Класс: 8а Предмет: Алгебра
Тема урока: Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень.
Цель: вспомнить правила умножения и деления числовых дробей; объяснить правила умножения и деления алгебраических дробей; научиться выполнять действия умножения и деления алгебраических дробей; формировать умение выполнять действия с алгебраическими дробями.
Форма урока: урок изучения нового материала.
Метод обучения: проблемный, с самостоятельным поиском решения.
Оборудование: Компьютер, проектор.
Ход урока
Урок проводится с использованием компьютерной презентации.
Ι. Организация урока.
ΙΙ. Актуализация опорных знаний с целью подготовки к изучению новой темы.
Устно:
(Ответы выводятся с помощью компьютера.)
1. Разложить на множители:
2. Сократить дробь:
3. Умножить дроби:
Как называются эти числа? (Взаимообратные числа)
Найти число, обратное числу
Какие два числа называются взаимообратными? (Два числа называются взаимообратными, если их произведение равно 1.)
Найти дробь обратную:
Разделить дроби:
Проговариваем правила умножения и деления обыкновенных дробей. 
ΙΙΙ. Новая тема
Обращаясь к плакату, учитель говорит: a, b, c, d - в данном случае числа. А если это будут алгебраические выражения, как называются такие дроби? (Алгебраические дроби)
Правила их умножения и деления остаются теми же самыми.
Выполнить действия:
Первый и второй пример самостоятельно, с последующей записью решения учащимися на доске. Решение третьего примера учитель показывает на доске.
ΙV. Закрепление
1)Работа по задачнику: № 5.4 (а, в), № 5.7 (а, в), №5.12(а,в)
2) Работа в парах по карточкам:
(Решения и ответы отражены через проектор.)
V. Итог урока
№5.16(а,в) и 5.19(а,в) – если остается время
VI. Домашнее задание
№ 5.8; № 5.10; № 5.13(а, б).
Чтобы выполнить умножение алгебраических (рациональных) дробей, надо:
1) В числитель записать произведение числителей, в знаменатель — произведение знаменателей этих дробей.
При этом многочлены нужно .
2) Если можно, сократить дробь.
Замечание.
При умножении сумму и разность необходимо заключить в скобки.
Примеры умножения алгебраических дробей.
При умножении алгебраических дробей отдельно умножаем числители, отдельно — знаменатели этих дробей:
Сокращаем 36 и 45 на 9, 22 и 55 на 11, a² и на a a, b и b на b, c⁵ и c² на c²:
Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Так как в числителях и знаменателях данных дробей стоят многочлены, их нужно .
В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 3. Числитель второй дроби раскладываем на множители как разность квадратов. В знаменателе первой дроби — квадрат разности. В знаменателе второй дроби выносим за скобки общий множитель 5:
Дробь можно сократить на (x+3) и (2x-1):
Умножаем числитель на числитель, знаменатель — на знаменатель. Знаменатель второй дроби раскладываем на множители по формуле разности квадратов:
(a-b) и (b-a) отличаются только знаком. Вынесем «минус» за скобки, например, в числителе. После этого сократим дробь на (a-b) и на a:
При умножении алгебраических дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Входящие в них многочлены пытаемся разложить на множители.
В первой дроби в числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — сумма кубов. Во второй дроби в числителе — (часть формулы суммы кубов), в знаменателе есть общий множитель 3, который выносим за скобки:
Сокращаем дробь на (x+3)² и (x²-3x+9):
В алгебре действия с алгебраическими (рациональными) дробями могут встречаться как в виде отдельного задания, так и в ходе решении других примеров, например, решения уравнений и неравенств. Вот почему важно вовремя научиться умножать, делить, складывать и вычитать такие дроби.
Рубрика: |На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Умножение и деление алгебраических дробей
Правила умножения и деления алгебраических абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:
То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).
Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).
Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:
Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .
Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.
Пример 1
Примечание:
при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами
называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными
. Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: 
.
Пример 2
Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.
Пример 3
Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.
Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.
Пример 4
Пример 5
Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.
Пример 6
Пример 7
Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.
Пример 14
Пример 15
Пример 16
Пример 17
Пример 18
краткое содержание других презентаций«Преобразование алгебраических выражений» - Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей. Работа по закреплению навыков сложения, вычитания, умножения. План урока. Алгебраические выражения и их преобразование. Выполнить действие умножения дробей. Найдите ошибки. Выражение, состоящее из чисел и букв. Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Порядок выполнения действий. Сократить дробь и каждой дроби найти равную ей дробь.
««Квадратичная функция» алгебра» - Формулы сокращенного умножения. Квадратные уравнения. Функция. График какой квадратичной функции изображен на рисунке. Решение неравенств. Квадратичная функция. Постройте график функции. Парабола. Y = x2 + 4x. Справочный материал.
«Комбинаторные задачи и их решения» - Школьнику о теории вероятностей. Появление стохастической линии. Комбинаторные задачи и их решения. Содержание программы. Требования к уровню подготовки. Презентации. Поурочное планирование. Углубление знаний учащихся. Учебно-тематический план. Пояснительная записка.
«Алгебра «Геометрическая прогрессия»» - Записать первые пять членов геометрической прогрессии. Сравните математические объекты в каждой группе. Геометрическая прогрессия. Выберите утверждение, которое подходит вам. Математический диктант. Личностные цели. Физкультминутка. Напишите в один из столбиков любую последовательность чисел. Проверка выполнения. «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед…» Айвен Нивен. Основное свойство геометрической прогрессии.
«Решение неравенств с двумя переменными» - Проверь себя. Х2+У2?9 и Х2+У2. Области решения неравенства. Подберем пару чисел, которая будет являться решением. Понятие неравенств с двумя переменными. Правило пробной точки. Пара значений. Графики функций. Решение неравенств с двумя переменными. Решение неравенств.
«Прогрессии в жизни» - Сведения из истории. Последовательности: путешествие в глубь веков. Сколько брёвен находится в одной кладке. Задачи с практическим содержанием из современных учебников по алгебре. Средняя стоимость изготовления. О поселковых слухах. Одно растение одуванчика. Формулы. Прогрессии в банковских расчетах и в промышленности. Тли. Инфузории. Свойства арифметической и геометрической прогрессий. Прогрессии и банковские расчеты.
На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Умножение и деление алгебраических дробей
Правила умножения и деления алгебраических абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:
То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).
Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).
Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:
Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .
Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.
Пример 1
Примечание:
при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами
называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными
. Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .
Пример 2
Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.
Пример 3
Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.
Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.
Пример 4
Пример 5
Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.
Пример 6
Пример 7
Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.
Пример 14
Пример 15
Пример 16
Пример 17
Пример 18
