Приближённое решение неравенств.

Графическое решение неравенств с одним неизвестным.

Графическое решение систем неравенств с двумя неизвестными.

Пересечение решений.

Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным , необходимо перенести все его члены в одну часть, т. e . привести к виду:

f ( x ) > 0 ,

и построить график функции y = f (x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции (см. ), которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x , внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b ( рис.30 ). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f (x ) > 0: x < a и x > b ( они выделены жирными стрелками ). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой: < , .

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т. e . привести неравенства к виду:

и построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) , ... , y = h ( x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т. e . их общую часть.

П р и м е р. Решить графически систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала построим графики функций y = - 2 / 3 x + 2 и

y = x 2 - 1 (рис.31):

Решением первого неравенства является интервал x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x < - 1 и x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:

1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т. e . привести

нера венства к виду:

2) построить графики функций, заданных неявно: f (x , y ) = 0 и g (x , y ) = 0;

3) каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части:

в одной из них неравенство справедливо, в другой – нет; чтобы решить

графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить

справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой

части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит

эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то

решением является противоположная часть плоскости ;

4) решением заданной системы неравенств является пересечение

(общая область) частей координатной плоскости.

П р и м е р. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала строим графики линейных функций: 5 x – 7 y = - 11 и

2 x + 3 y = 10 ( рис.32). Для каждой из них находим полуплоскость,

внутри которой соответствующее заданное неравенство

справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость

Неравенства в одной произвольной точке области; в данном

случае легче всего использовать для этого начало координат O (0, 0 ).

Подставляя его координаты в наши неравенства вместо x и y ,

Получим: 5 · 0 – 7 · 0 = 0 > - 11, следовательно, нижняя

полуплоскость (жёлтого цвета ) является решением первого

Неравенства; 2 · 0 + 3 · 0 = 0 < 10, поэтому второе неравенство

Имеет своим решением также нижнюю полуплоскость (голубого

цвета ). Пересечение этих полуплоскостей ( область цвета бирюзы )

является решением нашей системы неравенств.

Система состоит из неравенств от двух переменных:

Для решения системы необходимо:

1. Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.

2. Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.

3. Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.

4. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна. Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.

Пример 3. Решить графически систему:

Рассмотрим уравнения x + y–1 = 0 и –2x – 2y + 5 = 0, соответствующие неравенствам. Построим прямые, задающиеся этими уравнениями (Рис. 3).

Рисунок 3 – Изображение прямых

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x+ y– 1 ≤ 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.

Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.

Пример 4. Найти графически решения системы неравенств:

1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые (Рис. 4).

x + 2y– 2 = 0 x 2 0

y – x – 1 = 0 x 0 2

y + 2 = 0; y = –2.

Рисунок 4 – Изображение прямых

2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:

0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y– 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;

0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x– 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;

0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.


3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых

Таким образом, А(–3; –2), В(0; 1), С(6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы неограничена.

Пример 5. Решить графически систему

Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые (Рис. 5).

Рисунок 5 – Изображение прямых

x + y – 1 = 0 x 0 1

y – x – 1 = 0 x 0 –1

Определим знаки в полуплоскостях. Выберем точку (0; 0):

0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y – x – 1 ≤ 0 ниже прямой;

0 + 0 – 1 ≤ 0, т.е. x + y – 1 ≤ 0 ниже прямой.

Пересечением двух полуплоскостей является угол с вершиной в точке А(0;1). Эта неограниченная область является решением исходной системы неравенств.

Пусть f(x,y) и g(x, y) - два выражения с переменными х и у и областью определения Х . Тогда неравенства вида f(x, y) > g(x, y) или f(x, y) < g(x, y) называется неравенством с двумя переменными .


Значение переменных х, у из множества Х , при которых неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство - это значит найти множество таких пар.


Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства поставить в соответствие точку М(x, y) , получим множество точек на плоскости, задаваемое этим неравенством. Его называют графиком данного неравенства . График неравенства обычно является областью на плоскости.


