать с частными значениями аргумента некоторые распределения вероятности. В определенном смысле все регулярные сигналы являются тем предельным случаем стохастических сигналов, когда распределения вероятности обладают высокими пиками, так что неопределенность положения переменной для частной величины аргумента равна нулю. На первый взгляд стохастическая переменная может показаться настолько неопределенной, что ее аналитическое рассмотрение невозможно. Однако мы увидим, что анализ стохастических сигналов может быть проведен с помощью функций плотности вероятности и других статистических характеристик, таких как средние величины, среднеквадратичные величины и функции корреляции. Ввиду статистической природы стохастические сигналы зачастую удобно считать элементами множества сигналов, каждый из которых обусловлен одиим и тем же процессом. Это множество сигналов называется ансамблем. Понятие ансамбля для стохастических сигналов соответствует понятию населения в статистике. Характеристики стохастического сигнала
относятся обычно к ансамблю, а не к частному сигналу ансамбля. Таким образом, когда мы говорим об определенных свойствах стохастического сигнала, то обычно подразумеваем, что этими свойствами обладает ансамбль. Вообще невозможно считать, что отдельный стохастический сигнал имеет произвольные свойства (с возможным исключением несущественных свойств). В следующем параграфе мы обсудим важное исключение из этого общего правила.
Как давно уже заметил Росс Эшби, никакая система (ни компьютер, ни организм) не может произвести чего-либо нового , если эта система не содержит некоторого источника случайности. В компьютере это будет генератор случайных чисел, благодаря которому «поиски» машины по методу проб и ошибок в конечном счете исчерпывают все возможности изучаемой области.
Иными словами, все создающие новое, то есть творческие системы являются, на языке Главы 2, расходящимися ; напротив, последовательности событий, которые предсказуемы, являются, ipso facto*, сходящимися.
Кстати, это не значит, что все расходящиеся системы стохастичны. Для этого процессу требуется не только доступ к случайности, но также и встроенное сравнивающее устройство, называемое в эволюции «естественным отбором», а в мышлении «предпочтением» или «подкреплением».
Вполне возможно, что с точки зрения вечности, то есть в космическом и вечном контексте, все последовательности событий становятся стохастическими. С этой точки зрения, или даже с точки зрения спокойно сочувствующего таоистского святого, может быть, ясно, что для направления всей системы нет надобности в каком-либо конечном предпочтении. Но мы живем в ограниченной области вселенной, и каждый из нас существует в ограниченном времени. Для нас расходимость реальна и является потенциальным источником беспорядка или новшества.
Иногда я даже подозреваю, что мы, хотя и связанные иллюзией, выполняем за таоиста, который смотрит со стороны, эту работу выбора и предпочтения. (Мне вспоминается некий поэт, отказывавшийся от воинской повинности. Он якобы утверждал: «Я и есть та цивилизация, за которую борются эти ребята». Может быть, он был в каком-то смысле прав?).
Так или иначе, по-видимому, мы существуем в ограниченной биосфере, где главное направление определяется двумя сцепленными стохастическими процессами. Такая система не может долго оставаться без изменения. Но скорость изменения ограничена тремя факторами:
а. Вейсмановский барьер, отделяющий соматическое изменение от генетического, о котором была речь в разделе 1 этой главы, гарантирует, что соматическое приспособление не станет опрометчиво необратимым.
б. В каждом поколении половая репродукция гарантирует, что план новой клетки, заключенный в ДНК, не вступит в резкий конфликт с планом старой, то есть с формой естественного отбора, действующей на уровне ДНК, независимо от того, чтó может означать для фенотипа этот отклоняющийся новый план.
в. Эпигенез действует как сходящаяся и консервативная система; развитие эмбриона, само по себе, образует контекст отбора, благоприятствующий консерватизму.
Тот факт, что естественный отбор есть консервативный процесс, впервые осознал Элфред Рассел Уоллес. Мы уже упомянули ранее, по другому поводу, относящуюся сюда квазикибернетическую модель из его письма Дарвину, объясняющего его идею:
«Этот принцип действует в точности наподобие принципа центробежного регулятора паровой машины, который проверяет и исправляет все отклонения чуть ли не прежде, чем они становятся очевидными; подобным же образом в животном царстве никакое отступление от равновесия никогда не может достигнуть сколько-нибудь заметной величины, поскольку оно стало бы ощущаться на самом первом шаге, затруднив существование и сделав почти неизбежным последующее вымирание.»
