В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенства, содержащие знак > или или - нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство " означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств . Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x .

Давайте обобщим полученные знания.
Допустим, необходимо решить систему неравенств: $\begin{cases}f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end{cases}$.
Тогда, интервал ($x_1; x_2$) – решение первого неравенства.
Интервал ($y_1; y_2$) – решение второго неравенства.
Решение системы неравенств – есть пересечение решений каждого неравенства.

Системы неравенств могут состоять из неравенств не только первого порядка, но и любых других видов неравенств.

Важные правила при решении систем неравенств.
Если одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Если одно из неравенств выполняется для любых значений переменой, то решением системы будет решение другого неравенства.

Примеры.
Решить систему неравенств:$\begin{cases}x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end{cases}$
Решение.
Решим каждое неравенство по отдельности.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.



Решим второе неравенство.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Решением неравенства будет промежуток.
Нарисуем оба промежутка на одной прямой и найдем пересечение.
Пересечение промежутков - отрезок (4; 6].
Ответ: (4;6].

Решить систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4 б) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end{cases}$.

Решение.
а) Первое неравенство имеет решение х>1.
Найдем дискриминант для второго неравенства.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Вспомним правило, когда одно из неравенств не имеет решений, то вся система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

Б) Первое неравенство имеет решение х>1.
Второе неравенство больше нуля при всех х. Тогда решение системы совпадает с решением первого неравенства.
Ответ: х>1.

Задачи на системы неравенств для самостоятельного решения

Решите системы неравенств:
а) $\begin{cases}4x-5>11\\2x-12 б) $\begin{cases}-3x+1>5\\3x-11 в) $\begin{cases}x^2-25 г) $\begin{cases}x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end{cases}$
д) $\begin{cases}x^2+36

Системой неравенств принято называть любую совокупность двух или более неравенств, содержащих неизвестную величину.

Наглядно данную формулировку иллюстрируют, к примеру, такие системы неравенств :

Решить систему неравенств - означает найти все значения неизвестной переменной, при которых реализуется каждое неравенство системы, либо обосновать, что таких не бывает.

Значит, для каждого отдельного неравенства системы вычисляем неизвестную переменную. Далее из получившихся значений выбирает только те, которые верны и для первого и для второго неравенства. Следовательно, при подстановке выбранного значения оба неравенства системы становятся правильными.

Разберем решение нескольких неравенств:

Разместим одну под другой пару числовых прямых; на верхнею нанесем величину x , при которых первое неравенств о (x > 1) становиться верным, а на нижней—величину х , которые являются решением второго неравенства (х > 4).

Сопоставив данные на числовых прямых , отметим, что решением для обоих неравенств будет х > 4. Ответ, х > 4.

Пример 2.

Вычисляя первое неравенство получаем -3х < -6, или x > 2, второе -х > -8, или х < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения х , при которых реализуется первое неравенство системы , а на нижнюю числовую прямую, все те значения х , при которых реализуется второе неравенство системы.

Сопоставив данные, получаем, что оба неравенства будут реализовываться при всех значениях х , размещенных от 2 до 8. Множеств значений х обозначаем двойным неравенством 2 < х < 8.

Пример 3. Найдем