Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
- дать представление о неизвестных учащимся аксиомах геометрии, повторить уже известные им аксиомы;
- ввести аксиому параллельных прямых;
- ввести понятие следствия из аксиом, теорем;
- показать как используются аксиома параллельных прямых и следствия из неё при решении задач;
- воспитание патриотизма, гордости за свою родину на примере великого русского математика Н.И.Лобачевского.
Оборудование: компьютер, проектор.
ХОД УРОКА
1. Проверка предыдущего домашнего задания
2. Повторение уже известных учащимся аксиом планиметрии
Учитель:
В знаменитом сочинении
Евклида «Начала» (III в. до н.э.) были
систематизированы основные известные в то время
геометрические сведения. Главное же − в
«Началах» был развит аксиоматический подход к
построению геометрии, который состоит в том, что
сначала формулируются основные положения, не
требующие доказательства (аксиомы), а затем на их
основе посредством рассуждений доказываются
другие утверждения (теоремы). Некоторые из
аксиом, предложенных Евклидом, и сейчас
используются в курсах геометрии.
Само слово «аксиома» происходит от греческого
«аксиос», что означает «ценный, достойный».
Полный список аксиом планиметрии, принятых в
нашем курсе геометрии, приведён в приложениях в
конце учебника на страницах 344-348. Эти аксиомы вы
рассмотрите дома самостоятельно.
Некоторые из этих аксиом мы уже рассматривали.
Вспомните и сформулируйте эти аксиомы.
Учащиеся:
1) Имеются, по крайней мере, три точки, не лежащие
на одной прямой.
2) Через любые две точки проходит прямая, и притом
только одна.
3) Из трёх точек прямой одна и только одна лежит
между двумя другими.
4) Каждая точка О прямой разделяет её на две части
(два луча) так, что любые две точки одного и того
же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые
две точки разных лучей лежат по разные стороны от
точки О.
5) Каждая прямая а разделяет плоскость на две
части (две полуплоскости) так, что любые две точки
одной и той же полуплоскости лежат по одну
сторону от прямой а, а любые две точки разных
полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой
а.
6) Если при наложении совмещаются концы двух
отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
7) На любом луче от его начала можно отложить
отрезок, равный данному, и притом только один.
8) От любого луча в заданную полуплоскость можно
отложить угол, равный данному неразвёрнутому
углу, и притом только один.
Учитель: Какие прямые называются параллельными на плоскости?
Учащиеся: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Учитель: Сформулируйте признаки параллельности прямых.
Учащиеся:
1) Если при пересечении двух прямых секущей
накрест лежащие углы равны, то прямые
параллельны.
2) Если при пересечении двух прямых секущей
соответственные углы равны, то прямые
параллельны.
3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма
односторонних углов равна 180˚ то прямые
параллельны.
3. Новая тема. Аксиома параллельных прямых
Учитель: Решим задачу: «Через точку М, не лежащую на прямой а, проведите прямую, параллельную прямой а».
План решения задачи обсуждается всем классом. Один из учащихся записывает решение на доске (без записи в тетрадях).
Учитель:
Возникает вопрос: можно ли
через точку М провести ещё одну прямую,
параллельную прямой а?
Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах»
Евклида содержится пятый постулат: «И если
прямая, падающая на две прямые, образуют
внутренние и по одну сторону углы, меньше двух
прямых, то продолженные эти прямые неограниченно
встретятся с той стороны, где углы меньше двух
прямых». Прокл в V в.н.э. переформулировал
постулат Евклида проще и понятнее: «Через точку,
не лежащую на данной прямой, проходит только одна
прямая, параллельная данной». Это и есть аксиома
параллельных прямых. Отсюда видно, что
рассмотренная выше задача имеет единственное
решение.
Многие математики предпринимали попытки
доказать пятый постулат, так как его
формулировка слишком напоминала теорему. Все эти
попытки каждый раз оказывались неудачными. И
лишь в XIX в. было окончательно выяснено, что пятый
постулат Евклида нельзя доказать, он сам
является аксиомой.
