Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.
Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.
Умножение дробей. Деление дробей.
Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется расширением дроби. Например,
Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется сокращением дроби. Например, 
Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше: 
Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.
П р и м е р. Сравнить две дроби:
Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.
П р и м е р. 
Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.
П р и м е р. 
Деление дробей. Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь. Это правило вытекает из определения деления (см. раздел “Арифметические операции”).
П р и м е р. 
Великий русский критик В. Г. Белинский сказал, что задача поэзии состоит в том, “чтобы извлекать поэзию жизни Из прозы жизни и потрясать души верным изображением жизни”. Именно таким писателем, писателем, потрясающим души изображением порой самых ничтожных картин существования человека в мире, является Н. В, Гоголь. Величайшая заслуга Гоголя перед русским обществом, на мой взгляд.
Эта статья – попытка собрать воедино разнородную информацию относительно наиболее распространённого в среде любителей солнечных наблюдений телескопа. В той или иной степени она собрана на российских и зарубежных астрономических интернет-форумах, также в интернете собраны и все фотографии, размещённые ниже. Технические параметры, особенности конструкции, возможные.
Десятичная система счисления Десятичная система счисления - позиционная система счисления по основанию 10. Наиболее распространённая система счисления в мире. Для записи чисел наиболее часто используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека. .
Математика. 1 — 4 класс В этом разделе Вы познакомитесь с такими понятиями и терминами, как сложение, вычитание, умножение и деление. Так же вы познакомитесь с математическими действиями и порядком их выполнения, математическими сказками и многим – многим другим. .
for-schoolboy.ru
Сложение обыкновенных дробей выполняется так:
а) если знаменатели дробей одинаковы, то к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т. е.
б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к общему знаменателю, предпочтительнее к наименьшему, а затем применяют правило а).
Пример 1. Сложить дроби и Решение. Имеем:
Вычитание обыкновенных дробей выполняют следующим образом:
а) если знаменатели дробей одинаковы, то
б) если знаменатели различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем применяют правило а).
Умножение обыкновенных дробей выполняют следующим образом:
т. е. перемножают отдельно числители, отдельно знаменатели, первое произведение делают числителем, второе - знаменателем.
Например,
Деление обыкновенных дробей выполняют следующим образом:
т. е. делимое умножают на дробь , обратную делителю
Например, .
Пример 2. Найти значение числового выражения
Решение. 1) Сократив числитель и знаменатель на 3 (это полезно сделать до выполнения действий умножения в числителе и знаменателе), получим т. е. Итак
3) При нахождении значения выражения действия сложения и вычитания можно выполнять одновременно. Наименьшим общим кратным чисел 15, 20, 30 является число 60. Приведем все три дроби к знаменателю 60, использовав дополнительные множители: для первой дроби 4, для второй - 3, для третьей - 2. Получим:
Пример 3. Выполнить действия: а)
Решение, а) Первый способ. Обратим каждое из данных смешанных чисел в неправильную дробь, а затем выполним сложение:
Обратим теперь неправильную дробь в смешанное число:
Второй способ. Имеем
б) В случае умножения и деления смешанных чисел всегда переходят к неправильным дробям:
Значит, в 7
Действия с обыкновенными дробями
Разделы: Математика
1) контроль и систематизация знаний учащихся по теме;
2) развивать вычислительные навыки, логику, математическую зоркость;
3) воспитывать самостоятельность, интерес к предмету, добросовестное отношение к учебному труду.
ОБОРУДОВАНИЕ: компьютерный класс, ПК- 9 шт
1) личностно-ориентированное обучение;
2) уровневая дифференциация;
3) игровая технология;
2. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ УРОКА.
Сегодня на кануне контрольной работы у нас будет возможность проанализировать свою учебную деятельность и отработать вычислительные навыки выполнения всех действий с обыкновенными дробями на электронном тренажере.
Уч-ся записывают на специально подготовленных листах число и наименование работы.
3. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ
Чтобы получить допуск к индивидуальной работе вы должны устно ответить на вопросы (у каждого на столе дидактический материал А.П Ершова, В.В.Голобородько «Устная математика»):
1. Сформулируйте основное свойство дроби.
2. Правило нахождения наименьшего общего знаменателя двух дробей.
3. Выполните сложение
4. Какие числа называются взаимно обратными?
5. Как разделить дробь на дробь?
Уч-ся фронтально повторяют правила выполнения действий с обыкновенными дробями и выполняют задание с комментированием.
