Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \).
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$
Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .
Геометрический смысл производной
состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно
провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f"(a) \)
Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) .
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет
производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) \), т.е.
\(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально»
приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.
Например, для функции \(y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \).
Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Сформулируем его.
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.
Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .
Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \)
Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием
.
При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций»,
то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования
:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Таблица производных некоторых функций
$$ \left(\frac{1}{x} \right) " = -\frac{1}{x^2} $$ $$ (\sqrt{x}) " = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^{a-1} $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac{1}{x} $$ $$ (\log_a x)" = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text{tg} x)" = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ (\text{ctg} x)" = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ (\arcsin x)" = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\arccos x)" = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\text{arctg} x)" = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ (\text{arcctg} x)" = \frac{-1}{1+x^2} $$Представлен вывод производных первого порядка арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′. Для каждой из функций, вывод дан двумя способами.
Здесь мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса. Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.
Вывод производной арксинуса
Рассмотрим функцию арксинус от переменной x
:
y = arcsin
x
.
- 1
до + 1
:
.
- π/2
до + π/2
:
.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin
y
.
Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1)
.
Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
.
Здесь .
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2)
.
Здесь
y = arcsin
x
;
x = sin
y
.
Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x
.
Для этого заметим, что поскольку ,
то .
Тогда
.
Подставим в формулу (2):
.
Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
.
Второй способ
Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3)
.
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x
.
То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4)
.
Производную правой части находим из таблицы производных :
.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции :
.
Здесь .
Поскольку ,
то .
Поэтому
.
Тогда
.
Подставим в (4):
.
Отсюда
.
Вывод производной арккосинуса
Используя связь между арксинусом и арккосинусом
Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом :
.
Отсюда
.
По формуле производной обратной функции
Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.
Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos
x
.
Здесь независимая переменная x
может принимать значения от - 1
до + 1
:
.
Зависимая переменная y
может принимать значения от 0
до π
:
.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos
y
.
Применим формулу производной обратной функции:
(1)
.
Производная косинуса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x
и y
.
Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5)
.
Здесь
y = arccos
x
;
x = cos
y
.
Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x
.
Поскольку ,
то .
Тогда
.
Подставим в формулу (5):
.
Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
.
+ - сложение,
- - вычитание,
* - умножение,
/ - деление,
^ - возведение в степень.
Знак умножения нужно вводить только между числами, во всех остальных случаях его можно не вводить.
Список функций:
Функция | Описание | Пример ввода | Результат ввода |
---|---|---|---|
pi | Число \(\pi\) | pi | $$ \pi $$ |
e | Число \(e\) | e | $$ e $$ |
e^x | Степень числа \(e\) | e^(2x) | $$ e^{2x} $$ |
exp(x) | Степень числа \(e\) | exp(1/3) | $$ \sqrt{e} $$ |
|x|
abs(x) |
Модуль (абсолютное значение) числа \(x\) | |x-1|
abs(cos(x)) |
\(|x-1| \) \(|\cos(x)| \) |
sin(x) | Синус | sin(x-1) | $$ sin(x-1) $$ |
cos(x) | Косинус | 1/(cos(x))^2 | $$ \frac{1}{cos^2(x)} $$ |
tg(x) | Тангенс | x*tg(x) | $$ x \cdot tg(x) $$ |
ctg(x) | Котангенс | 3ctg(1/x) | $$ 3 ctg \left(\frac{1}{x} \right) $$ |
arcsin(x) | Арксинус | arcsin(x) | $$ arcsin(x) $$ |
arccos(x) | Арккосинус | arccos(x) | $$ arccos(x) $$ |
arctg(x) | Арктангенс | arctg(x) | $$ arctg(x) $$ |
arcctg(x) | Арккотангенс | arcctg(x) | $$ arcctg(x) $$ |
sqrt(x) | Квадратный корень | sqrt(1/x) | $$ \sqrt{\frac{1}{x}} $$ |
x^(1/n) | Корень произвольной числовой целой степени >= 2 x^(1/2) эквивалентно sqrt(x) |
(cos(x))^(1/3) | $$ \sqrt[\Large 3 \normalsize]{cos(x)} $$ |
ln(x) | Натуральный логарифм (основание - число e ) |
1/ln(3-x) | $$ \frac{1}{ln(3-x)} $$ |
log(a,x) | Логарифм x по основанию a | log(3,cos(x)) | $$ log_3(cos(x)) $$ |
sh(x) | Гиперболический синус | sh(x-1) | $$ sh(x-1) $$ |
ch(x) | Гиперболический косинус | ch(x) | $$ ch(x) $$ |
th(x) | Гиперболический тангенс | th(x) | $$ th(x) $$ |
cth(x) | Гиперболический котангенс | cth(x) | $$ cth(x) $$ |
Почему решение на английском языке?
