Голубоглазые красавицы воспеты поэтами и прозаиками многих стран. Это дар природы, который во все века был модным. Люди рождаются с цвета кожи, глаз и волос. Однако каждая женщина старается сделать свой имидж неповторимым, и обрести собственный, уникальный стиль. Но впечатление даже от таких чистых и светлых голубых глаз можно испортить неверно подобранными цветом волос, стрижкой или декоративной косметикой. Ошибка в одной из составляющих может напрочь перечеркнуть весь образ.
Светлые, практически белесые глаза, насыщенно синие, имеющие цвет аквамарина или серо-голубого неба перед грозой требуют к себе пристального внимания, и осторожного подбора цветов локонов и косметики.
Цвет нашей кожи, волос и глаз зависит от количества определенного пимента, входящего в состав тканей. Это обусловлено наследственной (генной) предрасположенностью каждого из людей. Поэтому у кого-то глаза карие, кто-то является счастливым обладателем зеленых глаз, а третьи (их большинство) – голубоглазые.
Цвет кожи и цвет глаз
От природы каждому человеку дается определенный цвет кожи. Она различается только по оттенкам. Их всего три: теплый, нейтральный и холодный. Определить ваш тип кожи не так уж и сложно. Рассмотрите свои руки и ноги внимательно. Если у вас до того тонкая кожа, что через нее видны мелкие венки, которые похожи на зеленоватую паутину, вы обладательница холодного типа. Если венозная сетка практически не видна, а лишь немного просвечивает легкой синевой – у вас теплый тон кожи. В том случае, когда вы не можете определить какого цвета венки, потому что в некоторых местах они синеватые, в других зеленые, у вас нейтральный (смешанный) тип кожи.
Для того, чтобы точно знать цвет своей кожи, а заодно и получить грамотные рекомендации по созданию собственного стиля, обратитесь к стилисту.
Он расставит все на места, и даст четкие указания, что изменить в себе, чтобы стать стильной и неповторимой.
Какой цвет волос подходит под голубые глаза?
Цвет волос можно подобрать не только к цвету глаз, но и соединить все эти показатели так, чтобы они только дополняли образ.
Голубоглазые девушки со светлой кожей холодного типа.
Холодный оттенок кожи лица подчеркнет палитра теплых тонов волос. К самым популярным из них относятся каштановый и медный. Розовая и нежная кожа больше подходит к рыжим волосам. Замечательно будут выглядеть красноватые тона в сочетании с такой кожей. Но для тех, у кого голубые глаза голубоватого оттенка холодной льдинки, яркие тона волос с красноватым оттенком нельзя использовать. Получится вульгарный образ. Лучше попробуйте краски с пепельными или платиновыми оттенками. Такие цвета подходят девушкам с ярко-голубым цветом глаз.
Теплая кожа светлых оттенков.
Волосы таким женщинам лучше красить в медовые, теплые оттенки. К ним относятся теплый каштан и орех. Для светлой кожи теплых тонов желательно поставить мягкий акцент с помощью темного приглушенного цвета волос. Прекрасно подойдет коричневый и цвет шоколада. Можете поэкспериментировать с золотисто-рыжими оттенками.
Девушки с голубыми глазами, теплой кожей оливкового оттенка.
Именно при этом сочетании можно использовать всю палитру холодных тонов, которые только представляет производители краски для волос. Для этих девушек лучше подойдет черный цвет волос. Голубоглазые дамы, у которых темный цвет волос от природы могут перекраситься в шоколадный или кофейный.
Теплые оттенки смуглой кожи в сочетании с голубыми глазами.
Для подобного типа девушек замечательно подойдут золотистые оттенки волос. Лучше всего выглядит подобное сочетание в комплексе с короткой стрижкой. Краску подбирайте ближе к бургундскому цвету или темных рыжеватых тонов. Обязательно следить за тем, чтобы волосы оставались темнее, чем оттенок кожи. При этом, черный цвет волос для такого типа девушек категорически противопоказан. Замечательного эффекта можно добиться, сделав мелирование или омбре в соответствующих оттенках цвета.
Кожа нейтрального оттенка голубоглазых девушек.
Для девушек с голубыми глазами и нейтральной кожей рекомендовано краситься в одной цветовой гамме. Выбирайте русые оттенки или все золотистые. в цвета на 1-2 оттенка темнее или светлее натурального цвета. Черная, как и все слишком темные краски выделят все недостатки кожи.
Особенно сильный акцент будет расставлен на морщинах, которые сразу выдадут ваш истинный возраст.
Игра контрастов
Теперь разберем сочетание и несоответствие между цветом глаз и выбранным цветом волос.
Голубоглазые девушки с темными волосами.
Удивительно нежное и неожиданное сочетание темных волос и голубых глаз всегда вызывает восхищение у окружающих. Природа умеет правильно выбрать сочетание, которое будет наиболее выгодным для этого человека. Голубоглазые люди с темно-каштановыми или черными волосами – настоящее чудо природы. Голубоглазым блондинкам осторожно нужно делать переход к более темным локонам. Вместо роковой красавицы вы превратитесь в вульгарную особу. Если у вас цвет волос ближе к шатенки и холодный тип кожи, можете попробовать окрасить волосы в тона на 1-2 единицы в сторону затемнения или осветления. Только обязательно используйте гамму холодных оттенков. Ярким блондинкам лучше не проводить подобных экспериментов.