Чтобы изобразить множество решений неравенства f(x, y) > g(x, y) , поступают следующим образом. Сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и находят линию, имеющую уравнение f(x,y) = g(x,y) . Эта линия делит плоскость на несколько частей. После этого достаточно взять в каждой части по одной точке и проверить, выполняется ли в этой точке неравенство f(x, y) > g(x, y) . Если оно выполняется в этой точке, то оно будет выполняться и во всей части, где лежит эта точка. Объединяя такие части, получаем множество решений.


Задача. y > x .


Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и построим в прямоугольной системе координат линию, имеющую уравнение y = x .


Эта линия делит плоскость на две части. После этого возьмем в каждой части по одной точке и проверим, выполняется ли в этой точке неравенство y > x .


Задача. Решить графически неравенство
х 2 + у 2 £ 25.
















Рис. 18.



Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и проведем линию х 2 + у 2 = 25. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Полученная окружность делит плоскость на две части. Проверяя выполнимость неравенства х 2 + у 2 £ 25 в каждой части, получаем, что графиком является множество точек окружности и части плоскости внутри окружности.

Пусть даны два неравенства f 1(x, y) > g 1(x, y) и f 2(x, y) > g 2(x, y) .

Системы совокупностей неравенств с двумя переменными

Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Решением системы является всякое значение (x, y) , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.


Совокупность неравенств представляет собой дизъюнкцию этих неравенств. Решением совокупности является всякое значение (x, y) , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.


Задача. Решить графически систему неравенств


Решение. у = х и х 2 + у 2 = 25. Решаем каждое неравенство системы.


Графиком системы будет множество точек плоскости, являющихся пересечением (двойная штриховка) множеств решений первого и второго неравенств.


Задача. Решить графически совокупность неравенств



















Решение. Сначала заменяем знак неравенства знаком равенства и проводим в одной системе координат линии у = х + 4 и х 2 + у 2 = 16. Решаем каждое неравенство совокупности. Графиком совокупности будет множество точек плоскости, являющихся объединением множеств решений первого и второго неравенств.

Упражнения для самостоятельной работы


1. Решите графически неравенства: а) у > 2x ; б) у < 2x + 3;


в) x 2 + y 2 > 9; г) x 2 + y 2 £ 4.


2. Решите графически системы неравенств:


а) в)

Теперь можно разбираться, как решаются линейные неравенства a·x+b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Основной способ их решения заключается в использовании равносильных преобразований, позволяющих прийти при a≠0 к элементарным неравенствам вида x

, ≥), p - некоторое число, которые и являются искомым решением, а при a=0 – к числовым неравенствам вида a

, ≥), из которых делается вывод о решении исходного неравенства. Его мы и разберем в первую очередь.

Также не помешает взглянуть на решение линейных неравенств с одной переменной и с других позиций. Поэтому, мы еще покажем, как можно решить линейное неравенство графически и методом интервалов.

Используя равносильные преобразования

Пусть нам нужно решить линейное неравенство a·x+b<0 (≤, >, ≥). Покажем, как это сделать, используя равносильные преобразования неравенства .

Подходы при этом различаются в зависимости от равенства или неравенства нулю коэффициента a при переменной x . Рассмотрим их по очереди. Причем при рассмотрении будем придерживаться схемы из трех пунктов: сначала будем давать суть процесса, дальше – алгоритм решения линейного неравенства, наконец, приводить решения характерных примеров.

Начнем с алгоритма решения линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 .

  • Во-первых, число b переносится в правую часть неравенства с противоположным знаком. Это позволяет перейти к равносильному неравенству a·x<−b (≤, >, ≥).
  • Во-вторых, проводится деление обеих частей полученного неравенства на отличное от нуля число a . При этом, если a – положительное число, то знак неравенства сохраняется, а если a - отрицательное число, то знак неравенства изменяется на противоположный. В результате получается элементарное неравенство, равносильное исходному линейному неравенству, оно и является ответом.

Остается разобраться с применением озвученного алгоритма на примерах. Рассмотрим, как с его помощью решаются линейные неравенства при a≠0 .

