Несмотря на разговоры и слухи о скорой отмене единого государственного экзамена, этого не произойдет. По мнению министра образования Ольги Васильевой, письменные ответы хорошо зарекомендовали на практике, дают время на обдумывание, исключают волнение, неизбежное при устном ответе. Так называемое говорение применяется лишь при сдаче ЕГЭ по английскому языку в 2019 году, и то по желанию. Но нововведения происходят регулярно. Не станет исключением и 2019 год: изменения в ЕГЭ известны, хоть и не полностью.
Какие обязательные предметы входят в ЕГЭ 2019
Самый важный вопрос – сколько предметов сдавать на ЕГЭ в 2019 году – больше всего волнует школьников и родителей. Он имеет ответ уже сейчас. Утвержденный перечень из 14 дисциплин, по которым можно проверить знания, не претерпел изменений. Но формула сдачи итоговых экзаменов стала другой.
Новая формула 4 + 2 включает 4 обязательных предмета и 2 на выбор. То есть к непременному для всех ЕГЭ по русскому языку и математике в 2019 году прибавится ЕГЭ по истории и какой-либо из четырех предметов. Обсуждения продолжаются, единого мнения нет. Наиболее вероятными кандидатурами являются следующие дисциплины.
- Обществознание . Этот предмет чаще всего выбирают как дополнительный экзамен, поэтому ЕГЭ по обществознанию в 2019 году выглядит логичным.
- География . Без базовых знаний по этому предмету, по мнению экспертов, невозможно добиться карьерных высот, занять личности достойное место в обществе.
- Физика . За него ратуют представители технических вузов, но предмет слишком сложен для многих школьников, так что попасть в число обязательных у дисциплины невелики.
- Иностранный язык . Английский является языком международного общения, однако многие дети изучают французский или китайский, что ставит под сомнение подобный выбор.
Порядок сдачи экзамена
Вопрос о том, как будут сдавать ЕГЭ в 2019 году, до сих пор волнует школьников и их родителей. Между тем никаких изменений насчет порядка проведения аттестации не предусмотрено. Время остается прежним: 235 минут на литературу, математику, физику, 210 минут на русский язык, историю, обществознание, 180 минут на иностранный язык, биологию, химию.
Начало экзаменов запланировано на 10 часов по местному времени. По-прежнему важны баллы на ЕГЭ в 2019 году. Для аттестата важен минимальный балл, для поступления надо ознакомиться с проходным баллом для конкретного заведения. Ученики, сдавшие математику меньше чем на 27 баллов и русский язык меньше чем на 36 баллов, не могут подавать документы в вуз .
Пересдача допускается в случае неявки на экзамен по уважительной причине (например, болезни), при этом необходимо представить справку. Для повторной аттестации выделена резервная дата во время сессии, причем у каждого ученика есть две попытки. Количество тем для сочинения на ЕГЭ по литературе в 2019 году увеличено с трех до пяти, причем минимальная длина возросла до 250 слов.
Как подготовиться к аттестации
Почти все предметы, за исключением литературы и иностранного языка, сдаются по стандартному плану. Задания бывают трех типов. A – выбор одного варианта из 4 альтернатив. B – краткий ответ (число или слово). C – написание развернутого ответа. Типовые билеты широко демонстрируются в интернете, задачки за прошлый год открыты для свободного доступа.
Важное значение имеет психологическая подготовка ученика. Нередки случаи, когда дети излишне нервничают, вследствие чего подготовленные ученики получают оценки ниже, чем заслуживают. Во избежание этого при сдаче ЕГЭ родителям стоит вселить сыну или дочери уверенность в своих силах. На протяжении учебного года необходимо:
- Практиковаться в решениях вариантов типовых заданий по выбранным предметам.
- В случае затруднений организовать дополнительные занятия с педагогами.
- При слишком большой эмоциональности ребенка следует показать психологу.
- Заранее определиться с экзаменами на выбор, которым надо уделять повышенное внимание.
- Знакомиться с изменениями по ЕГЭ в 2019 году на официальном сайте Минобразования.
Ни пуха ни пера!