9. сравнение и сочетание обеих стохастических систем
В этом разделе я попытаюсь уточнить описание обеих систем, исследовать функции каждой из них и, наконец, исследовать характер большей системы всеобщей эволюции, представляющей сочетание этих двух подсистем.
Каждая подсистема имеет две компоненты (как это вытекает из слова стохастическая ) (см. Словарь): случайную компоненту и процесс отбора, действующий на продукты случайной компоненты.
В той стохастической системе, которой дарвинисты уделили наибольшее внимание, случайной компонентой является генетическое изменение, путем мутации или путем перегруппировки генов между членами популяции. Я предполагаю, что мутация не реагирует на требования окружающей среды или на внутренние напряжения организма. Но при этом я предполагаю, что механизм отбора, действующий на случайно меняющийся организм, включает и внутренние напряжения каждого существа, и, далее, условия среды, действующей на это существо.
Прежде всего необходимо заметить, что, поскольку эмбрионы защищены яйцом или материнским телом, внешняя среда не имеет сильного селекционного влияния на генетические новшества до того, как эпигенез не пройдет ряд этапов. В прошлом, как и до сих пор, внешний естественный отбор предпочитал изменения, защищающие эмбрион и молодую особь от внешних опасностей. Результатом было все возрастающее разделение двух стохастических систем.
Альтернативный метод, обеспечивающий выживание по крайней мере некоторых потомков, состоит в большом умножении их числа. Если в каждом цикле репродукции индивид производит миллионы зародышей, то подрастающее поколение может вынести случайное умерщвление, особенно оставляющее в живых лишь несколько особей из миллиона. Это означает вероятностное отношение к внешним причинам смерти, без каких-либо попыток приспособиться к их частной природе. При этой стратегии внутренний отбор также получает возможность беспрепятственно контролировать изменение.
Таким образом, благодаря защите незрелых потомков, или благодаря астрономическому умножению их числа, получилось, что в наше время для многих организмов новая форма должна прежде всего подчиниться ограничениям, происходящим от внутренних условий. Будет ли новая форма жизнеспособна в этом окружении? Сможет ли развивающийся эмбрион вынести новую форму, или изменение повлечет за собой летальные отклонения в развитии эмбриона? Ответ будет зависеть от соматической гибкости эмбриона.
Сверх того, при половой репродукции сочетание хромосом в ходе оплодотворения неизбежно приводит к процессу сравнения. Все новое в яйце или в сперматозоиде должно встретиться со старым в своем партнере, и это испытание благоприятствует конформности и неизменности. Слишком резкое новшество будет устранено, как несовместимое.
За процессом слияния в репродукции следуют все сложности развития, и здесь комбинаторный аспект эмбриологии, подчеркиваемый термином эпигенез* , требует дальнейших испытаний конформности. Как мы знаем, в status quo ante¦ все требования совместимости были удовлетворены, чтобы произвести половозрелый фенотип. Если бы это было не так, то status quo ante никогда бы не существовал.
Очень легко впасть в заблуждение, будто жизнеспособность нового означает, что со старым что-то было не в порядке. Этот взгляд, к которому неизбежно склонны организмы, уже страдающие от патологий слишком быстрого, безрассудного социального изменения, конечно, большей частью ошибочен. Всегда необходима уверенность, что новое не хуже старого. У нас все еще нет уверенности, что общество с двигателями внутреннего сгорания жизнеспособно, или что электронные средства связи вроде телевизора совместимы с агрессивной внутривидовой конкуренцией, порожденной Промышленной Революцией. При прочих равных условиях (что бывает редко), старое, в некоторой мере проверенное, можно считать более жизнеспособным, чем совсем не проверенное новое.
Таким образом, внутренний отбор – первая серия испытаний любой новой генетической компоненты или комбинации.
В противоположность этому, вторая стохастическая система имеет свои прямые корни во внешнем приспособлении (т.е. во взаимодействии между фенотипом и средой). Случайная компонента доставляется здесь системой, состоящей из фенотипа, взаимодействующего со средой.
