Концепция решения тригонометрических уравнений.

  • Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.

  • Решение основных тригонометрических уравнений.

    • Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
    • sin x = a; cos x = a
    • tg x = a; ctg x = a
    • Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
    • Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
    • Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Ответ: х = π/4 + πn.
    • Пример 4. ctg 2x = 1,732.
    • Ответ: х = π/12 + πn.

  • Преобразования, используемые при решении тригонометрических уравнений.

    • Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
    • Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.

    • Нахождение углов по известным значениям функций.

      • Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
      • Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.

    • Отложите решение на единичной окружности.

      • Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
      • Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
      • Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.

    • Методы решения тригонометрических уравнений.

      • Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
        • Метод 1.
      • Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) - основные тригонометрические уравнения.
      • Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
      • 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
      • Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
      • Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x . (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
        • Метод 2.
      • Преобразуйте данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию. Затем замените эту тригонометрическую функцию на некоторую неизвестную, например, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.д.).
      • Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2π).
      • Решение. В данном уравнении замените (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (согласно тождеству). Преобразованное уравнение имеет вид:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замените sin х на t. Теперь уравнение имеет вид: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее два корня: t1 = -1 и t2 = 9/5. Второй корень t2 не удовлетворяет области значений функции (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Решение. Замените tg x на t. Перепишите исходное уравнение в следующем виде: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.

    • Запишите число, классная работа

    Какие морфемы изображены на слайде?

    Какой морфемы не хватает?

    Да, суффикс. А что делают суффиксы?

    Служат для образования новых слов

    Верно, они выполняют очень важную работу по образованию новых слов. А давайте мы поработаем вместе с суффиксами и образуем новые слова

    Образуйте имена прилагательные от данных существительных

    Что обозначают они?

    - (названий народностей, проживающих на территории России.)

    Попробуйте сформулировать тему урока

    Запишите тему урока

    « Различение на письме суффиксов прилагательных –к- и -ск- »

    Таким образом, цель нашего урока….

    Узнать, когда пишутся суффиксы прил. к и ск.

    Уметь различать на письме суффиксы прилагательных к и ск

    1. Какой вопрос у нас возникает?

    Определить, когда пишется -к, а когда -ск в суффиксах прил.;

    1. Планирование работы: как будем работать?

    1. Узнать, когда пишется к, когда - ск? Для этого проанализировать прилагательные, сравнить их, найти закономерность.

    2. После этого найденное решение зафиксировать в модели или схеме.

    3. Создать алгоритм действий.

    4. Закрепить алгоритм при выполнении упражнений.

    1. Для ответа на этот вопрос:

    Разберите все прилагательные, написанные на доске

    Сравните все три столбика

    Сделайте вывод.

    Вязкий казацкий французский

    Резкий ткацкий новосибирский

    Ломкий немецкий одесский

    На доске записаны слова в столбик, вам нужно выделить их основу и суффикс.

    С помощью каких суффиксов образовались эти слова?

    - – к- и –ск-.

    Какое лексическое значение имеют эти суффиксы?

    (суффикс К образует прил.со значением склонный к какому –нибудь действию, такой, что часто делает что-нибудь, или такой, с которым часто что-нибудь делается (топкий, цепкий);

    суффикс СК со значением отношения, свойственности или типической принадлежности тому, что названо; со значением чей-то (по географическому названию): голланд ск ий

    А как же их различить?

    Сегодня наша новая тема будет касаться двух разрядов прилагательных: качественных и относительных.

    Как определить разряд?

    Какие прилагательные могут быть в большей или меньшей степени и иметь краткую форму? (качественные)
    - Какие прилагательные не могут быть в большей или меньшей степени и иметь краткую форму? (относительные)
    - Попробуйте образовать краткую форму прилагательных первого столбика.

    Вязкий - вязок, резкий – резок, ломкий - ломок

    А от 2 и 3 столбика слов образуется краткая форма?

    Нет.

    Значит, это какие разряды прилаг.?

    Относительные

    Учитель: Вот это первая часть правила.

    Сделайте вывод:

    Суффикс -к- пишется в прилагательных (качественных),

    имеющих краткую форму.

    Переходим к словам во втором столбике.

    Это какие прилагательные по разряду?

    Относительные

    От каких существительных они образованы?

    Ученик: Каза к , тка ч и неме ц .

    (Подводящий диалог на случай, если дети не справятся:

    На какие согласные оканчиваются основы существительных, от которых образуются прилагательные с суфф. -К-?)

    Что происходит с конечным согласным основ существительных в процессе этого образования?

    Чередование к//ц, ч//ц

    Вторая часть правила: «Суффикс -к- пишется в относительных прилагательных, образованных от существительных с основой на -к, -ч, -ц».

    И какой разряд у прилагательных из 3 столбика?