Девушкам, имеющим крупные правильные черты лица, подойдет холодный оттенок каштанового. Если вы девушка с мелкими четкими чертами лица, не рискуйте с темными волосами. Из миловидной девушки вы превратитесь в грубоватый образец стандартной дамы с улицы. Вам желательно использовать светло-коричневые тона, мелкое мелирование, блондирование и омбре теплых оттенков шоколада. Эта же гамма цветов прекрасно подойдет девушкам со смуглой кожей ближе к оливковому.
Девушки с голубыми глазами и светлыми оттенками волос.
Ангелоподобные, воздушные и эфимерные девушки с голубыми глазами и светлыми волосами – настоящие красавицы, которыми пестрят . Именно они являются эталоном красоты европейской и русской девушки. Удачное сочетание дает природа, поэтому, если вы решили затемнить волосы, то делать это лучше не более, чем на 1 тон. Наиболее выгодно смотрится осветление.
Как правило, голубоглазые красотки относятся к холодному цветотипу «лето». Поэтому большинству из них пойдут холодные оттенки блонд. К ним относятся пепельный, платиновый, жемчужный, перламутровый. Следите за тем, чтобы контраст между цветом волос и бровей не был заметен. Если у вас четкие брови темноватого цвета, следует осветлять волосы не от самых корней, сделав мягкий переход между цветами.
Дамам, имеющим теплый тон кожи ближе к персиковому, ясные голубые глаза и от природы русые локоны, можно посоветовать нежные оттенки золотистого. Этот оттенок подчеркнет ясность голубых глаз.
Русые от природы волосы в сочетании с голубыми глазами лучше окрашивать в солнечные, яркие цвета. Голубоглазым брюнеткам с бледным лицом, желательно не перекрашиваться в золотистый блонд. Вы потеряете полностью свой шарм и очарование.
Голубоглазые огненные красавицы.
Неожиданное и удивительное сочетание рыжих волос и голубых, как небо глаз. Горячие оттенки рыжего поражают в сочетании с голубыми глазами и создают непривычный и незабываемый образ. Как правило, рыжеволосые красотки рождаются с зелеными или карими глазами. Рыжие оттенки сочетаются с фарфоровой кожей лица. Перекрашивать волосы в рыжий цвет рекомендуется девушкам, у которых от природы светлые волосы. Если вы родились с голубыми глазами, фарфоровой кожей и светлыми локонами, можете смело пробовать новый образ рыжеволосой красавицы.
Макияж для голубоглазых
Заключительный этап в формировании образа — правильный выбор декоративной косметики. Как правильно подобрать средства, которые подчеркнут вашу индивидуальность и не испортят впечатление от созданного образа.
Тени. Голубоглазым девушкам подходят тени следующих цветов:
Розовый (лучше выбирать нежные, пастельные тона);
Серебристый (не насыщенный цвет);
Золотистые;
Сиреневые;
Серо-коричневые;
Жемчужные или перламутровые;
Лавандовый.
Синий (даже ближе к ультрамарину);
Бирюзовый;
Броские розовые оттенки;
Фуксия;
Серовато-дымчатый.
Карандаш. Голубоглазым девушкам карандаши рекомендуется использовать следующих цветов:
Черный;
Серый;
Синий и голубой.
Тушь. С этим средством лучше не экспериментируйте. Воспользуйтесь угольно-черной тушью. Многие дамы полагают, что синяя, фиолетовая, серая тушь дополнит их образ. Поэкспериментируйте с ней, но старайтесь не использовать как единственное косметическое средство для создания образа. Кроме того, девушкам с теплым тоном кожи и темными волосами эти цвета вряд-ли подойдут.
Помада. Для девушек с голубыми глазами подойдет помада любых оттенков. Выбирайте ее в зависимости от типа кожи и цвета волос.
Экспериментируйте над собственным образом, пробуйте на себе оттенки и средства декоративной косметики. Это самое простое, что можно изменить в себе без ущерба для внешности.
Для того, чтобы подобрать цвет волос, обратитесь к стилистам. Они дадут вам рекомендации к правильному созданию образа. Пользуйтесь их советами, смотрите глянцевые женские журналы. Учитесь у звезд эстрады и кино. Их образ создается годами, и вы тоже так сможете, если будете внимательно относиться к себе.
Ваша внешность – визитная карточка, лоск которой зависит только от вас.
22 апреля 2014
4. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра
Часто встречаются задачи с параметрами, в которых требуется определить расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси. Опираясь на основные положения и обозначения предыдущего параграфа, рассмотрим следующие случаи:
1. Пусть задан квадратный трехчлен , где 
и точка m
на оси Ox
. Тогда оба коня 
квадратного трехчлена 
будут строго меньше m
или 
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 3.1 и 3.2.
2.Пусть задан квадратный трехчлен , где и точка m
на оси Ox
. Неравенство 
выполняется тога и только тогда, когда числа
a
и 
имеют разные знаки, то есть 
(рис. 4.1 и 4.2.)
3. Пусть задан квадратный трехчлен , где и точка m
на оси Ox
. Тогда оба коня 
квадратного трехчлена будут строго больше m
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
или 
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 5.1 и 5.2.
4. Пусть задан квадратный трехчлен , где и интервал (m , M ) Тогда оба корня квадратного трехчлена принадлежат указанному интервалу тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
или 
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 6.1 и 6.2.
5. Пусть задан квадратный трехчлен , где , - его корни и отрезок 
.
