Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях для определения тенденции развития явления используется сглаживание динамического ряда методом скользящих средних.
Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.
Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиеся на различные подходы:
Аналитический подход;
Алгоритмический подход.
Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую.
При использовании алгоритмического подхода отказываются от ограничения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой данный момент времени . Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.
Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу.
Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.
Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующего алгоритма.
1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g 2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1. 3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок. 4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующее среднее значение При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала. Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания. При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде: а скользящая средняя определяется по формуле где − фактические значение -го уровня; − значение скользящей средней в момент ; − длина интервала сглаживания. Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний. Для устранения сезонных колебаний желательно использовать четырех- и двенадцатичленную скользящую среднюю. При четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами: Тогда для сглаживания колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние: Рассмотрим применение скользящей средней по данным общей площади жилых помещений, приходящихся в среднем на 1 жителя по Хабаровскому краю (таблица 2.1.1). Поскольку период сглаживания не обосновать, расчеты начинают с 3-членной скользящей средней. Первый сглаженный уровень получим для 1993 г.: Последовательно сдвигая на один год начало периода скольжения, находим сглаженные уровни для последующих лет. Для 1994 г. скользящая средняя составит для 1995 г. Так как скользящая средняя относится к середине интервала, за который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных уровней сокращается на уровень при нечетном периоде скольжения и на уровней при четном периоде скольжения. Поэтому в нашем примере сглаженный ряд стал короче на два члена для трехчленной средней и на четыре – для пятичленной (таблица 2.1.1). При расчете по четным скользящим средним (в нашем примере 4-членная скользящая средняя) вычисления производятся следующим образом: Для 1994 г. 1995 г. 1996 г. Таблица 2.1.1 – Результаты сглаживания по методу скользящих средних
Как видно из таблицы 2.1.1, трехчленная скользящая средняя демонстрирует выравненный динамический ряд с однонаправленной тенденцией движения уровней. Сглаживание по трехчленной скользящей средней дало более сглаженный ряд, так как для трехчленной скользящей средней оказалась меньше сумма квадратов отклонений фактических данных () от сглаженных () ( = 0,179) (таблица 2.1.1). Иными словами, трехчленная скользящая средняя лучше всего представляет закономерность движения уровней динамического ряда. Сможет найти опцию, позволяющую выбрать метод расчета. Вариантов дается три: SMA (простая), EMA (экспоненциальная) и WMA (взвешенная). Эта статья посвящена рассмотрению взвешенной скользящей средней
. Тогда как простая скользящая средняя есть всего лишь среднее арифметическое значений за указанное трейдером в настройках количество периодов (по умолчанию чаще всего стоит 20 периодов), взвешенная средняя учитывает, что значения последних периодов (то есть наиболее актуальные данные) важнее, чем значения первых. Особенно использование такого индикатора уместно, если на данный момент на рынке существует явно выраженная тенденция к росту или падению стоимости актива. Визуально формула вычисления WMA имеет такой вид: Важно отметить, что экспоненциальная средняя (EMA) тоже в некоторой мере является взвешенной – принцип повышение веса показателя со временем сохраняется. Однако расчет EMA немного иной: Популярностью среди трейдеров пользуются именно взвешенные скользящие средние – они считаются значительно более гибкими. Простая скользящая средняя – «топорный» инструмент, который чаще всего используется как составной элемент более хитроумного индикатора. Для расчета используется следующая формула: Пусть формула выглядит пугающе, но она удивительно проста: значение P – это цена актива в определенном периоде, значение W – удельный вес. Вручную посчитать взвешенную среднюю не составит труда, что мы и докажем следующим примером: Дата
Цена актива
Необходимо определить значение взвешенной скользящей средней 6 мая за последние 5 периодов.
