Траектория - это линия, которую тело описывает при движении.

Траектория пчелы

Путь - это длина траектории. То есть длина той, возможно, кривой линии, по которой двигалось тело. Путь скалярная величина ! Перемещение - векторная величина ! Это вектор, который проведен из начальной точки отправления тела в конечную точку. Имеет численное значение, равное длине вектора. Путь и перемещение - это существенно разные физические величины.

Обозначения пути и перемещения вы можете встретить разное:

Сумма перемещений

Пусть в течение промежутка времени t 1 тело совершило перемещение s 1 , а в течение следующего промежутка времени t 2 - перемещение s 2 . Тогда за все время движения перемещение s 3 - это векторная сумма

Равномерное движение

Движение с постоянной по модулю и по направлению скоростью. Что это значит? Рассмотрим движение машины. Если она едет по прямой линии, на спидометре одно и то же значение скорости (модуль скорости), то это движение равномерное. Стоит машине изменить направление (повернуть), это будет означать, что вектор скорости изменил свое направление. Вектор скорости направлен туда же, куда едет машина. Такое движение нельзя считать равномерным, несмотря на то, что спидометр показывает одно и то же число.

Направление вектора скорости всегда совпадает с направлением движения тела

Можно ли движение на карусели считать равномерным (если не происходит ускорение или торможение)? Нельзя, постоянно изменяется направление движения, а значит и вектор скорости. Из рассуждений можно сделать вывод, что равномерное движение - это всегда движение по прямой линии! А значит при равномерном движении путь и перемещение одинаковы (поясни почему).

Нетрудно представить, что при равномерном движении за любые равные промежутки времени тело будет перемещаться на одинаковое расстояние.

С древних времен человечество старалось добиться победы в столкновении с противником на максимально возможной дистанции, чтобы не губить собственных воинов. Пращи, луки, арбалеты, потом ружья, теперь и бомбы - все они нуждаются в точном расчете баллистической траектории. И если у старинной военной «техники» отследить точку попадания можно было визуально, что позволяло учиться и в следующий раз стрелять точнее, то в современном мире точка назначения обычно удалена настолько, что разглядеть ее без дополнительных приборов просто невозможно.

Что такое баллистическая траектория

Это путь, который преодолевает какой-либо объект. У него должна быть определенная начальная скорость. На него воздействует сопротивление воздуха и сила притяжения, что исключает возможность движения по прямой линии. Даже в космосе такая траектория будет искажаться под влиянием гравитации различных объектов, хоть и не так значительно, как на нашей планете. Если не учитывать сопротивление воздушных масс, то больше всего такой процесс перемещения будет напоминать эллипс.

Другой вариант - гипербола. И лишь в некоторых случаях это будет парабола или окружность (при достижении второй и первой космической скорости соответственно). В большинстве случаев такие расчеты проводятся для ракет. Они, как правило, летают в верхних слоях атмосферы, где влияние воздуха минимально. Как следствие, чаще всего баллистическая траектория все же напоминает именно эллипс. В зависимости от многих факторов, таких как скорость движения, масса, тип атмосферы, температура, вращение планеты и так далее, отдельные части пути могут принимать самые разнообразные формы.

Расчет баллистической траектории

Для того чтобы понять, куда именно упадет выпущенное тело, применяют дифференциальные уравнения и метод численного интегрирования. Уравнение баллистической траектории зависит от многих переменных, но существует и некий универсальный вариант, который не дает нужной точности, но вполне достаточен для примера.

y=x-tgѲ 0 -gx 2 /2V 0 2 -Cos 2 Ѳ 0, где:

  • y - это максимальная высота над поверхностью земли.
  • Х - дистанция от точки старта до момента, когда тело доберется до высшей точки.
  • Ѳ 0 - угол бросания.
  • V 0 - начальная скорость.