Пример.

Решите неравенство 3·x+12≤0 .

Решение.

Для данного линейного неравенства имеем a=3 и b=12 . Очевидно, коэффициент a при переменной x отличен от нуля. Воспользуемся соответствующим алгоритмом решения, приведенным выше.

Во-первых, переносим слагаемое 12 в правую часть неравенства, не забывая изменить его знак, то есть, в правой части окажется −12 . В результате приходим к равносильному неравенству 3·x≤−12 .

И, во-вторых, делим обе части полученного неравенства на 3 , так как 3 – число положительное, то знак неравенства не изменяем. Имеем (3·x):3≤(−12):3 , что то же самое x≤−4 .

Полученное элементарное неравенство x≤−4 равносильно исходному линейному неравенству и является его искомым решением.

Итак, решением линейного неравенства 3·x+12≤0 является любое действительное число, меньшее или равное минус четырем. Ответ можно записать и в виде числового промежутка , отвечающего неравенству x≤−4 , то есть, как (−∞, −4] .

Приобретя сноровку в работе с линейными неравенствами, их решения можно будет записывать кратко без пояснений. При этом сначала записывают исходное линейное неравенство, а ниже – равносильные ему неравенства, получающиеся на каждом шаге решения:
3·x+12≤0 ;
3·x≤−12 ;
x≤−4 .

Ответ:

x≤−4 или (−∞, −4] .

Пример.

Укажите все решения линейного неравенства −2,7·z>0 .

Решение.

Здесь коэффициент a при переменной z равен −2,7 . А коэффициент b отсутствует в явном виде, то есть, он равен нулю. Поэтому, первый шаг алгоритма решения линейного неравенства с одной переменной выполнять не нужно, так как перенос нуля из левой части в правую не изменит вид исходного неравенства.

Остается разделить обе части неравенства на −2,7 , не забыв изменить знак неравенства на противоположный, так как −2,7 – отрицательное число. Имеем (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7) , и дальше z<0 .

А теперь кратко:
−2,7·z>0 ;
z<0 .

Ответ:

z<0 или (−∞, 0) .

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Нам нужно решить линейное неравенство с коэффициентом a при переменной x , равным −5 , и с коэффициентом b , которому отвечает дробь −15/22 . Действуем по известной схеме: сначала переносим −15/22 в правую часть с противоположным знаком, после чего выполняем деление обеих частей неравенства на отрицательное число −5 , изменяя при этом знак неравенства:

В последнем переходе в правой части используется , затем выполняется .

Ответ:

Теперь переходим к случаю, когда a=0 . Принцип решения линейного неравенства a·x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

На чем это основано? Очень просто: на определении решения неравенства . Каким образом? Да вот каким: какое бы значение переменной x мы не подставили в исходное линейное неравенство, мы получим числовое неравенство вида b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Сформулируем приведенные рассуждения в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥) :

  • Рассматриваем числовое неравенство b<0 (≤, >, ≥) и
    • если оно верное, то решением исходного неравенства является любое число;
    • если же оно неверное, то исходное линейное неравенство не имеет решений.

А теперь разберемся с этим на примерах.

Пример.

Решите неравенство 0·x+7>0 .

Решение.

Для любого значения переменной x линейное неравенство 0·x+7>0 обратится в числовое неравенство 7>0 . Последнее неравенство верное, следовательно, любое число является решением исходного неравенства.

Ответ:

решением является любое число или (−∞, +∞) .

Пример.

Имеет ли решения линейное неравенство 0·x−12,7≥0 .

Решение.

Если подставить вместо переменной x любое число, то исходное неравенство обратиться в числовое неравенство −12,7≥0 , которое неверное. А это значит, что ни одно число не является решением линейного неравенства 0·x−12,7≥0 .

Ответ:

нет, не имеет.

В заключение этого пункта разберем решения двух линейных неравенств, оба коэффициента которых равны нулю.

Пример.

Какое из линейных неравенств 0·x+0>0 и 0·x+0≥0 не имеет решений, а какое – имеет бесконечно много решений?

