Решение уравнения Шрёдингера для водородного атома использует факт, что кулоновский потенциал является изотропным, то есть не зависит от направления в пространстве, другими словами обладает сферической симметрией. Хотя конечные волновые функции не обязательно сферически симметричны непосредственно, их зависимость от угловой координаты следуют полностью из этой изотропии основного потенциала: собственные значения оператора Гамильтона можно выбрать в виде собственных состояний оператора углового момента. Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Отсюда следует, что собственные состояния гамильтониана задаются двумя квантовыми числами углового момента l и m. Квантовое число углового момента l может принимать значения 0, 1, 2… и определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число может принимать m = −l, .., +l определяет проекцию углового момента на ось z.

В дополнение к математическим выражениям для волновых функций полного углового момента и проекции углового момента, нужно найти выражение для радиальной зависимости волновой функции. В потенциале 1/r радиальные волновые функции записываются с использованием полиномов Лагерра). Это приводит к третьему квантовому числу, которое называется основное квантовое число n и может принимать значения 1, 2, 3… Основное квантовое число в атоме водорода связано с полной энергией атома. Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничена основным квантовым числом: оно может изменяться только до n − 1, то есть l = 0, 1, …, n−1.

Из-за сохранения углового момента, состояния с тем же l, но различными m имеют ту же самую энергию. Однако, это — определенная особенность атома водорода и не верно для более сложных атомов, которые имеют потенциал, отличающийся от кулоновского.

Если мы примем во внимание спин электрона, то появится последнее квантовое число, проекция углового момента собственного вращения электрона на ось Z, которая может принимать два значения. Поэтому, любое собственное состояние электрона в водородном атоме описывается полностью четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это объясняет также, почему выбор оси Z для квантования направления вектора углового момента является несущественным: орбиталь для данных l и m ", полученных для другой выделенной оси Z ", всегда представляется как подходящая суперпозиция различных состояний с разными m, которые были получены для Z.

Рассмотрим сейчас решение уравнения Шредингера для атома водорода. Так как потенциальная функция электрона в атоме водорода имеет вид , где e — заряд электрона, r — радиус вектор, уравнение Шредингера запишется следующим образом:

Здесь ψ — волновая функция электрона в системе отсчёта протона, m — масса электрона, где , — постоянная Планка, E — полная энергия электрона, — оператор Лапласа. Так как потенциальная функция зависит от r, а не от координат по отдельности, удобно будет записать лапласиан в сферической системе координат. В ней он выглядит следующим образом:

И уравнение Шредингера в сферических координатах:

В этом уравнении ψ — функция трех переменных. Разделим его на три более простых уравнения. Для этого представим функцию ψ как произведение трех функций: ψ = RΘΦ. Эти функции будем обозначать просто R,Θ,Φ. Тогда

После подстановки значений частных производных в уравнение Шредингера получим:

Умножим уравнение на :

Второе слагаемое тут зависит только от . Перенесем его в правую часть равенства.

Равенство возможно, когда обе части равны какой-то постоянной величине. Обозначим ее . Следовательно,

Решением этого уравнения являются функции

Угол может изменяться от 0 до 2π. Функция Φ должна быть периодической с периодом 2π. Это возможно только если Таким образом, из решения уравнения Шредингера получаем значение одного из квантовых чисел. Число m l называется магнитным квантовым числом.

Разделим уравнение на sinθ:

После аналогичного вышеуказанному перенесению второго слагаемого в правую часть и обозначения величины, которой равны эти части, через β, получаем

Решение этих двух последних уравнений приводит к значениям и n соответственно. 3 квантовых числа в совокупности полностью описывают состояния электрона в атоме водорода.

Модуль полной энергии электрона в стационарном состоянии в атоме водорода обратно пропорционален n. Число n называется главным квантовым числом. Оно может иметь значения от 1 до . Его связь с энергией см. ниже.

Число называется азимутальным квантовым числом и определяет момент количества движения электрона и форму электронного облака; может иметь значения от 0 до n − 1.

Магнитное квантовое число m l определяет проекцию момента количества движения на выбранную ось в магнитном поле. Эта проекция равна .

Уравнение Шредингера для атома водорода

Показал, что электрон может вращаться вокруг ядра не по любым, а лишь по определенным квантовым орбитам

· показал, что всякое излучение либо поглощение энергии атомом связано с переходом между двумя стационарными состояниями и происходит дискретно с выделением или поглощением планковских квантов

Ввел понятие главного квантового числа для характеристики электрона. Рассчитал спектр атома водорода, показав полное совпадение расчетных данных с эмпирическими. Заложил (1921 г.) основы первой физической теории Периодической системы элементов, в которой связал периодичность свойств элементов с формированием электронных конфигураций атомов по мере увеличения заряда ядра. Обосновал подразделение групп периодической системы на главные и побочные. Впервые объяснил подобие свойств редкоземельных элементов. Внес значительный вклад в ядерную физику. Развил (1936 г.) теорию составного ядра и теории деления ядер (1939 г.). Член многих академий наук и научных обществ. Иностранный член АН СССР (с 1929 г.). Нобелевская премия по физике (1922 г.).