Отрезок лежит в интервале 
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 7.1 и 7.2.
Пример.
Найти все значения параметра
a
, при каждом из которых оба корня уравнения 
больше -2.
Решение. В условии задачи указано. Что уравнение имеет два корня, поэтому . Рассматриваемая ситуация описывается случаем 3 и изображена на рисунке 5.1. и 5.2.
Найдем , 
,
Учитывая все это, запишем совокупность двух систем:
или 
Решая эти две системы, получим .
Ответ. При каждом значении параметра a из промежутка оба корня уравнения больше -2.
Пример.
При каких значениях параметра
a
неравенство 
выполняется для любых 
?
Решение.
Если множество X
– решение данного неравенства, то условие задачи означает, что промежуток 
должен находиться внутри множества X
, то есть
.
Рассмотрим все возможные значения параметра а .
1.Если а=0
, то неравенство примет вид 
, и его решением будет промежуток 
. В этом случае условие выполняется и а=0
является решением задачи.
2.Если 
, то графиком правой части неравенства является квадратный трехчлен, ветви которого направлены вверх. Решение неравенства зависит от знака .
Рассмотри случай, когда 
. Тогда для того, чтобы для всех выполнялось неравенство , требуется, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа -1, то есть:
или 
Решив эту систему, получим 
.
Если 
, то парабола лежит выше оси О
x
, и решением неравенства будет любое число из множества действительных числе, в том числе, и промежуток . Найдем такие а
из условия:
или 
Решив эту систему, получим 
.
3.Если 
, то при 
решением неравенства является промежуток , который не может включать в себя промежуток , а при 
данное неравенство не имеет решений.
Объединяя все найденные значения а , получим ответ.
Ответ.
Для любого значения параметра из промежутка 
неравенство выполняется для любых .
Пример.
При каких значениях параметра а множество значений функции содержит отрезок 
?
Решение.
1. Если 
, то
а) при а = 1 функция примет вид y = 2, и множество ее значений состоит из единственной точки 2 и не содержит отрезок ;
б) при а =
-1 функция примет вид y
= -2
x
+2
. Ее множество значений 
содержит отрезок , значит а =
-1 является решением задачи.
2.Если 
, то ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы 
:
, 
.
Множество значений функции есть промежуток 
, который содержит отрезок 
, если выполняются условия:
.
3. Если 
, то ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы 
. Множество значений функции есть промежуток 
, который содержит отрезок , если выполняются условия: 
Решая эту систему неравенств, получим 
.
Объединяя решения, получим 
.
Ответ.
При 
множество значений функции содержит отрезок .
Задачи для самостоятельного решения
1. Не вычисляя корней квадратного уравнения 
, найти
а) 
, б) 
, в)
2. Найти множество значений функции
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
3. Решить уравнения
а) 
, б) 
4. При каких значениях параметра а
оба корня уравнения 
лежат на интервале (-5, 4)?
5. При каких значениях параметра а неравенство выполняется при всех значениях x ?
6. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции
На отрезке 
равно -1?
7. При каких значениях параметра а
уравнение 
имеет корни?
Карпова Ирина Викторовна
ПРОГРАММА И УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА по математике для учащихся 8-9 классов «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
Пояснительная записка
В настоящее время становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятносто-статистической базе.
Ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех – все это находится в сфере реальных интересов становления и саморазвития личности.
Все вышесказанное обусловливает необходимость знакомства ребенка с вероятностно-статистическими закономерностями.
Цель курса: познакомить учащихся с некоторыми теоретико-вероятностными закономерностями и статистическими методами обработки данных.
Задачи курса
Познакомить учащихся с основным понятийным аппаратом теории вероятностей.
Научить определять вероятность событий в классической схеме испытаний.
Познакомить с методами первичной обработки статистических данных.
Требования к уровню усвоения содержания курса
В результате освоения программы курса учащиеся должны знать:
основные понятия теории вероятностей: испытание, исход испытания, пространство элементарных событий, случайное, достоверное, невозможное события, совместные и несовместные события;
условия классической схемы испытаний и определение вероятности события в классической схеме испытаний;
определение относительной частоты появления события и статистической вероятности;
определение вариационного ряда и его основных числовых характеристик.
В процессе изучения курса учащиеся должны пробрести умения:
определять все возможные исходы испытания, совместность и несовместность событий;
решать теоретико-вероятностные задачи на вычисление вероятности в классической схеме испытаний;
вычислять относительную частоту появления события;
составлять статистическое распределение выборки и вычислять её числовые характеристики.
Программа предполагает развитие у учащихся навыков :
использования имеющихся алгоритмов и при необходимости их творческой переработки в конкретных условиях задачи;
самостоятельного решения задач;
использования при решении задач обобщенных схем, содержащих основные определения и формулы.
Объем курса: предлагаемый курс рассчитан на 20 часов
Тематическое планирование
Темы занятий | Количество часов |
|
Основные понятия теории вероятностей. | ||
Классическая схема испытаний. Определение вероятности в классической схеме испытаний. | ||
Частота абсолютная и относительная. | ||
Статистическое определение вероятности. | ||
Генеральная и выборочная совокупности. | ||
Статистическое распределение выборки. | ||
Числовые характеристики статистического распределения. | ||
Статистическое оценивание и прогноз. | ||
Текст пособия
Математику многие любят за её вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую вы решали на уроках математики, у всех получался один и тот же ответ – нужно было только не делать ошибок в решении.
Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными .
Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орёл» выпадет приблизительно в половине случаев, чего никак нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. Обратите внимание на слово «приблизительно» – закон не утверждает, что число «орлов» будет в точности 500 или окажется в промежутке от 490 до 510. Он вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – теория вероятностей.
Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, рулетка и даже колода карт. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее чистом виде, и первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш.
Современная теория вероятностей ушла от азартных игр так же далеко, как геометрия от задач землеустройства, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Поупражнявшись с рулеткой и кубиком, вы научитесь вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать решения не только в играх и лотереях.
Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.
В некотором смысле задачи математической статистики обратны задачам теории вероятностей: имея дело только с экспериментально полученными значениями случайных величин, статистика ставит своей целью выдвижение и проверку гипотез о распределении этих случайных величин и оценку параметров их распределения.
1. Случайные события. Как сравнивать события?
Как любой другой раздел математики, теория вероятностей имеет свой понятийный аппарат, который используется при формулировке определений, доказательстве теорем и выводе формул. Рассмотрим понятия, которые будем использовать при дальнейшем изложении теории.
Испытание – осуществление комплекса условий.
Исход испытания (элементарное событие) – любой результат который может произойти при проведении испытания.
Примеры.
1) Испытание:
Исходы испытания: ω 1 – на верхней грани кубика появилось одно очко;
ω 2 – на верхней грани кубика появилось два очка;
ω 3 – на верхней грани кубика появилось три очка;
ω 4 – на верхней грани кубика появилось четыре очка;
ω 5 – на верхней грани кубика появилось пять очков;
ω 6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков.
Всего возможно 6 исходов испытания (или 6 элементарных события).
2) Испытание: ученик сдает экзамен.
Исходы испытания: ω 1 – ученик получил двойку;
ω 2 – ученик получил тройку;
ω 3 – ученик получил четверку;
ω 4 – ученик получил пятерку.
Всего возможно 4 исхода испытания (или 4 элементарных события).
Замечание . Обозначение ω – является стандартным обозначением для элементарного события, в дальнейшем мы будем пользоваться этим обозначением.
Будем называть исходы данного испытания равновозможными , если исходы испытания имеют одинаковые шансы на появление.
Пространство элементарных событий – множество всех элементарных событий (исходов испытания), которые могут появиться при проведении испытания.
В примерах, которые мы рассмотрели выше, фактически были описаны пространства элементарных событий данных испытаний.
Замечание. Число точек в пространстве элементарных событий (ПЭС), т.е. число элементарных событий в дальнейшем будем обозначать буквой n .
Рассмотрим основное понятие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем.
Определение 1.1. Событием называется совокупность некоторого числа точек ПЭС.
События в дальнейшем мы будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С .
Определение 1.2. Событие, которое может произойти, а может и не произойти при проведении испытания, называется случайным событием.
Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить; на уроке Вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать и т.п. Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания.
Замечание. Любое элементарное событие так же является случайным событием.
Определение 1.3. Событие, которое происходит при любом исходе испытания, называется достоверным событием.
Определение 1.4. Событие, которое не может произойти ни при каком исходе испытания, называется невозможным событием.
Пример.
1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.
Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;
Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3;
Событие С: на верхней грани кубика выпало 7 очков;
Событие D: не верхней грани кубика выпало число очков меньшее 7.
События А и В могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания, поэтому это случайные события.
Событие С не может произойти никогда, поэтому оно является невозможным событием.
Событие D происходит при любом исходе испытания, значит это достоверное событие.
Мы говорили, что случайные события при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. При этом у одних случайных событий шансов произойти больше (значит, они более вероятные – ближе к достоверным), а у других меньше (они менее вероятные – ближе к невозможным). Поэтому в первом приближении можно определить вероятность, как степень возможности наступления того или иного события.
Понятно, что более вероятные события будут происходить чаще, чем менее вероятные. Так что сравнивать вероятности можно по частоте, с которой события происходят.
Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале следующие события в порядке возрастания вероятности их появления.
Событие А: в следующем году первый снег в Хабаровске выпадет в воскресенье;
Событие В: свалившийся со стола бутерброд упал маслом вниз;
Событие С: при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков;
Событие D: при подбрасывании игрального кубика выпадет четное число очков;
Событие Е: при подбрасывании игрального кубика выпало 7 очков;
Событие F: при подбрасывании игрального кубика выпадет число очков, меньшее 7.
Итак, в начальной точке нашей шкалы расположим невозможные события, так как степень возможности их наступления (вероятность) практически равна 0. Таким образом, это будет событие Е . В конечной точке нашей шкалы расположим достоверные событие – F . Все остальные события являются случайными, попробуем расположить их на шкале в порядке возрастания степени их появления. Для этого мы должны выяснить какие из них менее вероятные, а какие более вероятные. Начнем с события D : когда мы подбрасываем игральный кубик, каждая из 6 граней имеет равные шансы оказаться верхней. Четное число очков – на трёх гранях кубика, на трёх других – нечетное. Значит, ровно половина шансов (3 из 6) за то, что событие D произойдет. Поэтому расположим событие D в середине нашей шкалы.
У события С только один шанс из 6, в то время как у события D – три шанса из 6 (как мы выяснили). Поэтому С менее вероятно и будет расположено на шкале левее события D .
