Закон движения - математическая формулировка того, как движется тело или как происходит движение более общего вида или набор зависимостей, которые выявляют все данные о движении точки.

В классической механике материальной точки закон движения представляет собой три зависимости трёх пространственных координат от времени, либо зависимость одной векторной величины (радиус-вектора) от времени, вида

r → = r → (t) = x (t) e x → + y (t) e y → + z (t) e z → {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e_{x}}}+y(t){\vec {e_{y}}}+z(t){\vec {e_{z}}}}

Закон движения может быть найден, в зависимости от задачи, либо из дифференциальных законов механики (см. Законы Ньютона), либо из интегральных (см. Закон сохранения энергии , Закон сохранения импульса), либо из так называемых вариационных принципов.

Энциклопедичный YouTube

  • 1 / 5

    Простейшим случаем движения материальной точки является равномерное и прямолинейное движение, то есть движение с постоянной по модулю и направлению скоростью . В этом случае её закон движения выглядит следующим образом:

    r → (t) = r → 0 + v → t {\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}t} ,

    где r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}} - радиус-вектор, характеризующий положение точки в момент времени , v → {\displaystyle {\vec {v}}} - вектор скорости материальной точки.

    Если ось x выбрать направленной вдоль направления вектора скорости, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени t = 0 {\displaystyle t=0} , то закон принимает особо простую форму:

    x (t) = v t {\displaystyle x(t)=vt} ,

    где v {\displaystyle v} - модуль вектора скорости материальной точки.

    Равноускоренное прямолинейной движение

    Другим важным частным случаем является прямолинейно движение с постоянным ускорением . В этом случае закон движения имеет вид:

    r → (t) = r → 0 + v → 0 t + a → t 2 2 {\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}} ,

    где v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} - вектор скорости материальной точки в момент времени t = 0 {\displaystyle t=0} , a → {\displaystyle {\vec {a}}} - вектор ускорения материальной точки.

    Если ось x выбрать направленной вдоль направления вектора ускорения, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени t = 0 {\displaystyle t=0} , то закон принимает более простую форму:

    x (t) = v 0 x t + a t 2 2 {\displaystyle x(t)=v_{0x}t+{\frac {at^{2}}{2}}} ,

    где v 0 x {\displaystyle v_{0x}} - проекция вектора скорости материальной точки на ось x в момент времени t = 0 {\displaystyle t=0} , a {\displaystyle a} - модуль вектора ускорения материальной точки.

    Равномерное движение по окружности

    При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью (или, что то же самое с постоянной угловой скоростью) вектор ускорения направлен строго перпендикулярно вектору скорости в сторону центра окружности. В этом случае закон движения может быть записан в следующем виде:

    r → (t) = r → 0 + v → 0 t + a n n → (t) t 2 2 {\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {a_{n}{\vec {n}}(t)t^{2}}{2}}} ,

    где - так называемое нормальное ускорение , - единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру окружности, то есть (v → ⋅ n →) = 0 {\displaystyle ({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})=0} . Величина a n {\displaystyle a_{n}} постоянна и равна a n = v 2 R = ω 2 R {\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R} . Вектор n → {\displaystyle {\vec {n}}} равномерно вращается с угловой скоростью ω = v R {\displaystyle \omega ={\frac {v}{R}}} , где R - радиус окружности, по которой движется материальная точка.

    Удобнее при рассмотрении движения по окружности перейти к угловым переменным: углу φ {\displaystyle \varphi } , угловой скорости ω {\displaystyle \omega } и угловому ускорению ε {\displaystyle \varepsilon } . В этих переменных закон равномерного движения по окружности принимает следующий вид:

    φ (t) = φ 0 + ω t {\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}+\omega t}

    Равноускоренное движение по окружности

    При равноускоренном движении по окружности вектор ускорения меняет как своё направление, так и величину модуля. Постоянным остаётся только так называемая тангенциальная составляющая ускорения, равная проекции вектора ускорения на прямую, вдоль которой направлен вектор скорости (эта же прямая является касательной к окружности, по которой движется материальная точка). Закон движения может быть при этом записан в следующем виде:

    r → (t) = r → 0 + v → 0 t + (a n (t) n → (t) + a τ s → (t)) t 2 2 {\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {\left(a_{n}(t){\vec {n}}(t)+a_{\tau }{\vec {s}}(t)\right)t^{2}}{2}}} ,

    где - тангенциальное ускорение , - единичный вектор касательной к окружности. Величина a τ {\displaystyle a_{\tau }} остаётся постоянной, величина a n = v 2 (t) R {\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}(t)}{R}}} изменяется с изменением модуля скорости, вектора n → {\displaystyle {\vec {n}}} и s → {\displaystyle {\vec {s}}} вращаются с переменной угловой скоростью ω (t) = v (t) R {\displaystyle \omega (t)={\frac {v(t)}{R}}} .