Решение.

Если вместо переменной x подставить любое число, то первое неравенство примет вид 0>0 , а второе – 0≥0 . Первое из них неверное, а второе – верное. Следовательно, линейное неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений, а именно, его решением является любое число.

Ответ:

неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений.

Методом интервалов

Вообще, метод интервалов изучается в школьном курсе алгебры позже, чем проходится тема решение линейных неравенств с одной переменной. Но метод интервалов позволяет решать самые разные неравенства, в том числе и линейные. Поэтому, остановимся на нем.

Сразу заметим, что метод интервалов целесообразно применять для решения линейных неравенств с отличным от нуля коэффициентом при переменной x . В противном случае вывод о решении неравенства быстрее и удобнее сделать способом, разобранным в конце предыдущего пункта.

Метод интервалов подразумевает

  • введение функции, отвечающей левой части неравенства, в нашем случае – линейной функции y=a·x+b ,
  • нахождение ее нулей, которые разбивают область определения на промежутки,
  • определение знаков, которые имеют значения функции на этих промежутках, на основе которых делается вывод о решении линейного неравенства.

Соберем эти моменты в алгоритм , раскрывающий как решать линейные неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 методом интервалов:

  • Находятся нули функции y=a·x+b , для чего решается a·x+b=0 . Как известно, при a≠0 оно имеет единственный корень, который обозначим x 0 .
  • Строится , и на ней изображается точка с координатой x 0 . Причем, если решается строгое неравенство (со знаком < или >), то эту точку делают выколотой (с пустым центром), а если нестрогое (со знаком ≤ или ≥), то ставят обычную точку. Эта точка разбивает координатную прямую на два промежутка (−∞, x 0) и (x 0 , +∞) .
  • Определяются знаки функции y=a·x+b на этих промежутках. Для этого вычисляется значение этой функции в любой точке промежутка (−∞, x 0) , и знак этого значения и будет искомым знаком на промежутке (−∞, x 0) . Аналогично, знак на промежутке (x 0 , +∞) совпадает со знаком значения функции y=a·x+b в любой точке этого промежутка. Но можно обойтись без этих вычислений, а выводы о знаках сделать по значению коэффициента a : если a>0 , то на промежутках (−∞, x 0) и (x 0 , +∞) будут знаки − и + соответственно, а если a>0 , то + и −.
  • Если решается неравенство со знаками > или ≥, то ставится штриховка над промежутком со знаком плюс, а если решаются неравенства со знаками < или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Рассмотрим пример решения линейного неравенства методом интервалов.

Пример.

Решите неравенство −3·x+12>0 .

Решение.

Коль скоро мы разбираем метод интервалов, то им и воспользуемся. Согласно алгоритму, сначала находим корень уравнения −3·x+12=0 , −3·x=−12 , x=4 . Дальше изображаем координатную прямую и отмечаем на ней точку с координатой 4 , причем эту точку делаем выколотой, так как решаем строгое неравенство:

Теперь определяем знаки на промежутках. Для определения знака на промежутке (−∞, 4) можно вычислить значение функции y=−3·x+12 , например, при x=3 . Имеем −3·3+12=3>0 , значит, на этом промежутке знак +. Для определения знака на другом промежутке (4, +∞) можно вычислить значение функции y=−3·x+12 , к примеру, в точке x=5 . Имеем −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Так как мы решаем неравенство со знаком >, то изображаем штриховку над промежутком со знаком +, чертеж принимает вид

По полученному изображению делаем вывод, что искомым решением является (−∞, 4) или в другой записи x<4 .

Ответ:

(−∞, 4) или x<4 .

Графическим способом

Полезно иметь представление о геометрической интерпретации решения линейных неравенств с одной переменной. Чтобы его получить, давайте рассмотрим четыре линейных неравенства с одной и той же левой частью: 0,5·x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0 , их решениями являются соответственно x<2 , x≤2 , x>2 и x≥2 , а также изобразим график линейной функции y=0,5·x−1 .