    Относительные

    Там есть в основе слов буквы к, ч, ц?

    Нет

    Вывод:

    В остальных относительных прилагательных пишется суффикс -ск-.

    – Сколько в правиле условий выбора написания суффикса - к - и - ск -?

    Два

    Сформулируйте вывод, когда пишется суфф. -К-.

    Что вы можете сказать о написании суфф. -К-?

    При каких условиях употребляется суфф. -СК-?

    Суффикс -к- пишется:

    1)в прилагательных, имеющих краткую форму; (т.е. у качеств.)

    2) в прилагательных (относит.), образованных от некоторых существительных с основой на -к, -ч, -ц».

    В других прилагательных (относит.) пишется суффикс -ск-.

    Работа с учебником.

    Стечение согласных.

    – Представьте правило в виде модели или схемы

    К, Ц, Ч - К

    Др.согл. СК

    Алгоритм

    « Правописание суффиксов прилагательных - к- и -ск- »

    Разряд

    Качественное Относительное Притяжательное


    Отработка умения объяснения орфограммы по опоре с проговариванием.

    Задание № 1. Объяснить правописание суффиксов прилагательных -к- их -ск- с помощью алгоритма.

    (Орфограмму обозначить)

    1. Работа у доски. Развитие орфографических умений

    Упражнение 327

    ск

    Есть кр.форма

    От сущ. С основой на к, ч, ц

    Нет кр.формы,не от сущ. С основой на к, ч, ц

    Вязкий

    Немецкий, казацкий, турецкий

    Белорусский, киргизский, французский, индусский, одесский, матросский, украинский

    1. Работа на карточках со взаимопроверкой. От данных географических названий образуйте прилагательные с суффиксами –к- и –ск-.

    Франция, Исландия, Турция, Сибирь, Швеция

    Кавказ, Волгоград, Киргизия, Англия, Китай

    1. Работа в парах. Замена словосочетаний

    сущ.+сущ.= прил.+сущ.

    Для чего выполняем это задание?

    Профессия актера – актер ск ая профессия

    Дача соседа – сосед ск ая дача

    Высокий- (низКий)

    Широкий – (узКий)

    Цели:

    1. научить правильно образовать и употреблять в речи прилагательные с суффиксами -К-, -СК- ;
    2. научить отличать суффикс -К- от суффикса -СК-;
    3. обогатить словарный запас учащихся;
    4. воспитать чувство любви к играм бабушек и дедушек, вызвать интерес к ним.

    Ход урока

    I. Проверка домашнего задания.

    Учащиеся пишут письмо по памяти.

    II. Повторение пройденного.

    1) Лексическая работа. Задание: определить лексическое значение иноязычных прилагательных, подбирая к ним синонимы. Затем с любым прилагательным каждый ученик составит по одному предложению.

    Авангардный, инфекционный, флегматичный, активный, деликатный, аналогичный.

    Слова для справок:

    передовой, заразный, спокойный, деятельный, вежливый, похожий.

    2) Синтаксический разбор предложения

    Кони были вороные.
    Степная снежная пустыня однообразна и скучна.

    3) Образование имен прилагательных с суффиксами -ЧИВ-, -ОВАТ-, -ЛИВ-.

    Отзываться, разбирать, синий, хлопотать, серый, красный, молчать.

    III. Усвоение нового материала.

    1) Анализ примеров.

    – Сегодня на уроке мы продолжим изучение правил образования имен прилагательных с помощью суффиксов. А именно с помощью суффиксов -К-, -СК-. На письме учащиеся нередко смешивают суффиксы -К-, -СК-. Необходимо научиться отличать прилагательные с суффиксами -К- (низкий) от прилагательных с суффиксами -СК- (кавказский). Запишем в тетрадях и на доске прилагательные НИЗКИЙ, УЗБЕКСКИЙ, БЛИЗКИЙ . Образуйте их краткую форму (низок, узок, близок).

    – Когда же в именах прилагательных пишется суффикс -К-? (В качественных прилагательных пишется суффикс -К- (т.е. в прилагательных, если можно образовать краткую форму)).

    А теперь образуем прилагательные от существительных:

    Немец- немецкий, рыбак – рыбацкий, ткач – ткацкий.

    – Какие это прилагательные? На что оканчивается основа у существительных?

    – Что происходит в корне при образовании прилагательных? (чередование К//Ц, Ч//Ц)

    – При помощи какого суффикса образовались прилагательные?

    Вывод:

    1. К основе слов на -Ц присоединяется суффикс -К- при образовании прилагательных.
    2. В остальных прилагательных, чаще всего образованных от различных географических названий и названий лиц (московский, уральский, норвежский) , употребляется суффикс -СК-.