Сдача экзамена после 11 класса средней школы – великолепный шанс блеснуть знаниями даже не слишком прилежному ученику. Ничего страшного в сдаче ЕГЭ в 2019 году нет, важно ребенку и его родителям знать основные правила, о которых мы рассказали, и регулярно готовиться на практике. Наверстать пробелы в знаниях за месяц и даже за полгода невозможно. Но если уже с начала 10 класса определиться с предметами и планомерно посвящать несколько часов в неделю занятиям по выбранным дисциплинам, проблем быть не должно. Ни пуха ни пера всем школьникам!
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter .
ЕГЭ 2019: изменения, обязательные предметы
Изменения в сдаче ЕГЭ в 2019 году. Какие предметы являются обязательными. Что нужно знать о ЕГЭ в 2019 году школьникам и родителям.
Источник: news-and-life.com
ЕГЭ 2019 года: изменения и обязательные предметы экзамена
В России уже который год практикуется сдача обязательного единого экзамена для всех выпускников школы. Переход на неё был достаточно сложным и по сей день к такому подходу многие относятся негативно.
Тем не менее, ЕГЭ было и остаётся единственным вариантом для того, чтобы закончить школу и поступить в ВУЗ.
Из-за того, что подобная система является достаточно новой в России, условия её постоянно изменяются и дополняются.
А вокруг самого экзамена ходит бесконечное количество слухов. ЕГЭ является одной из самых обсуждаемых и волнующих тем как среди молодого поколения, которому предстоит пройти подобное испытание, так и среди их родителей.
Возможность отмены ЕГЭ
Как уже упоминалось выше, среди населения сложилось достаточно неоднозначное мнение по поводу данной меры. Нужно заметить, что такую практику ввели почти 10 лет назад, но многие по прежнему не могут к ней привыкнуть и не хотят привыкать.
Причинами, из-за которых люди требуют отмены ЕГЭ, называют следующие факторы:
- завышенная сложность экзамена;
- перенапряжение при подготовке и прохождении ЕГЭ среди школьников;
- сложность и дороговизна подготовки к экзамену.
Одними из самих ярых противников Единого государственного экзамена являются родители выпускников, на чьи плечи ложится огромная ответственность.
Ведь провалив испытание, можно потерять большое количество времени. Кроме того, подобный исход может быть очень серьёзным ударом по нервной системе школьников.
Также большой проблемой остаётся сложность экзаменов. В билетах выпускники сталкиваются с такими вопросами, которые практически не рассматривались в школьной программе.
Из-за этого возникает необходимость дополнительной подготовки. При этом, специалисты рекомендуют начинать её не в 11 классе, за год до испытаний, а заранее – хотя бы за пару лет. Естественно, что это отнимает много времени у школьников. У детей не остаётся времени на себя.
Учитывая время, которое они проводят в школе, а также часы, затраченные на выполнение домашнего задания, подростки и так не особо располагают свободным временем.
Добавляя к этому комплексу ещё и подготовку к экзамену, школьники рискуют получить физическое переутомление и нервные срывы.
Несмотря на всё это, чиновники наотрез отказываются от отмены ЕГЭ. По их словам, подобное испытание даёт максимально объективный результат, а также готовит выпускников к сложным программам ВУЗов.
Кроме того, увеличивается и конкуренция при поступлении, что также является хорошим результатом. Но ответственные люди также признают – ЕГЭ нуждается в дополнении и пересмотре некоторых условий. Поэтому практически каждый год условия его проведения меняются.
ЕГЭ в 2019 году: обязательные предметы и изменения
Несмотря на неоднозначное отношение к обязательным государственным экзаменам среди выпускников школ и их родителей, отмены ЕГЭ в 2019 году точно ожидать не стоит. Судя по тенденции, имевшей место в 2017 и 2018 годах, к выпускным испытаниям ученикам придется готовиться еще более качественно и начинать подготовку не в начале 11 класса, а гораздо раньше.
Если в 2018-2019 учебном году вам предстоит закончить школу и выбрать ВУЗ, настоятельно рекомендуем уже сегодня заинтересоваться такими вопросами, как:
Обязательные предметы
Хотя сегодня еще рано говорить о каких-либо окончательных решениях относительно итоговых испытаний, которые должны состояться в 2018-2019 учебном году, все же сотрудники Минобрнауки готовы слегка приоткрыть завесу таинственности. Нам удалось узнать, что в 2019 году в ЕГЭ точно появятся новые обязательные предметы.
