Рассмотрим теперь квантово-механическую теорию атомов. Она сохраняет некоторые аспекты старой теории Бора. Например, электроны могут находиться в атоме только в дискретных состояниях с определенной энергией; при переходе электрона из одного состояния в другое испускается или поглощается фотон. Согласно квантовой механике, не существует определенных круговых орбит электронов , как в теории Бора. В силу волновой природы электрон «размазан» в пространстве , подобно «облаку» отрицательного заряда .

Применим уравнение Шредингера к электрону, находящемуся в атоме водорода.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для водорода, а также водородоподобных систем сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1), определяется выражением (21.20)

и зависит только от r – расстояния между электроном и протоном, поэтому задачу с таким видом потенциальной энергии обычно решают в сферической системе координат. В общем случае волновая функция является функцией от всех координат и уравнение Шредингера будет иметь вид:

Электрон в атоме находится в потенциальной яме, края которой имеют форму гиперболы (рис.21.5).

Очевидно, что решение этой задачи должно быть подобно решению задачи, когда частица находилась в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме с прямоугольными краями.

Так как электрическое поле – центрально-симметрично, то для решения этого уравнения воспользуемся сферической системой с координатами (r , θ, φ),

Рис.21.5.

которые связаны с декартовыми координатами, как это следует из рис. 21.6, соотношениями: x = r sin θ cos φ; y = r sin θ sin φ; z = r cosθ .

Рис. 21.6

Подставив в (21.23) выражение оператора Лапласа в сферических координатах, получим уравнение Шредингера в следующем виде:

Строгое решение уравнения (21.22) в соответствии с теорией дифференциальных уравнений дает следующие результаты. Электрон в атоме обладает не произвольным значением энергии, а набором определенных отрицательных дискретных значений E n :

, (21.23)

где n – главное квантовое число , принимающее значения 1,2,3.…,∞. Из (21.23) следует, что именно главное квантовое число определяет энергию электрона в атоме: E n ~ . Выражение для значений энергий En (21.23) полностью совпадает с результатами теории Бора (19.15). Для атома водорода значение n = 1 соответствует основному состоянию электрона, значение n = ∞ – свободному электрону (E∞ = 0). Отрицательные значения энергии соответствуют связанному состоянию электрона, когда он находится внутри потенциальной ямы и имеет большие отрицательные значения потенциальной энергии (21.20). Положительными значениями энергии электрон обладает в свободном состоянии, когда он покидает пределы атома, и его энергетический спектр становится непрерывным, т.е. область E > 0 соответствует ионизированному атому.


Оказывается, что одному и тому же значению энергии электрона соответствует несколько различных состояний с разными волновыми функциями, соответствующими различным типам движения электрона. Эти типы движения различаются разными значениями орбитального момента импульса и его проекцией на физически выделенное направление Z , совпадающее с направлением вектора напряженности внешнего магнитного поля.

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции Ψn l m s , определяемые набором четырех квантовых чисел: главного n , орбитального l, магнитного m и спинового m s .

Момент импульса частицы относительно начала координат О (центр орбиты электрона на рис. 21.7) в классической механике определяется векторным произведением , где вектора и являются соответственно радиус-вектором частицы и ее импульсом.

Модуль магнитного момента тока, создаваемого движущимся по орбите электроном, равен . (21.26)

Здесь T – период обращения электрона по орбите, V – его скорость, I − орбитальный ток, S − площадь орбиты.

Магнитный момент обусловлен движением электрона по орбите,

вследствие чего называется орбитальным магнитным моментом электрона.

Электрон обладает массой m e , поэтому при движении по орбите он обладает моментом импульса , модуль которого . (6.25)

Вектор называюторбитальным механическим моментом электрона. Он образует с направлением движения электрона правовинтовую систему. Следовательно, направление векторов и противоположны (рис. 21.7).

Отношение магнитного момента элементарной частицы к ее механическому моменту называется орбитальным гиромагнитным отношением . Для электрона оно равно . (21.26)

Такая связь между векторами сохраняется и в теории Бора. Поскольку направления векторов и противоположны, . (21.27)

В квантовой механике модуль момента импульса движущейся микрочастицы определяется выражением:

(21.28)

Здесь – орбитальное квантовое число . Величина является дискретной (квантовой).