При решении этой задачи используется большой и дорогой модуль одного "забугорного" сервиса. Решение он выдает в виде изображения и только на английском языке. Изменить это, к сожалению, нельзя. Ничего лучше мы найти не смогли. Зато он выводит подробное и очень качественное решение в том виде в котором оно принято в высших учебных заведениях . Единственное неудобство - на английском языке, но это не большая цена за качество.
Некоторые пояснения по выводу решения.Вывод | Перевод, пояснение |
---|---|
derivative | производная |
\(\large\frac{du}{dx}\) или \(\large\frac{d}{dx}u\) | Это производная функции \(u\) по переменной \(x\). В общеобразовательных школах чаще пишут "штрих": \(u"_x\) или просто \(u"\) |
\(\large\frac{de^u}{du}\) или \(\large\frac{d}{du}e^u\) | Это производная функции \(e^u\) по переменной \(u\). |
Express \(x^x\) as a power of \(e\) | Представим \(x^x\) как степень \(e\) |
Factor out constants | Выносим константы за знак дифференциала |
Simplify ... using the identity ... | Упрощаем... используя равенство... |
Using the chain rule | Используем правило дифференцирования сложной (дословно - "цепи") функции |
Using the product rule | Используем правило дифференцирования произведения |
Using the quotient rule | Используем правило дифференцирования частного (дроби) |
Using the power rule | Используем правило дифференцирования степени |
Differentiate the sum term by term | Дифференцируем сумму почленно |
The derivative of x is 1 | Производная x это 1 |
Simplify the expression | Упрощаем выражение |
Answer | Ответ |
\(log(x)\) | Натуральный логарифм, основание - число e. У нас пишут \(ln(x)\) |
\(arccos(x)\) или \(cos^{-1}(x)\) | Арккосинус. У нас пишут \(arccos(x) \) |
\(arcsin(x)\) или \(sin^{-1}(x)\) | Арксинус. У нас пишут \(arcsin(x) \) |
\(tan(x)\) | Тангенс. У нас пишут \(tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}\) |
\(arctan(x)\) или \(tan^{-1}(x)\) | Арктангенс. У нас пишут \(arctg(x)\) |
\(cot(x)\) | Котангенс. У нас пишут \(ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}\) |
\(arccot(x)\) или \(cot^{-1}(x)\) | Арккотангенс. У нас пишут \(arcctg(x)\) |
\(sec(x)\) | Секанс. У нас пишут также \(sec(x) = \frac{1}{cos(x)}\) |
\(csc(x)\) | Косеканс. У нас пишут \(cosec(x) = \frac{1}{sin(x)}\) |
\(cosh(x)\) | Гиперболический косинус. У нас пишут \(ch(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \) |
\(sinh(x)\) | Гиперболический синус. У нас пишут \(sh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \) |
\(tanh(x)\) | Гиперболический тангенс. У нас пишут \(th(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \) |
\(coth(x)\) | Гиперболический котангенс. У нас пишут \(cth(x) = \frac{1}{th(x)} \) |
Если вам что-то осталось не понятно обязательно напишите об этом в Обранной связи и мы дополним эту таблицу.