Научившись вычислять спектральные плотности достаточно простых, но часто встречающихся импульсных сигналов, перейдем к систематическому изучению свойств преобразования Фурье.
Линейность преобразования Фурье.
Это важнейшее свойство формулируется так: если имеется некоторая совокупность сигналов причем то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:
Здесь - произвольные числовые коэффициенты.
Для доказательства формулы (2.26) следует подставить сумму сигналов в преобразование Фурье (2.16).
Свойства вещественной и мнимой частей спектральной плотности.
Пусть - сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной:
Подставам это выражение в формулу обратного преобразования фурье (2.18):
Для того чтобы сигнал, полученный путем такого двукратного преобразования, оставался вещественным, необходимо потребовать, чтобы
Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть спектральной плотности сигнала есть четная, а мнимая часть - нечетная функция частоты:
Спектральная плотность сигнала, смещенного во времени.
Предположим, что для сигнала известно соответствие Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчета времени, обозначим этот смещенный сигнал как Покажем, что
Доказательство очень простое. Действительно,
Модуль комплексного числа при любых равен единйце, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотной зависимости аргумента его спектральной плотности (фазовом спектре).
Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба измерения времени.
Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени t играет новая независимая переменная (k - некоторое вещественное число). Если то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же то сигнал «растягивается» во времени.
Оказывается, что если то
Действительно,
откуда следует формула (2.29).
Итак, для того чтобы, например, сжать сигнал во времени, сохраняя его форму, необходимо распределить те же спектральные составляющие в более широком интервале частот при соответствующем пропорциональном уменьшении их амплитуд.
К рассматриваемому здесь вопросу близко примыкает Следующая задача.
Дан импульс отличный от нуля на отрезке и характеризуемый спектральной плотностью Требуется иайти спектральную плотность «обращенного во времени» сигнала который представляет собой «зеркальную копию» исходного импульсного колебания. Поскольку очевидно, что то
Выполнив замену переменной находим, что
Спектральная плотность производной и неопределенного интеграла.
Пусть сигнал s(t) и его спектральная плотность заданы. Будем изучать новый сигнал и Поставим цель найти его спектральную плотность - .
По определению,
Преобразование Фурье - линейная операция, значит, равенство (2.31) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Учитывая (2.28), получаем
Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: подставляя этот ряд в (2.32) и ограничиваясь первыми двумя членами, находим
При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала.
Формула (2.33) обобщается на случай спектра производной порядка. Легко доказать, что если , то
Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель Поэтому принято говорить, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.
Рассмотренная функция является первообразной (неопределенным интегралом) по отношению к функции Из (2.33) формально следует, что спектр первообразной
Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.
Спектральная плотность сигнала на выходе интегратора.
Во многих радиотехнических устройствах находят применение так называемые интеграторы - физические системы, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного воздействия. Рассмотрим конкретно интегратор, осуществляющий преобразование входного сигнала в выходной сигнал по следующему закону:
Здесь - фиксированный параметр.
Определенный интеграл, входящий в (2.36), равен, очевидно, разности двух значений первообразной сигнала одно из которых вычисляется при аргументе t, а другое - при аргументе . Используя соотношения (2.28) и (2.35), получаем формулу связи между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе:
Сомножитель в скобках ограничен при любых частотах, в то же время модуль знаменателя линейно растет с увеличением частоты. Это свидетельствует о том, что рассматриваемый интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие входного сигнала.
Как следует из теории ряда Фурье, он применим при обращении с периодическими функциями и с функциями с ограниченным интервалом изменения независимых переменных (поскольку этот интервал может быть расширен на всю ось путем периодического продолжения функции). Однако периодические функции сравнительно редки на практике. Эта ситуация требует создания более общего математического аппарата для обращения с непериодическими функциями, а именно интеграла Фурье и на его основе, преобразования Фурье.
Рассмотрим непериодическую функцию f(t) как предел периодической с периодом T=2l при l®?.
Периодическая функция с периодом 2l может быть представлена в виде разложения в ряд Фурье (воспользуемся комплексной его формой)
где выражения для коэффициентов имеют вид:
Введем следующее обозначение для частот:
Запишем разложение в ряд Фурье в виде одной формулы, подставив в (1), выражение для коэффициентов (2) и для частоты (3) :
Спектр периодической функции с периодом 2l дискретный
Обозначим минимальное расстояние между точками спектра, равное основной частоте колебаний за, т.е.
и введем это обозначение в (4):
В таких обозначениях ряд Фурье напоминает интегральную сумму для функции.
Переходя к пределу при T=2l®? к непериодической функции, получим, что частотный интервал становится бесконечно малым (обозначим его за dw), а спектр становится непрерывным. С математической точки зрения это соответствует замене суммирования по дискретному набору интегрированием по соответствующей переменной в бесконечных пределах.
Это выражение и есть интегральная формула Фурье.
2.2 Формулы преобразования Фурье.