Несложно заметить, что

  • решение неравенства 0,5·x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
  • решение неравенства 0,5·x−1≤0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 находится ниже оси Ox или совпадает с ней (другими словами, не выше оси абсцисс),
  • аналогично решение неравенства 0,5·x−1>0 есть промежуток, на котором график функции выше оси Ox (эта часть графика изображена красным цветом),
  • и решение неравенства 0,5·x−1≥0 является промежутком, на котором график функции выше или совпадает с осью абсцисс.

Графический способ решения неравенств , в частности линейных, и подразумевает нахождение промежутков, на которых график функции, соответствующей левой части неравенства, располагается выше, ниже, не ниже или не выше графика функции, соответствующей правой части неравенства. В нашем случае линейного неравенства функция, отвечающая левой части, есть y=a·x+b , а правой части – y=0 , совпадающая с осью Ox .

Учитывая приведенную информацию, несложно сформулировать алгоритм решения линейных неравенств графическим способом :

  • Строится график функции y=a·x+b (можно схематически) и
    • при решении неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
    • при решении неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, на котором график ниже или совпадает с осью Ox ,
    • при решении неравенства a·x+b>0 определяется промежуток, на котором график выше оси Ox ,
    • при решении неравенства a·x+b≥0 определяется промежуток, на котором график выше или совпадает с осью Ox .

Пример.

Решите неравенство графически.

Решение.

Построим эскиз графика линейной функции . Это прямая, которая убывает, так как коэффициент при x – отрицательный. Еще нам понадобится координата точки его пересечения с осью абсцисс, она является корнем уравнения , который равен . Для наших нужд можно даже не изображать ось Oy . Так наш схематический чертеж будет иметь такой вид

Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересует промежуток, на котором график функции выше оси Ox . Для наглядности выделим эту часть графика красным цветом, а чтобы легко определить соответствующий этой части промежуток, подсветим красным цветом часть координатной плоскости, в которой расположена выделенная часть графика, так, как на рисунке ниже:

Интересующий нас промежуток представляет собой часть оси Ox , оказавшуюся подсвеченной красным цветом. Очевидно, это открытый числовой луч . Это и есть искомое решение. Заметим, что если бы мы решали неравенство не со знаком >, а со знаком нестрогого неравенства ≥, то в ответ пришлось бы добавить , так как в этой точке график функции совпадает с осью Ox .y=0·x+7 , что то же самое y=7 , задает на координатной плоскости прямую, параллельную оси Ox и лежащую выше нее. Следовательно, неравенство 0·x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

А графиком функции y=0·x+0 , что то же самое y=0 , является прямая, совпадающая с осью Ox . Следовательно, решением неравенства 0·x+0≥0 является множество всех действительных чисел.

Ответ:

второе неравенство, его решением является любое действительное число.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Огромное количество неравенств с помощью равносильных преобразований можно заменить равносильным линейным неравенством, другими словами, свести к линейному неравенству. Такие неравенства называют неравенствами, сводящимися к линейным .

В школе почти одновременно с решением линейных неравенств рассматривают и несложные неравенства, сводящиеся к линейным. Они представляют собой частные случаи целых неравенств , а именно в их левой и правой части находятся целые выражения, которые представляют собой или линейные двучлены , или преобразуются к ним путем и . Для наглядности приведем несколько примеров таких неравенств: 5−2·x>0 , 7·(x−1)+3≤4·x−2+x , .

Неравенства, которые подобны по виду указанным выше, всегда можно свести к линейным. Это можно сделать путем раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, перестановки слагаемых местами и переноса слагаемых из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Например, чтобы свести неравенство 5−2·x>0 к линейному, достаточно переставить слагаемые в его левой части местами, имеем −2·x+5>0 . Для сведения второго неравенства 7·(x−1)+3≤4·x−2+x к линейному нужно немного больше действий: в левой части раскрываем скобки 7·x−7+3≤4·x−2+x , после этого приводим подобные слагаемые в обеих частях 7·x−4≤5·x−2 , дальше переносим слагаемые из правой части в левую 7·x−4−5·x+2≤0 , наконец, приводим подобные слагаемые в левой части 2·x−2≤0 . Подобным образом и третье неравенство можно свести к линейному неравенству.

