Кубическая система (3). Кубическая система содержит те решетки Бравэ, точечная группа которых совпадает с группой симметрии куба (рис.8). Три решетки Бравэ с неэквивалентными пространственными группами обладают кубической точечной группой: простая кубическая, объемно-центрированная кубическая и гранецентрированная кубическая.

Рассмотрим объемно-центрированную кубическую (о. ц. к) решетку, которая получается, если к простой кубической решетке (ее узлы обозначены как А ) добавить по точке В в центр каждого куба (рис.9).

Если исходная простая кубическая решетка порождается основными векторами

где , , – три ортогональных единичных вектора, направленных вдоль осей x, y, z соответственно, то в качестве тройки основных векторов для о.ц.к. решетки можно выбрать векторы (рис. 10)

, ,

Существует и более симметричный набор (рис. 11):

, , .

Примитивная ячейка, построенная на этих векторах, представлена на рис. 12. Ее объем в два раза меньше объема условной ячейки. Более наглядный вид той же ячейки представлен на рис. 13, здесь понятно, что она представляет собой ромбоэдр (параллелепипед с одинаковыми ребрами, равными половине объемной диагонали условной ячейки о.ц.к.).

Примитивную ячейку о.ц.к. можно выбрать в виде ячейки Вигнера - Зейтца. На рис. 14 окружающий ее куб представляет собой условную о. ц. к. ячейку, в центре и в вершинах которой расположены точки решетки. Шестиугольные грани рассекают пополам отрезки прямых, соединяющие центральную точку с вершинами куба (эти отрезки изображены сплошными линиями). Квадратные грани рассекают пополам отрезки прямых, соединяющие центральную точку с центральными точками каждой из шести соседних кубических ячеек (на фигуре эти линии не показаны).

Рассмотрим гранецентрированную кубическую (г. ц. к.) решетку Браве. Чтобы построить г. ц. к. решетку Браве, нужно добавить к простой кубической решетке на рис.8 по одной дополнительной точке в центре каждой грани.

Она состоит из четырех взаимопроникающих простых кубических решеток, расположенных таким образом, как показано на рис. 15.

Симметричный набор основных векторов (рис. 16) для г.ц.к. решетки имеет вид:

, , .

Построенная на этих векторах примитивная элементарная ячейка – ромбоэдр с шестью гранями в форме ромбов, все ребра которого равны половине диагонали грани условной ячейки г.ц.к. ( /2а) (углы между и , и , и равны 60 о). Она обладает более низкой симметрией, чем условная ячейка г.ц.к. на рис.8 и ее объем в 4 раза меньше объема условной ячейки.

Ячейка Вигнера - Зейтца для г.ц.к. решетки представлена на рис. 18. Окружающий ее куб не является условной кубической ячейкой, показанной на рис. 8, точки решетки расположены в центре этого куба и в центре каждого из 12 его ребер. Каждая из 12 (конгруэнтных) граней перпендикулярна прямой, соединяющей центральную точку с центром ребра.

Г. ц. к. и о. ц, к. решетки Бравэ особенно важны потому, что именно такими кристаллическими решетками (с одним атомом или ионом в каждом узле решетки)тобладает большинство твердых тел. Кристаллов с простой кубической решеткой, однако, чрезвычайно мало - из элементов при нормальных условиях ею обладает только α-фаза полония.

Тетрагональная система (2). Чтобы понизить симметрию куба, можно взять его за противоположные грани и вытянуть в прямую призму с квадратным основанием, но с высотой, не равной сторонам квадрата (рис.8). Группа симметрии такого объекта есть тетрагональная группа. Растягивая подобным образом простую кубическую решетку, можно получить простую тетрагональную решетку Бравэ. Последняя определяется как решетка Бравэ, порождаемая тройкой взаимно перпендикулярных основных векторов, из которых лишь два имеют равную длину. Третью ось называют с-осью. Растягивая аналогичным образом объемноцентрированную и гранецентрированную кубические решетки, удается получить лишь одну решетку тетрагональной системы - центрированную тетрагональную.

Ромбическая система (4). Переходя к менее симметричным деформациям куба, мы можем понизить тетрагональную симметрию, преобразовав в прямоугольники квадратные грани. В результате получается объект с тремя взаимно перпендикулярными ребрами неравной длины (рис.8), группу симметрии которого называют ромбической.