Интеграл Фурье удобно представить в виде суперпозиции двух формул:
Функция F(w), сопоставляемая по первой формуле функции f(t), называется ее преобразованием Фурье . В свою очередь, вторая формула, позволяющая найти исходную функцию по ее образу, называется обратным преобразованием Фурье . Обратим внимание на симметрию формул для прямого и обратного преобразования Фурье с точность до постоянного множителя 1/2pи знака в показателе экспоненты.
Символически прямое и обратное преобразование Фурье будем обозначать как f(t)~F(w).
Проводя аналогию с тригонометрическим рядом Фурье, можно прийти к выводу, что образ Фурье (6) является аналогом коэффициента Фурье (см.(2)), а обратное преобразование Фурье (7) является аналогом разложения функции в тригонометрический ряд Фурье (см.(1)).
Отметим, что множитель вместо обратного преобразования можно отнести к прямому преобразованию Фурье или сделать симметричные множители для прямого и обратного преобразований. Главное, чтобы оба преобразования вместе составляли интегральную формулу Фурье (5), т.е. произведение постоянных множителей при прямом и обратном преобразовании должно быть равно..
Отметим, что для прикладных целей более удобной оказывается не угловая частота w, а частотаn, связанная с первой соотношениемw=2pn. и измеряемая в герцах (Гц). В терминах этой частоты формулы преобразования Фурье будут иметь вид:
Сформулируем без доказательства достаточные условия существования преобразования Фурье.
- 1) f(t) - ограничена при t?(-?,?);
- 2) f(t) - абсолютно интегрируема на t?(-?,?);
- 3) Число точек разрыва, максимума и минимума функции f(t) конечно.
Другим достаточным условием является требование квадратичной интегрируемости функции на свей действительной оси, что физически соответствует требованию конечной мощности сигнала.
Таким образом, с помощью преобразования Фурье мы имеем два способа представления сигнала: временное f(t) и частотное F(w).
- 2.3 Свойства преобразования Фурье.
- 1. Линейность.
Если f(t)~F(w),g(t)~G(w),
то аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
Доказательство основано на линейных свойствах интегралов.
- 2. Четность.
- 2.1 Если f(t) действительная четная функция и f(t)~F(w), то F(w) также действительная четная функция.
Доказательство:
Используя определение (6), а также формулу Эйлера получим
- -четная функция.
- 2.2 Если f(t) -нечетная действительная функция, то F(w)- нечетная мнимая функция.
2.3 Если f(t) произвольная действительная функция, F(w) имеет четную действительную часть и нечетную мнимую часть.
Доказательство:
Cвойства четности 2 можно суммировать в формуле:
3. Подобие
Если f(t)~F(w), то f(at)~.
- 4. Смещение.
- 4.1 Если f(t)~F(w), то f(t-a)~.
Т.е. запаздыванию во времени соответствует умножение на комплексную экспоненту в области частот.
4.2 Если f(t)~F(w), то~.
Т.е. смещение по частоте соответствует умножению на комплексную экспоненту во временной области.
- 5. Если f(t)~F(w), то
- 5.1 f’(t)~iwF(w),~
если f(t) имеет n непрерывных производных.
Доказательство:
если F(w) имеет n непрерывных производных.
Доказательство:
- 2.4 Важнейшие примеры нахождения преобразования Фурье .
где - прямоугольный импульс
При этом мы учли, что - интеграл Пуассона.
Нахождение последнего интеграла можно пояснить следующим образом. Контур интегрирования С есть прямая в комплексной плоскости (t,w), параллельная действительной оси (w-постоянное число). Интеграл от скалярной функции по замкнутому контуру равен нулю. Образуем замкнутый контур, состоящий из прямой С и действительной оси t, замыкающихся на бесконечности. Т.к. на бесконечности подинтегральная функциястремится к нулю, то интегралы по замыкающим кривым равны нулю. Значит интеграл по прямой С равен интегралу, взятому по действительной действительной оси, проходимой в положительном направлении.
2 .5 Принцип неопределенности для частотно-временного представления сигнала.
На примере прямоугольного импульса покажем справедливость принципа неопределенности, состоящего в том, что невозможно одновременно локализовать импульс во времени и усилить его избирательность по частоте.
Согласно 5), ширина прямоугольного импульса во временной области DT равна 2Т. За ширину образа Фурье прямоугольного импульса примем расстояние между соседними нулями центрального горба в частотной области. Первые нули функции имеем при.
Таким образом получаем
Таким образом, чем более импульс локализован во времени, тем сильнее размазан его спектр. Обратно, чтобы сократить спектр, мы вынуждены растягивать импульс во времени. Этот принцип справедлив при любой форме импульса и носит универсальный характер.
2.6 Свертка и ее свойства.
Свертка-основная процедура при фильтрации сигнала.
Назовем функцию h(t) сверткой непериодических функций f(t) и h(t), если она определяется как следующий интеграл:
Символически будем обозначать этот факт как.
Операция свертки обладает следующими свойствами.
- 1. Коммутативность.
Доказательство коммутативности можно получить путем замены переменной t-t=t’
- 2. Ассоциативность
Доказательство:
- 3. Дистрибутивность
Доказательство этого свойства непосредственно следует из линейных свойств интегралов.