В квантовой механике строго доказывается (это следует из решения уравнения Шредингера), что проекция (L Z) вектора на направление вектора напряженности внешнего магнитного поля , совмещенного с осью Z, может принимать лишь целочисленные значения, кратные постоянной : Lz = mħ . (21.29)

Проекция любого вектора не может быть больше модуля этого вектора, т.е. . Поэтому в соответствии с выражениями (21.28) и (21.29) имеем:

, (21.30)

Следовательно, максимальное значение равно , тогда . При заданном число т принимает значений: , которые образуют спектр проекций на любую выделенную ось , т.е. вектор может принимать (2l + 1) ориентаций в пространстве (рис. 21.8).

Таким образом, квантовое число определяет как модуль момента импульса, так и все возможные значения его проекции на ось . На рис. 6.8 показаны возможные ориентации вектора и его проекции на выделенное направление магнитного поля. Например, когда орбитальное квантовое число (средний рисунок 6.8), то ; 0; .

Уравнение Шредингера, примененное к атому водорода, позволяет получить результаты боровской теории атома водорода без привлечения постулатов Бора и условия квантования. Квантование энергии возникает как естественное условие, появляющееся при решении уравнения Шредингера, в некотором смысле аналогичное причине квантования энергии для частицы в потенциальной яме.

Применить стационарное уравнение Шредингера к атому водорода это значит:

а) подставить в это уравнение выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром

б) в качестве m подставить m e - массу электрона (если пренебречь, как и в лекции N 4, движением ядра).

После этого получим уравнение Шредингера для атома водорода :

Решение уравнения Шредингера для атома водорода существует при следующих условиях:

а) при любых положительных значениях полной энергии (E > 0). Это так называемые несвязанные состояния электрона , когда он пролетает мимо ядра и уходит от него на бесконечность;

б) при дискретных отрицательных значениях энергии (n–целое):

Эта формула совпадает с полученной Бором формулой для энергии стационарных состояний атома водорода. Целое число n называют главным квантовым числом .

23. Состав атомного ядра. Нуклоны и их взаимопревращаемость.

Атомныеядра различных элементов состоят из частиц двух видов – протонов и нейтронов.

протон – положительно заряженная частица, заряд которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона.

После открытия протона было высказано предположение, что ядра атомов состоят из одних протонов. Однако это предположение оказалось несостоятельным, так как отношение заряда ядра к его массе не остается постоянным для разных ядер, как это было бы, если бы в состав ядер входили одни протоны. Для более тяжелых ядер это отношение оказывается меньше, чем для легких, т. е. при переходе к более тяжелым ядрам масса ядра растет быстрее, чем заряд.

Жестко связанная компактная протон-электронаяпарая, представляющая собой электрически нейтральное образование – частицу с массой, приблизительно равной массе протона. Резерфорддаже придумал название этой гипотетической частице – нейтрон - ошибочная идея. Электрон не может входить в состав ядра.Нейтрон - нейтральная частица с массой, примерно равной массе протона.

Масса протона , по современным измерениям, равна m p = 1,67262∙10 –27 кг. В ядерной физике массу частицы часто выражают в атомных единицах массы (а. е. м.), равной 1/12 массы атома углерода с массовым числом 12:

в опыте Резерфорда было открыто явление расщепления ядер азота и других элементов при ударах быстрых α-частиц и показано, что протоны входят в состав ядер атомов .масса нейтрона m n = 1,67493∙10 –27 кг = 1,008665 а. е. м. В энергетических единицах масса нейтрона равна 939,56563 МэВ. Масса нейтрона приблизительно на две электронные массы превосходит массу протона.

В свободном состоянии нейтроннестабилен (радиоактивен). Он самопроизвольно распадается, превращаясь в протон, испуская электрон(-е ) и еще одну частицу, называемую антинейтрино ():

Период полураспада равен 12мин.

Масса антинейтрино пренебрежимо мала по сравнению с массами частиц, фигурирующих в правой части уравнения/ Масса нейтрона больше массы протона на 2,5 me. àМасса нейтрона превышает суммарную массу частиц в правой части на 1,5 m e , т.е. на 0,77 МэВ . Эта энергия выделяется при распаде нейтрона в виде кинетической энергии образующихся частиц.