Подставляем значения в формулу:
Видно, что значение WMA больше, и это является отражением ярко выраженного тренда к возрастанию значений: Естественно, в реальности за пять периодов средняя не считается, так как такой анализ дает слишком субъективный результат. Однако более массивные расчеты проводить вручную проблематично и попросту долго, поэтому можно поблагодарить компьютеры, что они делают эту работу за нас. Преимущество взвешенной средней уже было проиллюстрировано – этот индикатор более гибко реагирует на последние тенденции изменений цены актива. К недостаткам же относятся следующие моменты: Чтобы проиллюстрировать работу скользящих средних, необходимо привести в пример одну из стратегий, которая основана на этом индикаторе – называется «Взвешенный Тейлор» (Weighted Taylor). Условия торговли следующие: Вся картинка выглядит так: Торговать нужно следующим образом: в первую очередь обращать внимание на скользящие средние. Долгосрочные взвешенные средние имеют более сглаженный вид – как правило, когда краткосрочные пересекают их, это свидетельствует о зачатке тренда. По нашему примеру видно, что на рынке затишье, однако, голубая (самая краткосрочная) поменяла направление и стремится к розовой и красной (самым долгосрочным), поэтому трейдеру следует быть настороже. Далее обращаем внимание на индикатор RSI. Если зеленая линия находится в коридоре 40-60, открывать позицию не рекомендуется (наш пример именно таков), потому как этот интервал характеризуется большим уровнем рыночного шума и ложных сигналов. Индикатор MACD используется для поиска точек входа на . При этом обратить внимание стоит на «красный коридор» - принцип тот же, что и у RSI: заключать сделки нельзя
. На нашем примере линия индикатора находится именно в этом коридоре. Так, открывать позицию следует только тогда, когда все 3 индикатора дают один и тот же сигнал. Будьте в курсе всех важных событий United
Traders - подписывайтесь на наш . Формула простой скользящей средней:
Где Pi - Цены на рынке (обычно берутся цены Close, но иногда используют Open, High, Low, Median Price, Typical Price). N - основной параметр - длина сглаживания или период
(количество цен входящих в расчет скользящего). Иногда этот параметр называют порядком скользящего среднего
. Пример скольязщего среднего
: Описание:
Использование:
Существует 7 основных методов скользящего среднего
: Недостатки метода скользящего среднего:
Примечание 1: На рынке в состоянии лучше использовать более короткую скользящую, на рынке в лучше использовать более длинную скользящую, как подающую меньше ложных сигналов. Примечание 2: имеет достаточно много более эффективных современных вариаций: экспоненциальная скользящая средняя, взвешенная скользящая средняя, существует также ряд адаптивных скользящих средних
AMA, KAMA, Jurik MA и т.д. Предупреждение о рисках: мы не рекомендуем использовать никакие индикаторы на реальных счетах без предварительного тестирования их работы на демонстрационном счете или тестирования в качестве торговой стратеги. Любой, даже самый лучший индикатор, применяемый неправильно, дает множества ложных сигналов и как следствие, может принести значительные убытки в процессе торговли. Экстраполяция
- это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых
и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции
относятся
метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов. Метод скользящих средних
является одним из широко известных методов сглаживания временных рядов.
Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов. Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения.
Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного
интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного интервала времени (периода). Затем период сдвигается на одно наблюдение, и расчет средней повторяется. При этом периоды определения средней берутся
все время одинаковыми. Таким образом, в каждом рассматриваемом случае средняя центрирована, т.е. отнесена к серединной точке
интервала сглаживания и представляет собой уровень для этой точки. При сглаживании временного ряда скользящими средними в расчетах участвуют все уровни ряда. Чем шире интервал сглаживания,
тем более плавным получается тренд. Сглаженный ряд короче первоначального на (n–1) наблюдений, где n – величина интервала
сглаживания. При больших значениях n колеблемость сглаженного ряда значительно снижается. Одновременно заметно сокращается количество
наблюдений, что создает трудности. Выбор интервала сглаживания зависит от целей исследования. При этом следует руководствоваться тем, в какой период времени
происходит действие, а следовательно, и устранение влияния случайных факторов. Данный метод используется при краткосрочном прогнозировании. Его рабочая формула: Задача
. Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, % Решение методом скользящей средней
Для расчета прогнозного значения методом скользящей средней необходимо: 1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n = 3). 2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов 3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле: где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); Уt+1 – прогнозируемый показатель;
mt-1 – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; Уt – фактическое значение исследуемого
явления за предшествующий период; Уt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному. У ноябрь = 1,57 + 1/3 (1,42 – 1,56) = 1,57 – 0,05 = 1,52 Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле: ε = 9,01/8 = 1,13% точность прогноза
высокая. Далее решим данную задачу методами экспоненциального сглаживания
и
наименьших квадратов
. Сделаем выводы. 2.3.1. Задание*
В первых двух столбцах таблицы 17 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период. Провести сглаживание данных методом скользящего среднего с окном сглаживания k
=3. 2.3.2. Выполнение задания
Скользящее среднее вычисляется с помощью функции СРЗНАЧ. Результаты расчета представлены в третьем столбце таблицы 16 и иллюстрируются рисунком 8. Таблица 17.