Для обработки сигналов наиболее важным в методе Фурье (после формул преобразования Фурье) являются теоремы о свертке. Будем использовать частоту nвместоw, т.к. теоремы о свертке в этом представлении будут иметь взаимообратимый характер.
2.7 Теоремы о свертке
Первая теорема о свертке .
Преобразование Фурье прямого произведения функций равно свертке преобразований
Доказательство:
Пусть, тогда. Используя определение обратного преобразования Фурье и меняя порядок интегрирования, получим:
В терминах угловой частоты wэта теорема имеет менее универсальный вид
Вторая теорема о свертке.
Преобразование Фурье свертки функций равно прямому произведению преобразований.
Доказательство:
Для примера рассмотрим свертку прямоугольного импульса
По условию f(t)=0 приt<-T и приt>T. Аналогично, f(t-t)=0 при
t-t<-T и при t-t>T, т.е. приt>t+T и приt при -2T Объединяя оба случая, получим выражение для свертки: Таким образом, сверткой прямоугольного импульса самого с собой будет треугольный импульс (иногда эту функцию называют L-функцией). Пользуясь теоремой о свертке, можно легко получить преобразование Фурье L-функции На практике физическим ситуациям соответствуют функции, равные нулю при t<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. Найти свертку функций f(t) и g(t) т.к. f(t)=0 приt<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>t. Введем понятие взаимной корреляции двух функций f(t) и g(t). где t- временной сдвиг, непрерывно изменяющийся в промежутке (-?,?). Важным понятием является корреляция функции с самой собой, которая носит название автокорреляции. Перейдем к рассмотрению понятия мощности и энергии сигнала. Важность этих понятий объясняется тем, что любая передача информации есть фактически передача энергии. Рассмотрим произвольный комплексный сигнал f(t). Мгновенная мощность сигнала p(t) определяется равенством Полная энергия равна интегралу от мгновенной мощности по всему промежутку существования сигнала: Мощность сигнала может быть рассмотрена также как функция частоты. При этом мгновенную частотную мощность обозначают как. Полная энергия сигнала вычисляется по формуле Полная энергия сигнала не должна зависеть от выбранного представления. Значения полной энергии, посчитанные из временного и частотного представления, должны совпадать. Поэтому, приравнивая правые части, получаем равенство: Это равенство составляет содержание теоремы Парсеваля для непериодических сигналов. Строгое доказательство этой теоремы будет дано при изучении темы “Обобщенные функции”. Аналогично, выражая энергию взаимодействия двух различных сигналов f(t) и g(t) во временном и частотном представлении, получим: Выясним математический смысл теоремы Парсеваля. С математической точки зрения интеграл есть скалярное произведение функций f(t) и g(t), обозначаемое как (f,g). Величинаназывается нормой функции f(t) и обозначается как. Поэтому из теоремы Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения относительно преобразования Фурье,т.е. Мгновенная мощность сигнала, рассматриваемая как функция частоты,т.е. , имеет и другое общепризнанное название - спектр мощности. Спектр мощности является основным математическим инструментом спектрального анализа, позволяющего выяснить частотный состав сигнала. Кроме спектра мощности сигнала на практике используется амплитудный и фазовый спектры, определяемые, соответственно как: Плотность спектра мощности сигнала f(t) равна Фурье-образу автокорреляционной функции Плотность кросс-спектрасигналов f(t) и g(t) равна Фурье- образу корреляционной функции. Оба утверждения можно объединить в одно: Спектральная плотность равна преобразованию Фурье корреляционной функции. Доказательство будет дано позже после введения понятия обобщенной функции. Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров. 1. Линейность.
Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. a n s n (t) Û a n S n (w). (4.21) Пример суммирования сигналов и его отображения в спектральной области на рис. 4.18. Рис. 4.18. Сигналы и их спектры. s0(k)=s1(k)+s2(k) Û
S1(w)+S2(w) = S0(w) 2. Свойства симметрии
преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований. На рис. 4.19. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s1(k) является четным, s1(k) = s1(-k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s2(k) = -s2(-k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s3(k) образован суммой сигналов s1(k) и s2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S3(w), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала. Произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (0-Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от –Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от –Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения. Рис. 4.19. Свойства четности преобразования
3. Изменение аргумента функции
(сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля. Так, если s(t) Û S(w), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s(x) = s(at) при x=at, получаем: s(at) Ûs(at)exp(-jwt) dt = (1/a)s(x)exp(-jxw/a) dx s(at) Û (1/a) S(w/a). (4.22") Выражение (4.22") действительно при а>0. При а<0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t=x/a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра: s(at) Û -(1/a) S(w/a). (4.22"") Обобщенная формула изменения аргумента: s(at) Û (1/|a|) S(w/a), a ≠ 0 (4.22) Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот. Это можно наглядно видеть на рис. 4.18. для сигналов s1(k) и s2(k) и их спектров S1(w) и S2(w). От изменения аргумента функций следует отличать изменение масштаба представления функций. Изменение масштаба аргументов изменяет оцифровку числовых осей отображения сигналов и их спектров, но не изменяет самих сигналов и спектров. Так, при масштабе оси времен t=1 секунда, масштаб оси частот f=1/t=1 герц, а при t=1 мксек f=1/t=1 МГц (t=at, f=1/at, a=10 -6).
