Рассмотрим некоторое множество Х , состоящее из n элементов . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножестваизk элементов.
Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множестваХ .
Если выбор элементов множества изХ происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле (размещения с повторениями ).
Если
же выбор делается без возвращения, т.е.
каждый элемент множества Х
можно выбирать только один раз, то
количество размещений из n
по k
обозначается
и
определяется равенством
(размещения
без повторений
).
Пример. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.
Решение.
Если цифры могут повторяться, то
количество трехзначных чисел будет
.
Если цифры не повторяются, то
.
Пример. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?
Решение
.
Расписание на каждый день может отличаться
либо предметами, либо порядком расположения
этих предметов, поэтому имеем размещения:
Частный случай размещения при n =k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно .
Пример . 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет . А три книги можно переставлять между собойспособами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно:*=3!*28!
Пусть
теперь из множества Х
выбирается неупорядоченное подмножество
(порядок
элементов в подмножестве не имеет
значения).Сочетаниями
из n
элементов по k
называются подмножества из k
элементов, отличающиеся друг от друга
хотя бы одним элементом. Общее число
всех сочетаний из n
по k
обозначается
и
равно
.
Справедливы равенства: ,,.
Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?
Решение.
Так как порядок студентов не важен,
используем формулу для числа сочетаний:
.
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.
Пример. Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?
Решение. Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По принципу умножения получается 4*5*3=60 нарядов (комбинаций).
Задача 1 . В группе студентов–филологов после отчисления из оставшихся 15 девушек и 3 юношей выбирают по жребию 3-х человек в новый оргкомитет «Дней филолога». Какова вероятность того, что в составе выбранных окажется 2 девушки и 1 юноша?
Решение: Число всех равновозможных исходов этого испытания (обозначим его через n) заключается в выборе 3 студентов из 18 – это число равно 816 возможностям. Поэтому n = 816.
Число благоприятных исходов (обозначим его через m) – это выбор 2-х девушек из 15, т. е. это = 105 возможностей, и выбор 1-го юноши из 3, т. е. это = 3 возможности. Двух девушек и одного юношу, согласно комбинаторному принципу умножения, можно выбрать = 105 3= 315 способами. Поэтому m = 315. Следовательно, вероятность события А = {среди выбранных студентов окажется 2 девушки и 1 юноша} по формуле классической вероятности равна P(A)= ≈ 0,39.
Задача 2 . В магазин "Академкнига" поступило 20 новых книг по филологии, из них 10 книг российских авторов, 6 книг
западноевропейских авторов и 4 книги татарстанских авторов. Покупатель случайно выбирает одну из новых книг по филологии. Найти вероятность, что наудачу купленная книга по филологии окажется российского или западноевропейского автора.
Решение. Событие А = {куплена книга по филологии российского автора}, событие В = {куплена книга по филологии западноевропейского автора}, тогда событие А ∪ В = {куплена книга по филологии российского или западноевропейского автора}. Соответственно, по формуле классической вероятности имеем р(А) = 0,5 и р(В) = 0,3. События А и В являются несовместными, следовательно, по теореме о сложении вероятностей р(А ∪ В) = р(А) + р(В) = 0,5 + 0,3 = 0,8.
Задача 3 . В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы , где события и означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна , а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения
Задача 4 . Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.
Решение. Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:
а) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0,28+0,3-0,08=0,5;
б) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0,3+0,42-
-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
в) 1-P(AÈBÈC)=0,2.
Задача 5 . В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождение мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола. Старший ребенок – мальчик, следовательно, второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и
Задача 6 . Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?
Решение . Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где ={ первая деталь оказалась нестандартной } и ={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность события А 1 равна кроме того, , так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных. По теореме умножения
Задача 7 . В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы , где события и означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна , а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем:
В урне пять шаров разного размера. Какова вероятность вытянуть все шары по возрастанию, если известно, что одинаковых шаров нет?
Решение. Общее число возможных элементарных исходов опыта равно числу перестановок из пяти элементов , а число исходов, благоприятствующих событию, равно единице.
Искомая вероятность:
.
Задача 17.
Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и помня что они различны, набрал их на удачу. Какова вероятность того, что он набрал нужный номер?
Решение. Общее число
возможных исходов опыта равно числу размещений из 10 по 2, т. е. 
. Число исходов, благоприятствующих
событию, равно единице.
Искомая вероятность:
.
Задача 18.
В ящике стола имеется 15 тетрадей, 8 из них в клеточку.Наудачу взяли три тетради. Найти вероятность того, что все три взятые тетради окажутся высшего качества.
Решение. Так как порядок здесь роли не играет, то общее число всевозможных исходов будет равно числу сочетаний из 15 по 3, т. е. , а число благоприятствующих событию равно тоже числу сочетаний из 8 по 3.