Благодаря указанной формуле появляется возможность описать баллистическую траекторию полета в безвоздушном пространстве. Получится она в форме параболы, что характерно для большинства вариантов свободного движения в подобных условиях и при наличии гравитации. Можно выделить следующие характерные особенности такой траектории:

  • Самый оптимальный угол возвышения для максимальной дистанции - 45 градусов.
  • Объект имеет одинаковую скорость движения как во время старта, так и в момент приземления.
  • Угол броска идентичен углу, под которым произойдет падение.
  • Объект долетает до вершины траектории за точно такое же время, за которое потом упадет вниз.

В подавляющем большинстве расчетов подобного рода принято пренебрегать сопротивлением воздушных масс и некоторых других факторов. Если их учитывать, то формула выйдет слишком уж сложной, а погрешность не так велика, чтобы значительно влиять на эффективность попадания.

Отличия от настильной

Под таким названием понимают другой вариант пути объекта. Настильная и баллистическая траектория - это несколько разные понятия, хотя общий принцип у них одинаков. Фактически такой вид движения подразумевает максимально возможное перемещение в горизонтальной плоскости. И на всем протяжении пути объект сохраняет достаточное ускорение. Баллистический вариант движения необходим для перемещения на большие дистанции. Например, настильная траектория наиболее важна для пули. Она должна лететь достаточно прямо максимально долго и пробивать все, что попадется у нее на пути. С другой стороны, ракета или снаряд из пушки наносят максимум разрушений именно в конце движения, так как набирают максимально возможную скорость. В промежутке своего движения они не столь сокрушительны.

Использование в современности

Баллистическая траектория чаще всего применяется в военной сфере. пули и так далее - все они летают далеко, и для точного выстрела нужно учитывать множество переменных. Кроме того, космическая программа также основана на баллистике. Без нее точно запустить ракету так, чтобы она в конечном итоге не упала на землю, а совершила несколько витков вокруг планеты (или вообще оторвалась от нее и отправилась дальше в космос), невозможно. В целом практически все, что умеет летать (вне зависимости от того, каким способом это делает), так или иначе связано с баллистической траекторией.

Заключение

Умение рассчитать все элементы и запустить какой-либо объект в нужное место - крайне важно в современности. Даже если не брать вооруженные силы, которые традиционно нуждаются в таких возможностях больше всех остальных, останется еще много вполне гражданских применений.

Она представляет собой множество точек, через которые прошел, проходит или пройдет некий объект. Сама по себе эта линия указывает путь данного объекта. По ней нельзя узнать о том, объект начал двигаться или почему искривился его путь. Но соотношение между силами и параметрами объекта позволяют вычислить траекторию. При этом сам объект должен быть значительно меньше пройденного им пути. Только в этом случае его можно считать материальной точкой и говорить о траектории.

Линия движения объекта обязательно непрерывна. В математике и принято говорить о движении свободной или несвободной материальной точки. На первую действуют только силы. Несвободная точка находится под воздействием связей с другими точками, которые тоже влияют на ее движение и в конечном итоге на его след.

Для описания траектории той или иной материальной точки необходимо определить систему отсчета. Системы могут быть инерциальными и неинерциальными, и след от движения одного и того же объекта будет выглядеть по-разному.

Способом описания траектории является радиус-вектор. Его параметры зависят от времени. К данным, для описания траектории, начальная точка радиус-вектора, его длина и направление. Конец радиус-вектора описывает в пространстве кривую, которая состоит из одной или нескольких дуг. Радиус каждой дуги чрезвычайно важен, поскольку он позволяет определить ускорение объекта в определенной точке. Это ускорение вычисляется как частное от деления квадрата нормальной скорости на радиус. То есть a=v2/R, где а - ускорение, v – нормальная скорость, а R- радиус дуги.

Реальный объект практически всегда находится под действием тех или иных сил, которые могут инициировать его движение, прекращать его или менять направление и скорость. Силы могут быть как внешними, так и внутренними. Например, при движении на него действует сила притяжения Земли и других космических объектов, сила двигателя и еще множество факторов. Они и определяют траекторию .

