Представляются в виде рядов распределения и оформляются в виде .
Ряд распределния является одним из видов группировок.
Ряд распределения — представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.
В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:
- Атрибутивными — называют ряды распределения, построенные по качественными признакам.
- Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными .
В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами
и обозначаются . Дискретная варианта — выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд.
Во втором столбце содержится количество конкретных вариант
, выраженное через частоты или частости:
Частоты — это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.
Частости () — это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.
Графическое изображение рядов распределения
Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.
Ряды распределения изображаются в виде:- Полигона
- Гистограммы
- Кумуляты
- Огивы
Полигон
При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) — частоты или частости.
Полигон на рис. 6.1 построен по данным микропереписи населения России в 1994 г.
Условие
: Приводятся данные о распределении 25 работников одного из предприятий по тарифным разрядам:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
Задача
: Построить дискретный вариационный ряд и изобразить его графически в виде полигона распределения.
Решение
:
В данном примере вариантами является тарифный разряд работника. Для определения частот необходимо рассчитать число работников, имеющих соответствующий тарифный разряд.
Полигон используется для дискретных вариационных рядов.
Для построения полигона распределения (рис 1) по оси абсцисс (X) откладываем количественные значения варьирующего признака — варианты, а по оси ординат — частоты или частости.
Если значения признака выражены в виде интервалов, то такой ряд называется интервальным.
Интервальные ряды
распределения изображают графически в виде гистограммы, кумуляты или огивы.
Статистическая таблица
Условие
: Приведены данные о размерах вкладов 20 физических лиц в одном банке (тыс.руб) 60; 25; 12; 10; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; 18; 7; 42.
Задача
: Построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами.
Решение
:
- Исходная совокупность состоит из 20 единиц (N = 20).
- По формуле Стерджесса определим необходимое количество используемых групп: n=1+3,322*lg20=5
- Вычислим величину равного интервала: i=(152 — 2) /5 = 30 тыс.руб
- Расчленим исходную совокупность на 5 групп с величиной интервала в 30 тыс.руб.
- Результаты группировки представим в таблице:
При такой записи непрерывного признака, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и нижняя граница другого интервала), то эта величина относится к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы.
Гистограмма
Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).
На рис. 6.2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.
Условие : Приводится распределение 30 работников фирмы по размеру месячной заработной платы
Задача
: Изобразить интервальный вариационный ряд графически в виде гистограммы и кумуляты.
Решение
:
- Неизвестная граница открытого (первого) интервала определяется по величине второго интервала: 7000 — 5000 = 2000 руб. С той же величиной находим нижнюю границу первого интервала: 5000 — 2000 = 3000 руб.
- Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываем отрезки, величины которых соответствуют интервалам варицонного ряда.
Эти отрезки служат нижним основанием, а соответствующая частота (частость) — высотой образуемых прямоугольников. - Построим гистограмму:
Для построения кумуляты необходимо рассчитать накопленные частоты (частости). Они определяются путем последовательного суммирования частот (частостей) предшествующих интервалов и обозначаются S. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем рассматриваемое.
Кумулята
Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты.
Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат — накопленные частоты или частости (рис. 6.3).
4. Рассчитаем накопленные частоты:
Наколенная частота первого интервала рассчитывается следующим образом: 0 + 4 = 4, для второго: 4 + 12 = 16; для третьего: 4 + 12 + 8 = 24 и т.д.
При построении кумуляты накопленная частота (частость) соответствующего интервала присваивается его верхней границе:
Огива
Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака — на оси ординат.
Разновидностью кумуляты является кривая концентрации или график Лоренца. Для построения кривой концентрации на обе оси прямоугольной системы координат наносится масштабная шкала в процентах от 0 до 100. При этом на оси абсцисс указывают накопленные частости, а на оси ординат — накопленные значения доли (в процентах) по объему признака.
Равномерному распределению признака соответствует на графике диагональ квадрата (рис. 6.4). При неравномерном распределении график представляет собой вогнутую кривую в зависимости от уровня концентрации признака.