ЭЙНШТЕЙН (Einstein) Альберт (1879-1955), физик-теоретик, один из основателей совр. физики, ин.ч.-к. РАН (1922) и ин. поч. ч. АН СССР (1926). Род.в Германии, с 1893 жил в Швейцарии, с 1914 в Германии, в 1933 эмигрировал в США. Создал частную (1905) и общую (1907-16) теории относительности. Автор основополагающих тр. по квантовой теории света: ввел понятие фотона (1905), установил законы фотоэффекта, осн. закон фотохимии (закон Э.), предсказал (1917) индуцированное излучение. Развил статистич. теорию броуновского движения, заложив основы теории флуктуаций, создал квантовую статистику Бозе - Э. С 1933 работал над проблемами космологии и единой теории поля. В 30-е гг. выступал против фашизма, войны, в 40-е - против применения ядерного оружия. В 1940 подписал письмо президенту США, об опасности создания ядерного оружия в Германии, к-рое стимулировало амер. ядерные исследования.Нобелевская премия (1921), за тр. по теоретич. физике, особенно за открытие законов фотоэффекта

Луи де БРОЙЛЬ (Broglie) (15 августа 1892 г. - 19 марта 1987 г.)

Его отец носил титул герцога. Выросший в утонченной и привилегированной среде французской аристократии, юноша еще до поступления в лицей в Париже был увлечен различными науками. После периода интенсивных занятий он в 1913 г. получил ученую степень по физике. В Парижском университете.
Де Бройль первым понял, что если волны могут вести себя как частицы, то и частицы могут вести себя как волны. Он применил теорию Эйнштейна - Бора о дуализме волна-частица к материальным объектам.

В 1924 г. де Бройль представил свою работу "Исследования по квантовой теории" в качестве докторской диссертации. Его оппоненты и члены ученого совета были поражены, но настроены весьма скептически. Они рассматривали идеи де Бройля как теоретические измышления, лишенные эксперименталь-ной основы. Однако по настоянию Эйнштейна докторская степень ему все же была присуждена. На Эйнштейна работа де Бройля произвела большое впечатление, и он советовал многим физикам тщательно изучить ее. Эрвин Шредингер последовал совету Эйнштейна и положил идеи де Бройля в основу волновой механики, обобщившей квантовую теорию. В 1927 г. волновое поведение материи получило экспериментальное подтверждение.В 1928 г. он был назначен профессором теоретической физики Парижского университета.
В 1929 г. "за открытие волновой природы электронов " де Бройль был удостоен Нобелевской премии по физике. Представляя лауреата на церемонии награждения, член Шведской королевской академии наук К.В. Озеен заметил: "Исходя из предположения о том, что свет есть одновременно и волновое движение, и поток корпускул [частиц], де Бройль открыл совершенно новый аспект природы материи, о котором ранее никто не подозревал... Блестящая догадка де Бройля разрешила давний спор, установив, что не существует двух миров, один - света и волн, другой - материи и корпускул. Есть только один общий мир ".
В 1933 г. де Бройль был избран членом Французской академии наук, а в 1942 г. стал ее постоянным секретарем.

Де Бройль никогда не состоял в браке. Он любил совершать пешие прогулки, читать, предаваться размышлениям и играть в шахматы.

Вернер ГЕЙЗЕНБЕРГ (Heisenberg) (5.XII. 1901 - 1.II. 1976)

Немецкий физик Вернер-Карл Гейзенберг родился в Дуйсбурге в семье Августа Гейзенберга, профессора древнегреческого языка Мюнхенского университета.

В 1920 г. он поступил в Мюнхенский универ-ситет, где изучал физику под руководством знаменитого Арнольда Зоммерфельда.
Гейзенберг был выдающимся студентом и уже в 1923 г. защитил докторскую диссерта-цию. Она была посвящена некоторым аспектам квантовой теории. Наибольший интерес у Гейзенберга вызывалинерешен-ные проблемы строения атома и все возраставшее несоответствие модели, предложенной Бором, эксперименталь-ным и теоретическим данным. В 1925 г после приступа сенной лихорадки в порыве вдохновения увидел совершенно новый подход, позволяющий применить квантовую теорию к разрешению всех трудностей в модели Бора.
В 1927 г. Гейзенберг стал профессором теоретической физики Лейпцигского университета. В том же году он опубликовал работу, содержащую формули-ровкупринципа неопределенности . Даже теоретически электрону нельзя приписать одновременно абсолютно точно известную пространственную координату и абсолютно точно известную скорость.