Баллистическая траектория представляет собой свободное движение объекта под воздействием одной только силы тяжести. Таким объектом может быть снаряд, аппарат, бомба и другие. В этом случае нет ни тяги, ни других сил, способных изменить траекторию. Этим видом движения занимается баллистика.

Можно провести несложный опыт, позволяющий увидеть, как меняется баллистическая траектория в зависимости от начального ускорения. Представьте себе, что вы сбрасываете камень с высокой . Если вы не сообщите камню начальную скорость, а просто отпустите его, движение данной материальной точки будет прямолинейным по вертикали. Если же вы бросите его в горизонтальном направлении, то под воздействием различных сил (в данном случае силы вашего броска и силы тяжести) траектория движения будет представлять собой параболу. В данном случае вращение Земли можно не учитывать.

Траекто́рия материа́льной то́чки - линия в пространстве , по которой движется тело, представляющая собой множество точек, в которых находилась, находится или будет находиться материальная точка при своём перемещении в пространстве относительно выбранной системы отсчёта . Существенно, что понятие о траектории имеет физический смысл даже при отсутствии какого-либо по ней движения.

Кроме того, и при наличии движущегося по ней объекта, траектория, изображаемая в наперёд заданной системе пространственных координат, сама по себе не может ничего определённого сказать в отношении причин его движения, пока не проведён анализ конфигурации поля действующих на него сил в той же координатной системе.

Не менее существенно, что форма траектории неотрывно связана и зависит от конкретной системы отсчёта, в которой описывается движение.

Возможно наблюдение траектории при неподвижности объекта, но при движении системы отсчёта. Так, звёздное небо может послужить хорошей моделью инерциальной и неподвижной системы отсчёта. Однако при длительной экспозиции эти звёзды представляются движущимися по круговым траекториям (Рис. 3)

Возможен и случай, когда тело явно движется, но траектория в проекции на плоскость наблюдения является одной неподвижной точкой. Это, например, случай летящей прямо в глаз наблюдателя пули или уходящего от него поезда.

Траектория свободной материальной точки

В соответствии с Первым законом Ньютона, иногда называемым законом инерции , должна существовать такая система, в которой свободное тело сохраняет (как вектор) свою скорость. Такая система отсчёта называется инерциальной . Траекторией такого движения является прямая линия , а само движение называется равномерным и прямолинейным.

Описание траектории

Принято описывать траекторию материальной точки в наперёд заданной системе координат при помощи радиус-вектора , направление, длина и начальная точка которого зависят от времени . При этом кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве может быть представлена в виде сопряжённых дуг различной кривизны , находящихся в общем случае в пересекающихся плоскостях . При этом кривизна каждой дуги определяется её радиусом кривизны , направленном к дуге из мгновенного центра поворота, находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. При том прямая линия рассматривается как предельный случай кривой , радиус кривизны которой может считаться равным бесконечности . И потому траектория в общем случае может быть представлена как совокупность сопряжённых дуг.

Существенно, что форма траектории зависит от системы отсчёта , избранной для описания движения материальной точки. Так, прямолинейное равномерно ускоряющееся движение в одной инерциальной системе в общем случае будет параболическим в другой равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта.

Участок траектории материальной точки в физике обычно называют путём и обычно обозначают символом S - от итал. s postamento (перемещение).

Связь со скоростью и нормальным ускорением

Скорость материальной точки всегда направлена по касательной к дуге, используемой для описания траектории точки. При этом существует связь между величиной скорости v {\displaystyle v} , нормальным ускорением a n {\displaystyle a_{n}} и радиусом кривизны траектории R {\displaystyle R} в данной точке:

a n = v 2 R {\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}}

Однако, не всякое движение с известной скоростью по кривой известного радиуса и найденное по приведённой выше формуле нормальное (центростремительное) ускорение связано с проявлением силы, направленной по нормали к траектории (центростремительной силы). Так, найденное по данным фотографии суточного движения светил ускорение любой из звёзд отнюдь не говорит о существовании вызывающей это ускорение силы, притягивающей её к Полярной звезде, как центру вращения.