4. Теорема запаздывания.
Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу функции на интервал t o приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину -wt o . Применяя замену переменной t-t o = x, получаем: s(t-t o)Ûs(t-t o)exp(-jwt) dt = S(x)exp(-jwx)exp(-jwt o) dx = S(w)exp(-jwt o). (4.23) Совершенно очевидно, что амплитуды гармоник сигнала при его сдвиге изменяться не должны. С учетом того, что |exp(-jwt o)|=1, это следует и из (4.23): |S(w) exp(-jwt o)| = |S(w)|. Фазовый спектр сдвигается на -wt o с линейной зависимостью от частоты: S(w) exp(-jwt o)= R(w) expexp(-jwt o)= R(w) exp. (4.24) Пример двух одинаковых сигналов, сдвинутых относительно друг друга на t o =1, и соответствующих данным сигналам спектров приведен на рис. 4.20. Рис. 4.20. Изменение спектра сигнала при его сдвиге Аналогично нетрудно показать, что сдвиг спектра в частотной области на w 0 вызывает умножение сигнала на exp(jw 0 t): S(w - w 0) « s(t) exp(jw 0 t), что эквивалентно модуляции сигнала функцией комплексной экспоненты во временной области.
5. Преобразование производной
(дифференцирование сигнала):
s(t) = d/dt = d/dt =Y(w) dw = Jw Y(w) exp(jwt) dw Û jw Y(w). (4.25) Дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области
jw, что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jw приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой. Рис. 4.21. Спектры сигнала и его производной Пример сигнала, его производной и соответствующих им спектров приведен на рис. 4.21. По изменению аргумента спектра (для четного исходного сигнала он был нулевым) можно видеть, что для всех гармоник спектра появляется сдвиг фаз на p/2 (90 0) для положительных частот, и на -p/2 (-90 0) для отрицательных частот. В общем случае, для кратных производных: d n /dt n = (jw) n Y(w). (4.26) При дифференцировании спектра функции соответственно получаем: d n /dw n = (-jt) n s(t). 6. Преобразование интеграла
сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих простых соображений. Если имеет место s(t) = d/dt Û jw Y(w) = S(w), то должна выполняться и обратная операция: y(t) =s(t) dt Û Y(w) = S(w)/jw. Отсюда следует: s(t)dt Û (1/jw)S(w). (4.27) Оператор интегрирования в частотной области
(1/jw) при w>1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при w<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных. Пример модуля спектра сигнала и его интегральной функции приведен на рис. 4.22. Рис. 4.22. Сигналы и амплитудные спектры сигналов Формула (4.27) справедлива для сигналов с нулевой постоянной составляющей. При интегрировании сигналов с определенным значением постоянной составляющей С=const в правой части выражения (4.27) появляется дополнительное слагаемое преобразования Фурье постоянной составляющей C, которое представляет собой дельта-функцию на нулевой частоте с весовым коэффициентом, равным значению С: 7. Преобразование свертки
сигналов y(t) = s(t) * h(t): Y(w) =y(t) exp(-jwt) dt =s(t) h(t-t) exp(-jwt) dtdt. Y(w) =s(t) dth(t-t) exp(-jwt) dt. По теореме запаздывания (4.23): h(t-t) exp(-jwt) dt = H(w) exp(-jwt). Y(w) =H(w) s(t) exp(-jwt) dt = H(w)·S(w). s(t) * h(t) Û S(w) H(w). (4.28) Пример выполнения свертки в частотной области приведен на рис. 4.23. Рис. 4.23. Сигналы и амплитудные спектры сигналов Отметим, что частотное представление H(w) импульсного отклика h(t) линейной системы (или соответствующей линейной операции) имеет смысл частотной передаточной функции системы и позволяет определить сигнал на выходе системы (в частотной форме представления) при задании произвольного сигнала (в частотной форме) на ее входе. По существу, функция H(w) представляет собой распределение по частоте коэффициента пропускания частотных составляющих сигнала с входа на выход системы. Таким образом, свертка функций в координатной форме отображается в частотном представлении произведением фурье-образов этих функций.
Это положение имеет фундаментальное значение в практике обработки данных. Любая линейная система обработки данных (информационных сигналов) реализует определенную операцию трансформации сигнала, т.е. выполняет операцию свертки входного сигнала s(t) с оператором системы h(t). С использованием преобразования свертки эта операция может производиться как с динамической, так и с частотной формой представления сигналов. При этом обработка данных, представленных в цифровой форме, производится, как правило, в частотной области, т.к. может быть на несколько порядков выше по производительности, чем во временной области. Она представляет собой последовательность следующих операций. 1. Перевод сигнала в частотную область: s(t) Û S(w). 2. Умножение спектра сигнала на передаточную функцию системы: Y(w) = H(w)·S(w). Передаточная функция системы определяется аналогичным преобразованием h(t) Û H(w) или задается непосредственно в частотном представлении, что позволяет задавать передаточные функции сколь угодно сложной формы, в том числе с разрывами и скачками, для которых во временной области потребуются операторы h(t) с бесконечной импульсной характеристикой. 3. Перевод спектра обработанного сигнала во временную область: Y(w) Û y(t).