В 1933 г. Гейзенбергу была вручена Нобелевская премия по физике 1932 г. В 1941 г был назначен профессором физики Берлинского университета и директором Физического института. Хотя он не был сторонником нацист-ского режима, он, тем не менее возглавил германский проект по атомным исследованиям. Гейзенберг надеялся получить ядерную энергию, но неком-петентность правительства, его недальновидность, создали настолько серьезные препятствия на пути исследований, что участники германского атомного проекта не смогли построить даже ядерный реактор.
После окончания войны Гейзенберг в числе других немецких физиков был взят в плен и интернирован в Великобританию. В Германию он вернулся в 1946 г. и занял пост профессора физики Геттингенского университета и директора Института Макса Планка. Исполняя эти высокие обязанности, Гейзенберг участвовал в программе получения ядерной энергии. Он был среди тех ученых, которые предупреждали мир об опасности ядерной войны.

Самым замечательным успехом в истории квантовой механики было объяснение всех деталей спектров простейших атомов, а также периодичностей, обнаруженных в таблице химических элементов. В этой главе в нашем курсе квантовой механики мы наконец-то подойдем к этому важнейшему достижению и расскажем об объяснении спектра атомов водорода. Кроме того, здесь мы расскажем и о качественном объяснении таинственных свойств химических элементов. Для этого мы подробно изучим поведение электрона в атоме водорода: в первую очередь мы рассчитаем его распределения в пространстве, следуя тем представлениям, которые были развиты в гл. 14.

Для полного описания атома водорода следовало бы учесть движения обеих частиц - как протона, так и электрона. В квантовой механике в этой задаче следуют классической идее об описании движения каждой из частиц по отношению к их центру тяжести. Однако мы не будем этого делать. Мы просто используем приближение, в котором протон считается очень тяжелым, настолько тяжелым, что он как бы закреплен в центре атома.

Мы сделаем еще и другое приближение: забудем, что у электрона имеется спин и что его надлежит описывать законами релятивистской механики. Это потребует внесения небольших поправок в наши выкладки, поскольку мы будем пользоваться нерелятивистским уравнением Шредингера и пренебрежем магнитными эффектами. Небольшие магнитные эффекты появляются из-за того, что протон с точки зрения электрона есть циркулирующий по кругу заряд, который создает магнитное поле. В этом поле энергия электрона будет различна, смотря по тому, направлен ли его спин вверх или вниз по полю. Энергия атома должна немного сдвинуться относительно той величины, которую мы вычислим. Но мы пренебрежем этим слабым сдвигом энергии, т. е. вообразим, что электрон в точности подобен волчку, движущемуся в пространстве по кругу и сохраняющему все время одинаковое направление спина. Поскольку речь будет идти о свободном атоме в пространстве, полный момент количества движения будет сохраняться. В нашем приближении будет считаться, что момент количества движения, вызываемый спином электрона, остается неизменным, так что оставшийся момент количества движения атома (то, что обычно называют «орбитальным» моментом количества движения) тоже не будет меняться. В очень хорошем приближении можно считать, что электрон движется в атоме водорода как частица без спина - его орбитальный момент количества движения постоянен.

В этих приближениях амплитуда того, что электрон будет обнаружен в том или ином месте пространства, может быть представлена как функция положения электрона в пространстве и времени. Обозначим амплитуду того, что электрон будет обнаружен в точке в момент через . Согласно квантовой механике, скорость изменения этой амплитуды со временем дается гамильтоновым оператором, действующим на ту же функцию. Из гл. 14 мы знаем, что

. (17.2)

Здесь - масса электрона, а - потенциальная энергия электрона в электростатическом поле протона. Считая на больших удалениях от протона , можно написать

Волновая функция должна тогда удовлетворять уравнению

. (17.3)

Мы хотим найти состояния с определенной энергией, поэтому попробуем поискать решения, которые бы имели вид

. (17.4)

Тогда функция должна быть решением уравнения

, (17.5)

где - некоторое постоянное число (энергия атома).

Раз потенциальная энергия зависит только от радиуса, то это уравнение лучше решать в полярных координатах. Лапласиан в прямоугольных координатах определялся так:

.

Вместо этого мы хотим воспользоваться координатами , , , изображенными на фиг. 17.1. Они связаны с , , формулами точки .

Рассмотрим теперь квантово-механическую теорию атомов. Она сохраняет некоторые аспекты старой теории Бора. Например, электроны могут находиться в атоме только в дискретных состояниях с определенной энергией; при переходе электрона из одного состояния в другое испускается или поглощается фотон. Согласно квантовой механике, не существует определенных круговых орбит электронов , как в теории Бора. В силу волновой природы электрон «размазан» в пространстве , подобно «облаку» отрицательного заряда .