При систематизации данных выборочных обследований используются статистические дискретные и интервальные ряды распределения.
1. Статистическое дискретное распределение. Полигон.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х 1 наблюдалось n 1 раз, х 2 – n 2 раз, х k – n k раз и ∑n i =n - объем выборки. Наблюдаемые значения х 1 называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки - относительной частотой n i /n=w i
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Статистическим (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки называют последовательность вариант х i и соответствующих им частот n i или относительных частот w i .
Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:
(сумма всех относительных частот равна единице ∑w i =1)
Пример 1. При измерениях в однородных группах обследуемых получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74 (частота пульса). Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот.
Решение. 1) Статистический ряд распределения частот:
| x i | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 |
| n i | 2 | 4 | 8 | 2 | 4 |
2) Объем выборки: n=2+4+8+2+4=20. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n i /n=w i: w i =2/20=0.1; w 2 =4/20=0.2; w 3 =0.4; w 4 =4/20=0.1; w 5 =2/20=0.2. Напишем распределение относительных частот:
| x i | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 |
| w i | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | 0.2 |
Контроль: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.
Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х 1 ,n 1),(х 2 ,n 2),...,(х k ,n k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х 2 , а на оси ординат – соответствующие им частоты n i . Точки (х i ,n i) соединяют отрезками и получают полигон частот.
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х 1 ,w 1),(х 2 ,w 2),...,(х k ,w k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х i , а на оси ординат соответствующие им частоты w i . Точки (х i ,w i) соединяют отрезками и получают полигон относительных частот.
Пример 2. Постройте полигон частот и относительных частот по данным примера 1.
Решение: Используя дискретный статистический ряд распределения, составленный в примере 1 построим полигон частот и полигон относительных частот:
2. Статистический интервальный ряд распределения. Гистограмма. Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно (или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы.
Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).
Замечание. Часто h i -h i-1 =h при всех i, т.е. группировку осуществляют с равным шагом h. В этой ситуации можно руководствоваться следующими эмперическими рекомендациями по выборке а, k и h i:
1. R размах =X max -X min
2. h=R/k; k-число групп
3. k≥1+3.321lgn (формула Стерджеса)
4. a=x min , b=x max
5. h=a+ih, i=0,1...k
Полученную группировку удобно представить в форме частотной таблицы, которая носит название статистический интервальный ряд распределения:
Аналогическую таблицу можно образовать, заменяя частоты ni относительными частотами:
Пример 3. Из очень большой партии деталей извлечена случайная выборка объема 50 интересующий нас признак Х-размеры деталей, измеренные с точностью до 1см, представлен следующим вариоционным рядом: 22, 47, 26, 26, 30, 28, 28, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 47, 50. Найти статистический интервальный ряд распределения.
Решение. Определим характеристики группировки с помощью замечания.
k≥1+3.321lg50=1+3.32lg(5 10)=1+3.32(lg5+lg10)=6.6
Имеем, a=22, k=7, h=(50-22)/7=4, h i =22+4i, i=0,1,…,7.
| Интервалы группировки | 22-26 | 26-30 | 30-34 | 34-38 | 38-42 | 42-46 | 46-50 |
| Частоты n i | 1 | 4 | 10 | 18 | 9 | 5 | 3 |
| Отн.частоты w i | 0.02 | 0.08 | 0.2 | 0.36 | 0.18 | 0.1 | 0.06 |
Десятичные логарифмы от 1 до 10
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| lnn ≈ | 0 | 0.3 | 0.48 | 0.6 | 0.7 | 0.78 | 0.85 | 0.9 | 0.95 | 1 |
Наиболее информативной графической формой частот является специальный график, называемы гистограммой частот.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n i /h (плотность частоты).
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n i /h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h n i /h=n i - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению w i /h (плотность относительной частоты).
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии w i /h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h w i /h=w i - относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
Пример 4. Постройте гистограмму частот и относительных частот по данным примера 3.
