Решение выражений со степенью с рациональным показателем

Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .

Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .

Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.

Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:

F (x)+C , где С — любое действительное число.

Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .

Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».

f (x) dx — подынтегральное выражение,

f (x) — подынтегральная функция,

х — переменная интегрирования.

F (x) — первообразная для функции f (x) ,

С — некоторая постоянная величина.

Теперь рассмотренные примеры можно записать так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Что же означает знак d?

d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.

Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) После значка дифференциала d стоит х х , а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).

Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.

∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).

Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Вариант 1

а) f(x) = 3x – 1; б) f(x) = x5 + cos x; в) f(x) = 15x4 + 5.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 3x2 + 2x – 1, проходящую через точку А(-1;10).
3. Вычислите интеграл:
а) 23x2dx; б) -10x2+ 4x-1dx;
в) -223x3- 2xdx; г)-π3π2sinxdx.

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = 4х – х2 и осью Ох;
б) у = х2 + 2 и у = х + 4. Вариант 2
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 2 - x; б) f(x) = x4 - sin x; в) f(x) = 13x5 - 7.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 4x3 - 3x2 – 1, проходящую через точку А(2;-8).
3. Вычислите интеграл:
а) 23x3dx; б) 01x2- 2x+1dx;
в) -443x3+ 4xdx; г)-π6π2cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

а) у = 6х – х2 и осью Ох;
б) у = х2, у = 4 и осью Оу.
Вариант 3
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 8x – 3; б) f(x) = x6 - 2cos x; в) f(x) = 14x2 + 1.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 6x2 - 2x + 5, проходящую через точку А(-2;-20).
3. Вычислите интеграл:
а) 136x2dx; б) 022x3- x-1dx;
в) -10x2+ 2xdx; г)π6π2cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = 1 – х2 и осью Ох;
б) у = 4 + 3x - х2 и у = х + 1. Вариант 4
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 4x + 4; б) f(x) = x5 - 1cos2x; в) f(x) = 12x6 - 8.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 5x4 - 6x2 + 1, проходящую через точку А(-1;2).
3. Вычислите интеграл:
а) 01x4dx; б) -112x2- 5x-7dx;
в) -20-x2+ 3xdx; г)π4π21sin2xdx .
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – х2 + 3x и осью Ох;
б) у = 2х2 и у = 8.
Время выполнения 60 минут
Зачетная работа по теме «Первообразная. Интеграл»
Вариант 5
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 2x – 5; б) f(x) = x7 – 2sin x; в) f(x) = 15x3 + 2.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 6x2 - 4x + 1, проходящую через точку А(1;5).
3. Вычислите интеграл:
а) 142x2d ; б) -103x2- 4x+2dx;
в) -11x3+ 2xdx; г)0π4cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = 2х – х2 и осью Ох;
б) у = - х2 + 4 и у = 2 - х. Вариант 6
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 7x - 2; б) f(x) = 1sin2x + 5x4; в) f(x) = 13x3 - 9.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 7x6 + 4x – 8, проходящую через точку А(2;4).
3. Вычислите интеграл:
а) -11x2dx; б) -20x2+ 2x+1dx;
в) 02-x2+ 2xdx; г)0π41cos2xdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – х2 – 2x и осью Ох;
б) у = 6x - х2 и у = 5.
Вариант 7
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 2x2 + 3х; б) f(x) = x3 – 3sin x; в) f(x) = 12x3 + 4.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 4x - 3x2 + 1, проходящую через точку А(2;9).
3. Вычислите интеграл:
а) 12x4dx; б) -11x2- 5x-6dx;
в) 022x+x2+ 2dx; г)π2πsin xdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – 2х2 + 8 и осью Ох;
б) у = 3х2 + 1 и у = -х + 3. Вариант 8
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 3x2 - 4; б) f(x) = 1cos2x + 6x; в) f(x) = 13x2 – 7x.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 4x - x2 + 2, проходящую через точку А(1;9).
3. Вычислите интеграл:
а) 03x3dx; б) -20x2+ 5x+6dx;
в) 122x+x2+ x3dx; г)0π2cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – х2 + 3x и осью Ох;
б) у = 2х2 и у = 8.
Время выполнения 60 минут

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{5+3}{2}\cdot 3=12.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].

Показать решение

Решение

Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.

На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)

Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.

Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.

Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.

Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.

Что такое первообразная и как она считается

Мы знаем такую формулу:

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

Считается эта производная элементарно:

\[{f}"\left(x \right)={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]

Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:

\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]

Но мы можем записать и так, согласно определению производной:

\[{{x}^{2}}={{\left(\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]

А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:

Аналогично запишем и такое выражение:

Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:

\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]

Теперь мы можем сформулировать четкое определение.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Вопросы о первообразной функции

Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:

Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?

На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.

Решение задач со степенными функциями

\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]

Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:

\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]

Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:

\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]

Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:

\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]

Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.

Итак, что нам известно на данный момент:

Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
Для константы — $=const\to \cdot x$
Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$

А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.

Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.

Решение реальных задач

Задача № 1

Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:

Задача № 2

Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:

Мы разбили дробь на сумму двух дробей.

Посчитаем:

Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]

\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]

\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]

Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно

умножать (степени складываются);
делить (степени вычитаются);
умножать на константу;
и т.д.

Решение выражений со степенью с рациональным показателем

Пример № 1

Посчитаем каждый корень отдельно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:

Пример № 2

\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]

Следовательно, мы получим:

\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]

Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:

Пример № 3

Для начала заметим, что $\sqrt{x}$ мы уже считали:

\[\sqrt{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]

Перепишем:

Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

Вспомним формулу квадрата разности:

\[{{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]

Давайте перепишем нашу функцию:

Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:

\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]

Собираем все в общую конструкцию:

Задача № 2

В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:

\[{{\left(a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]

С учетом этого факта можно записать так:

Давайте немного преобразуем нашу функцию:

Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:

\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]

\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]

\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]

Запишем полученную конструкцию:

Задача № 3

Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:

\[\frac{{{\left(x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]

\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

Давайте напишем итоговое решение:

А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:

${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.

Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.

Еще раз переписываем наши конструкции:

В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.

Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:

И последняя:

И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.

Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой

Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?

Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.

Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.

Пример № 1

Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:

\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]

\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]

Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:

Эта функция должна проходить через точку $M\left(-1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left(x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:

Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:

Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:

Пример № 2

В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Исходная конструкция запишется следующим образом:

Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:

\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]

Выражаем $C$:

Осталось отобразить итоговое выражение:

Решение тригонометрических задач

В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.

Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.

Задача № 1

Вспомним следующую формулу:

\[{{\left(\text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

Исходя из этого, мы можем записать:

Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:

\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]

Перепишем выражение с учетом этого факта:

Задача № 2

Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.

Вспомним такую формулу:

\[{{\left(\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:

\[{{\left(-\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Вот наша конструкция

Подставим координаты точки $M$:

Итого запишем окончательную конструкцию:

Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.

Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!

Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k - некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1 . Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2 . Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4 . Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.