Из-за того, что подобные неравенства всегда можно свести к линейным, некоторые авторы даже называют их тоже линейными. Но все же будем их считать сводящимися к линейным.

Теперь становится понятно, почему подобные неравенства рассматривают вместе с линейными неравенствами. Да и принцип их решения абсолютно такой же: выполняя равносильные преобразования, их можно привести к элементарным неравенствам, представляющим собой искомые решения.

Чтобы решить неравенство подобного вида можно его предварительно свести к линейному, после чего решить это линейное неравенство. Но рациональнее и удобнее поступать так:

  • после раскрытия скобок собрать все слагаемые с переменной в левой части неравенства, а все числа – в правой,
  • после чего привести подобные слагаемые,
  • а дальше – выполнить деление обеих частей полученного неравенства на коэффициент при x (если он, конечно, отличен от нуля). Это даст ответ.

Пример.

Решите неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1 .

Решение.

Сначала раскроем скобки, в результате придем к неравенству 5·x+15+x≤6·x−18+1 . Теперь приведем подобные слагаемые: 6·x+15≤6·x−17 . Дальше переносим слагаемые с левую часть, получаем 6·x+15−6·x+17≤0 , и снова приводим подобные слагаемые (что приводит нас к линейному неравенству 0·x+32≤0 ) и имеем 32≤0 . Так мы пришли к неверному числовому неравенству, откуда делаем вывод, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ:

нет решений.

В заключение отметим, что существует и масса других неравенств, сводящихся к линейным неравенствам, или к неравенствам рассмотренного выше вида. Например, решение показательного неравенства 5 2·x−1 ≥1 сводится к решению линейного неравенства 2·x−1≥0 . Но об этом будем говорить, разбирая решения неравенств соответствующего вида.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

График линейного или квадратного неравенства строится так же, как строится график любой функции (уравнения). Разница заключается в том, что неравенство подразумевает наличие множества решений, поэтому график неравенства представляет собой не просто точку на числовой прямой или линию на координатной плоскости. С помощью математических операций и знака неравенства можно определить множество решений неравенства.

Шаги

Графическое изображение линейного неравенства на числовой прямой

  1. Решите неравенство. Для этого изолируйте переменную при помощи тех же алгебраических приемов, которыми пользуетесь при решении любого уравнения. Помните, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число (или член), поменяйте знак неравенства на противоположный.

    • Например, дано неравенство 3 y + 9 > 12 {\displaystyle 3y+9>12} . Чтобы изолировать переменную, из обеих сторон неравенства вычтите 9, а затем обе стороны разделите на 3:
      3 y + 9 > 12 {\displaystyle 3y+9>12}
      3 y + 9 − 9 > 12 − 9 {\displaystyle 3y+9-9>12-9}
      3 y > 3 {\displaystyle 3y>3}
      3 y 3 > 3 3 {\displaystyle {\frac {3y}{3}}>{\frac {3}{3}}}
      y > 1 {\displaystyle y>1}
    • Неравенство должно иметь только одну переменную. Если неравенство имеет две переменные, график лучше строить на координатной плоскости.

  2. Нарисуйте числовую прямую. На числовой прямой отметьте найденное значение (переменная может быть меньше, больше или равна этому значению). Числовую прямую рисуйте соответствующей длины (длинную или короткую).

    • Например, если вы вычислили, что y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой отметьте значение 1.

  3. Нарисуйте кружок, обозначающий найденное значение. Если переменная меньше ( < {\displaystyle <} ) или больше ( > {\displaystyle >} ) этого значения, кружок не закрашивается, потому что множество решений не включает это значение. Если переменная меньше или равна ( ≤ {\displaystyle \leq } ) или больше или равна ( ≥ {\displaystyle \geq } ) этому значению, кружок закрашивается, потому что множество решений включает это значение.

    • y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой нарисуйте незакрашенный кружок в точке 1, потому что 1 не входит в множество решений.