Выборочная медиана – это середина вариационного ряда, значение, расположенное на одинаковом расстоянии от левой и правой границы выборки.
Выборочная мода – это наиболее вероятное, т.е. чаще всего встречающееся, значение в выборке.
Тема 9. Ряды распределения
Статистические ряды распределения – это первичная характеристика массовой статистической совокупности, упорядоченное разложение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку. Любой статистический ряд распределения состоит из двух элементов:
1) отдельных значений варьирующего признака (вариантов );
2) величин, которые показывают, сколько раз повторяется данная варианта (частот ).
Примечание . Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу, называются частостями ; это численность ряда распределения выражается суммой частот .
Если за основу группировки взят качественный признак, то такой ряд распределения называют атрибутивным (распределение по видам труда, по полу, по профессии, по религиозному признаку, национальной принадлежности и т.д.). Если ряд распределения построен по количественному признаку, то такой ряд называют вариационным . Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, а затем подсчитать числа единиц совокупности с этими значениями (построить групповую таблицу).
Выделяют три формы вариационного ряда :
1) ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака; ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются; другие формы вариационного ряда - групповые таблицы , составленные по характеру вариации значений изучаемого признака;
2) дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением, между которыми нет промежуточных значений (дискретные признаки - тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д.); эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений;
Дискретный ряд представляет собой групповую таблицу , которая состоит из двух граф: в первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака;
3) если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный ряд (с равными или неравными интервалами).
Групповая таблица здесь также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота). Очень часто таблица дополняется графой, в которой подсчитываются накопленные частоты S, которые показывают, какое количество единиц совокупности имеет значение признака не большее, чем данное значение. Частоты ряда f могут заменяться частностями w , выраженными в относительных числах (долях или процентах). Они представляют собой отношения частот каждого интервала к их общей сумме (9.1):
(9.1)
При построении вариационного ряда с интервальными значениями, прежде всего, необходимо установить величину интервала i, которая определяется как отношение размаха вариации R к числу групп n (9.2):
где R = x max - x min ; n = 1 + 3,322 lgN(формула Стерджесса ); N - общее число единиц совокупности.
Интервальные вариационные ряды могут быть построены и для признаков с дискретной вариацией. Нередко в статистическом исследовании указывать отдельное значение дискретного признака нецелесообразно, т.к. это, как правило, затрудняет рассмотрение вариации признака. Поэтому возможные дискретные значения признака распределяются по группам и подсчитываются соответствующие им частоты (частности). При построении интервального ряда по дискретному признаку границы смежных интервалов не повторяют друг друга: следующий интервал начинается со следующего по порядку (после верхнего значения предыдущего интервала) дискретного значения признака.
При сравнении частот ряда с неравными интервалами для характеристики их наполненности рассчитывают плотность распределения. Средняя плотность в интервале – это частное от деления частоты и частности на величину интервала. В первом случае плотность абсолютная, во втором – относительная. Средняя плотность показывает, сколько единиц или их процентов приходится на единицу измерения варианты. Частота, частность, плотность и накопленная частота – это различные функции от величины варианты.
В процессе анализа статистических данных , представленных рядами распределения, кроме знания о характере распределения (или структуре совокупности) могут вычисляться различные статистические показатели (числовые характеристики), которые в обобщенном виде отражают особенности распределения изучаемых признаков. Эти характеристики (показатели) могут быть разделены на 3 основные группы
1) характеристики центра распределения (средняя, мода, медиана);
2) характеристики степени вариации (вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации);
3) характеристики формы (типа) распределения (показатели эксцесса и асимметрии, ранговые характеристики, кривые распределения).
Наиболее надежный путь выявления закономерности распределения состоит в следующем:
1) увеличить количество наблюдаемых случаев (в соответствии с законом больших чисел, в таких рядах случайные отклонения от общей закономерности у индивидуальных значений будут взаимно погашаться);
2) первоначально совокупность разбить на максимальное возможное число групп, затем, постепенно сокращая число групп, оптимизировать группировку с точки зрения выявления закономерности распределения.