Спроса на товар 2.4. Выделение трендовой и циклической компонент временного ряда**
Задание 1
В таблице 18 представлены данные об объеме y
потребления энергии за четыре года (время t
измеряется в кварталах). Сгладить временной ряд методом скользящего среднего, самостоятельно подобрав размер k
окна сглаживания. 2.4.2. Выполнение задания 1
Из графика зависимости y
(t
) (см. рис. 9) видно, что временной ряд содержит циклическую компоненту с периодом T
п =4. Рассчитав с помощью функции КОРРЕЛ выборочный коэффициент автокорреляции r
(1,t) (см. таблицу 19) и построив коррелограмму (с помощью мастера диаграмм – см. рис.10), получаем, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает (см. §1.2), что T
п =4. Окно сглаживания следует выбрать равным (см. §1.5) периоду циклической составляющей: k=T
п =4. Тогда результатом сглаживания будет являться приближенный тренд (за период положительные и отрицательные значения циклической составляющей будут компенсировать друг друга). В третьем столбце таблицы 18 приведены результаты расчета скользящего среднего u
1 (t
) для k
=4. Средняя точка t
ср окна сглаживания находится между вторым и третьим моментом времени окна. Так, например, для первого окна (содержащего моменты времени t
=1, 2, 3, 4) t
ср =2,5; такого момента времени в наших данных нет, и мы приписываем среднее значение наблюдений по окну моменту t
=2. Для второго окна t
ср =3,5, и среднее значение наблюдений по второму окну будет приписано моменту t
=3. Аналогично, среднее значение наблюдений для каждого следующего скользящего окна мы будем приписывать второму моменту времени этого окна. Для установки соответствия между средним значением наблюдений по окну и серединой окна t
ср необходимо применить к u
1 (t
) метод скользящего среднего с окном сглаживания, равным двум: u
2 (t
)=[u
1 (t
-1)+u
1 (t
)]/2. Результаты расчета приведены в таблице 18 (четвертый столбец). Напомним (см. также §1.5), что расчет u
2 нужен только в случае четного k
. Для нечетного k
средняя точка окна сглаживания t
ср совпадает с одним из имеющихся в таблице моментов времени. Таблица 18.
Расчет тренда и циклической составляющей Задание 2
Вычислить значения циклической компоненты временного ряда по данным таблицы 18. Результаты записать в эту же таблицу. 2.4.4. Выполнение задания 2
Рассматриваемый временной ряд описывается аддитивной моделью, так как амплитуда колебаний уровней ряда практически не зависит от времени (см. рис. 9). По формуле (43) (учитывая, что T
»u
2) рассчитываем S
Значения S
2 получены усреднением S
1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для аддитивной модели ряда должно равняться нулю, то выравниваем значения S
2: S
3 = S
2 -S
2 ср, где через S
2 ср обозначено среднее значение S
S
получены копированием S
3 по всем периодам. Получив циклическую компоненту, вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: T
+E
=Y
-S
(см. формулу (40)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим следующую формулу: T
(t
)=0,186t
+5,72. По этой формуле вычислим значения тренда, а затем, учитывая, что E
=Y
-T
-S
, – значения случайной компоненты E
. На рис. 9 компоненты ряда показаны графически. Так как случайная компонента существенно меньше остальных компонент ряда, можно считать, что полученные оценки тренда и циклической составляющей вполне приемлемы. Задание 3
В первых двух столбцах таблицы 20 приведены поквартальные данные о прибыли компании (в усл. ед.) за последние четыре года. Определить трендовую, циклическую и случайную компоненты временного ряда. 2.4.6. Выполнение задания 3
Из графика зависимости y
(t
) (см. рис. 11,а) видно, что временной ряд содержит циклическую компоненту с периодом T
п =4. Построив коррелограмму (которая здесь не приводится), можно удостовериться, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает, что T
п =4. Окно сглаживания выбираем равным (см. §1.5) периоду циклической составляющей: k=T
п =4. В третьем и четвертом столбце таблицы 20 приведены результаты расчета приближений тренда u
1 (t
) и u
2 (t
), полученные так же, как в таблице 18. Для рассматриваемого временного ряда следует выбрать мультипликативную модель, так как амплитуда колебаний уровней ряда изменяется пропорционально тренду (см. рис. 11,а). По формуле (44) (учитывая, что T
»u
2) рассчитываем S
1 – первое приближение циклической компоненты ряда. Значения S
2 получены усреднением S
1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для мультипликативной модели должно равняться единице, то от S
2 переходим к следующему приближению циклической компоненты: S
3 = S
2 /S
2 ср, где S
2 ср – среднее значение S
2 . Значения циклической компоненты S
получены копированием S
3 по всем периодам. Далее вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: TE
=Y
/S
(см. формулу (41)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим формулу для тренда: T
(t
)=-2,77t
+90,57. По этой формуле вычислим значения тренда, а затем – значения случайной компоненты E
(E
=Y
/(TS
)). Абсолютная погрешность модели рассчитывается по формуле: Eabs
=Y
-TS
. На рис. 11 компоненты ряда показаны графически. Заметим, что абсолютная погрешность существенно меньше уровней ряда и тренда. Кроме того, случайная компонента практически для всех значений t
близка к единице. Поэтому оценки тренда и циклической составляющей вполне приемлемы. Таблица 20.