Частные приобретенные признаки, вызванные реакцией на некоторое данное изменение среды, могут быть предсказуемы. Если уменьшается доставка пищи, то организм, вероятно, теряет вес, главным образом вследствие метаболизма собственных жиров. Упражнение и неупражнение вызывают изменения в развитии или недоразвитость отдельных органов, и так далее. Подобным же образом, часто можно предсказать отдельные изменения в среде: изменение климата в сторону похолодания, как можно предсказать, уменьшит местную биомассу, и тем самым уменьшит доставку пищи многим видам организмов. Но вместе фенотип и организм порождают нечто непредсказуемое. Ни организм, ни его окружающая среда не имеет информации о том, что сделает на следующем шаге партнер. Но в этой подсистеме уже есть компонента отбора, в той мере, насколько соматические изменения, вызванные привычкой и средой (в том числе сама привычка), адаптивны. (Широкий класс изменений, вызванных средой и опытом и не адаптивных, а также не способствующих выживанию, известен под именем аддикции ).
Среда и физиология вместе предлагают соматические изменения, которые могут быть жизнеспособны или нет, и жизнеспособность их определяется текущим состоянием организма, которое определяет генетика . Как я объяснил в разделе 4, границы, которых может достигнуть соматическое изменение или обучение, в конечном счете задаются генетикой.
В итоге, сочетание фенотипа и среды составляет случайную компоненту стохастической системы, которая предлагает изменение; а генетическое состояние располагает , разрешая некоторые изменения и запрещая другие. Ламаркистам хотелось бы, чтобы соматические изменения контролировали генетику, но дело обстоит как раз наоборот. Это генетика ограничивает соматические изменения, делая некоторые из них возможными, а другие невозможными.
Более того, геном индивидуального организма, где и содержатся возможности изменения, есть то, что компьютерные инженеры назвали бы банком данных – он доставляет запас доступных альтернативных путей приспособления. В данном индивиде большинство этих альтернатив остается неиспользованным, а потому незаметным.
Подобным же образом, в другой стохастической системе геном популяции , как теперь думают, чрезвычайно неоднороден. Все возможные генетические сочетания, даже редкие, создаются перегруппировкой генов в половой репродукции. Таким образом, имеется обширный запас альтернативных генетических путей, которые естественная популяция может избрать под давлением отбора, как показали исследования Уоддингтона о генетической ассимиляции (рассмотренные в разделе 3).
Если эта картина верна, то и популяция, и индивид готовы к изменению. Можно полагать, что нет надобности ждать надлежащих мутаций, и это представляет некоторый исторический интерес. Как известно, Дарвин поколебался в своих взглядах на ламаркизм, считая, что геологического времени было недостаточно для процесса эволюции, действующего без ламарковой наследственности. Поэтому в дальнейших изданиях «Происхождения видов» он принял позицию Ламарка. Открытие Феодосия Добжанского, что единицей эволюции вляется популяция, и что популяция представляет собой неоднородное хранилище генных возможностей, весьма сокращает время, требуемое эволюционной теорией. Популяция способна немедленно отвечать на давление среды. Индивидуальный организм обладает способностью к адаптивному соматическому изменению, но именно популяция, посредством выборочного устранения особей, совершает изменение, передающееся будущим поколениям. Предметом отбора становится возможность соматического изменения. Отбор, осуществляемый средой, действует на популяции .
Мы переходим теперь к исследованию отдельных вкладов в общий процесс эволюции каждой из этих двух стохастических систем. Ясно, что в каждом случае направление изменений, в конечном счете входящих в общую картину, задается селективной компонентой.