При реализации такого подхода закономерность, характерная для данного распределения будет выступать все более и более ясно, а ломаная линия, изображающая полигон, будет приближаться к некоторой плавной линии и в пределе должна превратиться в кривую линию.
Цель: научиться составлять статистические распределения выборок, строить полигоны, гистограммы, строить эмпирические функции распределения.
Математическая статистика – это раздел прикладной математики, посвящённый методам сбора, группировки и анализа статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.
Генеральной совокупностью называют множество объектов, однородных относительно некоторого признака.
Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Число объектов совокупности называется её объёмом.
Выборка называется репрезентативной , если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, и если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
Численное значение количественного признака называется вариантой .
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот .
Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариант с соответствующими им частотами.
Вариационный ряд называется дискретным , если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и – интервальным , если варианты могут отличаться одна от другой на сколь угодно малую величину.
Дискретный статистический ряд задается таблицей, в которой указываются варианты, частоты или относительные частоты их встречаемости. Графическое изображение дискретного статистического ряда называетсяполигоном частот (относительных частот). Это ломаная, в которой концы отрезков имеют координаты или , .
Пример . Закон распределения дискретного статистического рядя и полигон частот.
Интервальный статистический ряд для случайных непрерывных величин и для случайных дискретных величин при больших объемах выборок. Интервальный ряд представляет собой таблицу, в которой указаны частичные интервалы, плотности частот или плотности относительных частот. Графическое изображение интервального статистического ряда называетсягистограммой. Представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака, и высотами, равными частотам интервалов.
Пример . Закон распределения интервального статистического ряда и гистограмма.
| (55;60) | (60;65) | (65;70) | (70;75) | (75;80) | (80;85) | (85;90) | |
Алгоритм построения интервального ряда:
Пусть дана выборка 
с объёмом .
1) находим размах выборки ,
2) определяем число классов разбиения по формулам:
(формула Стерджесса для )
(формула Брукса для ),
3) находим величину классового интервала ,
4) границы частичных интервалов находим по формулам:
, , , 
.
 |
5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал.
Кумулятивная кривая (кумулята) – кривая накопленных частот. Для дискретного ряда кумулята представляет собой ломаную, соединяющую точки или , . Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината накопленной частоте, равной 0. Другие точки соответствуют концам интервалов.
Эмпирической функцией распределения называется относительная частота того, что признак примет значение, меньшее заданного , то есть .
Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция представляет собой разрывную ступенчатую функцию, для интервального – совпадает с кумулятой.
Основные числовые характеристики вариационного ряда :
Среднее арифметическое вариационного ряда , где - варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального, - соответствующие им частоты.
Основные свойства средней арифметической :
6) , где - общая средняя, - групповая средняя -той группы с объёмом , - число групп.
Дисперсия
вариационного ряда 
.
Основные свойства дисперсии :
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) , где - общая дисперсия, 
- групповая дисперсия, 
- средняя арифметическая групповых дисперсий, 
- межгрупповая дисперсия.
6) - дисперсия среднего значения.
Среднее квадратическое отклонение .
Коэффициент вариации
.
Медиана
вариационного ряда 
, где - начало медианного интервала, - его длина, - объём выборки, - сумма частот интервалов, предшествующих медианному, - частота медианного интервала. Для дискретного ряда медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.
Мода
, где - начало модального интервала, - его длина, - частота модального интервала, и - частоты соответственно предшествующего и последующего за модальным интервалов. Для дискретного ряда мода - варианта, которой соответствует наибольшая частота.
Начальный момент -го порядка .
Центральный момент
-го порядка 
.
Коэффициент асимметрии
.
Эксцесс
.
Контрольные вопросы:
1. Генеральная и выборочная совокупности, их объём.
2. Статистическое распределение выборки. Вариационный ряд.
3. Дискретный статистический ряд. Полигон частот.
4. Интервальный статистический ряд. Гистограмма.
5. Алгоритм построения интервального статистического ряда.