    IV. Закрепление материала.

    1. Задание: выделить суффиксы, согласовать с существительными .

    Турок – турецкий язык, ленинградские мосты, комсомольский, грузинский. Татарский, португальский, учительский, зрительский, резкий, чуткий, волжский, детский, китайский, ямщицкий.

    2. Выполнить упражнение 676. Выписать имена прилагательные суффиксами -СК-, разобрать по составу.

    3. Индивидуальная работа на доске . Задание: разобрать слова по составу

    а) русских, белорусский; б) удмуртские, калмыцких.

    4. Выполняется упражнение 677.

    V. Физкультминутка.

    VI. Чтение правила § 88 (стр.274)

    VII. Усвоение нового материала.

    Правописание буквы Ь перед суффиксом-СК-

    – После какой согласной в прилагательных с суффиксами -СК- пишется буква Ь?

    – Когда буква Ь не пишется?

    – Какое слово составляет исключение?

    VIII. Закрепление правила.

    1. Выполняется упражнение 678, 679.

    2. Диктант с цифровыми (или буквенными) обозначениями. Задание: Вместо прилагательных записать цифры (или буквы):

    -ЬСК- обозначаем цифрой 1 (или буквой А);
    -СК- обозначаем цифрой 2 (или буквой Б).
    -К- обозначаем цифрой 3 (или буквой В);

    1. Вечер был ясный, тихий и свежий, как обыкновенно декабрьские вечера на Кавказе.
    2. Мы охотились на озере Орса, где было всего несколько сантиметров чистой воды, а под ней лежал бездонный вязкий ил.
    3. Был ясный январский день, всюду сверкало серебряное солнце.
    4. Слетались птицы со всех сторон земли: французские синицы, бельгийские щеглы, норвежские гагары, голландские нырки.
    5. Узкие улицы быстро наполняются людьми.
    6. Армия прорвала немецкую оборону и всеми силами вошла в прорыв, расчищая путь советским войскам, перешедшим в наступление.
    7. Бенгальские огни зажигаются в новогоднюю ночь.

    Ключ к заданию : 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 1. (АВБББББВВБА)

    IX. Итог урока .

    – Что нового узнали на уроке?

    – Когда в прилагательных пишется –К-, -СК-?

    X. Домашняя работа .

    – О каких играх чувашского народа вы знаете? Поинтересуйтесь о них у бабушек и дедушек. Запишите ход игры.

    Например, игра «Сельский хоровод».

    У чувашского народа есть удивительная игра «Сельский хоровод», по-чувашски это звучит «Вайа карти». В старые, давние времена, красные девицы и добрые молодцы собирались после вечерних работ на центральной улице деревень или на широком лугу. Здесь с праздника святой Троицы и до Петрова дня (12 июля) сельская молодежь начинала

    свой культурный отдых, водила хоровод. Хоровод – народная игра – движение людей по кругу с пением и пляской, а также вообще кольцо взявшихся за руки людей – участников какой-то игры, танца.

    Сельская молодежь веселилась, радовалась жизни.

    Класс : 6

    Предмет : русский язык

    Тема урока: « Правописание суффиксов К и СК в именах прилагательных »

    Цели урока:

    1. Образовательные: познакомить учащихся с условиями выбора орфограммы «Правописание суффиксов прилагательных».

    2. Практические : совершенствовать умения писать слова с изученной орфограммой; формировать орфографическую зоркость.

    3. Воспитательные: воспитывать чувство уважения и любви к Родине.

    4. Развивающие: обогащать словарный запас учащихся; обучать сравнению, умению выделять главное, систематизировать, объяснять понятия; развивать творческие способности учащихся.

    Тип урока: урок изучения новых знаний и способов действий

    Планируемые результаты:

    познавательные УУД: самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной форме, выбор наиболее эффективных способов решения задач, структурирование знаний;

    личностные УУД : установление обучающимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, самоопределение;

    регулятивные УУД: целеполагание, планирование, оценка результатов работы, внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата;

    коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, соблюдение правил речевого поведения, умение высказывать и обосновывать свою точку зрения.

    Средства обучения: компьютер, проектор, учебник, карточки с текстом, алгоритм;

    Методы и приемы: словесные, наглядно – практические, проблемного изложения, самоконтроля.

    Ход урока

      Организация занятия

      Мотивация учебной деятельности.

    Учитель: - Ребята, как вы считаете, обязательно ли писать грамотно? Может, достаточно того, что мы умеем правильно говорить?

    (чтение стихотворения «Грустные вести» А. Шибаева)

    Пришло письмишко мне,

    Гляжу –

    Из лагеря, от Мишки…

    Здесь чудный лук, и я лижу, -

    Написано в письмишке.

    Лук лижет? Что за чудеса?