Данные о прибыли компании 3. Задание на самостоятельную работу 1. В таблице 21* представлены данные о производительности труда Y
для некоторого предприятия с 1987 по 1996 г. Получить уравнения и графики трендов: линейного, логарифмического, степенного, полиномиального, экспоненциального. Выбрать из них тренд, наиболее соответствующий наблюдениям (сравнивая значение R
2). Для выбранного тренда проверить гипотезу независимости остатков по критерию Дарбина-Уотсона (при n
=10 d
н =0,88 d
в =1,32). Зачем надо проверять эту гипотезу? 2. В таблице 22** приведено среднее число y
яиц на несушку на каждый месяц по США с 1938 по 1940 г. Требуется: 1) построить график y
(t
) и коррелограмму. Анализируя их, ответить на вопросы: содержит ли ряд линейный тренд? Содержит ли ряд циклическую составляющую? Чему равен период циклической составляющей Тц? Какая модель подходит для описания ряда – аддитивная или мультипликативная? 2) определить компоненты ряда. Таблица 22.
Среднее число y
яиц на несушку 3. В таблице 23 даны уровни некоторого ряда, время t
измеряется в кварталах. Провести для этих данных исследования, аналогичные п.2. Таблица 23.
Уровни ряда Практическая работа №5. Использование фиктивных Теоретическая часть
,
,
. 
.
,
, и т.д.
;
;
. Годы
Общая пло-щадь жилых помещений, приходящаяся в среднем на 1 жителя.кв.м,
Сглаженные уровни
Простая скользящая средняя
3-член-ная,
4-член-ная,
5-член-ная,
3-член-ная
4-член-ная
5-член-ная
15,4
-
-
-
-
-
-
16,1
16,0
-
-
0,01
-
-
16,5
16,4
16,3
16,3
0,01
0,026
0,040
16,6
16,7
16,6
16,6
0,004
0,001
0,000
16,9
16,8
16,8
16,8
0,004
0,006
0,006
17,0
17,0
17,1
17,1
0,003
0,010
17,1
17,3
17,4
17,4
0,05
0,083
0,102
17,9
17,7
17,7
17,7
0,03
0,026
0,026
18,2
18,2
18,2
18,2
0,00
0,000
0,000
18,5
18,7
18,7
18,7
0,03
0,031
0,032
19,3
19,1
19.1
19,0
0,04
0,056
0,068
19,5
19,5
19,4
19,4
0,006
0,014
19,7
19,7
-
-
-
-
19,9
-
-
-
-
-
-
Итого
248,6
-
-
-
0,179
0,239
0,299
В чем суть взвешенной средней?
Как считается взвешенная скользящая средняя?
Преимущества и недостатки взвешенных средних
Стратегия торговли на взвешенных средних
Скользящее среднее
относится к классу индикаторов, следующих за трендом, оно помогает определить начало новой тенденции и ее завершение, по его углу наклона можно определить силу (скорость движения), оно же в качестве основы (или сглаживающего фактора) применяется в большом количестве других технических индикаторов. Иногда называют линией тренда.
с параметром 5.
Простое является обычным арифметическим средним от цен за определенный период. представляет собой некий показатель цены равновесия (равновесие спроса и предложения на рынке) за определенный период, чем короче скользящее среднее, тем за меньший период берется равновесие. Усредняя цены, оно всегда следует с определенным лагом за главной тенденцией рынка, фильтруя мелкие колебания. Чем меньше параметр (говорят, что короче), тем оно быстрее определяет новую тенденцию, но и одновременно делает больше ложных колебаний, и наоборот чем больше параметр (говорят длинное , тем медленнее определяется новый тренд, но поступает меньше ложных колебаний.