Ромбическая система представлена четырьмя решетками Бравэ: простой, базоцентрированной, объемноцентрированной и гранецентрированной.

Моноклинная система (2). Ромбическую симметрию можно понизить, превратив прямоугольные грани, перпендикулярные с-оси на рис.8, в произвольные параллелограммы. Получающийся объект (рис.8), имеет моноклинную группу симметрии. Моноклинная система состоит из простой и объемноцентрированной решеток Бравэ.

Триклинная система (1). Если наклонить с-ось в простой моноклинной системе так, чтобы она более не была перпендикулярна двум другим осям, получим в объект (рис.8), который не должен удовлетворять никаким ограничениям, кроме требования параллельности противоположных граней. Искажая таким путем любую из моноклинных решеток Бравэ, можно построить триклинную решетку Бравэ. Эта решетка Бравэ порождается тройкой основных векторов, не связанных какими-либо соотношениями, следовательно, она представляет собой решетку Бравэ с минимальной симметрией. Все же триклинная группа не является группой объекта без всякой симметрии, поскольку решетка Бравэ всегда инвариантна относительно инверсии с центром в любой точке решетки. Это, однако, единственная симметрия, требуемая общим определением решетки Бравэ, а следовательно, единственная операция, входящая в триклинную точечную группу.

Тригональная система (1). Тригональная точечная группа описывает симметрию объекта, который получается, если растянуть куб вдоль объемной диагонали (рис.8). В результате такого искажения любой из трех кубических решеток Бравэ возникает ромбоэдрическая (или тригональная) решетка Бравэ. Она порождается тремя основными векторами равной длины, образующими равные углы друг с другом.

Наконец, последняя из систем не имеет отношения к кубу.

Гексагональная система (1). Гексагональная точечная группа получается, если потянуть за диагонально отстоящие друг от друга ребра простой решетки тетрагональной системы, при этом квадрат в основании тетрагональной решетки (рис.8) растянется в ромб с острым углом 60 0 . Решетка - примитивная. Для того чтобы подчеркнуть принадлежность данной элементарной ячейки к гексагональной системе, часто добавляют к ней еще две ячейки, повернутые относительно друг друга на 120°, получая, таким образом, утроенную «ячейку» в форме гексагональной призмы (рис. 19).

Расположить одинаковые твердые шары в пространстве так, чтобы объем, остающийся между ними, был минимален, можно двумя способами.

Первый слой уложим так, чтобы каждый шар соприкасался с шестью другими. Шары второго слоя помещаются над междоузлиями нижнего слоя через одно междоузлие (рис. 20). Если шары третьего слоя поместить прямо над шарами первого слоя, т. е. в узлах типа а, а шары в четвертом - прямо над шарами второго слоя и т. д., то мы получим гексагональную структуру с плотной упаковкой (г. п. у.).

Если же, однако, шары третьего слоя находятся прямо над теми междоузлиями первого слоя, которые не были накрыты сверху шарами второго слоя, т. е. вузлах типа б , шары четвертого слоя помещены прямо над шарами первого и шары пятого слоя - над шарами второго и т.д., то мы получаем г. ц. к. структуру (с направленной вертикально пространственной диагональю куба), ее также называют кубической структурой с плотной упаковкой (рис. 21).

Часть общего объема, запятая твердыми шарами, составляет 0,74 как для кубической, так и для гексагональной структур с плотной упаковкой.

БРАВЕ РЕШЁТКИ - классификация решёток параллельных переносов, учитывающая как их точечную, так и параллельно-переносную . Всего существует 14 типов Б. р., названных по имени О. Браве (A. Bravais), строго обосновавшего эту классификацию. Решёткой наз. совокупность точек пространства (узлов) с целочисленными координатами относительно фиксированной системы координат, построенной на трёх базисных векторах а, b, с - осн. репере решётки. Решётка однозначно определяется осн. репером, однако осн. репер в данной решётке может быть выбран бесконечным числом способов и его связь с точечной группой симметрии решётки - её голоэдрией - не всегда явно видна. Поэтому для представления решёток используют репер Браве - систему координат, построенную на векторах решётки, совпадающих с наиб. симметричными в данной голоэдрии направлениями. Выбор таких векторов может быть неоднозначным и существуют дополнит. правила: сначала выбираются векторы, совпадающие с осями симметрии, затем - самые короткие векторы, не образующие острых углов между собой. Параметры реперов Браве (длины а, 6, с, его векторов и углы между векторами b и с, а и с, а и b соответственно) в каждой из 7 сингоний (совокупностей решёток с одинаковой голоэдрией) имеют ограничения, указанные в табл., в к-рой также приведены обозначения всех Б. р., распределённые по соответств. сингониям.