кол-во нейтронов: N=A-Z ,

число нуклонов A

Решение уравнения Шрёдингера для водородного атома использует факт, что кулоновский потенциал является изотропным, то есть не зависит от направления в пространстве, другими словами обладает сферической симметрией. Хотя конечные волновые функции не обязательно сферически симметричны непосредственно, их зависимость от угловой координаты следуют полностью из этой изотропии основного потенциала: собственные значения оператора Гамильтона можно выбрать в виде собственных состояний оператора углового момента. Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Отсюда следует, что собственные состояния гамильтониана задаются двумя квантовыми числами углового момента l и m. Квантовое число углового момента l может принимать значения 0, 1, 2… и определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число может принимать m = −l, .., +l определяет проекцию углового момента на ось z.

В дополнение к математическим выражениям для волновых функций полного углового момента и проекции углового момента, нужно найти выражение для радиальной зависимости волновой функции. В потенциале 1/r радиальные волновые функции записываются с использованием полиномов Лагерра). Это приводит к третьему квантовому числу, которое называется основное квантовое число n и может принимать значения 1, 2, 3… Основное квантовое число в атоме водорода связано с полной энергией атома. Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничена основным квантовым числом: оно может изменяться только до n − 1, то есть l = 0, 1, …, n−1.

Из-за сохранения углового момента, состояния с тем же l, но различными m имеют ту же самую энергию. Однако, это — определенная особенность атома водорода и не верно для более сложных атомов, которые имеют потенциал, отличающийся от кулоновского.

Если мы примем во внимание спин электрона, то появится последнее квантовое число, проекция углового момента собственного вращения электрона на ось Z, которая может принимать два значения. Поэтому, любое собственное состояние электрона в водородном атоме описывается полностью четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это объясняет также, почему выбор оси Z для квантования направления вектора углового момента является несущественным: орбиталь для данных l и m ", полученных для другой выделенной оси Z ", всегда представляется как подходящая суперпозиция различных состояний с разными m, которые были получены для Z.

Рассмотрим сейчас решение уравнения Шредингера для атома водорода. Так как потенциальная функция электрона в атоме водорода имеет вид , где e — заряд электрона, r — радиус вектор, уравнение Шредингера запишется следующим образом:

Здесь ψ — волновая функция электрона в системе отсчёта протона, m — масса электрона, где , — постоянная Планка, E — полная энергия электрона, — оператор Лапласа. Так как потенциальная функция зависит от r, а не от координат по отдельности, удобно будет записать лапласиан в сферической системе координат. В ней он выглядит следующим образом:

И уравнение Шредингера в сферических координатах:

В этом уравнении ψ — функция трех переменных. Разделим его на три более простых уравнения. Для этого представим функцию ψ как произведение трех функций: ψ = RΘΦ. Эти функции будем обозначать просто R,Θ,Φ. Тогда

.

После подстановки значений частных производных в уравнение Шредингера получим:

Умножим уравнение на :

Второе слагаемое тут зависит только от . Перенесем его в правую часть равенства.

Равенство возможно, когда обе части равны какой-то постоянной величине. Обозначим ее . Следовательно,

Решением этого уравнения являются функции

Угол может изменяться от 0 до 2π. Функция Φ должна быть периодической с периодом 2π. Это возможно только если Таким образом, из решения уравнения Шредингера получаем значение одного из квантовых чисел. Число m l называется магнитным квантовым числом.

Разделим уравнение на sinθ:

После аналогичного вышеуказанному перенесению второго слагаемого в правую часть и обозначения величины, которой равны эти части, через β, получаем

Решение этих двух последних уравнений приводит к значениям и n соответственно. 3 квантовых числа в совокупности полностью описывают состояния электрона в атоме водорода.

Модуль полной энергии электрона в стационарном состоянии в атоме водорода обратно пропорционален n. Число n называется главным квантовым числом. Оно может иметь значения от 1 до . Его связь с энергией см. ниже.

Число называется азимутальным квантовым числом и определяет момент количества движения электрона и форму электронного облака; может иметь значения от 0 до n − 1.

Магнитное квантовое число m l определяет проекцию момента количества движения на выбранную ось в магнитном поле. Эта проекция равна .