Применение скользящих средних
достаточно простое. Скользящие средние не спрогнозируют изменения в тренде, а лишь просигналят об уже появившемся тренде. Так как скользящие средние являются следующими за индикаторамито их лучше использовать в периоды тренда, а когда на рынке не присутствует, они становятся абсолютно неэффективными. Поэтому до использования этих индикаторов необходимо провести отдельный анализ свойств конкретной валютной пары. В простейшем виде мы знаем несколько путей использования скользящего среднего.
Пример применения метода скользящей средней для разработки прогноза
m фев = (Уянв + Уфев + У март)/ 3 = (2,99+2,66+2,63)/3 = 2,76
Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.
Далее рассчитываем m для следующих трех периодов февраль, март, апрель.
m март = (Уфев + Умарт + Уапр)/ 3 = (2,66+2,63+2,56)/3 = 2,62
Далее по аналогии рассчитываем m для каждых трех рядом стоящих периодов и результаты заносим в таблицу.
Определяем скользящую среднюю m для октября.
m = (1,56+1,42+1,52) /3 = 1,5
Строим прогноз на декабрь.
У декабрь = 1,5 + 1/3 (1,52 – 1,42) = 1,53
Определяем скользящую среднюю m для ноября.
m = (1,42+1,52+1,53) /3 = 1,49
Строим прогноз на январь.
У январь = 1,49 + 1/3 (1,53 – 1,52) = 1,49
Заносим полученный результат в таблицу. t
y
u 1
u 2
S 1 =y
-u
2
S 2
S 3
S
T+E
=Y
-S
T
E
0,581
5,419
5,902
-0,483
4,4
6,100
-1,977
6,377
6,088
0,289
6,400
6,250
-1,250
-1,275
-1,294
-1,294
6,294
6,275
0,019
6,500
6,450
2,550
2,708
2,690
2,690
6,310
6,461
-0,151
7,2
6,750
6,625
0,575
0,600
0,581
0,581
6,619
6,648
-0,029
4,8
7,000
6,875
-2,075
-1,958
-1,977
-1,977
6,777
6,834
-0,057
7,200
7,100
-1,100
-1,294
7,294
7,020
0,273
7,400
7,300
2,700
2,690
7,310
7,207
0,104
7,500
7,450
0,550
0,581
7,419
7,393
0,026
5,6
7,750
7,625
-2,025
-1,977
7,577
7,580
-0,003
6,4
8,000
7,875
-1,475
-1,294
7,694
7,766
-0,072
8,250
8,125
2,875
2,690
8,310
7,952
0,358
8,400
8,325
0,675
0,581
8,419
8,139
0,280
6,6
8,350
8,375
-1,775
-1,977
8,577
8,325
0,252
Сумма
0,075
0,000
-1,294
8,294
8,512
-0,218
10,8
Среднее
0,019
0,000
2,690
8,110
8,698
-0,588
t
y
u
1
u
2
S
1
S
2
S
3
S
T
*E
=Y
/S
T
E
Eabs
0,914
78,804
87,792
0,898
-8,212
81,5
1,202
83,182
85,019
0,978
-2,208
81,25
1,108
1,088
1,082
1,082
83,153
82,245
1,011
0,982
0,800
0,806
0,802
0,802
79,819
79,472
1,004
0,278
76,5
77,75
0,900
0,918
0,914
0,914
76,615
76,699
0,999
-0,077
75,75
1,215
1,208
1,202
1,202
76,527
73,926
1,035
3,127
1,081
1,082
73,914
71,152
1,039
2,989
71,5
0,811
0,802
72,336
68,379
1,058
3,173
68,5
0,905
0,914
67,859
65,606
1,034
2,059
64,5
65,75
1,217
1,202
66,545
62,833
1,059
4,463
63,25
1,075
1,082
62,827
60,059
1,046
2,995
59,5
0,807
0,802
59,865
57,286
1,045
2,067
52,5
54,75
0,950
0,914
56,914
54,513
1,044
2,194
50,25
1,194
1,202
49,909
51,740
0,965
-2,201
Сумма
4,021
1,082
46,196
48,966
0,943
-2,998
Среднее
1,005
0,802
37,415
46,193
0,810
-7,038
t
y
переменных при решении задач эконометрики