6. Эмпирическая функция распределения. Кумулятивная кривая.
7. Среднее арифметическое вариационного ряда и его свойства.
8. Дисперсия и её свойства. СКО.
Контрольные задания:
1.Как известно, почерк человека, в том числе наклон букв, тесно связан с его характером. Низкий наклон (30 – 40 град.) свидетельствует о вспыльчивости и возбудимости человека, излишней прямоте и торопливости в поступках; наклон 40 – 50 град. характеризует гармоническое развитие натуры; наклон 50 – 90 град. свидетельствует о самообладании, узком диапазоне увлечений.
Среди студентов института выборочно был исследован почерк 50 человек. Оказалось, что почерк у 30% присутствующих имеет низкий наклон, у 50% - наклон 40 – 50 и у 20% - наклон 50 – 90 град.
Найти распределение частот, относительных частот, построить полигон и гистограмму.
2. Дано распределение признака , полученное по наблюдениям. Необходимо:
4. Изучался рост (см) мужчин возраста 25 лет. По случайной выборке объема 35: 175, 167, 168, 169, 168, 170, 174, 173, 177, 172, 174, 167, 173, 172, 171, 171, 170, 167, 174, 177, 171, 172, 173, 169, 171, 173, 173, 168, 173, 172, 166, 164, 168, 172, 174, найти статистический интервальный ряд распределения и построить гистограмму частот.
Задания для домашней работы:
Дано распределение признака , полученное по наблюдениям. Необходимо:
1) построить (полигон) гистограмму, кумуляту и эмпирическую функцию распределения;
2) найти: среднюю арифметическую, моду и медиану, дисперсию, СКО и коэффициент вариации, начальные и центральные моменты -го порядка.
| 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | |
Тема №12 «Нахождение точечных и интервальных оценок параметров распределения»
Цель: научиться определять точечные и интервальные статистические оценки генеральных параметров нормального распределения по выборочным данным генеральной совокупности.
Краткие теоретические сведения:
Статистической оценкой (статистикой)
неизвестного параметра q
распределения генеральной совокупности называют функцию результатов наблюдений q* 
.
Статистическая оценка q* является случайной величиной.
Оценка, определяемая одним числом, зависящим от выборочных данных, называется точечной .
Требования, предъявляемые к точечным статистическим оценкам:
1) состоятельность (стремление по вероятности к оцениваемому параметру при ),
2) несмещённость (отсутствие систематических ошибок при любом объёме выборки (q*) = q ),
3) эффективность (среди всех возможных оценок эффективная оценка обладает наименьшей дисперсией).
Точечные оценки генеральных параметров нормально распределённой совокупности:
Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.
Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность точечной оценки.
Точностью оценки называется отклонение по модулю q* от q.
Предельной ошибкой выборки называется максимально допустимое по модулю отклонение q* от q .
Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки q* называют вероятность , с которой осуществляется неравенство |q - q*|< . Обычно = 0,95; 0,99; 0,999…
Вероятность того, что неизвестный параметр не попадёт в интервал |q - q*|< , равна - уровню значимости .
Доверительным называется интервал (q*- ;q*+ ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью .
Интервальные оценки параметров нормального распределения:
1) Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии .
, где находят из таблицы функции Лапласа, учитывая .
2) Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии .
|
, где находят из таблицы коэффициентов Стьюдента.
3) Доверительный интервал для дисперсии при известном .
< < , где , - находят при с числом степеней свободы .
4) Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном .
, где
- находят из таблицы распределения при 1-
,
- находят при
с числом степеней свободы .
Пример 1 . Вычислить несмещённые оценки параметров генеральной совокупности по выборочным данным: 64 63 71 68 73 71 74 73 70 75 68 67 73.
,
,
.
Пример 2 . Найти доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения при уровне значимости 0,05, если из генеральной совокупности сделана выборка, используемая в примере 1.
Решение. Используем данные из примера 1 для нахождения доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии:
,
.