Уравнение Шредингер для атома водорода в классической механике - страница №1/1

Уравнение Шредингер для атома водорода

В классической механике атом представляет собой протон вокруг которого вращается электрон.

Потенциальная энергия

“-” показывает что система связана

Т.е электрон движется не симметричной гиперболической потенциальной яме

В квантовой

Уравнение на собственные функции собственные значения??????????

Перейдем в сферическую систему координат

Оператор Лапласа в сферической системе

Запишем в сферической системе координат оператор квадрата импульса

Гамильтониан

второе слагаемое - кинетическая энергия вращения

H r коммутируют так как L 2 и L z действуют только на углы и не действую на координаты.

поскольку коммутатор коммутирует с самим собой

Означает что одновременно могут быть измеримы соответствующие физические величины

Одновременно измеримы, и проекция импульса на заданное направления

Уравнение Шредингера для стационарного состояния для атома водорода

Ищем решение уравнения в виде

Каково бы ни было решение Шредингера, уравнение на собственный функции собственные значения

Получаем уравнение Шредингера для атома водорода

Решая это уравнение мы получаем значение энергии

Т.е решение уравнение Шредингера такое же как у Бора но при этом Бору пришлось вводить постулаты, а в квантовой механике это есть следствие общей теории. При решении уравнения Шредингера мы также получаем ограничения на квантовое число l, Для данного n, l = 1,2,3,.(n-1) . Т.е всего n значений

Таким образом из того что

n - главное квантовое число, определяет энергию E

l - характеризует величину моменту импульса

m l –х арактеризует проекцию импульса на заданное направление


Таким образом атом характеризуется тремя числам n,l m l .

Состояния двух электронов в атоме отличается если отличны хотя бы двух чисел

Отличающиеся


Состояние электрона в атоме описывается волновой функции. Сама волновая функция физического смысла не имеет. Физический смысл имеет квадрат модуля пси функции которая определяет вероятность нахождения электрона в данной области пространства. Т.е электрон как бы размазана в пространстве и представляет собой электронное облако.
n и l - определяет размел облака

m l - характеризует направление этих облаков

Состояние с l=0 называет S состояние


l=2 d
1S n=1 l=0


P
m l =-1 0 1


m l = -2 -1 0 1 2

Переходы с одного состояния в другое только если подчиняются правилу отбора



Одному значению энергии соответствуют несколько состояние характеризующихся разными значениями квантовых числе l , m l . Такие состоянии с одним значением энергии но с разными l, m l называются вырожденными. Кратность выражений - характеризующиеся одним значением энергии(главного квант. числа n)

Сингретное значение


1 S состояни электрона в атоме водорода

Уравнение Шредингера для 1S

Ищем решение этого уравнения в виде

имеет решение при всех r , тогда и только тогда когда сомножители =0

Получилась энергия на первой Боровской орбите

Состояние характеризуется пси функцией.

C можно найти из условии нормировки.

Пси функция для 1 S состояния

Найдем самое вероятное место нахождение электрона

С наибольше вероятностью электрон находится на расстоянии первого Боровского радиуса


Магнитный моменты атомов. Опыты Штерна И Герлаха. Спин электрона. Спиновое квантовое число. Спин орбитальное взаимодействие.
Электрон движущиеся

обладает моментом импульса и магнитным моментным импульса

движению электрона можно сопоставить Ток в обратном направлении

Это гиромагнитное отношение

В квантовой механике выполняются те же соотношения но для операторов.

Это соотношения такие же как и правила квантования для момента импульса. Т.е поскольку момент импульса характеризует определенным значением

Характеризуются??????????????