Связь с уравнениями динамики

Представление траектории как следа, оставляемого движением материальной точки, связывает чисто кинематическое понятие о траектории, как геометрической проблеме, с динамикой движения материальной точки, то есть проблемой определения причин её движения. Фактически, решение уравнений Ньютона (при наличии полного набора исходных данных) даёт траекторию материальной точки.

В общем случае тело не бывает свободно в своём движении, и на его положение, а в некоторых случаях и на скорость , налагаются ограничения - связи . Если связи накладывают ограничения только на координаты тела, то такие связи называются геометрическими. Если же они распространяются и на скорости, то они называются кинематическими. Если уравнение связи может быть проинтегрировано во времени, то такая связь называется голономной .

Действие связей на систему движущихся тел описывается силами, называемыми реакциями связей. В таком случае сила, входящая в левую часть уравнения (1), есть векторная сумма активных (внешних) сил и реакции связей.

Существенно, что в случае голономных связей становится возможным описать движение механических систем в обобщённых координатах , входящих в уравнения Лагранжа . Число этих уравнений зависит лишь от числа степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему тел, положение которых необходимо определять для полного описания движения.

Если же связи, действующие в системе идеальны, то есть в них не происходит переход энергии движения в другие виды энергии, то при решении уравнений Лагранжа автоматически исключаются все неизвестные реакции связей.

Наконец, если действующие силы принадлежат к классу потенциальных , то при соответствующем обобщении понятий становится возможным использования уравнений Лагранжа не только в механике, но и других областях физики.

Действующие на материальную точку силы в этом понимании однозначно определяют форму траектории её движения (при известных начальных условиях). Обратное утверждение в общем случае не справедливо, поскольку одна и та же траектория может иметь место при различных комбинациях активных сил и реакций связи.

Движение под действием внешних сил в неинерциальной системе отсчёта

Если система отсчёта неинерциальна (то есть движется с неким ускорением относительно инерциальной системы отсчёта), то в ней также возможно использование выражения (1), однако в левой части необходимо учесть так называемые силы инерции (в том числе, центробежную силу и силу Кориолиса , связанные с вращением неинерциальной системы отсчёта) .

Иллюстрация

Как пример, рассмотрим работника театра, передвигающегося в колосниковом пространстве над сценой по отношению к зданию театра равномерно и прямолинейно и несущего над вращающейся сценой дырявое ведро с краской. Он будет оставлять на ней след от падающей краски в форме раскручивающейся спирали (если движется от центра вращения сцены) и закручивающейся - в противоположном случае. В это время его коллега, отвечающий за чистоту вращающейся сцены и на ней находящийся, будет поэтому вынужден нести под первым недырявое ведро, постоянно находясь под первым. И его движение по отношению к зданию также будет равномерным и прямолинейным , хотя по отношению к сцене, которая является неинерциальной системой , его движение будет искривлённым и неравномерным . Более того, для того, чтобы противодействовать сносу в направлении вращения, он должен мышечным усилием преодолевать действие силы Кориолиса , которое не испытывает его верхний коллега над сценой, хотя траектории обоих в инерциальной системе здания театра будут представлять прямые линии .

Но можно себе представить, что задачей рассматривающихся здесь коллег является именно нанесение прямой линии на вращающейся сцене . В этом случае нижний должен потребовать от верхнего движения по кривой, являющейся зеркальным отражением следа от ранее пролитой краски,оставаясь при этом над любой точкой прямой, проходящей в избранном радиальном направлении. Следовательно, прямолинейное движение в неинерциальной системе отсчёта не будет являться таковым для наблюдателя в инерциальной системе .

Более того, равномерное движение тела в одной системе, может быть неравномерным в другой. Так, две капли краски, упавшие в разные моменты времени из дырявого ведра, как в собственной системе отсчёта, так и в системе неподвижного по отношению к зданию нижнего коллеги (на уже прекратившей вращение сцене), будут двигаться по прямой (к центру Земли). Различие будет заключаться в том, что для нижнего наблюдателя это движение будет ускоренным , а для верхнего его коллеги, если он, оступившись, будет падать , двигаясь вместе с любой из капель, расстояние между каплями будет увеличиваться пропорционально первой степени времени, то есть взаимное движение капель и их наблюдателя в его ускоренной системе координат будет равномерным со скоростью v {\displaystyle v} , определяемой задержкой Δ t {\displaystyle \Delta t} между моментами падения капель:

v = g Δ t {\displaystyle v=g\Delta t} .

