Стандартное отклонение - классический индикатор изменчивости из описательной статистики.
Стандартное отклонение , среднеквадратичное отклонение, СКО, выборочное стандартное отклонение (англ. standard deviation, STD, STDev) - очень распространенный показатель рассеяния в описательной статистике. Но, т.к. технический анализ сродни статистике, данный показатель можно (и нужно) использовать в техническом анализе для обнаружения степени рассеяния цены анализируемого инструмента во времени. Обозначается греческим символом Сигма «σ».
Спасибо Карлам Гауссу и Пирсону за то, что мы имеем возможность пользоваться стандартным отклонением.
Используя стандартное отклонение в техническом анализе , мы превращаем этот «показатель рассеяния » в «индикатор волатильности «, сохраняя смысл, но меняя термины.
Что представляет собой стандартное отклонение
Но помимо промежуточных вспомогательных вычислений, стандартное отклонение вполне приемлемо для самостоятельного вычисления и применения в техническом анализе. Как отметил активный читатель нашего журнала burdock, «до сих пор не пойму, почему СКО не входит в набор стандартных индикаторов отечественных диллинговых центров «.
Действительно, стандартное отклонение может классическим и «чистым» способом измерить изменчивость инструмента . Но к сожалению, этот индикатор не так распространен в анализе ценных бумаг .
Применение стандартного отклонения
Вручную вычислить стандартное отклонение не очень интересно , но полезно для опыта. Стандартное отклонение можно выразить формулой STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , что звучит как корень из суммы квадратов разниц между элементами выборки и средним, деленной на количество элементов в выборке.
Если количество элементов в выборке превышает 30, то знаменатель дроби под корнем принимает значение n-1. Иначе используется n.
Пошагово вычисление стандартного отклонения :
- вычисляем среднее арифметическое выборки данных
- отнимаем это среднее от каждого элемента выборки
- все полученные разницы возводим в квадрат
- суммируем все полученные квадраты
- делим полученную сумму на количество элементов в выборке (или на n-1, если n>30)
- вычисляем квадратный корень из полученного частного (именуемого дисперсией )
Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. В зависимости от исходных данных дисперсия может быть невзвешенной (простой) или взвешенной.
Дисперсия рассчитывается по следующим формулам:
· для несгруппированных данных
· для сгруппированных данных
Порядок расчета дисперсии взвешенную:
1. определяют среднюю арифметическую взвешенную
2. определяются отклонения вариант от средней
3. возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней
4. умножают квадраты отклонений на веса (частоты)
5. суммируют полученные произведения
6. полученную сумму делят на сумму весов
Формула для определения дисперсии может быть преобразована в следующую формулу:
- простая
Порядок расчета дисперсии простой:
1. определяют среднюю арифметическую
2. возводят в квадрат среднюю арифметическую
3. возводят в квадрат каждую варианту ряда
4. находим сумму квадратов вариант
5. делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат
6. определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней
Также формула для определения дисперсии взвешенной может быть преобразована в следующую формулу:
т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов значений признака и квадрата средней арифметической. При пользовании преобразованной формулой исключается дополнительная процедура по расчету отклонений индивидуальных значений признака от х и исключается ошибка в расчете, связанная с округлением отклонений
Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить ее вычисления:
1) дисперсия постоянной величины равна нулю;
2) если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится;
3) если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз ( раз), то дисперсия уменьшится в раз
Среднее квадратичное отклонение S - представляет собой корень квадратный из дисперсии:
· для несгруппированных данных:
;
· для вариационного ряда:
Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратичное отклонение являются величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение наиболее широко применяемые показатели вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем теории вероятности, служащей фундаментом математической статистики. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака.
Расчет показателей вариации для банков, сгруппированных по размеру прибыли, показан в таблице.
| Размер прибыли, млн. руб. | Число банков | расчетные показатели | ||||
| 3,7 - 4,6 (-) | 4,15 | 8,30 | -1,935 | 3,870 | 7,489 | |
| 4,6 - 5,5 | 5,05 | 20,20 | - 1,035 | 4,140 | 4,285 | |
| 5,5 - 6,4 | 5,95 | 35,70 | - 0,135 | 0,810 | 0,109 | |
| 6,4 - 7,3 | 6,85 | 34,25 | +0,765 | 3,825 | 2,926 | |
| 7,3 - 8,2 | 7,75 | 23,25 | +1,665 | 4,995 | 8,317 | |
| Итого: | 121,70 | 17,640 | 23,126 |
Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение показывают на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц и исследуемой совокупности. Так, в данном случае средняя величина колеблености размера прибыли составляет: по среднему линейному отклонению 0,882 млн. руб.; по среднему квадратическому отклонению - 1,075 млн. руб. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Если распределение признака, близко к нормальному, то между S и d существует взаимосвязь: S=1,25d, или d=0,8S. Среднее квадратическое отклонение показывает как расположена основная масса единиц совокупности относительно средней арифметической. Независимо от формы распределения 75 значений признака попадают в интервал х 2S, а по крайне мере 89 всех значений попадают интервал х 3S (теорема П.Л.Чебышева).