8. Преобразование произведения
сигналов y(t) = s(t)·h(t): Y(w) =s(t) h(t) exp(-jwt) dt =s(t) [(1/2p)H(w") exp(jw"t) dw"] dt = = (1/2p)s(t)H(w") exp(-j(w-w")t) dw"dt = (1/2p)H(w") dw"s(t) exp(-j(w-w")t) dt = = (1/2p)H(w") S(w-w") dw" = (1/2p) H(w) * S(w). (4.29) Таким образом, произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций,
с нормировочным множителем (1/2p), учитывающем несимметричность прямого и обратного преобразования Фурье функций s(t) и h(t) при использовании угловых частот.
9. Производная свертки
двух функций s"(t) = d/dt. С использованием выражений (4.26) и (4.28), получаем: s"(t) = jw = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w). s"(t) = x"(t) * y(t) = x(t) * y"(t). Это выражение позволяет выполнять вычисление производной сигнала с одновременным сглаживанием весовой функцией, которая является производной сглаживающей функции (например, гауссиана).
10. Спектры мощности.
Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением: w(t) = s(t) s * (t) = |s(t)| 2 . Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s(t)·s * (t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций: W(f) = S(f) * S * (f) =S(f) S * (f-v) dv. (4.30) Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S(f)·S * (f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник S(f) и S * (f-v) значения их произведения равны нулю. Отсюда: W(f) = S(f) * S * (f) = |S(f)| 2 . (4.31) Спектр мощности – вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов: W xy (f) = X(f) Y*(f), W yx (f) = Y(f) X*(f), W xy (f) = W* yx (f). Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re - четная функция, а Im - нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра: X(f) Y*(f) df. Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье: áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)|| 2 = ||X(f)|| 2 . Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по w) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2p. На практике важна связь между рядом преобразований сигнала и соответствующими этим преобразованиям изменениями его спектральной плотности. 1. Сложение, усиление и ослабление сигналов (теорема линейности). К линейным операциям относят сложение, вычитание, усиление и ослабление сигналов, поэтому к ним применимо свойство линейности. Если имеется совокупность детерминированных сигналов u 2 (t
), ... ; и0),
..., u s (t),
обладающих спектральными плотностями 5, (со), S 2 (со), ..., 5)(со), ..., 5^со), то суммарному (разностному) значению сигналов соответствует сумма (разность) их спектральных плотностей Данная теорема имеет элементарное доказательство: достаточно в прямое преобразование Фурье (2.29) подставить сумму исходных сигналов. В общем виде теорему линейности записывают следующим образом: где a i
- произвольные числовые коэффициенты; i =
0, 1,..., N.
2. Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания). Пусть сигнал u x (t)
со спектральной плотностью 5, (со) задержан на некоторое время t c .
В этом случае u 2 (t) = u x (t - t c)>
и спектральная плотность задержанного сигнала в соответствии с прямым преобразованием Фурье (2.29) имеет вид Введя новую переменную интегрирования т = t - t c ,
получим
Итак, сдвиг исходного сигнала во времени на некоторый интервал t c
приводит к тому, что спектр задержанного сигнала оказывается равен спектральной плотности 5j(co), умноженной на комплексную экспоненту Амплитудный же спектр сигнала не меняется (ведь модуль такой комплексной экспоненты равен единице). При этом фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое -со? с, линейно зависящее от частоты. На практике сдвиг исходного сигнала во времени осуществляют при аудио- и видеозаписи. Теорема запаздывания показывает, что сколько бы долго ни хранилась такая запись, спектр (и форма) сигнала не претерпит изменений. 3. Смещение спектра сигнала (теорема смещения). Если S {
(со) - спектральная плотность сигнала u { (t),
то спектральная плотность S
2 (со + Q), полученная путем сдвига исходного спектра но оси частот на величину Q, соответствует сигналу u 2 (t) = jQt .
Действительно, согласно формуле (2.29) Это преобразование спектра импульсного сигнала применяют в системах связи либо при переносе спектра сигнала из одной полосы частот в другую, либо при модуляции. Формула (2.34) показывает, что в результате таких преобразований спектр сигнала смещается на величину Q, равную частоте сдвига. 4. Изменение масштаба времени. Пусть в исходном сигнале u x (t)
изменен масштаб времени так, что аргумент t
умножен на постоянный коэффициент b
и u 2 (t) = u x (bt).