Огромную роль в решении этого вопроса сыграл
великий русский математик Николай Иванович
Лобачевский (1792-1856).
4. Смотрим презентацию о Н.И.Лобачевском
5. Закрепление изученного. Решение задач
Дан ∆АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?
Решение.
Согласно аксиоме параллельных прямых, можно провести единственную прямую.
Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение.
3 прямые 4 прямые
Ответ: 3 или 4 прямые.
Следствия из аксиомы параллельных прямых.
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Рассмотрим следствия из аксиомы параллельных прямых.
Следствие 1˚. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Следствие 2˚. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. (Предлагается доказать учащимся самостоятельно).
Чертёж тот же.
Дано:
а || b, с || b
Доказать:
а || с
Доказательств
о (метод «от противного»):
Пусть прямые а и с не параллельны. Тогда они
пересекаются в некоторой точке М. Через точку М
проходят две различные прямые (а и с),
параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме
параллельных. Значит наше предположение не
верно. А верно то, что а || с. Ч.т.д.
Второе следствие из аксиомы параллельных прямых
является по сути дела ещё одним признаком
параллельности прямых на плоскости.
Решение задач: №№ 217 (устно), 218 (устно), 198, 200, 213.
№ 217 (устно)
Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую b.
Решение.
Если а || b и b || с, то а || с (следствие 2˚).
Если произвольная прямая d ∩ а, то d ∩ b (следствие 1˚).
№ 218 (устно)
Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.
Решение .
Возьмём на прямой а точку А b. Через точку А можно провести единственную прямую, параллельную прямой b (аксиома параллельных). Построенная прямая будет пересекать прямую а, так как имеет с ней общую точку А.
Прямые а и bперпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?
Дано:
ар, bр, с ∩ а
Найти:
пересекает ли с прямую b?
Решение:
если ар и bр, то а || b (теорема).
Если с ∩ а и а || b, то с ∩ b (следствие 1˚).
Ответ:
с ∩ b.
На рисунке учебника АD || р и PQ || BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС, РQ.
На рисунке учебника СЕ = ED, ВЕ = EF и КЕ = AD. Докажите, что КЕ || ВС.
6. Подведение итогов
1) В чём заключается главная заслуга Евклида?
2) Что называется аксиомой?
3) Какие аксиомы мы знаем?
4) Кто из русских учёных построил стройную теорию
неевклидовой геометрии?
5) Что называется следствием в математическом
смысле слова?
6) Какие следствия мы сегодня узнали?
7. Задание на дом:
§2, п.27, 28, приложение об аксиомах геометрии стр.
344-348, вопросы 7-11 стр. 68, №199, 214.
№199: Прямая р параллельна стороне АВ
треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС
пересекают прямую р.
№214: Прямая, проходящая через середину
биссектрисы AD треугольника АВС и
перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в
точке М. Докажите, что MD¦AB.
Литература:
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений. − М.: Просвещение, 2003.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Некрасов В.Б., Юдина И.И. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя. − М.: Просвещение, 2003.
- Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики: Книга для учителя. − М.: Просвещение, 2007.
- Википедия.
Сначала рассмотрим разницу между понятиями признак, свойство и аксиома.
Определение 1
Признаком называют некий факт, по которому можно определить истинность суждения об интересующем объекте.
Пример 1
Прямые являются параллельными, если их секущая образует равные накрест лежащие углы.
Определение 2
Свойство формулируется в том случае, когда есть уверенность в справедливости суждения.
Пример 2
При параллельных прямых их секущая образует равные накрест лежащие углы.
Определение 3
Аксиомой называют такое утверждение, которое не требует доказательства и принимается как истина без него.
Каждая наука имеет аксиомы, на которых строятся последующие суждения и их доказательства.
Аксиома параллельных прямых
Иногда аксиому параллельных прямых принимают в качестве одного из свойств параллельных прямых, но вместе с тем на ее справедливости строят другие геометрические доказательства.
Теорема 1
Через точку, которая не лежит на заданной прямой, на плоскости можно провести лишь одну прямую, которая будет параллельной заданной.
Аксиома доказательства не требует.
Свойства параллельных прямых
Теорема 2
Свойство1. Свойство транзитивности параллельности прямых:
Когда одна из двух параллельных прямых является параллельной третьей, то и вторая прямая будет ей параллельна.
Свойства требуют доказательств.
Доказательство:
Пусть имеются две параллельные прямые $a$ и $b$. Прямая $с$ параллельна прямой $а$. Проверим, будет ли в таком случае прямая $с$ параллельна и прямой $b$.
Для доказательства будем пользоваться противоположным суждением:
Представим, что возможен такой вариант, при котором прямая $c$ параллельна одной из прямых, например, прямой $a$, а другую – прямую $b$ – пересекает в некоторой точке $K$.
Получаем противоречие согласно аксиоме параллельных прямых. Получается ситуация, при которой в одной точке пересекаются две прямые, к тому же параллельные одной и той же прямой $a$. Такая ситуация невозможна, следовательно, прямые $b$ и $c$ пересекаться не могут.
Таким образом, доказано, что если одна из двух параллельных прямых является параллельной третьей прямой, то и вторая прямая параллельна третьей прямой.
Теорема 3
Свойство 2.
Если одна из двух параллельных прямых пересекается третьей, то ею будет пересекаться и вторая прямая.
Доказательство:
Пусть имеются две параллельные прямые $а$ и $b$. Также пусть имеется некоторая прямая $с$, которая пересекает одну из параллельных прямых, например, прямую $а$. Необходимо показать, что прямая $с$ пересекает и вторую прямую – прямую $b$.
Построим доказательство методом от противного.
Представим, что прямая $с$ не пересекает прямую $b$. Тогда через точку $К$ проходят две прямые $а$ и $с$, которые не пересекают прямую $b$, т. е. являются параллельными ей. Но такая ситуация противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, предположение было неверным и прямая $с$ пересечет прямую $b$.
Теорема доказана.
Свойства углов , которые образуют две параллельные прямые и секущая: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, * сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$.
Пример 3
Даны две параллельные прямые и третья прямая, перпендикулярная одно из них. Доказать, что эта прямая перпендикулярна и другой из параллельных прямых.
Доказательство .
Пусть имеем прямые $а \parallel b$ и $с \perp а$.
Поскольку прямая $с$ пересекает прямую $а$, то согласно свойству параллельных прямых она будет пересекать и прямую $b$.
Секущая $с$, пересекая параллельные прямые $а$ и $b$, образует с ними равные внутренние накрест лежащие углы.
Т.к. $с \perp а$, то углы будут по $90^{\circ}$.
Следовательно, $с \perp b$.
Доказательство завершено.
Немецкий физик Альберт Эйнштейн с помощью математических методов разработал теорию относительности, совершив переворот в физике ХХ в.
Считается, что основы современной математики заложены Эвклидом в его 13-томном труде «Элементы» около 300 г. до н. э. В отличие от предшественников, Евклид объясняет здесь геометрию не с помощью бесчисленных чертежей, но чисто логически. Вначале он описывает целый ряд фактов, которые он считает истинными и непреложными. Эти факты называются постулатами. Один из таких постулатов Евклида, например, гласит: «Из каждой точки можно провести одну прямую к любой другой точке». Затем, исходя из этих постулатов, он выводит все остальное. Тем самым Евклид впервые продемонстрировал современное математическое мышление: исходя из определенных предположений, однажды сделанных и не подвергавшихся больше пересмотру, доказал множество других утверждений.
Столетиями шли споры по поводу пятого постулата Евклида, так называемой аксиомы о параллельных прямых: через любую точку Р, лежащую вне прямой g, можно провести только одну прямую, которая не пересечет g. Такую прямую называют параллельной к прямой g, проходящей через точку Р. Многие ученые стремились не просто принять это положение, а вывести его из первых четырех. Но это оказалось невозможным. Математики стали создавать геометрию, которая основывалась на первых четырех аксиомах Евклида и отвергала пятую. То, что вначале выглядело математической игрой, в начале XX в. оказалось востребованным. Альберт Эйнштейн увидел в этих моделях геометрии основу для своей общей теории относительности.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