  4. На числовой прямой заштрихуйте область, определяющую множество решений. Если переменная больше найденного значения, заштрихуйте область справа от него, потому что множество решений включает все значения, которые больше найденного. Если переменная меньше найденного значения, заштрихуйте область слева от него, потому что множество решений включает все значения, которые меньше найденного.

    • Например, если дано неравенство y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой заштрихуйте область справа от 1, потому что множество решений включает все значения больше 1.

    Графическое изображение линейного неравенства на координатной плоскости

    1. Решите неравенство (найдите значение y {\displaystyle y} ). Чтобы получить линейное уравнение, изолируйте переменную на левой стороне при помощи известных алгебраических методов. В правой части должна остаться переменная x {\displaystyle x} и, возможно, некоторая постоянная.

      • Например, дано неравенство 3 y + 9 > 9 x {\displaystyle 3y+9>9x} . Чтобы изолировать переменную y {\displaystyle y} , из обеих сторон неравенства вычтите 9, а затем обе стороны разделите на 3:
        3 y + 9 > 9 x {\displaystyle 3y+9>9x}
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 {\displaystyle 3y+9-9>9x-9}
        3 y > 9 x − 9 {\displaystyle 3y>9x-9}
        3 y 3 > 9 x − 9 3 {\displaystyle {\frac {3y}{3}}>{\frac {9x-9}{3}}}
        y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3}

    2. На координатной плоскости постройте график линейного уравнения. постройте график , как строите график любого линейного уравнения. Нанесите точку пересечения с осью Y, а затем при помощи углового коэффициента нанесите другие точки.

      • y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} постройте график уравнения y = 3 x − 3 {\displaystyle y=3x-3} . Точка пересечения с осью Y имеет координаты , а угловой коэффициент равен 3 (или 3 1 {\displaystyle {\frac {3}{1}}} ). Таким образом, сначала нанесите точку с координатами (0 , − 3) {\displaystyle (0,-3)} ; точка над точкой пересечения с осью Y имеет координаты (1 , 0) {\displaystyle (1,0)} ; точка под точкой пересечения с осью Y имеет координаты (− 1 , − 6) {\displaystyle (-1,-6)}

    3. Проведите прямую. Если неравенство строгое (включает знак < {\displaystyle <} или > {\displaystyle >} ), проведите пунктирную прямую, потому что множество решений не включает значения, лежащие на прямой. Если неравенство нестрогое (включает знак ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } ), проведите сплошную прямую, потому что множество решений включает значения, лежащие на прямой.

      • Например, в случае неравенства y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} проведите пунктирную прямую, потому что множество решений не включает значения, лежащие на прямой.

    4. Заштрихуйте соответствующую область. Если неравенство имеет вид y > m x + b {\displaystyle y>mx+b} , заштрихуйте область над прямой. Если неравенство имеет вид y < m x + b {\displaystyle y, заштрихуйте область под прямой.

      • Например, в случае неравенства y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} заштрихуйте область над прямой.

    Графическое изображение квадратного неравенства на координатной плоскости

    1. Определите, что данное неравенство является квадратным. Квадратное неравенство имеет вид a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} . Иногда неравенство не содержит переменную первого порядка ( x {\displaystyle x} ) и/или свободный член (постоянную), но обязательно включает переменную второго порядка ( x 2 {\displaystyle x^{2}} ). Переменные x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} должны быть изолированы на разных сторонах неравенства.

      • Например, нужно построить график неравенства y < x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

    2. На координатной плоскости постройте график. Для этого преобразуйте неравенство в уравнение и постройте график , как строите график любого квадратного уравнения. Помните, что график квадратного уравнения является параболой.

      • Например, в случае неравенства y < x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y постройте график квадратного уравнения y = x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y=x^{2}-10x+16} . Вершина параболы находится в точке (5 , − 9) {\displaystyle (5,-9)} , и парабола пересекает ось Х в точках (2 , 0) {\displaystyle (2,0)} и (8 , 0) {\displaystyle (8,0)} .