Применим уравнение Шредингера к электрону, находящемуся в атоме водорода.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для водорода, а также водородоподобных систем сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1), определяется выражением (21.20)

и зависит только от r – расстояния между электроном и протоном, поэтому задачу с таким видом потенциальной энергии обычно решают в сферической системе координат. В общем случае волновая функция является функцией от всех координат и уравнение Шредингера будет иметь вид:

Электрон в атоме находится в потенциальной яме, края которой имеют форму гиперболы (рис.21.5).

Очевидно, что решение этой задачи должно быть подобно решению задачи, когда частица находилась в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме с прямоугольными краями.

Так как электрическое поле – центрально-симметрично, то для решения этого уравнения воспользуемся сферической системой с координатами (r , θ, φ),

Рис.21.5.

которые связаны с декартовыми координатами, как это следует из рис. 21.6, соотношениями: x = r sin θ cos φ; y = r sin θ sin φ; z = r cosθ .

Рис. 21.6

Подставив в (21.23) выражение оператора Лапласа в сферических координатах, получим уравнение Шредингера в следующем виде:

Строгое решение уравнения (21.22) в соответствии с теорией дифференциальных уравнений дает следующие результаты. Электрон в атоме обладает не произвольным значением энергии, а набором определенных отрицательных дискретных значений E n :

, (21.23)

где n – главное квантовое число , принимающее значения 1,2,3.…,∞. Из (21.23) следует, что именно главное квантовое число определяет энергию электрона в атоме: E n ~ . Выражение для значений энергий En (21.23) полностью совпадает с результатами теории Бора (19.15). Для атома водорода значение n = 1 соответствует основному состоянию электрона, значение n = ∞ – свободному электрону (E∞ = 0). Отрицательные значения энергии соответствуют связанному состоянию электрона, когда он находится внутри потенциальной ямы и имеет большие отрицательные значения потенциальной энергии (21.20). Положительными значениями энергии электрон обладает в свободном состоянии, когда он покидает пределы атома, и его энергетический спектр становится непрерывным, т.е. область E > 0 соответствует ионизированному атому.

Оказывается, что одному и тому же значению энергии электрона соответствует несколько различных состояний с разными волновыми функциями, соответствующими различным типам движения электрона. Эти типы движения различаются разными значениями орбитального момента импульса и его проекцией на физически выделенное направление Z , совпадающее с направлением вектора напряженности внешнего магнитного поля.

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции Ψn l m s , определяемые набором четырех квантовых чисел: главного n , орбитального l, магнитного m и спинового m s .

Момент импульса частицы относительно начала координат О (центр орбиты электрона на рис. 21.7) в классической механике определяется векторным произведением , где вектора и являются соответственно радиус-вектором частицы и ее импульсом.

Модуль магнитного момента тока, создаваемого движущимся по орбите электроном, равен . (21.26)

Здесь T – период обращения электрона по орбите, V – его скорость, I − орбитальный ток, S − площадь орбиты.

Магнитный момент обусловлен движением электрона по орбите,

вследствие чего называется орбитальным магнитным моментом электрона.

Электрон обладает массой m e , поэтому при движении по орбите он обладает моментом импульса , модуль которого . (6.25)

Вектор называюторбитальным механическим моментом электрона. Он образует с направлением движения электрона правовинтовую систему. Следовательно, направление векторов и противоположны (рис. 21.7).

Отношение магнитного момента элементарной частицы к ее механическому моменту называется орбитальным гиромагнитным отношением . Для электрона оно равно . (21.26)

Такая связь между векторами сохраняется и в теории Бора. Поскольку направления векторов и противоположны, . (21.27)

В квантовой механике модуль момента импульса движущейся микрочастицы определяется выражением:

(21.28)

Здесь – орбитальное квантовое число . Величина является дискретной (квантовой).

В квантовой механике строго доказывается (это следует из решения уравнения Шредингера), что проекция (L Z) вектора на направление вектора напряженности внешнего магнитного поля , совмещенного с осью Z, может принимать лишь целочисленные значения, кратные постоянной : Lz = mħ . (21.29)

Проекция любого вектора не может быть больше модуля этого вектора, т.е. . Поэтому в соответствии с выражениями (21.28) и (21.29) имеем:

, (21.30)

Следовательно, максимальное значение равно , тогда . При заданном число т принимает значений: , которые образуют спектр проекций на любую выделенную ось , т.е. вектор может принимать (2l + 1) ориентаций в пространстве (рис. 21.8).

Таким образом, квантовое число определяет как модуль момента импульса, так и все возможные значения его проекции на ось . На рис. 6.8 показаны возможные ориентации вектора и его проекции на выделенное направление магнитного поля. Например, когда орбитальное квантовое число (средний рисунок 6.8), то ; 0; .