Параллелепипед, построенный на репере Браве, наз. параллелепипедом Браве. Если узлы решётки находятся только в вершинах параллелепипеда Браве, то он и соответствующая ему решётка наз. примитивными (Р -решётки). В нек-рых решётках в параллелепипед Браве попадают дополнит. узлы. Такие параллелепипеды (и решётки) возможны 4 сортов: 1) базоцентрированные С или бокоцентрированные В (А) - дополнит. узлы в центрах граней, построенных на векторах а и b , а и с, b и с соответственно и на параллельных им гранях; 2) дважды центрированные гексагональные (ромбоэдрические) R - дополнит. узлы на главной диагонали параллелепипеда Браве в точках с координатами 2 / 3 , 1 / 3 , 1 / 3 и 1 / 3 , 2 / 3 , 2 / 3 ; 3) гранецентрированные F - дополнит. узлы в центрах всех граней параллелепипеда Браве; 4) объёмноцентрированные I - дополнит. узел в центре параллелепипеда Браве.

Две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их параллелепипеды Браве одинаковы и имеют одинаковую центрировку. На рис. представлены все типы Б. р., причём в одной строке расположены решётки с одинаковыми параллелепипедами Браве, а в одном столбце - решётки с одинаковым типом центри-ровок. Около каждого параллелепипеда Браве указан символ соответствующей группы Браве - полной совокупности преобразований симметрии соответствующей решётки. Имеется 14 абстрактно-неизоморфных таких групп (14 из 73 симморфных фёдоровских групп). Группы Браве - основа теоретико-группового определения типов Б. р.: две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их полные группы преобразований симметрии изоморфны. В скобках на рис. приведены стандартные символы соответствующих типов Б. р. В двумерном случае (в случае плоскости) имеется 5 типов Б. р.: р2, р2тт, с2тт, p4mm, р6тm .

Название Б. р. данного типа складывается из названия голоэдрии и способа центрировки (напр., кубическая объёмноцентрированная решётка). Во всех решётках, исключая триклинные и моноклинные, выше приведённые правила ограничения параметров репера Браве обеспечивают его однозначность. Реперы Браве для ромбоэдрической и гексагональной голоэдрий совпадают, но для ромбоэдрической голоэдрии возможно собственно ромбоэдрич. описание: a=b=с, Во всякой моноклинной центрированной решётке параллелепипед Браве может быть выбран как объёмно-центрированным, так и базо- или бокоцентрированным. Если все преобразования симметрии голоэдрии записать в виде матриц в осн. репере решётки, то получим конечную группу целочисленных унимодулярных матриц - арифметич. голоэдрию. Две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их арифметич. голоэдрии целочисленно эквивалентны.

Цифровой ресурс может использоваться для обучения в рамках программы средней школы (углубленного уровня).

Компьютерная модель иллюстрирует математические модели строения кристаллических тел. Демонстрируются ромбическая, тригональная, триклинная и кубическая решетки.

Краткая теория

Решетка Браве является математической моделью, отражающей трансляционную симметрию кристалла. Все многообразие кристаллов может быть описано с помощью 14 типов кристаллических решеток – решеток Браве . Их принято группировать в семь систем – сингоний , различающихся видом элементарной ячейки: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую.

Понятие решетки Браве связано с основными трансляционными векторами . Основным трансляционным вектором называется минимальный в данном направлении вектор перехода из данной точки в ближайшую эквивалентную. В трехмерном случае таких некомпланарных векторов будет три (обозначим , , ). Задав нулевую точку, можно построить совокупность точек по правилу:

Работа с моделью

Компьютерная программа позволяет наблюдать принцип построения решеток Браве (Общие сведения ) и общий вид четырех вариантов решеток. Демонстрируются ромбическая, тригональная, триклинная и кубическая решетки.