Используем данные из примера 1 для нахождения доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании:
,
где
= ()= =4,4 и
= 
,
Контрольные вопросы:
1. Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения.
2. Точечная оценка.
3. Требования к точечным оценкам: несмещённость, состоятельность, эффективность.
4. Генеральная и выборочная средняя.
5. Генеральная и выборочная дисперсии.
6. Поправочный коэффициент. Исправленная выборочная дисперсия.
7. Генеральное среднеквадратическое отклонение и его точечная оценка.
8. Оценка дисперсии и СКО выборочной средней.
9. Интервальная оценка неизвестного параметра генеральной совокупности.
10. Доверительная вероятность и уровень значимости.
11. Доверительный интервал.
12. Правило нахождения доверительного интервала.
13. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии .
14. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии .
15. Доверительный интервал для дисперсии при известном .
16. Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном .
Контрольные задания:
1. При проверке успеваемости факультета были выборочно протестированы 50 обучаемых, распределившихся по результатам тестирования следующим образом ( - балл, - количество обучаемых с данным баллом):
Найти выборочную среднюю дистанции общения.
3. Найти разброс среднего балла в задании 1 тестирования 50 студентов.
4. Найти оценку разброса скорости чтения, распределение, которой представлено в таблице, предварительно определив относительную частоту средней скорости чтения.
5. Найти несмещённые оценки генеральной средней, дисперсии и среднеквадратического отклонения генеральной совокупности по выборке объема 12, описывающей продолжительность в секундах физической нагрузки до развития приступа стенокардии: 289, 208, 259, 243, 232, 210, 251, 246, 224, 239, 220, 211.
6. Имеется выборка объема – это значения систолического давления у мужчин в начальной стадии шока: 127, 124, 155, 129, 77, 147, 65, 109, 145, 141. Определить дисперсию и среднеквадратическое отклонение выборочной средней.
7. По схеме бесповторной выборки из 400 испытуемых в опытах Францена и Оффенлоха с применением вызванных потенциалов отобраны 100 человек и проведены замеры латентных периодов. Результаты испытаний приведены в таблице:
Задано среднее квадратическое отклонение . Найти:
а) вероятность того, что средний латентный период всех 400 человек отличается от среднего периода в выборке не более чем на 0,31 мс (по абсолютной величине),
б) границы, в которых с вероятностью заключено среднее значение латентного периода,
в) объём выборки, для которой доверительные границы с предельной ошибкой имели бы место с доверительной вероятностью .
8. Распределение ежедневных визитов Карлсона к Малышу в течение месяца показано в таблице:
Определить границы, в которых с вероятностью заключено среднее количество визитов.
9. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним =24,5, если объём выборки и задана надёжность оценки .
10. Количественный признак генеральной совокупности распределён нормально. По выборке объёма найдены выборочная средняя =20,2 и исправленное среднее квадратическое отклонение . Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надёжностью 0,95.
11. Для 9 претендентов на должность руководителя была проведена оценка профессионального показателя , характеризующего способность руководить людьми. Считая показатель распределённым по нормальному закону со средним квадратическим отклонением усл. ед., определить с надёжностью доверительный интервал для истинного среднего квадратического отклонения показателя .
Задания для домашней работы:
1. Найти оценки генеральных средней, дисперсии и среднего квадратического отклонения, если совокупность задана таблицей распределения:
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределённого признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.
4. Найти доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,95, если из генеральной совокупности сделана выборка:
67 70 69 68 74 72 66 66 74 69 72 78 67
Тема №13 «Проверка статистических гипотез о равенстве дисперсий и математических ожиданий»
Цель: научиться проверять статистические гипотезы о равенстве дисперсий и математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей.
Краткие теоретические сведения:
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.
Вероятность совершить ошибку второго рода – уровень значимости .
Статистическим критерием называют случайную величину , которая служит для проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемым значением называют значение критерия, вычисленное по выборкам.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которой нулевую гипотезу отвергают.
Область принятия гипотезы – совокупность значений критерия, при котором гипотезу принимают.
Если принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.
Критическими точками называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Критические точки ищут, исходя из требования, что при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий попадет в критическую область, была равна принятому уровню значимости.
Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.
Когда найдена, вычисляют по данным выборок и, если > (правосторонняя критическая область), < (левосторонняя), < < , < (двусторонняя), то отвергается.
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей:
Пусть и распространены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными и , извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу 
.
1) выдвигаем конкурирующую гипотезу 
(
),
2) находим ,
3) по таблице критических точек Фишера –Снедекора находим (), где , и - объём выборки, которой соответствует , - ,
4) если , то принимаем нулевую гипотезу, в противном случае – альтернативную.
Важнейшим этапом исследования социально-экономических явлений и процессов является систематизация первичных данных и получение на этой основе сводной характеристики всего объекта при помощи обобщающих показателей, что достигается путем сводки и группировки первичного статистического материала.
Статистическая сводка - это комплекс последовательных операций по обобщению конкретных единичных фактов, образующих совокупность, для выявления типичных черт и закономерностей, присущих изучаемому явлению в целом. Проведение статистической сводки включает следующие этапы :
- выбор группировочного признака;
- определение порядка формирования групп;
- разработка системы статистических показателей для характеристики групп и объекта в целом;
- разработка макетов статистических таблиц для представления результатов сводки.
Статистической группировкой называется расчленение единиц изучаемой совокупности на однородные группы по определенным существенным для них признакам. Группировки являются важнейшим статистическим методом обобщения статистических данных, основой для правильного исчисления статистических показателей.
Различают следующие виды группировок: типологические, структурные, аналитические. Все эти группировки объединяет то, что единицы объекта разделены на группы по какому-либо признаку.
Группировочным признаком называется признак, по которому проводится разбиение единиц совокупности на отдельные группы. От правильного выбора группировочного признака зависят выводы статистического исследования. В качестве основания группировки необходимо использовать существенные, теоретически обоснованные признаки (количественные или качественные).
Количественные признаки группировки имеют числовое выражение (объем торгов, возраст человека, доход семьи и т. д.), а качественные признаки группировки отражают состояние единицы совокупности (пол, семейное положение, отраслевая принадлежность предприятия, его форма собственности и т. д.).
После того, как определено основание группировки следует решить вопрос о количестве групп, на которые надо разбить исследуемую совокупность. Число групп зависит от задач исследования и вида показателя, положенного в основание группировки, объема совокупности, степени вариации признака.
Например, группировка предприятий по формам собственности учитывает муниципальную, федеральную и собственность субъектов федерации. Если группировка производится по количественному признаку, то тогда необходимо обратить особое внимание на число единиц исследуемого объекта и степень колеблемости группировочного признака.
Когда определено число групп, то следует определить интервалы группировки. Интервал - это значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Каждый интервал имеет свою величину, верхнюю и нижнюю границы или хотя бы одну из них.
Нижней границей интервала называется наименьшее значение признака в интервале, а верхней границей - наибольшее значение признака в интервале. Величина интервала представляет собой разность между верхней и нижней границами.
Интервалы группировки в зависимости от их величины бывают: равные и неравные. Если вариация признака проявляется в сравнительно узких границах и распределение носит равномерный характер, то строят группировку с равными интервалами. Величина равного интервала определяется по следующей формуле :
где Хmax, Хmin - максимальное и минимальное значения признака в совокупности; n - число групп.
Простейшая группировка, в которой каждая выделенная группа характеризуется одним показателем представляет собой ряд распределения.
Статистический ряд распределения - это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному признаку. В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.
Атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественным признакам, то есть признакам, не имеющим числового выражения (распределение по видам труда, по полу, по профессии и т.д.). Атрибутивные ряды распределения характеризуют состав совокупности по тем или иным существенным признакам. Взятые за несколько периодов, эти данные позволяют исследовать изменение структуры.
Вариационными рядами называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот. Вариантами называются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду, то есть конкретное значение варьирующего признака.
Частотами называются численности отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда, то есть это числа, которые показывают, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, ее объем. Частостями называются частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу. Соответственно сумма частостей равна 1 или 100%.
В зависимости от характера вариации признака различают три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд и интервальный ряд.
Ранжированный вариационный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака. Ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются.
Дискретный вариационный ряд характеризует распределение единиц совокупности по дискретному признаку, принимающему только целые значения. Например, тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и др.
Если признак имеет непрерывное изменение, которые в определенных границах могут принимать любые значения («от - до»), то для этого признака нужно строить интервальный вариационный ряд . Например, размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и др.
Примеры решения задач по теме «Статистическая сводка и группировка»
Задача 1 . Имеется информация о количестве книг, полученных студентами по абонементу за прошедший учебный год.
Построить ранжированный и дискретный вариационные ряды распределения, обозначив элементы ряда.
Решение
Данная совокупность представляет собой множество вариантов количества получаемых студентами книг. Подсчитаем число таких вариантов и упорядочим в виде вариационного ранжированного и вариационного дискретного рядов распределения.
Задача 2 . Имеются данные о стоимости основных фондов у 50 предприятий, тыс. руб.
Построить ряд распределения, выделив 5 групп предприятий (с равными интервалами).
Решение
Для решения выберем наибольшее и наименьшее значения стоимости основных фондов предприятий. Это 30,0 и 10,2 тыс. руб.
Найдем размер интервала: h = (30,0-10,2):5= 3,96 тыс. руб.
Тогда в первую группу будут входить предприятия, размер основных фондов которых составляет от 10,2 тыс. руб. до 10,2+3,96=14,16 тыс. руб. Таких предприятий будет 9. Во вторую группу войдут предприятия, размер основных фондов которых составит от 14,16 тыс. руб. до 14,16+3,96=18,12 тыс. руб. Таких предприятий будет 16. Аналогично найдем число предприятий, входящих в третью, четвертую и пятую группы.
Полученный ряд распределения поместим в таблицу.
Задача 3 . По ряду предприятий легкой промышленности получены следующие данные:
Произведите группировку предприятий по числу рабочих, образуя 6 групп с равными интервалами. Подсчитайте по каждой группе:
1. число предприятий
2. число рабочих
3. объем произведенной продукции за год
4. среднюю фактическую выработку одного рабочего
5. объем основных средств
6. средний размер основных средств одного предприятия
7. среднюю величину произведенной продукции одним предприятием
Результаты расчета оформите в таблицы. Сделайте выводы.
Решение
Для решения выберем наибольшее и наименьшее значения среднесписочного числа рабочих на предприятии. Это 43 и 256.
Найдем размер интервала: h = (256-43):6 = 35,5
Тогда в первую группу будут входить предприятия, среднесписочное число рабочих на которых составляет от 43 до 43+35,5=78,5 человек. Таких предприятий будет 5. Во вторую группу войдут предприятия, среднесписочное число рабочих на которых составит от 78,5 до 78,5+35,5=114 человек. Таких предприятий будет 12. Аналогично найдем число предприятий, входящих в третью, четвертую, пятую и шестую группы.
Полученный ряд распределения поместим в таблицу и вычислим необходимые показатели по каждой группе:
Вывод : Как видно из таблицы, вторая группа предприятий является самой многочисленной. В нее входят 12 предприятий. Самыми малочисленными являются пятая и шестая группы (по два предприятия). Это самые крупные предприятия (по числу рабочих).
Поскольку вторая группа самая многочисленная, объем произведенной продукции за год предприятиями этой группы и объем основных средств значительно выше других. Вместе с тем средняя фактическая выработка одного рабочего на предприятиях этой группы наибольшей не является. Здесь лидируют предприятия четвертой группы. На эту группу приходится и довольно большой объем основных средств.
В заключении отметим, что средний размер основных средств и средняя величина произведенной продукции одного предприятия прямо пропорциональны размерам предприятия (по числу рабочих).