    В угловых переменных закон равноускоренного движения по окружности имеет более простой вид:

    φ (t) = φ 0 + ω 0 t + ε t 2 2 {\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}+\omega _{0}t+{\frac {\varepsilon t^{2}}{2}}} ,

    где ε = a τ R {\displaystyle \varepsilon ={\frac {a_{\tau }}{R}}} .

    Законами движения называют три закона открытые Ньютоном, которые служат основой классической теории движения. Применяя данные законы можно решить любую задачу классической механики.

    Первый закон Ньютона

    Тело находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения или покоится, если на него не оказывают действия другие тела или их действия взаимно компенсируются. Данный закон также называют законом инерции. При этом следует учитывать, что механическое движение всегда является относительным. Это значит, что в одной системе отсчета тело может покоиться, в другой двигаться с ускорением. В математическом виде закон Ньютона можно записать как:

    где — равнодействующая всех сил, которые приложены к телу; — ускорение тела; — скорость движения тела.

    Второй закон Ньютона

    Равнодействующая всех сил, приложенных к телу равна произведению массы рассматриваемого тела на его ускорение:

    Данный закон можно формулировать и относительно ускорения. Тогда его формулировка будет следующей:

    Ускорение, которое приобретает тело под воздействием силы прямо пропорционально данной силе и обратнопропорционально массе тела:

    Если тело покоится, на него начинает действовать сила, которая обладает постоянным направлением, то направление вектора силы будет совпадать с направлением вектора скорости тела, и тело будет перемещаться прямолинейно. Тогда выражения (2) и (3) могут быть записаны в скалярном виде, например:

    Из выражения (4) можно сделать вывод о том, что если модуль силы, которая действует на тело постоянной массы, не изменяется, то данное тело движется с постоянным ускорением.

    При скоростях близких к скорости света закон Ньютона выполняться не будет.

    Третий закон Ньютона

    Данный закон можно коротко сформулировать следующим образом: Действие равно противодействию. Что обозначает следующее: В том случае, если на одно тело оказывает воздействие другое тело с некоторой силой, то второе тело действует на первое с силой равной по модулю и противоположной по направлению (рис.1). В математической формулировке третий закон Ньютона запишется как:

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР 1

    Задание Материальная точка массы движется по окружности радиуса R. Зависимость пути от времен задано уравнением: Каким будет модуль силы, действующей на точку когда линейная скорость тела равна ?
    Решение Если материальная точка под воздействием некоторой силы движется по окружности, то в соответствии со вторым законом Ньютона:

    где , значит, модуль силы можно найти как:

    При этом модуль нормального ускорения можно найти как:

    а модуль тангенциального ускорения с учетом заданной функции равно:

    Скорость по определению равна:

    Из выражения (1.5) найдем момент времени, в который нам следует вычислить модуль силы:

    Подставим полученные результаты в формулу (1.2):
    Ответ =

    ПРИМЕР 2

    Задание Тело находится на наклонной плоскости (угол к горизонту ) рис.2. Каков коэффициент трения () тела о плоскость, если тело начинает скользить?

    Одной из самых ключевых категорий диалектики является категория "закон". В самом общем виде закон можно определить как связь (отношение) между явлениями, процессами, которая является:

    а) объективной, так как присуща прежде всего реальному миру, чувственно-предметной деятельности людей, выражает реальные отношения вещей;

    б) существенной, конкретно-всеобщей. Будучи отражением существенного в движении универсума, любой закон присущ всем без исключения процессам данного класса, определенного типа (вида) и действует всегда и везде, где развертываются соответствующие процессы и условия:

    в) необходимой, ибо будучи тесно связан с сущностью, закон действует и осуществляется с "железной необходимостью" в соответствующих условиях;

    г) внутренней, так как отражает самые глубинные связи и зависимости данной предметной области в единстве всех ее моментов и отношений в рамках некоторой целостной системы;

    д) повторяющейся, устойчивой, так как закон есть прочное (остающееся) в явлении, закон - идентичное в явлении, закон - "спокойное отражение явлений. И потому всякий закон узок, неполон, приблизителен". Он есть выражение некоторого постоянства определенного процесса, регулярности его протекания, одинаковости его действия в сходных условиях.