Данная модель может быть применена в качестве иллюстрации на уроках изучения нового материала в 10 классе по теме «Кристаллические тела». В общем курсе физики так подробно кристаллические решетки не рассматриваются. Поэтому оптимально эту модель использовать на элективных курсах и в классах, изучающих физику углубленно.

Пример планирования урока с использованием модели

Тема «Кристаллические тела»

Цель урока: рассмотреть физические свойства кристаллов с точки зрения их молекулярного строения, ввести понятия моно и поликристаллы, анизотропия.

Примеры вопросов и заданий

Четырнадцать трёхмерных геом. решёток, характеризующих возможные типы трансляц. симметрии кристаллической решётки.

Б. р. установлены франц. кристаллографом О. Браве (A. Bravais) в 1848. Полное описание симметрии ат. структуры кристалла даётся пространств. группой симметрии, к-рая содержит как операции трансляций (переносов), так и операции поворотов, отражений, инверсии. Б. р. образуются действием только операций трансляций на любую точку кристалла, и из неё выводят систему узлов. Различают примитивные Б. р., в к-рых узлы расположены только в вершинах элем. параллелепипедов, гранецентрированные (в вершинах и в центрах всех граней), объёмноцентрированные (в вершинах и в центре параллелепипедов) и базоцентрированные (в вершинах и в центрах двух противоположных граней) (рис.).

Б. р. классифицируются по признаку симметрии элементарной ячейки и вытекающих из неё соотношений между рёбрами а, b, с и углами a, b, g параллелепипеда, а также центрированности. Если учитывать только первый признак, то все кристаллы подразделяются на 7 сингоний, среди к-рых распределены 14 Б. р. Понятие «Б. р.» используют при описании ат. структуры кристаллов, указывая, что центры тех или иных атомов расположены по узлам определённой Б. р. В простейших случаях (напр., в металлах) структура описывается одной Б. р. Сложную структуру, элем. ячейка к-рой содержит неск. атомов, можно описывать как неск. Б. р., «вдвинутых» одна в другую.

• - Разновидность симптоматической эпилепсии, для которой характерен своеобразный тип судорожных припадков - клонические или тонико-клонические судороги, начинающиеся с определенной группы мышц и распространяющиеся...
• - Разновидность симптоматической эпилепсии, для которой характерен своеобразный тип судорожных припадков – клонические или тонико-клонические судороги, начинающиеся с определенной группы мышц и...

  Толковый словарь психиатрических терминов

• - 14 трёхмерных геом. решёток, характеризующих все возможные типы трансляционной симметрии кристаллов. Б. р. образуются действием операции переноса на любую точку кристалла...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - см. Джексоновская эпилепсия...

  Большой медицинский словарь

• - см. Закон Браве...

  Геологическая энциклопедия

• - см. Решетки Браве...

  Геологическая энциклопедия

• - правило, по которому на поверхности к-лов преобладают грани, имеющие наиболее плотные плоские сетки...

  Геологическая энциклопедия

• - 14 различных типов пространственных решеток, на которые Браве подразделил все возможные, в т. ч. и кристаллические решетки...

  Геологическая энциклопедия

• - изготовленные из брусков или реек квадратные круглые решетки различных размеров, на которые складываются концы в целях предохранения их от намокания...

  Морской словарь

• - драматург, род. в 1738 г. в Вейсенфельсе, воспитывался в Шульпфорте, слушал университетские лекции в Лейпциге...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - Огюст, французский кристаллограф, член Парижской АН, профессор политехнической школы в Париже...
• - Браве Огюст, французский кристаллограф, член Парижской АН, профессор политехнической школы в Париже...

  Большая Советская энциклопедия

• - вид пространственных решёток кристаллов, установленный впервые французским учёным О. Браве в 1848...

  Большая Советская энциклопедия

• - французский кристаллограф. Положил начало геометрической теории пространственных решеток кристаллов...
• - 14 трехмерных геометрических решеток, характеризующих все возможные типы трансляционной симметрии кристаллов. Браве решетки образуются действием операции переноса на любую точку кристалла...

  Большой энциклопедический словарь

• - прил., кол-во синонимов: 1 решетчатый...

  Словарь синонимов

"БРАВЕ РЕШЁТКИ" в книгах

Письма из-за решетки