Общее количество обязательных предметов пока не определено. Над этим работает команда специалистов, взвешивающих все ЗА и ПРОТИВ введения новых испытаний по тем или иным предметам.
К обязательным предметам (базовой либо профильной математике и русскому языку) в 2019 точно добавится история. В Минобрнауки акцентируют внимание на том, что каждый гражданин должен знать историю своей страны и уметь отличать исторические факты от профанаций и фейков, которые в последние годы стали появляться все чаще на фоне противостояния стран в информационном поле.
В качестве предмета по выбору выпускники смогут выбрать:
В списке доступных для сдачи иностранных языков будут присутствовать: английский, немецкий, французский, испанский и китайский.
Как и ранее, испытания для будущих абитуриентов начнутся еще в начале зимы написанием уже ставшего традиционным стартом выпускной кампании декабрьским сочинением.
Таким образом, уже сегодня, учась в 10-м классе, будущие выпускники должны определиться с тем, в каком направлении им хотелось бы продолжить обучение и определиться, сколько и каких предметов им для этого необходимо слать на ЕГЭ в 2019 году.
Нововведения и изменения в ЕГЭ 2019 года
Если верить обещаниям Васильевой, то кардинальных изменений в сезоне 2018-2019 года не будет. Нововведения, внедренные в 2017 и 2018 годах, отлично зарекомендовали себя, а потому сохранятся и в новых экзаменационных билетах.
Ожидаются такие важные изменения:
- Обязательная устная часть в ЕГЭ по русскому языку (экзамен будет разделен на два дня).
- Разработка новых КИМ по литературе, ориентированных на раскрытие творческого потенциала экзаменуемого.
- Добавление в билеты по математике так называемых «интегрированных задач», для решения которых ученикам необходимо будет аккумулировать знания из разных областей алгебры и геометрии.
- Экзамен по информатике будет проходить только с использованием ПК (без «бумажной» части).
- Ужесточение правил, направленных на обеспечение достоверности полученного результата.
Возможно для школьников, не достаточно ответственно подходивших к изучению отдельных предметов и осознавших недостаток знаний лишь перейдя в 11 класс, информация о том, сколько предметов предстоит сдавать на ЕГЭ в 2019 году, окажется пугающей. Но, целью таких нововведений является обеспечение конкурентных ВУЗов страны студентами, обладающими необходимым объемом знаний.
Больше о нововведениях, которые ожидаются в Едином Государственном Экзамене смотрите в интервью Ольги Васильевой.
Минимальные и проходные баллы
Выполняя задания ЕГЭ, выпускник набирает тестовые баллы, которые после преобразуются в итоговые результаты по определенной шкале. Произойдут ли изменения в таблице 2019 года пока не известно. Но, с высокой степенью вероятности можно утверждать, что останется система минимального и проходного балла.
- Минимальный балл – необходимое условие для получения документа об образовании. Набрать минимальный балл по предметам не сложно. Для этого достаточно владеть теорией и практикой на базовом уровне.
- Проходной балл – необходимое условие для вступления в выбранный выпускником ВУЗ. Информацию о проходных баллах для определенной специальности в интересующем университете стоит искать на официальном сайте учебного заведения.
Из хороших новостей можно выделить тот факт, что в 2019 году можно будет пересдать не только обязательные предметы, а и любой экзамен ЕГЭ. Но, только один!
Для выпускников прошлых лет, получивших неудовлетворительный результат а также для тех, кто «завалил» более 1 предмета или был уличен в нарушении дисциплины пересдач не будет.
Отмена ЕГЭ с 2019 года
Отмена ЕГЭ с 2019 года запланирована Государственной думой в связи с появлением законопроекта, направленным на отмену единого государственного экзамена в 2019 году на всей территории России. Желание распрощаться с уравнительной системой, причесывающей всех выпускников под одну гребенку, будоражит умы российской общественности уже много лет. Ректора всех университетов России вспоминают времена, когда абитуриенты сдавали вступительные экзамены по советской системе, с ностальгией, говоря о том, что система оценивания знаний, принятая в СССР, была на много эффективнее, а качество получаемых знаний гораздо выше.