4. ИНСТРУКЦИЯ по выполнению этапов урока
Сегодня у вас есть возможность проверить себя в 3-х номинациях: информатиков, математиков и аналитиков. Учащиеся делятся на 3 группы, и получают карты самоанализа (Приложение 1), соответственно которым проходят все этапы. (Учитель фиксирует оценки всех трех этапов и выставляет среднеарифметическое в картах команд Приложение 2)
На компьютере, на зачетных листах, по коррекционным карточкам или творческим заданиям
5. 1 этап ЭЛЕКТРОННЫЙ ТРЕНАЖЕР (Приложении 3) — информатики
Прежде всего ваш успех на этом этапе зависит от того на сколько внимательно вы будете выполнять правила игры « Биатлон»
Тренировка состоит из трех этапов, отличающихся друг от друга сложностью заданий. Каждый этап включает «лыжную гонку» и «огневой рубеж». В режиме «лыжной гонки» требуется определить верным или неверным является предложенное утверждение и кликнуть мышью по соответствующей кнопке на экране.
В режиме «на огневом рубеже» необходимо выполнить четыре (1 этап) или три (2 и 3 этапы) задания на вычисление суммы, разности, произведения или частного двух дробей. Ваш ответ — это выстрел по мишени. Вы попадаете в «яблочко», если Ваш ответ — несократимая дробь.
Учитель фиксирует оценки выставленные компьютером. В карте команды.
Устная самостоятельная работа уч-ся.
Уч-ся устно отвечают на вопросы, выполняют действия и записывают результат на компьютере. А в карте самоанализа фиксируют свои ошибки.
(каждый ученик группы за компьютером)
По окончанию игры компьютер оценивает ученика.
6. 2 этап ЗАЧЕТ ПО ТЕОРИИ (А.П Ершова «Устная математика»): — аналитики
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Обыкновенные дроби. Действия над обыкновенными дробями
Подписано в печать с готовых диапозитивов 12.02.01. Формат 84х108/32. Гарнитура Балтика. Бумага тип. № 2. Печать офсетная. Усл. печ. л. 25,1. Тираж 5000 экз. Заказ № 106.
Налоговая льгота - общероссийский классификатор продукции ОК-005-093, том 2; 953000- книги, брошюры.
Отпечатано с готовых диапозитивов на ГИПП «Уральский рабочий», 620219, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 13.
Тема №1.
Арифметические вычисления. Проценты.
Обыкновенные дроби. Действия над обыкновенными дробями.
1º. Натуральные числа – это числа, употребляемые при счете. Множество всех натуральных чисел обозначают N, т.е. N= .
Дробью называется число, состоящее из нескольких долей единицы. Обыкновенной дробью называется число вида , где натуральное число n показывает, на сколько равных частей разделена единица, а натуральное число m показывает, сколько таких равных частей взято. Числа m и n называют соответственно числителем и знаменателем дроби.
Если числитель меньше знаменателя, то обыкновенная дробь называется правильной ; если числитель равен знаменателю или больше него, то дробь называется неправильной . Число, состоящее из целой и дробной частей, называется смешанным числом .
Например, — правильные обыкновенные дроби, — неправильные обыкновенные дроби, 1 — смешанное число.
2º. При выполнении действий над обыкновенными дробями следует помнить следующие правила:
1) Основное свойство дроби . Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Например, а) ; б) .
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называется сокращением дроби .
2) Чтобы смешанное число представить в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части, записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель оставить прежним.
Аналогично любое натуральное число можно записать в виде неправильной дроби с любым знаменателем.
Например, а) , так как ; б) и т.д.
3) Чтобы неправильную дробь записать в виде смешанного числа (т.е. из неправильной дроби выделить целую часть), нужно числитель разделить на знаменатель, частное от деления взять в качестве целой части, остаток — в качестве числителя, знаменатель оставить прежним.
Например, а) , так как 200: 7 = 28 (ост. 4);
б) , так как 20: 5 = 4 (ост. 0).
4) Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей (оно и будет их наименьшим общим знаменателем), разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей (т.е. найти дополнительные множители для дробей), умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Например, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю:
630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.
Значит, ; ; .
5) Правила арифметических действий над обыкновенными дробями :
a) Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняется по правилу:
b) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями выполняется по правилу a), предварительно приведя дроби к наименьшему общему знаменателю.
c) При сложении и вычитании смешанных чисел можно обратить их в неправильные дроби, а затем выполнить действия по правилам a) и b),
d) При умножении дробей пользуются правилом:
e) Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:
f) При умножении и делении смешанных чисел, их предварительно переводят в неправильные дроби, а затем пользуются правилами d) и e).
Презентация по предмету «Математика» на тему: «Презентация к уроку «Действия с обыкновенными дробями» Выполнила учитель математики Колбина Евгения Викторовна.». Скачать бесплатно и без регистрации. - Транскрипт:
1 Презентация к уроку «Действия с обыкновенными дробями» Выполнила учитель математики Колбина Евгения Викторовна
2 Цели урока. Обучающие: повторение правил сравнения, сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных дробей; обобщение и систематизация знаний об обыкновенных дробях, закрепление и усовершенствование навыков действий с обыкновенными дробями; отработка навыков устного счета и умения применять правила при решении более сложных примеров. Развивающие: развитие умений учебно-познавательной деятельности; развитие культуры устной и письменной речи; развитие навыков самоконтроля и самооценки достигнутых знаний и умений. Воспитательные: воспитание внимательности, активности, самостоятельности, ответственности.
3 Без чего не могут обойтись математики, барабанщики и даже охотники?
4 Какой сейчас месяц? Какое время года? Чем вам нравится зима?
5 Сегодня на уроке мы с вами будем лепить снеговика, только не из снега, а из наших знаний
6 Оценочный лист (Ф.И. ученика) « Сугробы »« 1 ком »« 2 ком »« 3 ком »« Атрибуты » Итого Оценка
7 1. Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными, надо: 1) привести данные дроби к; 2) сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби. 2. Чтобы сложить (вычесть) смешанные числа, надо: 1) привести дробные части к; 2) отдельно выполнить сложение (вычитание) частей и дробных частей. 3. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее умножить на это число, а оставить без изменения. знаменателямиНОЗ (наименьшему общему знаменателю) НОЗ целых числитель знаменатель 4. Чтобы умножить дробь на дробь, надо найти произведение и произведение. 5. Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде дробей, а затем воспользоваться правилом дробей. 6. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить на число, делителю. числителейзнаменателей неправильных умножения делимое обратное «СУГРОБЫ» За каждое верное правило – 1 балл
8 «1 ком» За каждый верный ответ – 1 балл
10 I Вариант 635(а) II Вариант 635(б) «2 ком» За каждое верное действие – 1 балл
12 Трава маленькая-маленькая. Деревья высокие-высокие. Ветер деревья качает-качает. То направо, то налево наклоняет. То вверх, то назад. То вниз сгибает. Птицы летят-улетают. Ученики тихонько за парты садятся. Физминутка
13 Задача Туристы отправились в поход. В первый день они прошли км, что на км больше, чем во второй день. А в третий день они прошли в 2 раза меньше, чем в первый. Сколько километров туристы прошли за эти три дня? «3 ком»
14 1) найдем, сколько туристы прошли во второй день, для этого из отнимем 2) найдем, сколько туристы прошли в третий день, для этого разделим на 2 3) сложим, результат 1 действия и результат второго действия и найдем, сколько они прошли за эти три дня. Ответ: План решения За каждое верное действие – 1 балл + 1 балл за верный ответ
16 Тест «Атрибуты» За каждый верный ответ 1 балл
18 27-30 баллов – «5» баллов – «4» баллов – «3» 0-14 баллов – «2»
19 Домашнее задание: 635 (г), 643 Приготовить доклад на тему: происхождение обыкновенных дробей
20 Итог урока Все понравилось! Сложно, но интересно! Устал!
21 Великий русский писатель Л.Н. Толстой считал, что человек похож на дробь, знаменатель которой — это то, что он думает о себе, а числитель- это то, что думают о нем. Я желаю вам, чтобы числитель в вашей жизни был больше знаменателя.
Арифметические действия с обыкновенными дробями
1. Сложение.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Пример. .
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем сложить полученные числители и под суммой подписать общий знаменатель.
Пример.
Короче записывают так:
Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно найти сумму целых и сумму дробных частей. Действие записывается так:
2. Вычитание.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель. Действие записывают так:
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель. Действие записывают так:
Если нужно вычесть одно смешанное число из другого смешанного числа, то, если можно, вычитают дробь из дроби, а целое из целого. Действие записывают так:
Если же дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого, то берут одну единицу из целого числа уменьшаемого, раздробляют ее в надлежащие доли и прибавляют к дроби уменьшаемого, после чего поступают, как описано выше. Действие записывают так:
Аналогично поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.
Пример. .
3. Распространение свойств сложения и вычитания на дробные числа. Все законы и свойства сложения и вычитания натуральных чисел справедливы и для дробных чисел. Их применение во многих случаях значительно упрощает процесс вычисления.
4. Умножение.
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе - знаменателем.
При умножении следует делать (если возможно) сокращение.
Пример. .
Если учесть, что целое число представляет собой дробь со знаменателем 1, то умножение дроби на целое число и целого числа на дробь можно выполнять поэтому же правилу.
Примеры.
5. Умножение смешанных чисел.
Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножать по правилу умножения дробей.
Пример. .
6. Деление дроби на дробь.
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.
Пример. .
По этому же правилу можно выполнять деление дроби на целое число и целого на дробь, если представить целое число в виде дроби со знаменателем 1.
Примеры.
7. Деление смешанных чисел.
Чтобы выполнить деление смешанных чисел, их предварительно обращают в неправильные дроби и затем делят по правилу деления дробей.
Пример. .
8. Замена деления умножением.
Если в какой-нибудь дроби поменять местами числитель и знаменатель, получится новая дробь, обратная данной. Например, для дроби обратная дробь будет .
Очевидно, что произведение двух взаимно обратных дробей равно 1.
- Нахождение дроби от числа.
Существует много задач, в которых требуется найти часть или дробь данного числа. Такие задачи решают умножением.
Задача. Хозяйка имела 20 руб.; их она израсходовала на покупки. Сколько стоят покупки?
Здесь требуется найти числа 20. Сделать это можно так:
Ответ. Хозяйка израсходовала 8 руб.
Примеры. Найти от 30. Решение. .
Найти от . Решение. .
- Нахождение числа по известной величине его дроби.
Иногда требуется по известной части числа и дроби, выражающей эту часть, определить все число. Такие задачи решаются делением.
Задача. В классе 12 комсомольцев, что составляет части всех учащихся класса. Сколько всех учащихся в классе?
Решение. .
Ответ. 20 учащихся.
Пример. Найти число, которого составляет 34.
Решение. .
Ответ. Искомое число равно .
- Нахождение отношения двух чисел.
Рассмотрим задачу: Рабочий изготовил за день 40 деталей. Какую часть месячного задания выполнил рабочий, если месячный план составляет 400 деталей?
Решение. .
Ответ. Рабочий выполнил часть месячного плана.
В данном случае часть (40 деталей) выражено в долях целого (400 деталей). Говорят также, что найдено отношение числа изготовленных за день деталей к месячному плану.
- Превращение десятичной дроби в обыкновенную.
Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, ее записывают со знаменателем и, если возможно, сокращают:
Примеры.
- Превращение обыкновенной дроби в десятичную.
Существует несколько способов превращения обыкновенной дроби в десятичную.
Первый способ. Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.
Примеры. .
Второй способ. Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно помножить числитель и знаменатель данной дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилась единица с нулями (если это возможно).
Пример.
- Сравнение десятичных дробей по величине . Чтобы выяснить, какая из двух десятичных дробей больше, надо сравнить их целые части, десятые, сотые и т.д. При равенстве целых частей больше та дробь, у которой десятых частей больше; при равенстве целых и десятичных - та больше, у которой больше сотых, и т.д.
Пример. Из трех дробей 2,432; 2,41 и 2,4098 наибольшая первая, так как в ней сотых наибольше, а целые и десятые во всех дробях одинаковы.
Действия с десятичными дробями
- Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д. надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Если при этом не хватает знаков у числа, то приписывают нули.
Пример. 15,45 · 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т.д. знака влево. Если для перенесения запятой не хватает знаков, их число дополняют соответствующим числом нулей слева.
Примеры. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.
- Сложение и вычитание десятичных дробей.
Десятичные дроби складывают и вычитают почти так же, как складывают и вычитают натуральные числа. Разряд записывается под разрядом, запятая - под запятой
Примеры.
- Умножение десятичных дробей.
Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении отделить запятой справа столько десятичных знаков, сколько их было во множимом и множителе вместе.
Пример 1. 2,064 · 0,05.
Перемножаем целые числа 2064 · 5 = 10320. В первом сомножителе было три знака после запятой, во втором - два. В произведении число десятичных знаков должно быть пять. Отделяем их справа и получаем 0,10320. Нуль, стоящий в конце, можно отбросить: 2,064 · 0,05 = 0,1032.
Пример 2. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.
Число знаков после запятой должно быть 3 + 2 = 5. Приписываем к 9000 нули слева (009000) и отделяем справа пять знаков. Получаем 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.
- Деление десятичных дробей.
Рассматривается два случая деления десятичных дробей без остатка: 1) деление десятичной дроби на целое число; 2) деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь.
Деление десятичной дроби на целое число выполняется так же, как и деление целых чисел; получаемые остатки раздробляют последовательно в меньшие десятичные части и продолжают деление до тех пор, пока в остатке будет нуль.
Примеры.
Деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь во всех случаях приводят к делению на целое число. Для этого увеличивают делитель в 10, 100, 1000 и т.д. раз, а чтобы частное не изменилось, в то же число раз увеличивают и делимое, после чего делят на целое число (как в первом случае).
Пример. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;
- Примеры на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.
Рассмотрим сначала пример на все действия с десятичными дробями.
Пример 1. Вычислить:
Здесь пользуются приведением делимого и делителя к целому числу с учетом того, что частное при этом не изменяется. Тогда имеем:
При решении примеров на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями часть действий можно выполнять в десятичных дробях, а часть - в обыкновенных. Надо иметь в виду, что не всегда обыкновенная дробь может быть превращена в конечную десятичную дробь. Поэтому записывать десятичной дробью можно только тогда, когда проверено, что такое преобразование возможно.
Пример 2. Вычислить:
Проценты
Понятие о проценте. Процентом какого-либо числа называется сотая часть этого числа. Например, вместо того, чтобы сказать "54 сотых всех жителей нашей страны составляют женщины", можно сказать "54 процента всех жителей нашей страны составляют женщины". Вместо слова "процент" пишут также значок %, например 35% - значит 35 процентов.
Так как процент есть сотая часть, то отсюда следует, что процент есть дробь со знаменателем 100. Поэтому дробь 0,49, или , можно прочитать как 49 процентов и записать без знаменателя в виде 49%. Вообще, определив, сколько в данной десятичной дроби сотых частей, ее легко записать в процентах. Для этого пользуются правилом: чтобы записать десятичную дробь в процентах, надо перенести в этой дроби запятую на два знака вправо.
Примеры. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.
И наоборот: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.
1. Нахождение процентов данного числа
Задача. Бригада трактористов по плану должна израсходовать 9 т горючего. Трактористы взяли соцобязательство сэкономить 20% горючего. Определить экономию горючего в тоннах.
Если в этой задаче вместо 20% написать равное ему число 0,2, получим задачу, на нахождение дроби числа. А такие задачи решают умножением. Отсюда вытекает способ решения:
20% = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 ( m ).
Вычисления можно записать и так:
( m )
Чтобы найти несколько процентов данного числа, достаточно данное число разделить на 100 и умножить результат на число процентов.
Задача. Рабочий в 1963 г. получал в месяц 90 руб., а в 1964 г. стал получать на 30% больше. Сколько получал он в 1964 г.?
Решение (первый способ).
1) На сколько рублей больше стал получать рабочий?
(руб.)
90 + 27 = 117 (руб).
Второй способ.
1) Сколько процентов прежнего заработка стал получать рабочий в 1964 г.?
100% + 30% = 130%.
2) Какова была месячная зарплата рабочего в 1964 г.?
(руб.)
2. Нахождение числа по данной величине его процентов.
Задача. В колхозе посеяли кукурузу на площади 280 га, что составляет 14% всей посевной площади. Определить посевную площадь колхоза.
Если в этой задаче вместо 14% написать 0,14 или , то получим задачу на нахождение числа по известной величине его дроби. А такие задачи решают делением.
Решение. 14% = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (га). Можно это решение оформить и так:
(га)
Чтобы найти число по данной величине нескольких процентов его, достаточно эту величину разделить на число процентов и результат умножить на 100.
Задача. В марте завод выплавил 125,4 т металла, перевыполнив план на 4,5%. Сколько тонн металла завод должен был выплавить в марте по плану?
Решение.
1) На сколько процентов завод выполнил план в марте?
100% + 4,5% = 104,5%.
2) Сколько тонн металла завод должен был выплавить?
(га)
- Нахождение процентного отношения двух чисел.
Задача. Нужно вспахать 300 га земли. В первый день вспахали 120 га. Сколько процентов к заданию вспахали в первый день?
Решение.
Первый способ. 300 га составляет 100%, значит, на 1% приходится 3 га. Определив, сколько раз 3 га, составляющие 1%, содержатся в 120 га, мы узнаем сколько процентов к заданию вспахали земли в первый день
120: 3 = 40(%).
Второй способ. Определив, какую часть земли вспахали в первый день, выразим эту дробь в процентах.
Записываем вычисление:
Чтобы вычислить процентное отношение числа а к числу b , нужно найти отношение а к b и умножить его на 100.
Калькулятор онлайн.
Вычисление выражения с числовыми дробями.
Умножение, вычитание, деление, сложение и сокращение дробей с разными знаменателями.
С помощью данного калькулятора онлайн вы можете умножить, вычесть, поделить, сложить и сократить числовые дроби с разными знаменателями.
Программа работает с правильными, неправильными и смешанными числовыми дробями.
Данная программа (калькулятор онлайн) умеет:
- выполнять сложение смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять вычетание смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять деление смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять умножение смешанных дробей с разными знаменателями
- приводить дроби к общему знаменателю
- преобразовывать смешанные дроби в неправильные
- сокращать дроби
Также можно ввести не выражение с дробями, а одну единственную дробь.
В этом случае дробь будет сокращена и из результата выделена целая часть.
Калькулятор онлайн для вычисления выражений с числовыми дробями не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода выражений с числовыми дробями, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода выражений с числовыми дробями
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3 + 7/5
Результат: \(-\frac{2}{3} + \frac{7}{5} \)
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&2/3 * 5&8/3
Результат: \(-1\frac{2}{3} \cdot 5\frac{8}{3} \)
Деление дробей вводится знаком двоеточие: :
Ввод: -9&37/12: -3&5/14
Результат: \(-9\frac{37}{12} : \left(-3\frac{5}{14} \right) \)
Помните, что на ноль делить нельзя!
При вводе выражений с числовыми дробями можно использовать скобки.
Ввод: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Результат: \(-\frac{2}{3} \cdot \left(6 \frac{1}{2} - \frac{5}{9} \right) : 2\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \)
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Обыкновенные дроби. Деление с остатком
Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления.
В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком
, и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).
Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 - делимое , 4 - делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, - остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.
Остаток всегда меньше делителя.
Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.
Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток.
Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.
Числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель.
Поскольку числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».
Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m - делимое, а
знаменатель п - делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)
Верны следующие правила:
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.
Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)
Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби
.
Два последних преобразования называют сокращением дроби .
Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .
Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.
Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .
Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 - целая часть, а \(\frac{2}{3} \) - дробная часть.
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель
разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её
знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)
Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.
Действия с дробями. Сложение дробей.
С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.
Сложение смешанных дробей
Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) - ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».
При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)
Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .
Вычитание дробей (дробных чисел)
Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое - это значит
найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель
оставить прежним.
С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.
С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)
Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь - в виде неправильной дроби.
Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.
Деление дробей
Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).
Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .
Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).
С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)
Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)
Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.
Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» - сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.
Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые
Дроби - это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:
- Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m - b/m = (k-b)/m.
Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби - «19».
На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.
Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей - «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, - «47».
Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель
Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.
- Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число - числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.
Рассмотрим, как это выглядит на примере:
1/4 + 2/4 = 3/4.
К числителю первой слагаемой дроби - «1» - добавляем числитель второй слагаемой дроби - «2». Результат - «3» - записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, - «4».
Дроби с различными знаменателями и их вычитание
Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.
- 2/3 - в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18. - 7/9 или 7/(3 х 3) - в знаменателе не хватает двойки:
7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18. - 5/6 или 5/(2 х 3) - в знаменателе не хватает тройки:
5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18. - Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
- Число 15 состоит из 5 х 3.
- Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.
- 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
- 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.
- Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, - числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
- Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
- Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
- При получении неправильной дроби выделить целую часть.
Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.
О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.
Свойство дроби
Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.
Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю
Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.
Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.
Рассмотрим первую дробь - 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.
Аналогично производим действия с оставшимися дробями.
Все вместе это выглядит так:
Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели
Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.
Рассмотрим это на примере: 4/18 - 3/15.
Находим кратное чисел 18 и 15:
После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.
Следующий этап нашего решения - приведение каждой дроби к знаменателю «90».
Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:
(4 х 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.
Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.
Вычитание и имеющих целые части
Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:
Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.
Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.
Вычитание дробей из целого числа
Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:
7 - 4/9 = (7 х 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.
Дроби бывают обыкновенные и десятичные. Когда школьник узнает о существовании последних, он начинает при каждом удобном случае переводить все, что возможно, в десятичный вид, даже если этого не требуется.
Как ни странно, у старшеклассников и студентов предпочтения меняются, потому что проще выполнять многие арифметические действия с обыкновенными дробями. Да и значения, с которыми имеют дело выпускники, преобразовать в десятичный вид без потерь порой бывает попросту невозможно. В результате оба вида дробей оказываются, так или иначе, приспособлены к делу и обладают своими преимуществами и недостатками. Посмотрим, как с ними работать.
Определение
Дроби - это те же доли. Если в апельсине десять долек, а вам дали одну, то у вас в руке 1/10 часть фрукта. При такой записи, как в предыдущем предложении, дробь будет называться обыкновенной. Если написать то же самое как 0,1 - десятичной. Оба варианта являются равноправными, однако имеют свои преимущества. Первый вариант удобнее при умножении и делении, второй - при сложении, вычитании и в ряде других случаев.
Как перевести дробь в другой вид
Предположим, у вас есть обыкновенная дробь, и вы хотите сделать из неё десятичную. Что для этого нужно сделать?
К слову сказать, нужно заранее определиться, что не любое число можно без проблем записать в десятичном виде. Иногда приходится результат округлять, теряя некоторое количество знаков после запятой, а во многих областях - например, в точных науках - это совершено непозволительная роскошь. В то же время действия с десятичными и обыкновенными дробями в 5 классе позволяют осуществлять такой перевод из одного вида в другой без помех, хотя бы в качестве тренировки.
Если из знаменателя путём умножения или деления на целое число можно получить значение, кратное 10, перевод пройдёт без каких-либо трудностей: ¾ превращается в 0,75, 13/20 - в 0,65.
Обратная процедура выполняется ещё проще, поскольку из десятичной дроби можно всегда получить обыкновенную без потерь в точности. Например, 0,2 становится 1/5, а 0,08 - 4/25.
Внутренние преобразования
Прежде чем осуществлять совместные действия с обыкновенными дробями, нужно подготовить числа к возможным математическим операциям.
Перво-наперво нужно привести все имеющиеся в примере дроби к одному общему виду. Они должны быть либо обыкновенными, либо десятичными. Сразу оговоримся, что умножение и деление удобнее выполнять с первыми.
В подготовке чисел к дальнейшим действиям вам поможет правило, известное как и используемое как в первые годы изучения предмета, так и в высшей математике, которую изучают в университетах.
Свойства дробей
Предположим, у вас есть некоторое значение. Скажем, 2/3. Что изменится, если вы умножите числитель и знаменатель на 3? Получится 6/9. А если на миллион? 2000000/3000000. Но постойте, ведь число качественно совершенно не меняется - 2/3 остаются равны 2000000/3000000. Меняется только форма, но не содержание. То же самое произойдёт при делении обеих частей на одно и то же значение. В этом и заключается основное свойство дроби, которое неоднократно поможет вам производить действия с десятичными и обыкновенными дробями на контрольных и экзаменах.
Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число называется расширением дроби, а деление - сокращением. Надо сказать, что зачеркивание одинаковых чисел в верхней и нижней части при перемножении и делении дробей - удивительно приятная процедура (в рамках урока математики, конечно). Создается впечатление, что ответ уже близок и пример практически решен.
Неправильные дроби
Неправильной дробью называется такая, у которой числитель больше или равен знаменателю. Иными словами, если у неё можно выделить целую часть, она попадает под это определение.
Если такое число (большее либо равное единице) представлено в виде обыкновенной дроби, она будет называться неправильной. А если числитель меньше знаменателя - правильной. Оба вида одинаково удобны при осуществлении возможных действий с обыкновенными дробями. Их можно беспрепятственно умножать и делить, складывать и вычитать.
Если же одновременно выделена целая часть и при этом имеется остаток в виде дроби, полученное число будет называться смешанным. В будущем вы столкнетесь с различными способами комбинации таких структур с переменными, а также решением уравнений, где потребуются эти знания.
Арифметические операции
Если с основным свойством дроби всё ясно, то как вести себя при перемножении дробей? Действия с обыкновенными дробями в 5 классе подразумевают все виды арифметических операций, которые выполняются двумя различными способами.
Умножение и деление выполняются очень просто. В первом случае просто перемножаются числители и знаменатели двух дробей. Во втором - то же самое, только крест-накрест. Таким образом, числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, и наоборот.
Для выполнения сложения и вычитания нужно произвести дополнительное действие - привести все компоненты выражения к общему знаменателю. Это значит, что нижние части дробей должны быть изменены до одинакового значения - числа, кратного обоим имеющимся знаменателям. Например, для 2 и 5 это будет 10. Для 3 и 6 - 6. Но что тогда делать с верхней частью? Мы же не можем оставить её в прежнем виде, если изменили нижнюю. Согласно основному свойству дроби мы умножим числитель на то же число, что и знаменатель. Эта операция должна быть произведена с каждым из чисел, которые мы будем складывать или вычитать. Впрочем, такие действия с обыкновенными дробями в 6 классе выполняются уже «на автомате», а трудности возникают только на начальном этапе изучения темы.
Сравнение
Если у двух дробей одинаковый знаменатель, то больше будет та из них, числитель которой больше. Если же одинаковы верхние части, то больше будет та, у которой меньше знаменатель. Стоит иметь в виду, что столь удачные ситуации для сравнения выпадают нечасто. Скорее всего, и верхние, и нижние части выражений совпадать не будут. Тогда понадобится вспомнить про возможные действия с обыкновенными дробями и использовать приём, применяемый при сложении и вычитании. Кроме того, помните, что если мы говорим об отрицательных числах, то большая по модулю дробь окажется меньшей.
Преимущества обыкновенных дробей
Случается, что преподаватели говорят детям одну фразу, содержание которой можно выразить так: чем больше информации дано при формулировке задания, тем проще будет решение. Кажется, что звучит странно? Но действительно: при большом количестве известных величин можно пользоваться практически любыми формулами, а вот если предоставлена лишь пара чисел, могут потребоваться дополнительные размышления, придётся вспоминать и доказывать теоремы, приводить аргументы в пользу своей правоты…
К чему мы это? Да к тому, что обыкновенные дроби при всей своей громоздкости могут сильно упростить жизнь ученику, позволяя при перемножении и делении сокращать целые строки значений, а при расчёте суммы и разности выносить общие аргументы и, опять же, сокращать их.
Когда требуется осуществить совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, трансформации осуществляются в пользу первых: как вы переведете 3/17 в десятичный вид? Только с потерями информации, не иначе. А вот 0,1 можно представить как 1/10, а далее - как 17/170. И тогда два получившихся числа можно складывать или вычитать: 30/170 + 17/170 = 47/170.
Чем полезны десятичные дроби
Если действия с обыкновенными дробями осуществлять и сподручнее, то записывать все с их помощью крайне неудобно, десятичные здесь имеют существенное преимущество. Сравните: 1748/10000 и 0,1748. Это одно и то же значение, представленное в двух различных вариантах. Разумеется, второй способ проще!
Кроме того, десятичные дроби проще представить, поскольку все данные имеют общее основание, различающееся исключительно на порядки. Скажем, скидку в 30% мы легко осознаем и даже оценим как значительную. А сразу ли вы поймете, что больше - 30% или 137/379? Таким образом, десятичные дроби обеспечивают стандартизацию расчётов.
В старших классах ученики решают квадратные уравнения. Выполнять действия с обыкновенными дробями здесь уже крайне проблематично, поскольку формула для расчёта значений переменной содержит квадратный корень из суммы. При наличии дроби, не сводимой к десятичной, решение усложняется настолько, что рассчитать точный ответ без калькулятора становится практически невозможно.
Итак, каждый способ представления дробей имеет свои преимущества в соответствующем контексте.
Формы записи
Существует два способа записи действий с обыкновенными дробями: через горизонтальную черту, в два «яруса», и через наклонную черту (она же - «слэш») - в строку. Когда ученик пишет в тетради, первый вариант обычно удобнее, а потому и более распространен. Распределение рядом цифр по клеточкам способствует развитию внимательности при расчётах и проведении преобразований. При записи в строку можно по невнимательности перепутать порядок действий, потерять какие-либо данные - то есть, ошибиться.
Достаточно часто в наше время возникает необходимость напечатать числа на компьютере. Разделять дроби традиционной горизонтальной чертой можно, используя функцию в программе «Майкрософт Ворд» 2010 и более позднего года выпуска. Дело в том, что в этих версиях софта есть опция под названием «формула». Она выводит на экран прямоугольное трансформируемое поле, в рамках которого можно комбинировать любые математические символы, составлять и двух-, и «четырехэтажные» дроби. В знаменателе и числителе можно пользоваться скобками, знаками операций. В результате вы сможете записать любые совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями в традиционной форме, т. е. так, как это учат делать в школе.
Если же вы будете пользоваться стандартным текстовым редактором «Блокнот», то все дробные выражения нужно будет писать через наклонную черту. Другого способа здесь, к сожалению, не предусмотрено.
Заключение
Вот мы и рассмотрели все основные действия с обыкновенными дробями, которых, оказывается, не так уж и много.
Если поначалу может казаться, что это сложный раздел математики, то это только временное впечатление - помните, когда-то вы так думали про таблицу умножения, а ещё раньше - про обычные прописи и счёт от одного до десяти.
Важно понимать, что дроби используются в повседневной жизни повсюду. Вы будете иметь дело с деньгами и инженерными расчётами, информационными технологиями и музыкальной грамотой, и везде - везде! - дробные числа будут фигурировать. Поэтому не поленитесь и изучите эту тему хорошенько - тем более не такая уж она и сложная.