    Наверно, шутит, плут…

    Красивый длинный прут…

    На днях в лису нашел я грусть

    И очень был доволен…

    Нет, нет, не шутит он! Боюсь,

    Мой друг серьезно болен.

    Вернется – надо подлечить:

    Заставить правила учить.

    Важно ли быть грамотным?

      Проверка домашнего задания (слайд1,2)

      Введение в тему.

    Творческий диктант (слайд3). Выделите суффиксы.

    Работа проводится в группах. Результаты работы записываются на листах формата А3, вывешиваются на доску для проверки.

    Посмотрим, как группы выполнили задание. (Идёт проверка)

    Какие суффиксы использовались для образования имён прилагательных? (-К- и -СК-).

      Выход к учебной проблеме.

    Итак, что же получилось? Задание всем дала одно, а выполнили вы его как? (По-разному)

    Почему так вышло? Чего мы не знаем? (Не знаем, когда и какие суффиксы надо писать)

    Проверь себя (слайд4)

    Сформулируйте, исходя из записанных примеров, тему сегодняшнего урока. (Суффиксы прилагательных).

    Так. Кто может выразить точнее? Кто думает иначе? (Выбор суффиксов -К- и –СК- в прилагательных. Правописание суффиксов прилагательных –К- и –СК-).

    Запишем тему урока. Как вы думаете, какова цель нашего урока? Что мы должны узнать и чему научиться? (Узнать условия выбора суффиксов –К- и –СК-. Научиться правильно писать прилагательные с суффиксами –К- и –СК-).

    6. Введение новых знаний. (слайд6).

    Посмотрите на 2 столбика слов. В первом слова с суффиксом –К-, во втором - -СК-. Они помогут вам открыть самостоятельно правило. (Идёт работа в группах. Выдвигаются гипотезы, проверяется их истинность).

    Итак, что заметили? Есть идеи о правописании суффиксов –К- и –СК-? (1группа. В прилагательных, образованных от одушевлённых существительных, пишется –К-.)

    Так. Какие есть ещё идеи? (2группа. Может быть нужно смотреть, на какую букву окачивается основа существительного.

    3группа. Суффикс –К- пишется после К,Ц, Ч, а после других букв пишется –СК-)

    Все с этим согласны? Как можно это проверить? (Версия 1-й группы не подходит, так как существительное француз – одушевлённое, а в прилагательном пишется –СК-.)

    Сформулируйте вывод о написании суффиксов –К- и –СК-.

      Работа с учебником. (слайд7).

    Сравните свой вывод с правилом в учебнике. Всё верно?

    О чём мы с вами не сказали? (О прилагательных, имеющих краткую форму).

    Что добавим к нашему выводу? (В прилагательных, имеющих краткую форму, пишется суффикс –СК-).

    Я хочу добавить, что у этого правила есть исключения: узбекский, таджикский.

    По какому опознавательному признаку можно найти изучаемую орфограмму-согласную? (Стечение согласных).

      Продуктивное задание.

    Оформите графически новое правило. Составьте схему-опору на различение суффиксов прилагательных –К- и –СК-. (Каждая группа предлагает свою схему-опору для запоминания, которая вывешиваются на доску).

    Все согласны? Есть изменения? Дополнения? (слайд 8)

    Проговорим правило по опорной схеме.

    А теперь, чтобы вы лучше запомнили написание прилагательных, я прочитаю вам стишок.

    В слове К,Ц,Ч смтри.

    Если эти буквы три

    Смотрят на тебя с листа,

    Ты подставь к ним суффикс К.

    А ещё не забывай,

    Краткой формой проверяй!

    Знай, что здесь наверняка

    Тоже будет суффикс К.

    И ещё даю совет:

    Если краткой формы нет,

    К,Ц,Ч не отыскать,

    Надо нам -СК- писать.

      Практическая работа.

    –Пользуясь опорной схемой-правилом и стихотворением, объясните написание прилагательных (слайд 9).

      Физкультминутка.

    Если в слове есть суффикс –К-, вы хлопаете. Если в слове есть суффикс –СК-, топаете.

      Путешествие по Италии(слайды 15 – 27)

      Домашнее задание 9 (слайд28).

      Исправь ошибку.

    К вечеру возврощается Лом и преводит с собой матроса. Я смотрю - на вид парень ничего. Ростом, правда, маловат. Но по глозам видно, что шустрый, и борода у него как у морсского разбойника. Только те, по слухам, всё больше рыжее, а этот типичный брюнет. Некурящий, одет чисто. Знает четыре языка: англисский, немецский, француский и русский. Это Лома особенно прельстило; он к тому времени стал уже забывать англисскую реч. Лом сказал, что Фукс этот – клад, а не матрос: прикрасно разберается в картах. (А.Некрасов).