Событие А еще менее вероятно, чем С , ведь в недели 7 дней и в любой из них с равной вероятностью может выпасть первый снег, поэтому у события А один шанс из 7. Событие А , таким образом, будет расположено еще левее, чем событие С .
Труднее всего расположить на шкале событие В . Здесь нельзя точно подсчитать шансы, но можно призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд гораздо чаще падает на пол именно маслом вниз (есть даже «закон бутерброда»), поэтому событие В гораздо вероятнее, чем D , поэтому на шкале расположим его правее, чем D . Таким образом, получим шкалу:
Е А С D В F
невозможное случайные достоверное
Построенная вероятностная шкала не совсем настоящая – на ней нет числовых меток, делений. Перед нами встает задача научиться вычислять степень возможности наступления (вероятность) того или иного события.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное казённое учреждение
Ермоловская СОШ
Расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами
Выполнил Галкин Сергей Андреевич,
Ученик 9-го класса
Руководитель: Малей Н.И.,
Учитель математики
2013
Введение…………………………………………………….. 3
Основная часть. Расположение корней квадратного уравнения и примеры………………………………………..4-15
Проверка качества применимости изложенного материала..16
Заключение…………………………………………………….17
Литература …………………………………………………….18
Приложение ……………………………………………….......19
Цель:
Сформулировать и обосновать утверждения о расположении корней квадратного уравнения и показать применение полученных утверждений для решения задач с параметрами.
Задачи:
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Сформулировать утверждения и дать геометрическую интерпретацию
Введение
В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ в задачах повышенной сложности предлагаются задания по теме «Уравнения с параметрами»
Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения.
Рассмотрим два наиболее распространённых типа таких задач
1-ый тип задачи в которых изучается расположение корней относительно заданной точки.
2-ой тип задачи в которых исследуется расположение корней относительно числового промежутка
Утверждения о расположении корней квадратного уравнения
Пусть f(x)=ax 2 +bx+c имеет действительные корни x 1 и x 2 , а M – какое-нибудь действительное число, D=b 2 – 4ac.
Утверждение 1. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или |
Пример 1:
Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 меньше -1.
Решение:
Рассмотрим функцию y=x²+4ax+1(1-2a+4a²)
Ответ: (1; +∞).
Утверждение 2 . Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:
Пример 2:
Найти все значения параметра m , при каждом из которых один корень уравнения 2mx²-2x-3m-2=0 больше 1,а другой меньше 1.
Решение:
2mf(1)
2m(2m-2-3m-2)
2m²-8
2m(m+4)
m(m+4)>0
Ответ: (-∞; -4)U(0; + ∞).
Утверждение 3. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:
или |
Пример 3:
Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²-6ax+(2-2a+9a²)=0 больше 3
Решение: f(x)=x²-6ax+(2-2a+9a²)
Ответ: а>11/9
Утверждение 4. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M ) , т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно:
или |
Пример 4:
При каких значениях m корни уравнения 4x²-(3m+1)x-m-2=0 лежат в промежутке между -1 и 2?
Решение:
Ответ:(- ; ).
Утверждение 5 . Для того чтобы только больший корень квадратного уравнения лежал в интервале [ M , N ](M N ) , необходимо и достаточно:
(при этом меньший корень лежит вне отрезка ).
5.Найти все значения а, для которых при каждом x из промежутка (-3; -1] значение выражения
(задача С3 из ЕГЭ).
Решение:
1.Значения указанных выражений не равны друг другу тогда и только тогда,когда выполнено условие:
Обозначим t=x², тогда t²-8t-2 at.
t²-8t-at-2=t²-(a+8)t-2 0
f(t)=t²-(a+8)t-2 0
Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t)=0 не имело корней на промежутке , необходимо и достаточно:
(при этом больший корень лежит вне отрезка [ M , N ]) .
Утверждение 7 . Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M [ M , N ] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:
Пример 6:
Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x²+(a+1)x+3=0 лежал в интервале (-1; 3)
Решение:
Ответ: (-∞; -5)
Пример 7:
При каких значениях параметра а один корень уравнения x²-(3a+2)x+2a-1=0 меньше -1, а другой больше 2.
Решение:
Ответ: решений нет.
Проверка качества применимости изложенного материала
Проверочную работу выполняли четыре человека: три ученика 11 класса и один ученик 10 класс (задания см. в Приложении)
В результате анализа проверочной работы была выявлена необходимость совершенствования навыков решения задач на расположение корней квадратного уравнения
Заключение:
В процессе исследования были рассмотрены основные случаи расположения корней квадратного уравнения, приведены утверждения, к которым даны иллюстрации, помогающие понять, как выводятся эти утверждения. Данный материал облегчит понимание решений заданий, содержащих параметры о расположении корней квадратного уравнения. Он может быть использован для индивидуального обучения, а также на внеклассных и факультативных занятий по математике.
Литература:
1. Задачи с параметрами П.И. Горнштейн, .Б. Полонский, М.С. Якир
3. Рабочая тетрадь для подготовки к итоговой аттестации по математике в новой форме (Негосударственное образовательное учреждение «Интернациональные коммуникации»)
4. Школа решения задач с параметрами, авторы Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н.
Приложение
Задания:
- Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения 4x²+2(а-1)х-а²+а=0 меньше -1.
- Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения x²+(a-4)x-2a=0 больше 1
- При каких значениях параметра a оба корня уравнения x²-ax+2=0 больше 1, но меньше 3
Уравнения содержащие параметр.