Сегодняшняя ситуация, сложившаяся в сферах среднего и высшего образования, не дает возможности приемным комиссиям в российских вузах объективно оценивать знания абитуриентов и отсеивать слабых студентов еще на вступительном экзамене. С одной стороны, система ЕГЭ призвана уравнять шансы школьников на поступление в престижные ВУЗы, которые располагаются, как правило, в Москве и Санкт-Петербурге. С другой стороны, система контроля знаний, где всем процессом заправляет государство, дает большой простор для злоупотреблений со стороны чиновников. Вспомним, хотя бы, кавказский регион, где учащиеся средних школ уже много лет радуют нас абсолютной успеваемостью и набирают не менее 100 баллов на государственном экзамене. Выходит, что кавказским детям организованно стали доступны лучшие университеты страны, а более развитые и образованные ребята с других регионов, которые честно сдают экзамен не могут поступить в те ВУЗы, которые соответствуют их уровню знаний.
На Кавказе система оценивания знаний со стороны государства приняло совершенно панибратский характер. Там ставить неудовлетворительные оценки на ЕГЭ запрещено негласным указанием глав республик. Именно поэтому знающие люди стремятся отправить своих чад сдавать экзамены в Чечню, где шанс получить 100 баллов за ЕГЭ гораздо выше, чем в других регионах страны. Как следствие - подозрительно большое количество выходцев с Кавказа в самых престижных университетах России.
Отменят ли ЕГЭ, последние новости законодателей
В 2019 году может произойти отмена ЕГЭ, ведь совсем недавно в Государственную думу был внесен законопроект от фракции ЛДПР, который изобличает систему государственного контроля в области образования, вскрывая и аргументируя ее бесперспективность. Учитывая, что законодателям придется обсудить все «за» и «против» новой инициативы, отмена системы может быть реализована лишь к 2019 году. Аргументируя свою инициативу, авторы законопроекта отмены ЕГЭ указывают на невозможность самостоятельной подготовки школьника к экзамену. Родителям учеников уже в обязательном порядке приходится нанимать дорогостоящих репетиторов, услуги которых может себе позволить далеко не каждая семья.
Партия ЛДПР предлагает отменить ЕГЭ, как единый выпускной и вступительный экзамен. ЕГЭ предлагается заменить государственным выпускным экзаменом и отдельным вступительным экзаменом в ВУЗ, критерии оценивания знаний в котором предлагается формулировать администрации высших учебных заведений. По сути, отмена ЕГЭ с 2019 года - это возврат к опробованной и хорошо зарекомендовавшей себя советской системе оценки знаний, когда критерии поступления в университет диктовало не государство, а руководство ВУЗа. Вот, что говорят депутаты из ЛДПР о новом законопроекте:
Предлагается отменить ЕГЭ в качестве выпускного и вступительного в образовательные организации высшего образования. самостоятельная подготовка учащегося к ЕГЭ почти невозможна - для эффективной подготовки необходимо дополнительно нанимать репетиторов, услуги которых имеют высокую стоимость и непосильны для многих родителей.
Результаты и последствия отмены госэкзаменов
Последние новости ЕГЭ сводятся к тому, что инициатива депутатов предлагает снять с государственных структур ответственность за контроль знаний наших школьников и дать больше полномочий общественным организациям. Более того, разграничить выпускной экзамен в школе и вступительный тест в высшем учебном заведении. Главным следствием реализации этого закона станет освобождение ВУЗов от обязательного приема абитуриентов на первый курс на основе баллов, полученных на ЕГЭ. Каждый университет будет в праве устраивать приемные экзамены, где комиссия сможет более детально оценить знания выпускника и ставить акцент на тех абитуриентах, реальные знания которых полнее соответствуют профилю ВУЗа.
Иными словами, в институт будут попадать ребята, имеющие более профилированные знания. Внедрение нового закона о ЕГЭ будет иметь множество разносторонних последствий. С одной стороны, свобода ВУЗов в проведении вступительного тестирования даст возможность преподавателям самостоятельно отбирать более перспективных студентов для продолжения обучения в своих стенах. С другой стороны, новый подход к экзаменационным процедурам даст зеленый свет коррупционным проявлениям и преподаватели и члены экзаменационной комиссии начнут брать деньги за хорошие оценки абитуриентов на вступительных экзаменах.
