Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
На данном уроке будут рассмотрены различные способы разложения знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей. Фактически, мы вспомним те методы, которые уже были изучены ранее. Это и вынесение общего множителя за скобки, и группировка слагаемых, и применение формул сокращённого умножения, а также выделение полного квадрата. Все эти методы применяются при сложении и вычитании алгебраических дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы вспомним все вышеперечисленные правила, а также разберём примеры на применение этих правил.
Напомним, что алгебраической дробью называется выражение , где - многочлены. А многочлены можно и нужно уметь раскладывать на множители. Предположим, нам необходимо сложить или вычесть две алгебраические дроби: .
Каков алгоритм наших действий?
1. Сократить или упростить каждую из дробей.
2. Найти наименьший общий знаменатель двух дробей.
Эти действия требуют разложения на множители многочленов .
Рассмотрим несколько примеров на сокращение (упрощение) дробей.
Пример 1. Упростить: .
Решение:
Первое, что необходимо попытаться сделать при сокращении, - вынести общий множитель за скобки.
В нашем случае и в числителе, и в знаменателе есть множители, которые можно вынести за скобки.
.
Затем сократим общие множители числителя и знаменателя. Получим:
При этом учтём, что знаменатель дроби не может равняться . То есть: 
.
Ответ: .
Пример 2. Упростить: .
Решение:
По схеме решения предыдущего примера попытаемся вынести за скобки общий множитель. В числителе это сделать нельзя, а в знаменателе можно вынести за скобку .
Если не получается вынести общий множитель, нужно попробовать воспользоваться формулами сокращённого умножения. Действительно, в числителе стоит полный квадрат разности. Получаем:
.
Мы видим похожие скобки в числителе и знаменателе.
Однако они отличаются знаком.
Для этого воспользуемся равенством: . Отсюда получаем: . Получаем:
Ответ: .
Рассмотрим теперь пример, в котором необходимо упростить разность двух дробей.
Пример 3. Упростить: .
Решение:
Поскольку в знаменателе первой дроби стоит разность кубов, воспользуемся формулой сокращённой умножения. Получаем:
Ответ: .
Давайте вспомним: что же такое многочлен? - это сумма одночленов. А одночлен - это произведение степеней переменных и чисел.
Теперь перечислим и разберём примеры разложения многочленов на множители.
Способ 1. Вынесение общего множителя за скобки.
Пример 4. Разложить на множители: .
Пример 5. Разложить на множители: .
В последнем примере общий множитель - двучлен.
Способ 2. Группировка.
Пример 6. Разложить на множители: .
Решение:
Вынести общий множитель за скобки в этом примере не удаётся. В этом случае необходимо попробовать сгруппировать слагаемые, в которых есть общие множители.
В этом примере удобно сгруппировать одночлены, содержащие и . Получаем: . Мы видим, что выражения в скобках практически одинаковы с точностью до знака. Получаем: .
Ответ: .
Способ 3. Формулы сокращенного умножения.
Перечислим основные формулы сокращённого умножения:
1. - разность квадратов;
2. - квадрат суммы (разности);
3. - разность кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом суммы);
Сумма кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом разности).
Надо не только запомнить эти формулы, но и уметь находить и применять их в реальных задачах.
Пример 7. Разложить на множители: .
Пример 8. Разложить на множители: .
Решение:
Здесь напрашивается формула квадрата разности. Однако возникает вопрос: как применить эту формулу. Проще всего выделить квадраты, а затем уже найти удвоенное произведение. В данном примере: . То есть, в роли . Получаем: .
Ответ: .
Не стоит забывать, что в чистом виде данные методы применяются редко. Чаще используются комбинированные методы.
Способ 4. Выделение полного квадрата.
Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.
Пример 9. Разложить на множители: .
Решение:
Выделение полного квадрата обычно происходит по первым двум слагаемым. Действительно, квадрат первого - - у нас уже есть. Значит, второе слагаемое должно представлять собой удвоенное произведение первого выражения на второе. То есть: 
. Значит, если в роли из формулы квадрата разности выступает , то в роли должна выступать . Для применения этой формулы нам не хватает . Если чего-то не хватает, то можно добавить это выражение и вычесть, чтобы не менять значение выражения. Получаем.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