Урок 2: Расположение корней квадратного уравнения в зависимости
от параметра.
Цель: Формировать умение распознавать положение параболы в
зависимости от ее коэффициентов.
I.
Объяснение нового материала.
Ход урока
Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в
частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно
формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие
различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на
числовой оси.
Рассмотрим пример: найдите все значения параметра с, при которых оба
меньше, чем – 1.
1
2). Теперь нужно
Уравнение имеет два различных корня при D > 0 (с >
составить систему уравнений когда х1>−1 и х2>−1 . Ее будет
достаточно сложно решить.
Для решения заданий такого типа существует специальный метод.
Сначала рассмотрим квадратичную функцию f(x) = ax2+bx+c,a≠0.
Запишем ее в виде f(x)=a(x+ b
2a)
Вспомним основные характеристики параболы, позволяющие построить ее
график. При решении заданий с параметрами эти характеристики
применяются в другом контексте.
+ 4ac−b2
4a
2
.
1. Прямая x=−b
2a – ось параболы, которая является одновременно
осью ее симметрии. Вершиной параболы является точка (
−b
2a
;4ac−b2
4a).
2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы: если а >
0, то вверх, если а < 0, то вниз.
3. Дискриминант D=b2−4ac показывает, пересекается ли парабола с
осью абсцисс.
Объединим вышесказанное в таблице:
Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от
знаков коэффициента а и дискриминанта.
а > 0
а < 0
D > 0
D = 0
D < 0
Утверждение 1: Оба корня меньше числа А, то есть х1 < А и х2 < А тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0
или { D>0,
a<0,
x0
Утверждение 2: Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1 <
А < х2 , тогда и только тогда, когда { a>0,
системы можно заменить формулой a⋅f(A)<0.
f(A)<0 или { a<0,
f(A)>0.
Эти две
Утверждение 3: Оба корня больше числа А, то есть х1 > А и х2 > А, тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0>A,
f(A)>0
или { D>0,
a<0,
x0>A,
f(A)<0.
Утверждение 4: Оба корня лежат между точками А и В, то есть А < х1 <
a<0,
А<х0<В,
f(A)<0,
f(В)<0.
a>0,
А<х0<В,
f(A)>0,
f(В)>0
В и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { D>0,
> х2 и А < х1 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
> х2 и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
или { D>0,
f(В)>0 или { a<0,
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)<0
f(A)>0,
f(В)<0.
f(A)<0,
f(В)>0.
f(A)<0,
Утверждение 5: Больший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 6: Меньший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 7: Корни лежат по разные стороны от отрезка
есть х1 < А < В < х2, тогда и только тогда, когда { a>0,
f(A)<0,
f(В)<0
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)>0.
[А;В]
, то
Вернемся к примеру1: найдите все значения параметра с, при которых оба
корня квадратного уравнения х2+4сх+(1−2с+4с2)=0 различны и
меньше, чем – 1. (Для решения необходимо воспользоваться утверждением
1.)
Пример 2: При каких действительных значениях k оба корня (в том числе
кратных) уравнения (1 + k)х2 – 3kх + 4k = 0 больше 1? (Для решения
необходимо воспользоваться утверждением 3.)
II. Закрепление пройденного материала. Практическая работа в
группах.
1 группа:
1. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2х2
1
2 х + (k – 3)(k + 5) = 0?
–
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0
лежат в интервале (0; 3)?
2 группа:
1. При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения х2
+
х + (k – 1)(k + 7) = 0?
2. Существуют ли такие значения параметра а, что корни уравнения х2 +
2х + а = 0 лежат между – 1 и 1?
3 группа:
1. Найдите множество значений параметра k, при число 2 находится
между корнями уравнения 9х2 – 6х – (k – 2)(k + 2) = 3.
2. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а – 1)х2 – (а +
1)х + а = 0 имеет единственное решение удовлетворяющее условию 0 <
x < 3?
III. Домашняя работа.
1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 4)х2 – 2(а +
2)х + 3(а + 6) = 0 положительны?
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 3)х2 – 3(а –
4)х + 4а – 16 = 0 принадлежат интервалу (2; 5)?
3. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 2ах2 – 2х –
3а – 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1?
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №15»
г. Мичуринска Тамбовской области
Урок по алгебре в 9классе
«Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от значений параметра»
Разработала
учитель математики 1 категории
Бортникова М.Б.
Мичуринск - наукоград 201 6 год
Урок рассчитан на 2 часа.
Дорогие ребята! Изучение многих физических и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса алгебры рассматривается только на немногочисленных факультативных или предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений с параметром.
Цели урока: 1. Расширить представление о квадратных уравнениях 2.Научить находить все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям. 3. Развивать интерес к предмету.
Ход урока:
1. Что такое параметр
Выражение вида
aх
2
+ bх + c
в школьном курсе алгебры называют квадратным трехчленом относительно
х,
где
a, b,
c – заданные действительные числа, причем,
a
=/= 0. Значения переменной х, при которых выражение обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение
aх
2
+ bх + c =
0.
Вспомним основные уравнения:
aх + b =
0;
aх2 + bх + c = 0.
При поиске их корней, значения переменных
a, b, c,
входящих в уравнение считаются фиксированными и заданными. Сами переменные называют параметром.
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
2. Основные типы и методы решения задач с параметрами
Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.
Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1 , (a – 2) х = a 2 – 4.
Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например.
a уравнение 4 х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых корни уравнения (a –
2)
х
2
–
2
aх + a +
3
=
0
положительные.
Основные способы решения задач с параметром: аналитический и графический.
Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.
Задача № 1
При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2 aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?
Решение
х
2
–
2
aх + a
2
–
1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два различных корня, а это возможно лишь при условии: Д > 0.
Имеем: Д = 4
a
2
– 2(а
2
– 1) = 4. Как видим дискриминант не зависит от а, следовательно, уравнение имеет два различных корня при любых значениях параметра а. Найдем корни уравнения:
х
1
=
а
+ 1,
х
2
=
а
– 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку (1; 5), т.е.
Итак, при 2 <
а
< 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)
Ответ: 2 <
а
< 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого типа возможен и рационален в тех случаях, когда дискриминант квадратного уравнения «хороший», т.е. является точным квадратом какого либо числа или выражения или корни уравнения можно найти по теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не представляют собой иррациональных выражений. В противном случае решения задач такого типа сопряжено с достаточно сложными процедурами с технической точки зрения. Да и решение иррациональных неравенств потребует от вас новых знаний.
Графический
– это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х;у) или (х;а). Наглядность и красота такого способа решения помогает найти быстрый путь решения задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются нулями соответствующей квадратичной функции: у =
х
2
– 2
ах
+
а
2
– 1. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Геометрическая модель, отвечающая всем требованиям задачи, выглядит так.
Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.
Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
Вершина параболы находится между вертикальными прямыми х = 1 и х = 5, следовательно абсцисса вершины параболы х о принадлежит промежутку (1; 5), т.е.
1 < х о < 5.Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.
Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.
Ответ: 2 < а < 4.
Как видно из примера, графический способ решения задач рассматриваемого типа возможен в случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат параметр под знаком радикала (в этом случае дискриминант уравнения не является полным квадратом).
Во втором способе решения мы работали с коэффициентами уравнения и областью значения функции
у
=
х
2
– 2
ах
+
а
2
– 1.
Такой способ решения нельзя назвать только графическим, т.к. здесь приходится решать систему неравенств. Скорее этот способ комбинированный: функционально-графический. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни квадратного трехчлена удовлетворяют заданным условиям в области определения при искомых значениях параметра.
А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?
Примеры решения задач
3. Исследование расположения корней квадратного трехчлена в зависимости от искомых значений параметра а.
Задача № 2.
При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения
х 2 – 4х – (а – 1)(а – 5) = 0 больше единицы?
Решение.
Рассмотрим функцию: у = х 2 – 4х – (а – 1)(а – 5)
Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх.
Схематично изобразим параболу (геометрическую модель задачи).
Теперь от построенной геометрической модели перейдем к аналитической, т.е. опишем эту геометрическую модель адекватной ей системой условий.
Имеются точки пересечения (или точка касания) параболы с осью х, следовательно, Д≥0, т.е. 16+4(а-1)(а-5)≥0.
Замечаем, что вершина параболы расположена в правой полуплоскости относительно прямой х=1, т.е. ее абсцисса больше 1, т.е. 2>1 (выполняется при всех значениях параметра а).
Замечаем, что у(1)>0, т.е. 1 – 4 – (а – 1)(а – 5)>0
В результате приходим к системе неравенств.
; 
Ответ: 2<а<4.
Задача № 3.
Х 2 + ах – 2 = 0 больше единицы?
Решение.
Рассмотрим функцию: у = -х 2 + ах – 2
Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены вниз. Изобразим геометрическую модель рассматриваемой задачи.
У(1)
Составим систему неравенств.
, решений нет
Ответ. Таких значений параметра а нет.
Условия задачи № 2 и № 3, в которых корни квадратного трехчлена больше некоторого числа при искомых значениях параметра а, сформулируем следующим образом.
Общий случай № 1.
При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена
f (х) = ах 2 + вх + с больше некоторого числа к, т.е. к<х 1 ≤х 2 .
Изобразим геометрическую модель данной задачи и запишем соответствующую систему неравенств.
Таблица 1. Модель – схема.
Задача № 4.
При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения
Х 2 +(а+1)х–2а(а–1) = 0 меньше единицы?
Решение.
Рассмотрим функцию: у = х 2 +(а+1)х–2а(а–1)
Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх. По условию задачи корни меньше 1, следовательно, парабола пересекает ось х (или касается оси х левее прямой х=1).
Схематично изобразим параболу (геометрическая модель задачи).
у(1)
От геометрической модели перейдем к аналитической.
Так как имеются точки пересечения параболы с осью ох, то Д≥0.
Вершина параболы находится левее прямой х=1, т.е. ее абсцисса х 0 <1.
Замечаем, что у(1)>0, т.е. 1+(а+1)-2а(а-1)>0.
Приходим к системе неравенств.
; 
Ответ: -0,5<а<2.
Общий случай № 2.
При каких значениях параметра а оба корня трехчлена f (х) = ах 2 + вх + с будут меньше некоторого числа к: х 1 ≤х 2 <к.
Геометрическая модель и соответствующая система неравенств представлена в таблице. Необходимо учитывать тот факт, что существуют задачи, где первый коэффициент квадратного трехчлена зависит от параметра а. И тогда ветви параболы могут быть направлены как вверх, так и вниз, в зависимости от значений параметра а. Этот факт будем учитывать при создании общей схемы.