Таким образом, пока сложно сказать, отменят ли ЕГЭ в 2019 году, но последние новости позволяют нам надеяться на перемены, которые избавят наших детей от государственного контроля в сфере образования. Однако, не стоит забывать о коррупции, которая, без надлежащего контроля, может вырасти в нашей стране до катастрофических масштабов. Есть ли разница родителям первокурсников куда нести свои деньги? Сейчас папы и мамы платят репетиторам за подготовку к ЕГЭ, а в дальнейшем понесут свои сбережения представителям экзаменационной комиссии за удовлетворительную оценку на вступительном экзамене в ВУЗ.
Отмена ЕГЭ с 2019 года
Отмена ЕГЭ с 2019 года, последние новости. Вопрос Отменят ли ЕГЭ в школах России, новый законопроект вступит в силу в 2019 году и отменит единый государственный экзамен в учебных заведениях…
Ответ: Гиперболи́ческие фу́нкции - семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.
Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом. Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций. Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями Например, гиперболические синус и косинус определяются как 
Производные этих функций имеют вид 
Гиперболические функции задаются следующими формулами: 1)гиперболический синус: 
(в зарубежной литературе обозначается sinx); 2)гиперболический косинус: 
(в зарубежной литературе обозначается cosx); 3)гиперболический тангенс: 
(в зарубежной литературе обозначается tanx); 4)гиперболический котангенс: 
; 5)гиперболические секанс и косеканс: 
Геометрическое определение: Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы При этом аргумент t=2S , где S - площадь криволинейного треугольника OQR , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом. Связь с тригонометрическими функциями: Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента. Аналитические свойства: Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности.
Таблица производной.
Ответ:
Таблица производных (которые в основном нам нужны): 
46)Производная функции – заданной параметрически.
Ответ:
Пусть задана зависимость двух переменных x и y от параметра t, изменяющегося в пределах от Пусть функция имеет обратную: 
Тогда мы можем, взяв композицию функций 
получить зависимость y от x: 
Зависимость величины y от величины x, заданной параметрически, можно выразить через производные функций поскольку и, по формуле производной обратной функции, 
где - значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение x. Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между снова выраженной в виде параметрической зависимости: 
второе из этих соотношений - то же, что участвовало в параметрическом задании функции y(x) . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра t. Покажем это на следующем примере. Пример 4.22: Пусть зависимость между x и y задана параметрически следующими формулами: Найдём уравнение касательной к графику зависимости y(x) в точке Значения получаются, если взять t=1. Найдём производные x и y по параметру t: Поэтому 
При t=1 получаем значение производной это значение задаёт угловой коэффициент k искомой касательной. Координаты 
точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково: Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости мы можем отыскать вторую производную функции y по переменной x: 
Справочные данные по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.
Определения гиперболических функций, их области определений и значений
sh x - гиперболический синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - гиперболический косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .
th x - гиперболический тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - гиперболический котангенс
X ≠ 0 ; y < -1 или y > +1 .
Графики гиперболических функций
График гиперболического синуса y = sh x
График гиперболического косинуса y = ch x
График гиперболического тангенса y = th x
График гиперболического котангенса y = cth x
Формулы с гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
sin
iz = i sh
z ; cos
iz = ch
z
sh
iz = i sin
z ; ch
iz = cos
z
tg
iz = i th
z ; ctg
iz = - i cth
z
th
iz = i tg
z ; cth
iz = - i ctg
z
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.
Четность
sh(-x) = - sh x
;
ch(-x) = ch x
.
th(-x) = - th x
;
cth(-x) = - cth x
.
Функция ch(x) - четная. Функции sh(x) , th(x) , cth(x) - нечетные.
Разность квадратов
ch 2 x - sh 2 x = 1 .
Формулы суммы и разности аргументов
sh(x ± y) = sh
x ch
y ± ch
x sh
y
,
ch(x ± y) = ch
x ch
y ± sh
x sh
y
,
,
,
sh 2
x = 2 sh
x ch
x
,
ch 2
x = ch 2
x + sh 2
x
= 2 ch 2
x - 1 = 1 + 2 sh 2
x
,
.
Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса
,
,
,
,
,
.
Формулы суммы и разности гиперболических функций
,
,
,
,
.
Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом
,
,
,
.
Производные
,
Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Разложения в ряды
sh x
ch x
th x
cth x
Обратные функции
Ареасинус
При - ∞ < x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Ареакосинус
При 1
≤ x < ∞
и 0
≤ y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Вторая ветвь ареакосинуса расположена при 1
≤ x < ∞
и - ∞ < y ≤ 0
:
.