Временнáя структура двух стохастических процессов по необходимости различна. В случайном генетическом изменении новое состояние ДНК существует с момента оплодотворения, но, возможно, внесет свой вклад во внешнее приспособление лишь много позже. Иными словами, первое испытание генетического изменения есть проверка консервативности . Следовательно, именно эта внутренняя стохастическая система гарантирует столь заметное во всех случаях формальное сходство внутренних отношений между частями (т.е. гомологию). Вдобавок, можно предсказать, какой из многих видов гомологии будет наиболее предпочтителен для внутреннего отбора; ответ прежде всего – цитологический: это поразительнейшее сходство, соединяющее весь мир клеточных организмов. Куда ни посмотрим, везде находим в клетках сравнимые формы и процессы. Танец хромосом, митохондрии и другие органеллы цитоплазмы, однородная ультрамикроскопическая структура жгутиков везде, где они встречаются, и у растений, и у животных – все эти глубочайшие формальные сходства являются результатом внутреннего отбора, настаивающего на консерватизме на этом элементарном уровне.
К подобному же заключению приводит нас вопрос о дальнейшей судьбе изменений, переживших первые цитологические испытания. Изменение, подействовавшее на более раннем этапе жизни эмбриона, должно нарушить более продолжительную и, соответственно, более сложную цепь дальнейших событий. Трудно или невозможно указать какие-либо количественные оценки распределения гомологий в истории организмов. Когда говорят, что гомология наиболее выражена на самых ранних стадиях продукции гамет, оплодотворения, и так далее, это означает некоторое количественное утверждение о степенях гомологии, придающее значение таким характеристикам, как число хромосом, паттерны митоза, двусторонняя симметрия, конечности с пятью пальцами, центральная нервная система со спинным мозгом, и так далее. Такие оценки, конечно, весьма искусственны в мире, где (как отмечено в Главе 2) количество никогда не определяет паттерн. Но интуитивное ощущение все же остается. Единственные формальные паттерны, разделяемые всеми клеточными организмами – и растениями, и животными – находятся на клеточном уровне.
Из этого направления мысли вытекает интересное заключение: После всех споров и сомнений, теория повторения заслуживает поддержки. Есть априорная причина ожидать, что эмбрионы будут в своих формальных паттернах ближе напоминать эмбриональные формы своих предков, чем взрослые особи – формы своих взрослых предков. Это далеко от того, о чем мечтали Геккель и Герберт Спенсер, представлявшие себе, что эмбриология должна следовать пути филогенеза. Современная формулировка более негативна: Отклонение от начала пути более трудно (менее вероятно), чем отклонение от более поздних стадий. Если мы, в качестве эволюционных инженеров, оказались бы перед задачей выбрать путь филогенеза от свободно плавающих организмов, похожих на головастика, к сидячему, червеобразному, живущему в грязи Balanoglossus , то мы нашли бы, что самый легкий путь эволюции состоял бы в том, чтобы избегать слишком ранних или слишком резких нарушений на эмбриональной стадии. Может быть, мы даже нашли бы, что эволюционный процесс упрощается подразделением эпигенеза посредством разграничения отдельных стадий. Тогда мы пришли бы к организму со свободно плавающими, напоминающими головастиков зародышами, которые в определенный момент совершают метаморфозу в червеобразных, сидячих взрослых.
Механизм изменчивости не просто разрешает, и не просто творит. В нем имеется непрерывный детерминизм, где возможные изменения составляют класс изменений, подходящих для данного механизма. Система случайных генетических изменений, фильтруемых селективным процессом внутренней жизнеспособности, и придает филогенезу характер вездесущей гомологии.
Если мы теперь рассмотрим вторую стохастическую систему, то придем к совсем иной картине. Хотя никакое обучение или соматическое изменение не может прямо повлиять на ДНК, дело происходит очевидным образом так, что соматические изменения (т.е. пресловутые приобретенные признаки) обычно адаптивны. В смысле индивидуального выживания и (или) репродукции и (или) простого удобства и снижения стресса, полезно приспособление к изменениям среды. Такое приспособление происходит на многих уровнях, но на каждом уровне имеется реальное или кажущееся преимущество. Хорошая идея – учащенное дыхание, когда вы попадаете на большую высоту; хорошая идея также – научиться обходиться без одышки, если вам приходится долго оставаться в горах. Хорошая идея – иметь физиологическую систему, способную адаптироваться к физиологическому стрессу, хотя такое приспособление приводит к акклиматизации, а акклиматизация может стать аддикцией.