Если b
> 1, то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же 0 b 1, то исходный сигнал «растягивается» во времени. Докажем это. Спектральная плотность измененного во времени сигнала Введя новую переменную т = Ы
, получим
Увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в b
раз сопровождается сжатием ширины его спектра во столько же раз, и наоборот, уменьшение длительности сигнала приводит к расширению его спектра. 5. Спектр произведения сигналов (теорема о свертке спектров). Прежде чем определить данный спектр, введем важное для теории сигналов понятие свертки двух функций. Рассмотрим скалярное произведение двух функций /(?) и h(t):
Это соотношение имеет фундаментальное значение в теории связи. Интеграл (2.35) в математике и теории цепей называют сверткой
(англ, convolution)
двух функций или сигналов (где * - знак операции свертки функций). Пусть сигналы /(f) и h(t)
имеют спектральные плотности /(со) и #(со) соответственно. Тогда их произведение u{t) = f{t)h{t)
будет характеризовать спектральная плотность При выводе формулы (2.36) сигнал /(f) выражен через его спектральную плотность F(со) с заменой переменной со на т. Согласно формуле (2.36) спектральная плотность произведения двух сигналов есть свертка их спектральных плотностей (умноженная на 1/(2л)), т.е. свертка, осуществленная ужй в частотной области. Данное соотношение имеет чрезвычайно важное значение в теории связи. Оно связывает спектральный и временной подходы к анализу импульсных сигналов и служит для целей исследования прохождения подобных сигналов через линейные и линейно-параметрические цепи. Нетрудно убедиться, что операция свертки коммутативна, т.е. допускает изменение порядка следования преобразуемых функций: Теорема Рэлея и равенство Парсеваля. Приняв в фломуле (2.36) значение частоты со = 0, приходим к выводу известной в математике теоремы {обобщенной формулы
) Рэлея для сигналов Здесь учтено соотношение (2.32), согласно которому //(-со) = Н*(со). Легко запоминающаяся трактовка формулы (2.37) такова: скалярное произведение двух непрерывных сигналов с точностью до коэффициента 1/(2тг) пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. Формула Рэлея относится к классу обобщенных функций и обладает важным положением, касающимся спектральных свойств ряда неинтегрируе- мых сигналов. При f(t) = h(t)
= u(t)
из теоремы Рэлея вытекает равенство Парсеваля
6. Умножение сигнала на гармоническую функцию. Умножим исходный непрерывный сигнал u(t)>
спектральная плотность S(со) которого известна, на гармоническую функцию единичной амплитуды (для упрощения примем начальную фазу гармонического сигнала равной нулю): f(t) = u(t)cos($ 0 L
Посмотрим, что произошло со спектром при таком преобразовании: Итак, спектр исходного сигнала при его умножении на гармоническую функцию «раздвоился» - распался на два слагаемых вдвое меньшего уровня, чем исходный (1/2 перед каждым из слагаемых), смещенных на частоту сигнала ±со 0 соответственно влево (со - со 0) и вправо (со + со 0) по оси частот. Несложно показать, что если в гармоническом сигнале имеется начальная фаза ср 0 , то при нервом слагаемом в формуле (2.39) будет множитель e j% ,
а при втором - е
Одним из мощных средств исследования задач математической физики является метод интегральных преобразований.
Пусть функция f(x) задана на интервале (а, 6), конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции f(x) называется функция
где К(х, ш) - фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования (предполагается, что интеграл (*) существуете собственном или несобственном смысле).
§1. Интеграл Фурье
Всякая функция f(x), которая на отрезке [-f, I] удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом
Коэффициенты а*, и 6„ ряда (1) определяются по формулам Эйлера-Фурье:
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье
Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения
Ряд в правой части равенства (1) можно записать в иной форме. С этой целью внесем в него из формул (2) значения коэффициентов а» и оп, подведем под знаки интегралов cos ^ х и sin х (что возможно, поскольку переменной интегрирования является т)
О)
и используем формулу для косинуса разности. Будем иметь
Если функция/(ж) первоначально была определена на интервале числовой оси, большем, чем отрезок [-1,1] (например, на всей оси), то разложение (3) воспроизведет значения этой функции только на отрезке [-1,1] и продолжит се на всю числовую ось как периодическую функцию с периодом 21 (рис. 1). Поэтому, если функция f(x) (вообще говоря, непериодическая) определена на всей числовой оси, в формуле (3) можно попытаться перейти к пределу при I +оо. При этом естественно потребовать выполнения следующих условий:
1. f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье на любом конечном отрезке оси Ох\
2. функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси,
При выполнении условия 2 первое слагаемое правой части равенства (3) при I -* +оо стремится к нулю. В самом деле,
Попытаемся установить, во что перейдет в пределе при I +оо сумма в правой, части (3). Положим
так, что Тогда сумма в правой части (3) примет вид
В силу абсолютной сходимости интеграла эта сумма при больших I мало отличается от выражения
которое напоминает интегральную сумму для функции переменного £
составленную для интервала (0, +оо) изменения Поэтому естественно ожидать, что при сумма (5) перейдет в интеграл
Сдругой стороны, при фиксировано) из формулы (3) вытекает, что
и мы получаем равенство
Достаточное условие справедливости формулы (7) выражается следующей теоремой.