Опыты Штерна и Герлаха (про спин тоже)
Брали пучок атомов водорода или серебра и пропускали через сильно неоднородное магнитное поле

результате пучок раздваивался


В атоме водорода или серебра магнитный момент можно считать 0 и для магнитный момент остова тоже 0, т.е магнитный момент ядра описывает моментом электроном.
1)Предположим что электрон в 1S состоянии n=1 l=0 =>

то не должен был расчипиться

2) В однородном магнитном поле действует

А)в Кл. механике возможные значения значит сила должна быть уширяться. Не годится

б) квантовой механике

Значит если Pmz != 0 то

значит должно было расчипиться на нечетное число пучков

Уленбек и Гауцпи предположили что электрон обладает неуничтожимым собственным моментом импульса которое назвали спином. Первоначально предполагалось что спин связан с вращением электрона вокруг оси, но в этом случае отношение магнитного момента к спину

Но многие опыты показывают что

СПИН - собственный неуничтожимый момент электрона


Он как масса, заряд - т.е его нельзя отобрать. Спин появляется в уравнение Дерака, является аналогом уравнения Шредингера но Являющий в релятивистском случае. Т.е СПИН является квантовым и релятивистским.
СПИНА НЕТ АНАЛОГОВ В КЛАСИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.

Атом водорода представляет собой систему, состоящую из элек­трона, который обращается в кулоновском поле ядра (протона). Потенциальная энергия такой системы не зависит от времени и равна

Эту величину следует подставить в стационарное уравнение Шредингера (5.5) и решить его с учетом стандартных условий, накла­дываемых на волновую функцию. Так как силовое поле, создаваемое ядром, сферически симметрично, то решать эту задачу удобнее в сферических координатах . Результат решения сводится к следующему. Уравнение решается только при определенных, образующих дискретный ряд значениях параметра :

где m и e – масса и заряд электрона; n = 1, 2, 3....

Эти значения и являются возможными (разрешенными) значениями энергии атома водорода. Возможные волновые функции электрона в атоме водорода могут быть записаны в виде произведения трех составляющих, каждая из которых зависит от одной из координат сферической системы:

(5.6)

где – так называемый первый боровский радиус, равный

.

Уравнение Шредингера решается функциями (8) лишь при определенных значениях чисел n , l , m , которые взаимосвязаны следующим образом:

Значения коэффициентов ив выражении (5.6) находятся для каждого состояния исходя из условия нормировки (5.2), которое в сферических координатах распадается на три условия:



Возьмем, например,
. Энергия атома в этом случае минимальна (основное состояние) и равна

эВ.

Остальные два квантовых числа l и m могут иметь только нуле­вые значения и энергии соответствует только одна волновая функция
(вырождение отсутствует).

При
квантовое числоl может принимать значения 0 и 1, причем при

, а при

. В конечном счете значению
соответствуют четыре различных состояния, описываемые волновыми функциями



и каждому из них соответствует одна и та же энергия(четырех­кратное вырождение). Схематично:

Аналогично, при
возможны девять состояний, описываемых волновыми функциями:

и во всех этих состояниях атом обладает одной и той же энергией
(девятикратное вырождение).

Рассмотрим конкретный вид нескольких первых волновых функций.

1.


.Подставляя эти значения в (8), получаем:

Применение условий нормировки дает:



Подставив эти значения в (5.8), получим волновую функцию основного (невозбужденного) состояния атома водорода:

(5.9)

Так как эта функция не зависит от углов и(сферически симметрична), то вероятность обнаружить электрон на данном рас­стоянии от ядра будет одинакова по всем направлениям. Най­дем вероятность нахождения электрона в пределах элементарного слоя, ограниченного сферами - радиусамии
(рис. 5.1).

Объем этого слоя
и соответствующая вероятность, согласно (5.1) и (5.9), запишется в виде

Введем радиальную плотность вероятности следующим образом:

(5.10)

Графически эта функция изображается кривой, приведенной на рис. 5.2. Максимум кривой при r = r 1 = 0,53Å свидетельствует о том, что для атома водорода, находящегося в основном состоянии, наиболее вероятное удаление электрона от ядра соответствует первому боровскому радиусу.

Если вероятность нахождения электрона в сферическом слое толщиной
удаленном на расстоянии от ядра, равна
то величина, введенная как
называется радиальной плотностью вероятности. Если зависимость
задана графически, то величина
определяется как площадь прямоугольника с основа­нием
и высотой
, восстановленного на расстоянии от начала координат (площадь заштрихованного прямоугольника).

2. При


для волновой функции, согласно (5.6) при учете (5.7), можно получить

Эта функция также сферически симметрична, поэтому и здесь естес­твенно ввести радиальную плотность вероятности, которая запишет­ся следующим образом

(5.11)

3. При


волновая функция имеет вид

4. При


5. При