Ареатангенс
При - 1
< x < 1
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Ареакотангенс
При - ∞ < x < - 1
или 1
< x < ∞
и y ≠ 0
имеют место формулы:
,
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Гиперболические функции встречаются в механике, электротехнике и других технических дисциплинах. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы для тригонометрических функций, кроме свойства ограниченности.
| № | Функция | Название | Производная  |
| 1. |  | гиперболический синус |  |
| 2. |  | гиперболический косинус |  |
| 3. |  | гиперболический тангенс |  |
| 4. |  | гиперболический котангенс |  |
Формулы для гиперболических функций
1. 
.
Доказательство. Рассмотрим искомую разность
. .
Доказательство. Рассмотрим произведение
.
Рассмотрим произведение 
.
Сложим два произведения и приведем подобные:
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
Ещё много других свойств гиперболических функций похожих на свойства тригонометрических функций, которые доказываются аналогично.
Докажем формулы для производных гиперболических функций.
1. Рассмотрим гиперболический синус 
.
При нахождении производной константу выносим за знак производной. Далее применяем свойство о производной разности двух функций и . Находим производную функции по таблице производных: 
. Производную функции ищем как производную сложной функции 
.
Поэтому, производная 
.
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: 
.
2. Рассмотрим гиперболический косинус .
Полностью применяем предыдущий алгоритм, только вместо свойства о производной разности двух функций и применяем свойство о производной суммы двух этих функций. 
.
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: 
.
3. Рассмотрим гиперболический тангенс .
Находим производную по правилу отыскания производной дроби.
4. Производную гиперболического котангенса
можно найти как производную сложной функции 
.
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: 
.
Дифференциал функции
Пусть функция 
– дифференцируема в точке , тогда её приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде
где – некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , которая является бесконечно малой при 
.
Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух бесконечно малых слагаемых 
и 
. Было показано, что второе слагаемое 
является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем т.е. (см. 8.1). Поэтому первое слагаемое 
является главной линейной частью приращения функции . В замечании 8.1. получена другая формула (8.1.1) для приращения функции , а именно: . (8.1.1)
Определение 8.3.Дифференциалом
функции в точке называется главная линейная частью её приращения, равная произведению производной 
в этой точке на произвольное приращение аргумента , и обозначается (или 
):
(8.4)
Дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка.
Под дифференциалом независимой переменной понимается любое, независящее от , число. Чаще всего, в качестве этого числа берётся приращение переменной , т.е. 
. Это согласуется с правилом(8.4) нахождения дифференциала функции
Рассмотрим функцию 
и найдем её дифференциал.
Т.к. производная 
. Таким образом, получили: 
и дифференциал функции можно находить по формуле
. (8.4.1)
Замечание 8.7.
Из формулу (8.4.1) следует, что. 
Таким образом, запись можно понимать не только как обозначение для производной 
, но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных.
8.7. Геометрический смысл дифференциала функции
Пусть к графику функции 
проведена (см. рис. 8.1) касательная . Точка 
находится на графике функции и имеет абсциссу – . Даем произвольное приращение , такое, чтобы точка 
не вышла из области определения функции .
Рисунок 8.1 Изображение графика функции
Точка имеет координаты 
. Отрезок 
. Точка лежит на касательной к графику функции и имеет абсциссу – . Из прямоугольного 
следует, что , где угол – угол между положительным направлением оси и касательной, проведенной к графику функции в точке . По определению дифференциала функции и геометрического смысла производной функции в точке , делаем вывод, что 
. Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции заключается в том, что дифференциал представляет собойприращение ординаты касательной к графику функции в точке .
Замечание 8.8.
Дифференциал и приращение для произвольной функции , вообще говоря, не равны между собой.В общем случае, разность между приращением и дифференциалом функции является бесконечно малой высшего порядка малости, чем приращение аргумента. Из определения 8.1следует, что 
, т.е. 
.
На рисунке 8.1точка лежит на графике функции и имеет координаты 
. Отрезок .
На рисунке 8.1 выполнено неравенство 
, т.е. 
. Но возможны случаи, когда справедливо противоположное неравенство 
. Это выполняется для линейной функции и для выпуклой вверх функции.