Теорема 1. Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси и имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке [а, 6], то справедливо равенство
При этом во всякой точке xq, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции /(ж), значение интеграла в правой части (7) равно
Формулу (7) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл - интегралом Фурье.
Если воспользоваться формулой дня косинуса разности, то формулу (7) можно записать в виде
Функции а(£), Ь(£) являются аналогами соответствующих коэффициентов Фурье ап и Ьп 2тг-периодической функции, но последние определены для дискретных значений п, вто время как а(0> НО определеныдля непрерывных значений £ G (-оо, +оо).
Комплексная форма интеграла Фурье
Предполагая /(х) абсолютно интегрируемой на всей оси Ох, рассмотрим интеграл
Этот интеграл равномерно сходится для, так как
и потому представляет собой непрерывную и, очевидно, нечетную функцию от Но тогда
С другой стороны, интеграл
есть четная функция переменной так что
Поэтому интегральную формулу Фурье можно записать так:
Умножим равенство
на мнимую единицу i и прибавим к равенству (10). Получим
откуда, в силу формулы Эйлера будем иметь Это - комплексная форма интеграла Фурье. Здесь внешнее интегрирование по £ понимается в смысле главного значения по Коши:
§2. Преобразование Фурье.
Косинус- и синус-преобразования Фурье
Пусть функция f(x) является кусочно-гладкой на любом конечном отрезке оси Ох и абсолютно интегрируема на всей оси.
Определение. Функция
откуда, в силу формулы Эйлера, будем иметь
называется преобразованием Фурье функции /(г) (спектральной функцией).
Это - интегральное преобразование функции /(г) на интервале (-оо,+оо) с ядром
Используя интегральную формулу Фурье
получаем
Это так называемое обратное преобразование Фурье, дающее переход от F(£) к /(х). Иногда прямое преобразование Фурье задают так: Тогда обратное преобразование Фурье определится формулой
Преобразование Фурье функции /(ж) определяют также следующим образом:
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье
Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения
Тогда, в свою очередь,
При этом положение множителя ^ достаточно произвольно: он может входить либо в формулу (1"), либо в формулу (2").
Пример 1. Найти преобразование Фурье функции
-4 Имеем
Это равенство допуска ет дифференцирование по £ под знаком интеграла (получающийся после дифференцирования интеграл равномерно сходится, когда { принадлежит любому конечному отрезку):
Интегрируя по частям, будем иметь
Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль, и мы получаем
откуда
(С - постоянная интегрирования). Полагая в (4) £ = 0, найдем С = F(0). В силу (3) имеем
Известно, что В частности, для) получаем, что
Пример 2 (разред кокдемсетора через сопропиление). Рассмотрим функцию
4 Для спектрам ыюй функции F(£) получаем
Отсюда (рис.2).
Условие абсолютной интегри-руемости функции f(x) на всей числовой оси является весьма жестким. Оно исключает, например, такие элементарные функции, как) = cos ж, f(x) = е1, для которых преобразования Фурье (в рассматриваемой здесь классической форме) не существует.
Фурье-образ имеют только те функции, которые достаточно быстро стремятся к нулю при |х| -+ +оо (как в примерах 1 и 2).
2.1. Косинус- и синус-преобразования Фурье
Используя формулу косинуса, разности, перепишем интегральную формулу Фурье
в следующем виде:
Пусть f(x) - четная функция. Тогда
так что изравснства (5) имеем
В случае нечетной f(x) аналогично получаем
Если f(x) задана лишь на (0, -foo), то формула (6) продолжает f(x) на всю ось Ох четным образом, а формула (7) - нечетным.
(7)
Определение. Функция
называется косинус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (6) следует, что для четной функции f(x)
Это означает, что f(x), в свою очередь, является косинус-преобразованием для Fc(£). Иными словами, функции / и Fc являются взаимными косинус-преобразованиями.
Определение. Функция
называется синус-преобразованием Фурье функции f(x).
Из (7) получаем, что для нечетной функции f(x)
т.е. f и Fs являются взаимными синус-преобразованиями.
Пример 3 (прамоугольный импульс}. Пусть f(t) - четная функция, определенная следующим образом:
(рис. 3).
Воспользуемся полученным результатом для вычисления интеграла
В силу формулы (9) имеем
Рис.3
0 0 В точке t = 0 функция f(t) непрерывна и равна единице. Поэтому из (12") получим
2.2. Амплитудный и фазовый спектры интеграла Фурье
Пусть периодическая с периодом 2т функция /(х) разлагается в ряд Фурье
Это равенство можно записать в виде
где - амплитуда колебания с частотой п, - фаза. На этом пути мы приходим к понятиям амплитудного и фазового спектров периодической функции.
Для непериодической функции f{x), заданной на (-оо, +оо), при определенньк условиях оказывается возможным представить ее интегралом Фурье
осуществляющим разложение этой функции по всем частотам (разложение по непрерывному спектру частот).
Определение. Спектральной функцией, или спектральной плотностью интеграла Фурье, называется выражение
(прямое преобразование Фурье функции f называется амплитудным спектром, а функция
Ф«) = -агgSfc) - фазовым спектром функции /(«).