Иными словами, соматическое приспособление всегда создает контекст для генетического изменения, но совсем другое дело, произойдет ли затем такое генетическое изменение. Я оставлю пока этот вопрос в стороне и рассмотрю, какой спектр генетических изменений может быть предложен соматическим изменением. Конечно, этот спектр или это множество возможностей устанавливает внешний предел тому, чего может достигнуть данная стохастическая компонента эволюции.
Одна общая черта соматической изменчивости сразу же очевидна: все такие изменения – количественные или – как сказали бы компьютерные инженеры – аналоговые . В теле животного центральная нервная система и ДНК в значительной степени (может быть, полностью) дискретные, но остальная физиология – аналоговая.
Таким образом, сравнивая случайные генетические изменения первой стохастической системы с реактивными соматическими изменениями второй, мы опять встречаемся с обобщением, подчеркнутым в Главе 2: Количество не определяет паттерн . Генетические изменения могут быть в высшей степени абстрактными, могут действовать на расстоянии многих ступеней от их конечного фенотипического выражения, и, несомненно, в своем конечном выражении могут быть и количественными, и качественными. Но соматические изменения гораздо более непосредственны и, как я полагаю, исключительно количественны. Насколько я знаю, описательные предложения, вводящие в описание вида общие с другими видами паттерны (т.е. гомологии), никогда не нарушаются соматическими изменениями, какие могут произвести привычка и среда.
Иными словами, контраст, продемонстрированный Д’Арси Томпсоном (см. рис. 9), по-видимому, имеет корни в контрасте между двумя великими стохастическими системами (т.е. следует из него).
Наконец, я должен сравнить процессы мышления с двойной стохастической системой биологической эволюции. Присуща ли такая двойная система также мышлению? (Если это не так, то вся структура этой книги становится сомнительной).
Прежде всего важно заметить, что «платонизм», как я его назвал в Главе 1, стал возможен в наши дни благодаря аргументам, почти противоположным тем, какие предпочла бы дуалистическая теология. Параллелизм между биологической эволюцией и разумом (mind) создается не постулированием Инженера или Мастера, прячущегося в механизме эволюционного процесса, а, напротив, постулированием стохастичности мышления. Критики Дарвина девятнадцатого века (в особенности Сэмюэл Батлер) хотели ввести в биосферу то, что они называли «разумом» («mind») (т.е. сверхъестественную энтелехию*). В наше время я подчеркнул бы, что творческая мысль всегда содержит случайную компоненту. Процесс исследования – бесконечный процесс проб и ошибок психического (mental) прогресса – может достигнуть нового лишь вступая на случайно возникающие пути; некоторые из них при испытании каким-то образом отбираются для чего-то вроде выживания.
Если мы допускаем фундаментально стохастический характер творческого мышления, то возникает позитивная аналогия с несколькими аспектами человеческого психического (mental) процесса. Мы ищем бинарное разделение процесса мышления, стохастическое в обеих своих половинах и такое, что случайная компонента одной половины должна быть дискретной, а случайная компонента другой половины – аналоговой.
По-видимому, простейший путь к этой проблеме – рассмотреть сначала процессы отбора, определяющие и ограничивающие его результаты. Здесь мы встречаемся с двумя главными способами испытания мыслей или идей.
Первый из них – это испытание на логическую связность: имеет ли новая идея смысл в свете того, что уже известно, или того, чему мы верим? Хотя есть много видов смысла, и хотя «логика», как мы уже видели, представляет лишь убогую модель того, как обстоят дела в мире, все же первым требованием мыслителя к понятиям, возникающим в его уме, остается нечто вроде согласованности или связности – строгой или воображаемой. Напротив, порождение новых понятий почти полностью (хотя, может быть, и не полностью) зависит от перестановки и нового сочетания уже имевшихся идей.
В самом деле, имеется замечательно близкая параллель между стохастическим процессом, происходящим внутри мозга, и другим стохастическим процессом – генезисом случайных генетических изменений, над результатами которых работает процесс внутреннего отбора, обеспечивающий некоторое соответствие между старым и новым. И при более внимательном изучении этого предмета формальное сходство, по-видимому, возрастает.