Мудрые математики и статистики придумали более надежный показатель, хотя и несколько другого назначения – среднее линейное отклонение . Этот показатель характеризует меру разброса значений совокупности данных вокруг их среднего значения.
Для того, чтобы показать меру разброса данных нужно вначале определиться, относительно чего этот самый разброс будет считаться - jбычно это средняя величина. Дальше нужно посчитать, насколько значения анализируемой совокупности данных находятся далеко от средней. Понятное дело, что каждому значению соответствует некоторая величина отклонения, но нас же интересует общая оценка, охватывающая всю совокупность. Поэтому рассчитывают среднее отклонение по формуле обычной средней арифметической. Но! Но для того, чтобы рассчитать среднее из отклонений, их нужно вначале сложить. И если мы сложим положительные и отрицательные числа, то они взаимоуничтожатся и их сумма будет стремиться к нулю. Чтобы этого избежать, все отклонения берутся по модулю, то есть все отрицательные числа становятся положительными. Вот теперь среднее отклонение будет показывать обобщенную меру разброса значений. В итоге, средне линейное отклонение будет рассчитываться по формуле:
a – среднее линейное отклонение,
x – анализируемый показатель, с черточкой сверху – среднее значение показателя,
n – количество значений в анализируемой совокупности данных,
оператор суммирования, надеюсь, никого не пугает.
Рассчитанное по указанной формуле среднее линейное отклонение отражает среднее абсолютное отклонение от средней величины по данной совокупности.
На картинке красная линия - это среднее значение. Отклонения каждого наблюдения от среднего указаны маленькими стрелочками. Именно они берутся по модулю и суммируются. Потом все делится на количество значений.
Для полноты картины нужно привести еще и пример. Допустим, имеется фирма по производству черенков для лопат. Каждый черенок должен быть 1,5 метра длиной, но, что еще важней, все должны быть одинаковыми или, по крайней мере, плюс-минус 5 см. Однако нерадивые работники то 1,2 м отпилят, то 1,8 м. Дачники недовольны. Решил директор фирмы провести статистический анализ длины черенков. Отобрал 10 штук и замерял их длину, нашел среднюю и рассчитал среднее линейное отклонение. Средняя получилась как раз, что надо – 1,5 м. А вот среднее линейное отклонение вышло 0,16 м. Вот и получается, что каждый черенок длиннее или короче, чем нужно в среднем на 16 см. Есть, о чем поговорить с работниками. На самом деле я не встречал реального использования данного показателя, поэтому пример придумал сам. Тем не менее, в статистике есть такой показатель.
Дисперсия
Как и среднее линейное отклонение, дисперсия также отражает меру разброса данных вокруг средней величины.
Формула для расчета дисперсии выглядит так:
(для вариационных
рядов (взвешенная дисперсия))
(для несгруппированных
данных (простая дисперсия))
Где: σ 2 – дисперсия, Xi – анализируемsq показатель (значение признака), – среднее значение показателя, f i – количество значений в анализируемой совокупности данных.
Дисперсия - это средний квадрат отклонений.
Сначала рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, умножается на частоту соответствующего значения признака, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности.
Однако в чистом виде, как, например, средняя арифметическая, или индекс, дисперсия не используется. Это скорее вспомогательный и промежуточный показатель, который используется для других видов статистического анализа.
Упрощенный способ расчета дисперсии
Среднеквадратическое отклонение
Чтобы использовать дисперсию дл анализа данных из нее извлекают квадратный корень. Получается так называемое среднеквадратическое отклонение .
Кстати, стандартное отклонение еще называют сигмой – от греческой буквы, которой его обозначают.
Среднеквадратическое отклонение, очевидно, также характеризует меру рассеяния данных, но теперь (в отличие от дисперсии) его можно сравнивать с исходными данными. Как правило, среднеквадратические показатели в статистике дают более точные результаты, чем линейные. Следовательно, среднеквадратическое отклонение является более точным показателем меры рассеяния данных, чем среднее линейное отклонение.
При статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.
Среднеквадратическое отклонение:
Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины Пол, стены вокруг нас и потолок,x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии):
где - дисперсия ; - Пол, стены вокруг нас и потолок,i -й элемент выборки; - объём выборки; - среднее арифметическое выборки:
Следует отметить, что обе оценки являются смещёнными. В общем случае несмещённую оценку построить невозможно. Однако оценка на основе оценки несмещённой дисперсии является состоятельной .