    Стабильность, инвариантность законов всегда соотносится с конкретными условиями их действия, изменение которых снимает данную инвариантность и порождает новую, что и означает изменение законов, их углубление, расширение или сужение сферы их действия, их модификации и т.п. Любой закон не есть нечто неизменное, а представляет собой конкретно-исторический феномен. С изменением соответствующих условий, с развитием практики и познания одни законы сходят со сцены, другие вновь появляются, меняются формы действия законов, способы их использования и т.д.

    Важнейшая, ключевая задача научного исследования - "поднять опыт до всеобщего", найти законы данной предметной области, определенной сферы (фрагмента) реальной действительности, выразить их в соответствующих понятиях, абстракциях, теориях, идеях, принципах и т.п. Решение этой задачи может быть успешным лишь в том случае, если ученый будет исходить из двух основных посылок: реальности мира в его целостности и развитии и законосообразности этого мира, т.е. того, что он "пронизан" совокупностью объективных законов. Последние регулируют весь мировой процесс, обеспечивают в нем определенный порядок, необходимость, принцип самодвижения и вполне познаваемы.

    Познание законов - сложный, трудный и глубоко противоречивый процесс отражения действительности. Но познающий субъект не может отобразить весь реальный мир, тем более сразу, полностью и целиком. Он может лишь вечно приближаться к этому, создавая различные понятия и другие абстракции, формулируя те или иные законы, применяя целый ряд приемов и методов в их совокупности (эксперимент, наблюдение, идеализация, моделирование и т.п.). Характеризуя особенности законов науки, американский физик Р. Фейнман писал, что, в частности, законы физики нередко не имеют очевидного прямого отношения к нашему опыту, а представляют собой его более или менее абстрактное выражение. Очень часто между элементарными законами и основными аспектами реальных явлений дистанция огромного размера.

    Законы открываются сначала в форме предположений, гипотез. Дальнейший опытный материал, новые факты приводят к "очищению этих гипотез", устраняют одни из них, исправляют другие, пока, наконец, не будет установлен в чистом виде закон. Одно из важнейших требований, которому должна удовлетворять научная гипотеза, состоит в ее принципиальной проверяемости на практике (в опыте, эксперименте и т.п.), что отличает гипотезу от всякого рода умозрительных построений, беспочвенных вымыслов, необоснованных фантазий и т.д.

    Поскольку законы относятся к сфере сущности, то самые глубокие знания о них достигаются не на уровне непосредственного восприятия, а на этапе теоретического исследования. Именно здесь и происходит в конечном счете сведение случайного, видимого лишь в явлениях, к действительному внутреннему движению. Результатом этого процесса является открытие закона, точнее совокупности законов, присущих данной сфере, которые в своей взаимосвязи образуют "ядро" определенной научной теории.

    Раскрывая механизм открытия новых законов, Р. Фейнман отмечал, что "... поиск нового закона ведется следующим образом. Прежде всего о нем догадываются. Затем вычисляют следствия этой догадки и выясняют, что повлечет за собой этот закон, если окажется, что он справедлив. Затем результаты расчетов сравнивают с тем, что наблюдается в природе, с результатами специальных экспериментов или с нашим опытом, и по результатам таких наблюдений выясняют, так это или не так. Если расчеты расходятся с экспериментальными данными, то закон неправилен" . Следует подчеркнуть, что на всех этапах движения познания важную роль играют философские установки, которыми руководствуется исследователь. Уже в начале пути к закону, по словам Р. Фейнмана, "именно философия помогает строить догадки", здесь трудно сделать окончательный выбор.

    1 Фейнман Р. Характер физических законов. М., 1987 С. 142

    Открытие и формулирование закона - важнейшая, но не последняя задача науки, которая еще должна показать как открытый ею закон прокладывает себе путь. Для этого надо с помощью закона, опираясь на него, объяснить все явления данной предметной области (даже те, которые кажутся ему противоречащими), вывести их все из соответствующего закона через целый ряд посредствующих звеньев.

    Следует иметь в виду, что каждый конкретный закон практически никогда не проявляется в "чистом виде", а всегда во взаимосвязи с другими законами разных уровней и порядков. Кроме того, нельзя забывать, что хотя объективные законы действуют с "железной необходимостью", сами по себе они отнюдь не "железные", а очень даже "мягкие", эластичные в том смысле, что в зависимости от конкретных условий получает перевес то тот, то другой закон.

    Эластичность законов (особенно общественных) проявляется также в том, что они зачастую действуют как законы-тенденции, осуществляются весьма запутанным и приблизительным образом, как некоторая никогда твердо не устанавливающаяся средняя постоянных колебаний.

    Условия, в которых осуществляется каждый данный закон, могут стимулировать и углублять, или наоборот - пресекать и снимать его действие. Тем самым любой закон в своей реализации всегда модифицируется конкретно-историческими обстоятельствами, которые либо позволяют закону набрать полную силу, либо замедляют, ослабляют его действие, выражая закон в виде пробивающейся тенденции. Кроме того, действие того или иного закона неизбежно видоизменяется сопутствующим действием других законов.

    Каждый закон имеет границы своего действия, определенную сферу своего осуществления (например, рамки данной формы движения материи, конкретная ступень развития и т.д.). На основе законов осуществляется не только объяснение явлений данного класса (группы), но и предсказание, предвидение новых явлений, событий, процессов и т.п., возможных путей, форм и тенденций познавательной и практической деятельности людей.

    Открытые законы, познанные закономерности могут - при их умелом и правильном применении - быть использованы людьми для того, чтобы они стали господами природы и своих собственных общественных отношений. Поскольку законы внешнего мира - основа целесообразной деятельности человека, то люди должны сознательно руководствоваться требованиями, вытекающими из объективных законов, как регулятивами своей деятельности. Иначе последняя не станет эффективной и результативной, а будет осуществляться в лучшем случае методом проб и ошибок. На основе познанных законов люди могут действительно научно управлять как природными, так и социальными процессами, оптимально их регулировать.

    Опираясь в своей деятельности на "царство законов", человек вместе с тем может в определенной мере оказывать влияние на механизм реализации того или иного закона. Он может способствовать его действию в более чистом виде, создавать условия для развития закона до его качественной полноты, либо же, напротив, сдерживать это действие, локализовать его или даже трансформировать.

    Многообразие видов отношений и взаимодействий в реальной действительности служит объективной основой существования многих форм (видов) законов, которые классифицируются по тому или иному критерию (основанию). По формам движения материи можно выделить законы: механические, физические, химические, биологические, социальные (общественные); По основным сферам действительности - законы природы, законы общества, законы мышления; по степени их общности, точнее - по широте сферы их действия всеобщие (диалектические), общие (особенные), частные (специфические); по механизму детерминации - динамические и статистические, причинные и непричинные; по их значимости и роли - основные и неосновные; по глубине фундаментальности - эмпирические и теоретические и т.д. и т.п.

    Рассмотрим несколько подробнее две таких особых группы законов, как динамические и статистические, потому как они играют определенную роль в методологии научного исследования, особенно при изучении причинных явлений.

    Динамические закономерности - объективные, необходимые, существенные связи и зависимости, характеризующие поведение относительно изолированных объектов (состоящих из небольшого числа элементов), при исследовании которых можно абстрагироваться от многих случайных факторов. Предсказания на основе динамических закономерностей (в отличие от статистических) имеют точно определенный, однозначный характер.

    Так, например, в классической механике, если известен закон движения тела и заданы его координаты и скорость, то по ним можно точно определить положение и скорость движения тела в любой другой момент времени.

    Динамическая закономерность обычно понимается как форма причинной связи, при которой данное состояние системы однозначно определяет все ее последующие состояния, в силу чего знание начальных условий дает возможность точно предсказать дальнейшее развитие системы. Динамическая закономерность действует во всех автономных, мало зависимых от внешних воздействий системах с относительно небольшим числом элементов. Она определяет, например, характер движения планет в Солнечной системе.

    Динамические закономерности "пронизывают" ряд понятий современной науки. Так, существует понятие "динамическая система" - механическая система с конечным числом степеней свободы, например, система конечного числа материальных точек, движущихся по законам классической механики. Обычно закон движения таких систем описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Абсолютизация динамических законов тесно связана с концепцией механистического детерминизма (П. Лаплас и др.), о которой речь шла выше.

    Статистические закономерности - форма проявления взаимосвязи явлений, при которой данное состояние системы определяет все ее последующие состояния не однозначно, а лишь с определенной вероятностью, являющейся объективной мерой возможности реализации заложенных в прошлом тенденций изменения. Подобный (вероятностный) характер предсказаний обусловлен действием множества случайных факторов. Необходимость, проявляющаяся в статистических законах, возникает вследствие взаимной компенсации и уравновешивания множества случайностей. Данные закономерности взаимосвязаны с динамическими, но не сводятся к ним.

    Множество случайных факторов обычно имеет место в "статистических коллективах" или массовых событиях (например, большое число молекул в газе, людей в социальных коллективах и т.п.). Действия множества случайных факторов характеризуются устойчивой частотой. Это и позволяет вскрыть необходимость, которая "пробивается" через совокупное действие множества случайностей.

    Статистическая закономерность возникает как результат взаимодействия большого числа элементов, составляющих коллектив, и поэтому характеризует не столько поведение отдельного элемента, сколько коллектива в целом. Необходимость, проявляющаяся в статистических законах, возникает вследствие взаимной компенсации и уравновешивания множества случайных факторов. "Хотя статистические закономерности и могут привести к утверждениям, степень вероятности которых столь высока, что она граничит с достоверностью, тем не менее принципиально всегда возможны исключения" .

    1 Гейзенберг В. Шаги за горизонт. М., 1987. С. 125.

    Статистические законы, хотя и не дают однозначных и достоверных предсказаний, тем не менее являются единственно возможными при исследовании массовых явлений случайного характера. За совокупным действием различных факторов случайного характера, которые практически невозможно охватить, статистические законы вскрывают нечто устойчивое, необходимое, повторяющееся.

    Статистические законы служат подтверждением диалектики превращения случайного в необходимое. Динамические законы оказываются предельным случаем статистических, когда вероятность становится практической достоверностью.

    Следует сказать и о том, что статистические закономерности принципиально несводимы к динамическим закономерностям (хотя они взаимосвязаны). Это обусловлено следующими основными обстоятельствами: 1. неисчерпаемостью материи и незамкнутостью систем; 2. невозможностью реализации многих тенденций развития, заложенных в прошлых состояниях систем; 3. возникновением в процессе развития возможностей и тенденций качественно новых состояний.

    При характеристике статистических методов важное значение имеют такие понятия, как "статистика" и "вероятность". Вообще понятие "статистика" употребляется в двух основных аспектах: а) получение и обработка информации, характеризующей количественные закономерности жизни (технико-экономические, социальные, политические явления, культура) в неразрывной связи с их качественным содержанием - широкий смысл; б) совокупность данных о каком-либо явлении или процессе. В естественных науках понятие "статистика" означает анализ массовых явлений, основанных на применении методов теории вероятностей - узкий смысл.

    Статистика разрабатывает специальные методы исследования и обработки материала: массовые статистические наблюдения, метод группировок, метод средних величин, метод индексов, балансовый метод, метод графических изображений и др. Важно обратить внимание на то, что статистическая вероятность характеризует непосредственно не отдельное событие, а определенный класс событий.

    Вероятность - понятие, которое выражает степень, "меру возможности", дает количественную характеристику осуществимости возможности при данной совокупности конкретных условий. Если вероятность равна единице, то это уже действительность, если она равна нулю - невозможность. Обычно выделяют три концепции вероятности в научном познании - классическую, статистическую и логическую (индуктивную), которая широко используется в вероятностной и индуктивной логике. Понятие "вероятность" является исходным для разработки вероятностно-статистических методов. Последние основаны на учете действия множества случайных факторов (которые характеризуются устойчивой частотой), сквозь которые "пробивается" необходимость, закономерность. Одна из основных задач теории вероятностей, как науки о массовых случайных явлениях, состоит в выяснении закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов.

    Вероятностные методы опираются на теорию вероятностей, которую зачастую называют наукой о случайном, а в представлении многих ученых вероятность и случайность практически нерасторжимы. Более того, именно на базе анализа статистических данных эта теория во многом и была разработана. Как и статистика, теория вероятностей есть наука о закономерностях, характеризующих массовые явления, но не вообще массовые явления, а определенный их класс, специфика которых выражается через представления о случайности. Есть даже представление о том, что ныне случайность предстает как "самостоятельное начало мира, его строения и эволюции".

    Категории необходимости и случайности отнюдь не устарели, напротив - их роль в современной науке неизмеримо возросла. Как показала история познания, мы, как считает И. Пригожин, лишь теперь начинаем по достоинству оценивать значение всего круга проблем, связанных с необходимостью и случайностью.

    Некоторые ученые (Н. Винер, М. Бунге, Ю. Сачков и др.) полагают, что основное понятие теории вероятностей - "вероятностное распределение". Так, Н. Винер вполне определенно утверждает, что "статистика - это наука о распределении". Понятие "вероятностное распределение" означает, что массовое случайное явление (система из независимых сущностей) разбивается (распадается) на подсистемы, относительный "вес" которых, относительное число элементов в каждой из подсистем весьма устойчиво. Наличие данной устойчивости и соотносится с понятием вероятности. Каждый из элементов характеризуется некоторым общим свойством, значения которого хаотично изменяются при переходе от одного элемента к другому, но относительное число элементов с некоторым заданным значением, - подчеркнем еще раз, - весьма устойчиво.

    Следует отметить, что понятие "распределение" является центральным не только для теории вероятностей, но и для статистики. Таким оно является в математической статистике как базовой науке, изучающей массивы статистических данных. Применение статистических идей и методов в реальном познании основано на признании фундаментального характера понятия "распределение". Только на основе представлений о распределениях возможны постановка задач и формулировка основных зависимостей в соответствующих научных теориях. Статистические закономерности выражают зависимости между распределениями различных величин исследуемых систем, а также характер изменения этих распределений во времени.

    Сегодня среди тех, кто признает принципиальную значимость теоретико-вероятностного стиля мышления и его более значительную общность по сравнению с подходом, основывающимся на принципе жесткой детерминации, распространено убеждение, что мышление, которое не включает в свою орбиту идею случайности, является примитивным (М. Бунге). По аналогии можно сказать, что те исследования (естественнонаучные и социально-гуманитарные), которые не вовлекают в свою орбиту анализ статистических данных, следует также ныне рассматривать как достаточно примитивные.

    Вероятностно-статистические методы широко применяются при изучении массовых явлений - особенно в таких научных дисциплинах как математическая статистика, статистическая физика, квантовая механика, химия, биология, кибернетика, синергетика и т.д. В практическом отношении статистический метод обобщения играет наибольшую роль как в научных исследованиях, так и при принятии решений в других областях деятельности.

    Последние исследования показали, что при статистическом обобщении не просто постулируют, что заключение правдоподобно, а определяют в количественной мере (в процентах) степень вероятности заключения на основе исследования выборки. Для научных и практических прогнозов такая количественная характеристика имеет особенно важное значение, когда приходится действовать в условиях неопределенности и нестабильности. Статистические законы - законы средних величин, действующие в области массовых явлений, в частности, в атомной физике, в социально-гуманитарных науках.

    Вероятностные идеи и методы исследования имеют важное значение для наук об обществе. Вероятность входит прежде всего в статистику как науку о количественных соотношениях в массовых общественных явлениях. Вне обработки статистических данных развитие социальных наук просто невозможно.

    Не будет преувеличением сказать, что вхождение вероятности в реальное познание знаменуют великую научную, а точнее говоря - методологическую революцию, благодаря которой стали говорить о вероятностном стиле мышления. Именно в рамках последнего только и возможно адекватное познание сложноорганизованных, самоорганизующихся развивающихся целостных систем.

    Эйген фон Бем-Баверк (1851–1914) – профессор Венского университета, один из основоположников австрийской школы экономики. Среди его трудов – «Основы теории ценности хозяйственных благ» (1886 г.); «Капитал и процент» (1884–1889 гг.); «Теория Карла Маркса и ее критика» (1896 г.), в которых он развивал концепции «предельной полезности», исследовал периоды обращения капитала, процент.

    В «Основах теории ценности хозяйственных благ» им поставлена главная задача – обосновать «закон величины ценности вещи», для решения которой обозначена «простейшая формула» в следующей трактовке: ценность вещи измеряется величиной предельной пользы этой вещи. В соответствии с этой формулой можно, по его мнению, полагать, что величина ценности материального блага определяется важностью конкретной (или частичной) потребности, занимающей последнее место в ряду потребностей, удовлетворяемых имеющимся запасом материальных благ данного рода. Поэтому основой ценности служит наименьшая польза, позволяющая в конкретных хозяйственных условиях употреблять эту вещь рациональным образом.

    Первая часть произведения Бем-Баверка «Капитал и процент» содержала подробный исторический обзор и критику предшествующих теорий капитала и процента. Он ясно представлял себе место, которое среди социальных проблем занимают капитал и процент.

    Капиталом Бем-Баверк считал одни лишь материальные блага и не включал в состав этого понятия права и невещественные ценности. Он пытался про-«вести различие между капиталом как средствами производства и капиталом как чистым доходом.

    В теории Бем-Баверка процент играл более важную роль, чем капитал. Он разработал формальную модель, в которой предполагалось, что средства производства всегда полностью используются, всегда воспроизводятся и непрерывно накапливаются. Установление процента Бем-Баверк рассматривал как вопрос вменения стоимости в процессе ценообразования. Он подразделял различные теории процента на несколько категорий: «производительности», «использования», «воздержания», «трудовую» и «эксплуатацию».

    Капитал может быть производительным, однако то, что он создает, не является процентом. Что действительно создает капитал – так это определенные формы и очертания материалов.

    Процент, будучи стоимостной категорией, может возникнуть только в процессе обращения.

    В теории процента Бем-Баверка имеются ссылки на то, что он называл обменом, или ажио. Его теория в основном базировалась на утверждении, что текущие блага ценятся несколько выше, чем будущие блага, и поэтому отказ от текущих благ требует определенного вознаграждения. Сам процент просто служит мерой различия между настоящим и будущим.

    Бем-Баверк считал процент излишком в том смысле, что стоимость продукции превышает затраты на ее производство.

    Центральная идея Э. Бем-Баверка – «теория ожидания» – возникновение прибыли (процента) на капитал. Главный его вклад в мировую науку – идея о том, что постоянно существующая разность между ценностью продукта и определяемых ее величиной полных издержек производства (т. е. прибыль) зависит от продолжительности производственного периода.

    Каждый обращал внимание на все многообразие видов движения, с которыми он сталкивается в своей жизни. Однако любое механическое движение тела сводится к одному из двух типов: линейное или вращательное. Рассмотрим в статье основные законы движения тел.

    О каких типах движения пойдет речь?

    Как было отмечено во введении, все виды движения тела, которые рассматриваются в классической физике, связаны либо с прямолинейной траекторией, либо с круговой. Любые другие траектории можно получить благодаря комбинации этих двух. Далее в статье будут рассмотрены следующие законы движения тела:

    1. Равномерное по прямой линии.
    2. Равноускоренное (равнозамедленное) по прямой линии.
    3. Равномерное по окружности.
    4. Равноускоренное по окружности.
    5. Движение по эллиптической траектории.

    Равномерное движение, или состояние покоя

    Этим движением с научной точки зрения начал интересоваться впервые Галилей в конце XVI - начале XVII века. Изучая инерционные свойства тела, а также введя понятие о системе отсчета, он догадался, что состояние покоя и равномерного движения - это одно и то же (все зависит от выбора объекта, относительно которого рассчитывают скорость).

    Впоследствии Исаак Ньютон сформулировал свой первый закон движения тела, согласно которому скорость последнего является постоянной величиной всегда, когда нет внешних сил, изменяющих характеристики движения.

    Равномерное прямолинейное перемещение тела в пространстве описывается следующей формулой:

    Где s - расстояние, которое преодолеет тело за время t, двигаясь со скоростью v. Это простое выражение также записывается в следующих формах (все зависит от величин, которые известны):

    Перемещение по прямой с ускорением

    Согласно второму закону Ньютона, наличие внешней силы, действующей на тело, неминуемо приводит к появлению ускорения у последнего. Из (быстрота изменения скорости) следует выражение:

    a = v / t или v = a * t

    Если действующая на тело внешняя сила будет оставаться постоянной (не будет изменять модуля и направления), то ускорение также не изменится. Такой тип движения называется равноускоренным, где ускорение выступает коэффициентом пропорциональности между скоростью и временем (скорость растет линейно).

    Для этого движения пройденный путь рассчитывается с помощью интегрирования скорости по времени. Закон движения тела для пути при равноускоренном перемещении приобретает форму:

    Самым распространенным примером этого движения является падение любого предмета с высоты, при котором сила тяжести сообщает ему ускорение g = 9,81 м/с 2 .

    Прямолинейное ускоренное (замедленное) движение с наличием начальной скорости

    По сути, речь идет о комбинации двух видов перемещения, рассмотренных в предыдущих пунктах. Представим простую ситуацию: автомобиль ехал с некоторой скоростью v 0 , затем водитель нажал на тормоза, и транспортное средство через некоторое время остановилось. Как описать движение в этом случае? Для функции скорости от времени справедливо выражение:

    Здесь v 0 - начальная скорость (до торможения авто). Знак минус говорит о том, что внешняя сила (трения скольжения) направлена против скорости v 0 .

    Как и в предыдущем пункте, если взять интеграл по времени от v(t), то получаем формулу для пути:

    s = v 0 * t - a * t 2 / 2

    Отметим, что по этой формуле вычисляется только путь торможения. Чтобы узнать расстояние, пройденное автомобилем за все время его движения, следует найти сумму двух путей: для равномерного и для равнозамедленного движения.

    В примере описанном выше, если бы водитель нажал не на педаль тормоза, а на педаль газа, тогда в представленных формулах поменялся бы знак "-" на "+".

    Движение по окружности

    Любое движение по окружности не может происходить без ускорения, поскольку даже при сохранении модуля скорости изменяется ее направление. Ускорение, которое связано с этим изменением, называется центростремительным (именно оно искривляет траекторию тела, превращая ее в окружность). Модуль этого ускорения вычисляют так:

    a c = v 2 / r, r - радиус

    В этом выражении скорость может зависеть от времени, как это происходит в случае равноускоренного движения по окружности. В последнем случае a c будет быстро расти (квадратичная зависимость).

    Центростремительное ускорение определяет силу, которую нужно прикладывать, чтобы удерживать тело на круговой орбите. Примером являются соревнования по метанию молота, когда спортсмены прикладывают значительные усилия, чтобы раскрутить снаряд до его метания.

    Вращение вокруг оси с постоянной скоростью

    Этот вид движения идентичен предыдущему, только описывать его принято не с использованием линейных физических величин, а с применением угловых характеристик. Закон вращательного движения тела, когда угловая скорость не изменяется, в скалярной форме записывается так:

    Здесь L и I - моменты импульса и инерции, соответственно, ω - угловая скорость, которая с линейной связана равенством:

    Величина ω показывает, на сколько радиан повернется тело за секунду. Величины L и I имеют такой же смысл, как импульс и масса для прямолинейного движения. Соответственно, угол θ, на который повернется тело за время t, вычисляется так:

    Примером этого типа движения является вращение маховика, находящегося на коленчатом вале в двигателе автомобиля. Маховик - это массивный диск, которому очень тяжело придать какое-либо ускорение. Благодаря этому он обеспечивает плавность изменения крутящего момента, который передается от двигателя к колесам.

    Вращение вокруг оси с ускорением

    Если к системе, которая способна вращаться, прикладывать внешнюю силу, то она начнет увеличивать свою угловую скорость. Такая ситуация описывается следующим законом движения тела вокруг :

    Здесь F - внешняя сила, которая приложена к системе на расстоянии d от оси вращения. Произведение в левой части равенства носит название момента силы.

    Для равноускоренного движения по окружности получаем, что ω зависит от времени следующим образом:

    ω = α * t, где α = F * d / I - угловое ускорение

    В этом случае угол поворота за время t можно определить, проинтегрировав ω по времени, то есть:

    Если же тело уже вращалось с некоторой скоростью ω 0 , а затем начал действовать внешний момент силы F*d, то по аналогии с линейным случаем можно записать такие выражения:

    ω = ω 0 + α * t;

    θ = ω 0 * t + α * t 2 / 2

    Таким образом, появление внешнего момента сил является причиной наличия ускорения в системе с осью вращения.

    Для полноты информации отметим, что изменить скорость вращения ω можно не только с помощью внешнего момента сил, но и благодаря изменению внутренних характеристик системы, в частности ее момента инерции. Эту ситуацию видел каждый человек, который наблюдал за вращением фигуристов на льду. Группируясь, спортсмены увеличивают ω за счет уменьшения I, согласно простому закону движения тела:

    Движение по эллиптической траектории на примере планет Солнечной системы

    Как известно, наша Земля и другие планеты Солнечной системы вращаются вокруг своей звезды не по окружности, а по эллиптической траектории. Впервые математические законы для описания этого вращения сформулировал знаменитый немецкий ученый Иоганн Кеплер в начале XVII века. Используя результаты наблюдений своего учителя Тихо Браге за движением планет, Кеплер пришел к формулировке своих трех законов. Они формулируются следующим образом:

    1. Планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце расположено в одном из фокусов эллипса.
    2. Радиус-вектор, который соединяет Солнце и планету, за равные промежутки времени описывает одинаковые площади. Этот факт следует из сохранения момента импульса.
    3. Если поделить квадрат периода обращения на куб большой полуоси эллиптической орбиты планеты, то получается некоторая константа, которая одинакова для всех планет нашей системы. Математически это записывается так:

    T 2 / a 3 = С = const

    Впоследствии Исаак Ньютон, используя эти законы движения тел (планет), сформулировал свой знаменитый закон всемирной гравитации, или тяготения. Применяя его, можно показать, что константа C в 3-м равна:

    C = 4 * pi 2 / (G * M)

    Где G - гравитационная универсальная константа, а M - масса Солнца.

    Отметим, что движение по эллиптической орбите в случае действия центральной силы (тяготения) приводит к тому, что линейная скорость v постоянно меняется. Она максимальна, когда планета находится ближе всего к звезде, и минимальна вдали от нее.