Амплитудный спектр.А(£) служит мерой вклада частоты £ в функцию /(ж). Пример 4. Найти амплитудный и фазовый спектры функции
4 Находим спектральную функцию
Отсюда Графики этих функций изображены на рис. 4.
§3. Свойства преобразования Фурье
1. Линейность. Если и G(0 - преобразования Фурье функций /(х) и д(х) соответственно, то при любых постоянных а и р преобразованием Фурье функции a f{x) + р д(х) будет функция a
Пользуясь свойством линейности интеграла, имеем
Таким образом, преобразование Фурье есть линейный оператор. Обозначая его через будем писать.
Если F(£) есть преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции /(ж), то F(() ограничена при всех.
Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на всей оси
- преобразование Фурье функции f(x). Тогда
3«fltsJ. Пусть f(x) - функция, допуска кнцэя преобразование Фурье, Л - дойств ительяов число. Фуниция fh(x) = f{z-h) называется сдвигом фунждии f{x). Пользуясь определен нем преобразования Фурье, показать, что
Задача. Пусть функция f(z) имеет преобразование Фурье F(0> h - действительное число. Показать, что
3. Преобразование Фурье и ооерэции дифференцирования. Пусть абсолютно интегрируемая функция f(x) имеет производную f"(x), также абсолютно интегрируемую на всей оси Ох, так что /(я) стремится к нулю при |ж| -» +оо. Считая f"(x) гладкой функцией, запишем
Интегрируя по частям, будем иметь
Внеинтегральноеслагаемое обращается в нуль (так как, и мы получаем
Таким образом, дифференцированию функции /(х) отвечает умножение ее образа Фурье ^П/] на множитель
Если функция f(x) имеет глад*«е абсолютно интефируемые производные до порядка m включительно и все они, как и сама функция f(x), стремятся к нулю при то, интегрируя по частям нужное число раз, получим
Преобразование Фурье очень полезно именно потому, что оно заменяет операцию дифференцирования операцией умножения на величину и тем самым упрощает задачуинтегрирования некоторых видов дифференциальных уравнений.
Так как преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции
f^k\x) есть ограниченная функция от (свойство 2), то из соотношения (2) получаем для следующую оценку:
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье
Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения
Из этой оценки следует: чем больше функция f(x) имеет абсолютно интегрируемых производных, тем быстрее ее преобразование Фурье стремится к нулю при. Замечание. Условие является достаточно естественным, поскольку обычная 1еория
интегралов Фурье имеет дело с процессами, которые в том или ином смысле имеют начало и коней, но не продолжаются неограниченно с примерно одинаковой интенсивностью.
4. Связь между скоростью убывания функции f(x) при |z| -» -f оо и гладкостью ее преобразования Фурм. Предположим, что не только /(х), но и ее произведение xf(x) является абсолютно интегрируемой функцйей на всей оси Ох. Тогда преобразование Фурье) будет дифференцируемой функцией.
Действительно, формальное дифференцирование по параметру £ подынтегральной функции приводит к интегралу
который является абсолютно и равномерно сходящимся относительно параметра Следовательно, дифференцирование возможно, и
Таким образом,
т. е. операция умножения f(x) на аргумент х переходит после преобразования Фурье в операцию t щ.
Если вместе с функцией f(x) абсолютно интегрируемыми на всей оси Ох являются функции, то процесс дифференцирования можно продолжить. Получим, что функция имеет производные до порядка m включительно, причем
Таким образом, чем быстрее функция f(x) убывает при тем более гладкой получается функция
Теорема 2 (о сверле). Пусть- преобразования Фурье функций /,(ж) и f2(x) соответственно. Тогда
причем двойной интеграл в правой части сходится абсолютно. Положим - х. Тогда будем иметь
или, меняя порядок интегрирования,
Функция
называется сверткой функций и обозначается символом Формула (1) может быть теперь записана так:
Отсюда видно, что преобразование Фурье свертки функций f\(x) и f2(x) равно умноженному на у/2ж произведению преобразований Фурье свертываемых функций,
Замечание. Нетрудно установить следующие свойства свертки:
1) линейность:
2) коммутативность:
§4. Приложения преобразования Фурье
1. Пусть Р(^) - линейный дифференциальный оператор порядка m с постоянными коэффициентами,
Используя формулу для преобразования Фурье производных функции у(х), находим "
Рассмотрим дифференциальное уравнение
где Р - введенный выше дифференциальный оператор.
Предположим, что искомое решение у(х) имеет преобразование Фурье у (О. а функция f(x) имеет преобразование /(£) Применяя преобразование Фурье к уравнению (1), получим вместо дифференциального алгебраическое уравнение на оси относительно
откуда
так что формально
где символ обозначает обратное преобразование Фурье.
Основное ограничение применимости этого метода связано со следующим фактом. Решение обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами содержит функции вида еЛ*, eaz cos fix, еах sin рх. Они не являются абсолютно интегрируемыми на оси -оо < х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме.
Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения
(а = const), при начальных условиях
Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют.
4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что
1) функции и(х, t) и
откуда