Обсуждая контраст между эпигенезом и творческой эволюцией, я указал, что в эпигенезе вся новая информация должна быть оставлена в стороне, и что этот процесс больше напоминает вывод теорем в рамках некоторой исходной тавтологии. Как я отметил в этой главе, весь процесс эпигенеза может рассматриваться как фильтр, точно и безусловно требующий от растущего индивида подчинения определенным стандартам.
Так вот, мы замечаем, что во внутричерепном процессе мышления есть аналогичный фильтр, который, подобно эпигенезу в индивидуальном организме, требует подчинения и навязывает это требование с помощью процесса, более или менее напоминающего логику (т.е. похожего на построение тавтологии для создания теорем). В процессе мышления строгость аналогична внутренней связности в эволюции.
Резюмируя, можно сказать, что внутричерепная стохастическая система мышления или обучения близко напоминает ту компоненту эволюции, в которой случайные генетические изменения отбираются эпигенезом. Наконец, историк культуры имеет в своем распоряжении мир, где формальное сходство сохраняется в течение многих поколений истории культуры, так что он может разыскивать там соответствующие паттерны точно так же, как зоолог ищет гомологии.
Обратившись теперь к другому процессу обучения или творческого мышления, включающему не только мозг индивида, но и мир вокруг организма, мы находим аналог этого процесса в эволюции, где опыт создает то отношение между организмом и средой, которое мы называем приспособлением , навязывая организму изменения привычек и сомы.
Каждое действие живого организма включает в себя некоторую долю проб и ошибок, а чтобы проба была новой, она должна быть в некоторой степени случайной. Даже если новое действие – лишь элемент некоторого хорошо изученного класса действий, все же, поскольку оно ново, оно должно стать в некоторой степени подтверждением или исследованием предложения «это делается вот так».
Но при обучении, как и при соматическом изменении, есть ограничения и облегчения, отбирающие то, что может быть выучено. Некоторые из них – внешние для организма, другие – внутренние. В первом случае то, что может быть выучено в данный момент, ограничивается или облегчается тем, что было выучено раньше. В действительности, есть еще обучение тому, как учиться – с конечным пределом, определяемым генетическим строением – тому, что может быть сразу же изменено в ответ на требования окружения. И на каждом шаге, в конечном счете, действует генетический контроль (как это было указано при обсуждении соматической изменчивости в разделе 4).
Наконец, необходимо сопоставить оба стохастических процесса, которые я разделил с целью анализа. Какие формальные отношения существуют между ними?
Как я понимаю, суть дела состоит в контрасте между дискретным и аналоговым, или, на другом языке, между именем и именуемым процессом .
Но именование есть само по себе процесс, и притом такой процесс, который происходит не только в нашем анализе, но также – глубоким и значительным образом – в самих системах, которые мы пытаемся анализировать. Каковы бы ни были кодирование и механические отношения между ДНК и фенотипом, все же ДНК есть некоторым образом распорядительный орган, предписывающий – и в этом смысле называющий – отношения, которые должны проявиться в фенотипе.
Но если мы допускаем, что именование есть явление, встречающееся в изучаемых нами явлениях и организующее их, то мы признаём ipso facto, что мы ожидаем найти в этом явлении иерархию логических типов.
До этого места мы можем обойтись Расселом и Principia .¦ Но теперь мы уже не находимся в расселовом мире абстрактной логики и математики, и не можем принять пустую иерархию имен или классов. Математику легко говорить об именах имен имен или о классах классов классов . Но для ученого этот пустой мир недостаточен+. Мы пытаемся разобраться в переплетении или взаимодействии дискретных ступеней (т.е. наименований) с аналоговыми ступенями. Процесс наименования сам по себе именуем , и этот факт вынуждает нас заменить чередованием простую лестницу логических типов, предлагаемую Principia .
Иными словами, для воссоединения двух стохастических систем, на которые я подразделил с целью анализа и эволюцию, и психический процесс, мне придется рассмотреть обе в чередующемся порядке . То, что в Principia появляется как лестница из ступеней одного вида (имена имен имен, и так далее), становится чередованием ступеней двух видов. Чтобы придти от имени к имени имени , нам надо пройти через процесс именования имен. Всегда должен быть процесс порождения, создающий классы прежде, чем они могут быть названы.
Этот весьма обширный и сложный предмет будет рассмотрен в Главе 7.