Где g {\displaystyle g} - ускорение свободного падения .

Поэтому форма траектории и скорость движения по ней тела, рассматриваемая в некоторой системе отсчёта, о которой заранее ничего не известно , не даёт однозначного представления о силах, действующих на тело. Решить вопрос о том, является ли эта система в достаточной степени инерциальной, можно лишь на основе анализа причин возникновения действующих сил.

Таким образом, в неинерциальной системе:

  • Кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями.
  • Прямолинейность траектории является недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело не действуют никакие силы.

Изначально траектория - физико-математическое понятие, которое обозначает путь движения точки или физического тела. Сам термин происходит от латинского слова «trajectus», что означает «бросок» или «переброска». Впоследствии латинский термин поменял значение на «то, что относится к движению», а в остальных отраслях им стали обозначать линию перемещения в пространстве любого объекта, будь то артиллерийский снаряд или космический корабль.

Инструкция

  • Траектория - это линия в трехмерном пространстве. В математике она представляет собой множество точек, через которые прошел, проходит или пройдет некий материальный объект. Сама по себе эта линия указывает путь данного объекта. По ней нельзя узнать о том, почему объект начал двигаться или почему искривился его путь. Но соотношение между силами и параметрами объекта позволяют вычислить траекторию. При этом сам объект должен быть значительно меньше пройденного им пути. Только в этом случае его можно считать материальной точкой и говорить о траектории.
  • Линия движения объекта обязательно непрерывна. В математике и физике принято говорить о движении свободной или несвободной материальной точки. На первую действуют только силы. Несвободная точка находится под воздействием связей с другими точками, которые тоже влияют на ее движение и в конечном итоге на его след.
  • Для описания траектории той или иной материальной точки необходимо определить систему отсчета. Системы могут быть инерциальными и неинерциальными, и след от движения одного и того же объекта будет выглядеть по-разному.
  • Способом описания траектории является радиус-вектор. Его параметры зависят от времени. К данным, необходимым для описания траектории, относятся начальная точка радиус-вектора, его длина и направление. Конец радиус-вектора описывает в пространстве кривую, которая состоит из одной или нескольких дуг. Радиус каждой дуги чрезвычайно важен, поскольку он позволяет определить ускорение объекта в определенной точке. Это ускорение вычисляется как частное от деления квадрата нормальной скорости на радиус. То есть a=v2/R, где а - ускорение, v – нормальная скорость, а R- радиус дуги.
  • Реальный объект практически всегда находится под действием тех или иных сил, которые могут инициировать его движение, прекращать его или менять направление и скорость. Силы могут быть как внешними, так и внутренними. Например, при движении космического корабля на него действует сила притяжения Земли и других космических объектов, сила двигателя и еще множество факторов. Они и определяют траекторию полета.
  • Баллистическая траектория представляет собой свободное движение объекта под воздействием одной только силы тяжести. Таким объектом может быть снаряд, летательный аппарат, бомба и другие. В этом случае нет ни тяги, ни других сил, способных изменить траекторию. Этим видом движения занимается баллистика.
  • Можно провести несложный опыт, позволяющий увидеть, как меняется баллистическая траектория в зависимости от начального ускорения. Представьте себе, что вы сбрасываете камень с высокой башни. Если вы не сообщите камню начальную скорость, а просто отпустите его, движение данной материальной точки будет прямолинейным по вертикали. Если же вы бросите его в горизонтальном направлении, то под воздействием различных сил (в данном случае силы вашего броска и силы тяжести) траектория движения будет представлять собой параболу. В данном случае вращение Земли можно не учитывать.