Правило трёх сигм
Правило трёх сигм () - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго - не менее чем с 99,7 % достоверностью значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки).
Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не , а Пол, стены вокруг нас и потолок,s . Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх Пол, стены вокруг нас и потолок,s .
Интерпретация величины среднеквадратического отклонения
Большое значение среднеквадратического отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.
Например, у нас есть три числовых множества: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8}. У всех трёх множеств средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения - значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.
В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределенности. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.
Практическое применение
На практике среднеквадратическое отклонение позволяет определить, насколько значения в множестве могут отличаться от среднего значения.
Климат
Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.
Спорт
Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.
Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.
Технический анализ
См. также
Литература
| Эта статья предлагается к удалению.
Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/17 декабря 2012.
|
* Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. - СПб. : Питер, 2003. - 688 с. - ISBN 5-272-00078-1 .
| Статистические показатели | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Описательная статистика |
|
||||||||||
| Статистический вывод и проверка гипотез |
| ||||||||||
Определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической, т.е. корень из и может быть найдена так:
1. Для первичного ряда:
2. Для вариационного ряда:
Преобразование формулы среднего квадратичного отклонени приводит ее к виду, более удобному для практических расчетов:
Среднее квадратичное отклонение определяет на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется.
Примеры нахождения cреднего квадратического отклонения: ,
Для альтернативных признаков формула среднего квадратичного отклонения выглядит так:
где р - доля единиц в совокупности, обладающих определенным признаком;
q - доля единиц, не обладающих этим признаком.
Понятие среднего линейного отклонения
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от .
1. Для первичного ряда:
2. Для вариационного ряда:
где сумма n - сумма частот вариационного ряда .
Пример нахождения cреднего линейного отклонения:
Преимущество среднего абсолютного отклонения как меры рассеивания перед размахом вариации, очевидно, так как эта мера основана на учете всех возможных отклонений. Но этот показатель имеет существенные недостатки. Произвольные отбрасывания алгебраических знаков отклонений могут привести к тому, что математические свойства этого показателя являются далеко не элементарными. Это сильно затрудняет использование среднего абсолютного отклонения при решении задач, связанных с вероятностными расчетами.
Поэтому среднее линейное отклонение как мера вариации признака применяется в статистической практике редко, а именно тогда, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется оборот внешней торговли, состав работающих, ритмичность производства и т. д.
Среднее квадратическое
Среднее квадратическое применяется , например, для вычисления средней величины сторон n квадратных участков, средних диаметров стволов, труб и т. д. Она подразделяется на два вида.
Средняя квадратичная простая. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратичной средней величиной.
Она является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
Средняя квадратичная взвешенная вычисляется по формуле:
где f - признак веса.
Средняя кубическая
Средняя кубическая применяется
, например, при определении средней длины стороны и кубов. Она подразделяется на два вида.
Средняя кубическая простая:
При расчете средних величин и дисперсии в интервальных рядах распределения истинные значения признака заменяются центральными значениями интервалов, которые отличны от средней арифметической значений, включенных в интервал. Это приводит к возникновению систематической погрешности при расчете дисперсии. В.Ф. Шеппард определил, что погрешность в расчете дисперсии , вызванная применением сгруппированных данных, составляет 1/12 квадрата величины интервала как в сторону повышения, так и в сторону понижения величины дисперсии.
Поправка Шеппарда должна применяться, если распределение близко к нормальному, относится к признаку с непрерывным характером вариации, построено по значительному количеству исходных данных (n > 500). Однако исходя из того, что в ряде случаев обе погрешности, действуя в разных направлениях компенсируют друг друга, можно иногда отказаться от введения поправок.
Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичной будет средняя величина.
В практике статистики часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для таких сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.
Для осуществления таких сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с разными средним арифметическим используется относительный показатель вариации - коэффициент вариации.
Структурные средние
Для характеристики центральной тенденции в статистических распределениях не редко рационально вместе со средней арифметической использовать некоторое значение признака X, которое в силу определенных особенностей расположения в ряду распределения может характеризовать его уровень.
Это особенно важно тогда, когда в ряду распределения крайние значения признака имеют нечеткие границы. В связи с этим точное определение средней арифметической, как правило, невозможно, либо очень сложно. В таких случаях средний уровень можно определить, взяв, например, значение признака, которое расположено в середине ряда частот или которое чаще всего встречается в текущем ряду.
Такие значения зависят только от характера частот т. е. от структуры распределения. Они типичны по месту расположения в ряду частот, поэтому такие значения рассматриваются в качестве характеристик центра распределения и поэтому получили определение структурных средних. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся .
