На этом уроке мы вспомним, что такое одночлен, стандартный вид одночлена, дадим определение подобным одночленам. Научимся отличать подобные одночлены от неподобных. Сформулируем правила сложения и вычитания подобных одночленов. Научимся решать типовые задачи с использованием сложения и вычитания.
Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Сложение и вычитание одночленов
Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Одночлен - это произведение чисел и степеней. Рассмотрим два примера:
Оба выражения являются одночленами и перед тем, как приступить к сложению или вычитанию, необходимо привести их к стандартному виду:
Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.
Выясним, можно ли складывать наши два одночлена - нет, нельзя, потому что можно складывать лишь те одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, то есть только подобные одночлены. То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены.
Рассмотрим примеры подобных одночленов:
Одночлены и являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть -
Еще один пример. Запишем одночлен и одночлен . Мы можем приписать второму одночлену абсолютно любой численный коэффициент и получим одночлен, подобный первому. Выберем, например, коэффициент и получим два подобных одночлена: и
Рассмотрим следующий пример. Первый одночлен , его коэффициент равен единице. Запишем теперь его буквенную часть и добавим к ней произвольный численный коэффициент, например, . Имеем два подобных одночлена: и .
Сделаем вывод : подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.
Теперь приведем примеры не подобных одночленов:
И ; данные одночлены имеют разную буквенную часть, переменная а в них представлена в разных степенях, поэтому одночлены не являются подобными
Еще один пример: одночлены и также не являются подобными, их буквенные части отличаются степенями переменной а.
Рассмотрим третью пару одночленов: и также не являются подобными.
Теперь разберем сложение подобных одночленов, для этого выполним пример:
Сложить два одночлена:
Очевидно, что данные одночлены подобны, так как легко заметить, что буквенные части их одинаковы, однако математически подобие одночленов можно доказать заменив буквенную часть другой буквой, и если для обоих одночленов эта буква окажется одинаковой, то одночлены подобны. Переходя к примеру, заменим в первом одночлене на ? Тогда и во втором одночлене ту же самую буквенную часть заменим на
Сложив два эти выражения, получим . Теперь вернемся к исходным переменным - заменим в ответе переменную t на , получаем окончательный ответ:
Теперь сформулируем правило сложения одночленов :
Для того чтобы получить сумму подобных одночленов необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть дописать такую же, как у исходных слагаемых.
Рассмотрим примеры:
2)
Комментарий к примеру №1: сначала мы записываем в результат сумму коэффициентов одночленов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений, то есть
Комментарий к примеру №2: аналогично первому примеру сначала записываем сумму коэффициентов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений - .
Перейдем к правилу вычитания одночленов . Рассмотри примеры:
Правило вычитания подобных одночленов аналогично правилу сложения: буквенную часть переписываем без изменений, а коэффициенты вычесть, при чем вычесть в правильном порядке. Для нашего примера:
Сделаем вывод : складывать и вычитать можно любые, но только подобные одночлены, для этого нужно складывать или вычитать их коэффициенты, буквенную часть переписывая в исходном виде. Не подобные одночлены ни складывать, ни вычитать нельзя.
Теперь, зная алгоритм сложения и вычитания подобных одночленов, мы можем решать некоторые типовые задачи.
Задачи на упрощение:
Упростить выражение:
Первый одночлен записан в стандартном виде, его больше упростить нельзя, второй и третий не в стандартном виде, значит, первым действием при упрощении выражений с одночленами выполняем приведение к стандартному виду одночленов, которые можно к нему привести.
Итак, приведем к стандартному виду вначале второй, а потом и третий одночлены:
Перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований:
Мы видим одинаковую буквенную часть у всех трех одночленов, а, значит, они подобны, то есть мы имеем право складывать их и вычитать. Согласно правилу, мы выполним необходимые действия с коэффициентами, а буквенную часть перепишем без изменений:
Существует обратная задача . Задан одночлен . Представить одночлен в виде суммы одночленов.
У всех одночленов, в виде суммы которых мы представим заданный, будет одинаковая буквенная часть, одинаковая также и с заданным одночленом - . Представим наш одночлен, например, в виде суммы двух слагаемых. Для этого представим коэффициент как сумму.
Слайд 2
Урок – путешествиепо вершинам знаний
Слайд 3
Слайд 4
1 этап: «Повторение - мать учения» Расшифруй слово: АЛГЕБРА от арабского слова “Аль” - джебр” (в переводе означает - восстановление.)
Слайд 5
Слайд 6
1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. 2. Одночленами считают так же все числа, любые переменные, степени переменных. 3. Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. 4. Алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведенных в степени с натуральным показателем, называют одночленом
Слайд 7
5. Сумма показателей степеней всех букв входящих в одночлен называемый степенью одночлена. 6. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами. 7. Два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, называют подобными одночленами. 8. В результате сложения одночленов получается одночлен.
Слайд 8
9. Одночлен, в котором перемножены все числовые множители и их произведение поставлено на первое место, перемножены все имеющиеся степени с одинаковым буквенным основанием, перемножены все степени с другим буквенным основанием называется одночленом стандартного вида. 10. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак “+”, скобки надо опустить, сохранив знак каждого члена, который был заключен в скобки. 11. Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак “-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, меняют на противоположные.
Слайд 9
Слайд 10
Найди ошибку:
Слайд 11
Из записанных одночленов выбрать подобные и найти их сумму:
Слайд 12
А Д У Г С И
Слайд 13
Первый этап - составление математической модели. (СММ) Пусть весь путь х км, тогда в первый день прошли Во второй день прошли
Слайд 14
Так как на третий день осталось 25 км, то получим математическую модель: Второй этап - работа с составленной моделью. РММ
Слайд 15
2. РММ 3 этап: Ответ на вопрос задачи: (ОВЗ) За х мы приняли длину пути, значит она равна 55 км. Ответ: длина пути 55 км.
Слайд 16
А З Д У Г С И
Слайд 17
«Книга – книгой, а мозгами двигай» № 292 № 293
Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.
Подобные одночлены
Подобные одночлены - одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:
5ab 2 и -7ab 2 - подобные одночлены
5a 2 b и 5ab - не подобные одночлены
Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить, поэтому, прежде чем приступать к определению подобны ли данные одночлены или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду . Например, возьмём два одночлена:
5abb и -7b 2 a
Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить являются ли они подобными. Чтобы это узнать приведём одночлены к стандартному виду:
5ab 2 и -7ab 2
Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.
Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными . Например:
5a 2 bc и -5a 2 bc - противоположные одночлены.
Приведение подобных одночленов - это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых .
Сложение одночленов
Чтобы сложить одночлены надо:
- Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим
- Привести подобные слагаемые, для этого нужно:
Пример 1. Сложить одночлены 12ab , -4a 2 b и -5ab .
Решение: составим сумму одночленов:
12ab + (-4a 2 b ) + (-5ab )
12ab - 4a 2 b - 5ab
Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:
12ab - 4a 2 b - 5ab = (12 + (-5))ab - 4a 2 b = 7ab - 4a 2 b
Пример 2. Сложить одночлены 5a 2 bc и -5a 2 bc .
Решение: составим сумму одночленов:
5a 2 bc + (-5a 2 bc )
Раскроем скобки:
5a 2 bc - 5a 2 bc
Эти два одночлена являются противоположными, то есть отличаются только знаком. Значит если мы сложим их численные множители, то получим нуль:
5a 2 bc - 5a 2 bc = (5 - 5)a 2 bc = 0a 2 bc = 0
Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль .
Общее правило сложения одночленов:
Чтобы сложить несколько одночленов следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки, и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).
Вычитание одночленов
Чтобы произвести вычитание одночленов надо:
- Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком - (минус)
- Привести все одночлены к стандартному виду
- Раскрыть скобки, если они есть в выражении
- Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
- сложить их численные множители
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений
Пример. Найти разность одночленов 8ab 2 , -5a 2 b и -ab 2 .
Решение: составим разность одночленов:
8ab 2 - (-5a 2 b ) - (-ab 2)
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите .
8ab 2 + 5a 2 b + ab 2
Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:
8ab 2 + 5a 2 b + ab 2 = (8 + 1)ab 2 + 5a 2 b = 9ab 2 + 5a 2 b
Общее правило вычитания одночленов:
Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.
§ 1 Подобные одночлены
Надо отметить, что все арифметические операции осуществляют только с одночленами стандартного вида. Это значит, что прежде чем выполнять какие-либо действия, надо обязательно привести одночлен к стандартному виду. Из практики мы знаем, что складывать и вычитать можно только одинаковые величины. Фактически мы ведём подсчёт количества той или иной величины или предметов. А какие одночлены можно считать одинаковыми?
В математике существует термин подобные одночлены.
Дадим определение:
Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными.
Например, одночлены 2аb2 и -5аb2 будут подобными, т.к. у них одинаковая буквенная часть аb2. А многочлены 4ас и 4ас2 не будут подобны, т. к. имеют не одинаковую буквенную часть (множитель с содержится в разных степенях). И ещё раз отметим, что определить одинаковая ли буквенная часть у одночленов можно только после того, как они будут записаны в стандартном виде.
§ 2 Сложение и вычитание одночленов
Теперь давайте рассмотрим сумму одночленов 5k2у и 2k2у. Применим распределительное свойство умножения и вынесем за скобку общий множитель k2у. Получим:
5k2у + 2k2у = k2у(5 + 2) = 7k2у.
Можно заметить, что складывать подобные одночлены легко. Для этого достаточно сложить их коэффициенты и помножить полученное число на общую буквенную часть.
Выполним здание:
Найти сумму одночленов 2ааbk + 0,2а∙3аkb. Прежде всего, нам надо привести каждый из одночленов к стандартному виду.
2а2bk + 0,6а2bk
Теперь мы видим, что перед нами подобные одночлены, значит можно воспользоваться ранее выведенным правилом. Складываем коэффициенты 2 и 0,6 и полученное число 2,6 умножаем на общую буквенную часть а2bk. В итоге ответ: 2,6а2bk.
Аналогичны действия и при вычитании одночленов. Например:
7bс - 9bс = (7 - 9)bс = - 2bс
Здесь мы вычли коэффициенты и помножили получившееся число -2 на общую буквенную часть bс.
Что касается неподобных одночленов, то их складывать и вычитать нельзя.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010