Искомая вероятность:
.
Задача 19.
В группе 15 студентов, 8 из которых отличники. Наудачу (по списку) вызвали 6 студентов. Найти вероятность того, что 4 студента из вызванных окажутся отличниками.
Решение. Число всевозможных исходов опыта здесь равно числу сочетаний из 15 по 6, .
Благоприятной считаем такую комбинацию, в которой 4 студента-отличника, а 2 - нет. 4 отличника можно выбрать из 8 отличников способами, при этом остальные 6-4=2 студента (не отличники) выбираем из 15-8=7 студентов способами.
Если к каждой четверке отличников присоединить одну из пар
студентов, не отличников, то получим “благоприятные” группы из 6 человек. Их число равно m =.
Искомая вероятность:
Задача 20.
Первая трудность, которую преодолел Паскаль в своей переписке с шевалье де Маре, связана с точным подсчетом случаев. Речь шла об игре, при которой бросают три кости, и один из игроков заключает пари, что сумма на выброшенных гранях будет больше чем 10, а другой - что она будет равна или меньше 10. Легко видеть, что шансы обоих игроков равны. Но трудность была в следующем. Терпеливый учет очень большого числа партий показал шевалье де Маре, что тот кто ставит на сумму, большую 10, чаще выигрывает с 11,чем с12 очками. Однако, возражал Мере,11 очков можно получить шестью различными способами (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3), и 12 очков тоже можно получить шестью способами (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4). Ответ Паскаля очень прост: сочетание 6-4-1 не является простым, а шестикратным, так как, если пронумеровать кости или если каждую из трех костей окрасить по разному, чтобы можно было их различить, значение 6 может быть получено на каждой из трех костей, а значение 4 - на каждой из двух остающихся, что уже составляет шесть комбинаций. Напротив, такое сочетание, как 5-5-1, может быть получено только тремя различными способами, а сочетание 4-4-4 - единственным способом.
Следовательно, если желательно узнать действительное число различных способов получить 11 или получить 12 очков, то надо для каждого из этих случаев составлять сумму тех шести чисел, которые соответствуют сочетаниям,
тогда как для случая 12 очков мы имеем
Отсюда заключаем, что в среднем мы получаем 11 очков 27 раз, тогда как 12 очков мы получаем 25 раз, и этот результат отлично сошелся с наблюдениями шевалье де Мере.
1) В урне 10 белых и 8 черных шаров. Выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым; что он будет черным? 2) Из слова«студент» выбрасывается наугад одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет гласной; будет согласной?
3) Определить вероятность того, что при двух измерениях появится одна положительная ошибка?
4) Из урны с а белыми и b черными шарами подряд вынимают все шары. Какова вероятность того, что последний шар будет белым; второй по порядку шар будет черным?
5) По условиям задачи 4 из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что они белые?
6) В каком случае образуется полная группа событий:
а) выстрел по цели, события: А1 – попадание, А2 – промах;
б) стрельба по цели, два выстрела, события: А1 – два попадания, А2 – два промаха;
в) измерение трех углов, события: А1 – углы измерены с ошибкой, А2 – углы измерены без ошибок; А3 – два угла измерены с ошибками, один угол – без ошибок.
7) Ниже перечислены события, относительно которых необходимо установить: являются ли они несовместимыми; являются ли равновозможными: образуют ли полную группу; относятся к группе случаев?
а) бросание монеты, события: А1 – герб, А2 – цифра;
б) бросание двух монет, события: А1 – два герба, А2 – две цифры, А3 – один герб и одна цифра;
в) бросание кости, события: А1 – 1 или 2 очка, А2 – 2 или 3 очка, А3 – 3 или 4 очка, А4 – 4 или 5 очков, А5 – 5 или 6 очков.
8) Книга имеет 189 страниц. Определить вероятность того, что номер наугад открытой страницы будет оканчиваться на 5?
в коробке лежат 5 белых и 7 черных шаров. на угад вынимают 3 шара. найти вероятность того, что среди них окажется 1 белый и 1 черный шар.в коробке лежат 6 белых и 5 красных шаров. на угад вынимают 4 шара. найти вероятность того, что среди них окажется 1 белый и 1 красный шар.
второй урне 5 белых и 2 черных, из каждой урны взяли по одному. какова вероятность того что оба шара одного цвета?
1. студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса из 3 заданных ему;2.экзаменационные работы по математике абитуриентов, поступающих в техникум, зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы окажется числом, кратным 10 или 11?; 3. в урне 12 шаров, из них 7 белых. найти вероятность двукратного извлечения шара, из урны, если вынутый на удачу шар не возвращается в урну.; 4.вероятность всхожести семян пшеницы 90%. на опытном поле посеяли 400 семян. найти математическое ожидание и дисперсию всхожести семян.