Таблица № 2.
f(k)
Аналитическая модель
(система условий).
Аналитическая модель
(система условий).
Задача № 5.
При каких значениях параметра а 2 -2ах+а=0 принадлежат интервалу (0;3)?
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х) = х 2 -2ах+а.
Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх.
На рисунке представлена геометрическая модель рассматриваемой задачи.
У
У(0)
У(3)
0 х 1 х 0 х 1 3 х
От построенной геометрической модели перейдем к аналитической, т.е. опишем ее системой неравенств.
Имеются точки пересечения параболы с осью х (или точка касания), следовательно, Д≥0.
Вершина параболы находится между прямыми х=0 и х=3, т.е. абсцисса параболы х 0 принадлежит промежутку (0;3).
Замечаем, что у(0)>0, а также у(3)>0.
Приходим к системе.
; 
Ответ: а 
Общий случай № 3.
При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена принадлежат интервалу (k ; m ), т.е. k <х 1 ≤х 2 < m
Таблица № 3. Модель – схема.
f
(x
)
f (k )
f (m )
k х 1 х 0 х 2 m x
f(x)
0 k x 1 x 0 x 2 m
f(k)
f(m)
Аналитическая модель задачи
Аналитическая модель задачи
ЗАДАЧА № 6.
При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного уравнения х
2
+2ах+а=0 принадлежит интервалу Х
(0;3).
Решение.
2 -2ах+а
Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Пусть х 1 меньший корень квадратного трехчлена. По условию задачи х 1 принадлежит промежутку (0;3). Изобразим геометрическую модель задачи, отвечающую условиям задачи.
Y
(x
)
Y (0)
0 x 1 3 x 0 x 2 x
Y (3)
Перейдем к системе неравенств.
1) Замечаем, что у(0)>0 и у(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Следовательно, это условие записывать в систему неравенств не нужно.
Итак, получаем следующую систему неравенств:
Ответ: а >1,8.
Общий случай № 4.
При каких значениях параметра а меньший корень квадратного трехчлена принадлежит заданному интервалу (k ; m ), т.е. k <х 1 < m <х 2 .
Таблица № 4 . Модель – схема.
f(k)k x 1 0 m x 2
f(m)
F(x)
f(m)
k x 1 m x 2 x
f(k)
Аналитическая модель
Аналитическая модель
ЗАДАЧА № 7.
При каких значениях параметра а только больший корень квадратного уравнения х 2 +4х-(а+1)(а+5)=0 принадлежит промежутку [-1;0).
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 +4х-(а+1)(а+5).
Графиком является парабола. Ветви направлены вверх.
Изобразим геометрическую модель задачи. Пусть х 2 – больший корень уравнения. По условию задачи только больший корень принадлежит промежутку.
y (х)
y (0)
x 1 -1 х 2 0 х
y (-1)
Замечаем, что у(0)>0, а у(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.
Составим систему неравенств и решим ее.
Ответ: 
Общий случай № 5.
При каких значениях параметра а больший корень квадратного трехчлена принадлежит заданному интервалу (k ; m ), т.е. х 1 < k <х 2 < m .
Таблица № 5. Модель – схема.
f(x)
f(m)
0 x 1 k x 2 m x
f(k)
f(x)
f(k)
x 1 0 k x 2 m
f(m)
Аналитическая модель
Аналитическая модель
З АДАЧА № 8.
При каких значениях параметра а отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения х 2 -(2а+1)х+а-11=0?
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 -(2а+1)х+а-11
Графиком является парабола.
Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.
Y
(x
)
X 1 -1 0 3 x 2 x
Y (-1)
Y (3)
При этих условиях Д>0, так как ветви параболы направлены вверх.
Ответ: а 
Общий случай № 6.
При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена находятся вне заданного интервала (k ; m ), т.е. х 1 < k < m <х 2 .
х 2 -(2а+1)х+4-а=0 лежат по разные стороны числа от числа 3?
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 -(2а+1)х+4-а.
Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Изобразим геометрическую модель задачи.
X 1 3 x 2 x
Y (3)
Перейдем от геометрической модели к аналитической.
Замечаем, что у(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 автоматически. +вх+с меньше некоторого числа к: х 1 ≤ х 2 <к
3. При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена ах 2 +вх+с принадлежат интервалу (к,т) к<х 1 ≤х 2 <т
4. При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного трехчлена ах 2 +вх+с принадлежит заданному интервалу (к,т),т.е.к<х 1 <т<х 2
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
Корни квадратного уравнения х 2 -4х-(а-1)(а-5)=0, больше чем 1.
Ответ: 2<а<4
Корни квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0, меньше чем 1.
Ответ:
-0,5<а<2
Корни квадратного уравнения х 2 -2ах+а=0, принадлежат интервалу (0;3).
Ответ: 1≤а< 9 / 5
Только меньший корень уравнения х 2 -2ах+а=0, принадлежит интервалу (0;3).
Ответ: 1≤а< 9 / 5
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
Только больший корень уравнения х 2 +4х-(а+1)(а+5)=0, принадлежит промежутку [-1;0).
Ответ:(-5;-4]U[-2;-1)
Отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения х 2 -(2а+1)х+а-11=0.
Ответ:-1 <а<3
Корни квадратного уравнения х 2 -2(а+1)х+4-а=0, лежат по разные стороны от числа 3.
Ответ( 10 / 7 ;∞)
Спасибо за урок ребята!
