Одно из основных уравнений магнитостатики имеет вид:
Решение этого уравнения может быть определено как:
где вектор $\overrightarrow{A\ }$ называют векторным потенциалом магнитного поля. Из векторного анализа хорошо известно тождество:
Многозначность векторного потенциала
Поле, в котором известен вектор индукции ($\overrightarrow{B}$) может быть описано несколькими векторными потенциалами. Покажем, что если потенциал $\overrightarrow{A\ }$описывает поле с индукцией $\overrightarrow{B}$, то и другой потенциал $\overrightarrow{A"}$, в виде:
при любом $\varkappa$, описывает то же самое поле. Проведем операцию rot уравнения (4), получим:
так как $rot\left(grad\varkappa \right)\equiv 0.$
Многозначность векторного потенциала магнитного поля эквивалентна неоднозначности скалярного потенциала электростатического поля. Разница состоит в том, что потенциал в электростатике определяется с точностью до произвольной постоянной, тогда как векторный потенциал магнитостатического поля, определятся с точностью до произвольной функции определённого класса. Произвольность в выборе векторного потенциала показывает, что векторный потенциал имеет вспомогательное значение. Он не может быть измерен в эксперименте.
Калибровка векторного потенциала
В магнитостатике в качестве калибровочного условия для векторного потенциала используют уравнение:
Уравнение (6) называют условием калибровки потенциала.
Уравнение для векторного потенциала
Запишем теорему о циркуляции вектора $\overrightarrow{B}$ в дифференциальной форме:
где $\overrightarrow{j}$ -- вектор плотности тока, ${\mu }_0$ -- магнитная постоянная. Подставим (2) в уравнение циркуляции (7), получим:
Преобразуем выражение $rotrot\overrightarrow{A}$ согласно известному из векторного анализа соотношению:
$graddiv\overrightarrow{A}=0\ (из\ условия\ калибровки\ (6)\),$ следовательно, уравнение (8) приобретет вид:
В координатном представлении уравнение (10) запишется в форме:
В системе уравнений (11) мы получили, что каждая компонента векторного потенциала подчиняется уравнению Пуассона. Следовательно, можно предположить, что решение уравнений (11) можно записать в виде:
где $r$ -- радиус вектор, который проведен из элемента тока в точку наблюдения. В векторной форме (12) запишем как:
Для тока в прямолинейном проводнике (линейного тока), можно записать, что векторный потенциал равен:
где $L_i$- контуры токов, $I_i$- силы токов в контурах.
Если найден векторный потенциал, то используя его определение можно отыскать соответствующую ему индукцию магнитного поля. Введение векторного потенциала существенно облегчает изучение магнитного поля постоянных токов.
Пример 1
Задание: Найдите вектор-потенциал магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I.
Пусть начало координат находится в середине, рассматриваемого участка с током (рис.1).
Магнитное поле прямолинейного проводника с током обладает цилиндрической симметрией, следовательно. Координаты точки в данной плоскости характеризуются расстоянием r от оси Y и координатой y. В качестве основы для решения задачи используем выражение:
\[\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int\limits_L{\frac{I}{r}}d\overrightarrow{l}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\sum\limits_i{I_i}\int\limits_{L_i}{\frac{d\overrightarrow{l}}{r}}\left(1.1\right).\]
Из (1.1) следует, что не равна нулю только компонента $A_y\ne 0$. ($A_x=0{,A}_z=0$) так как ток течет только по оси Y. В таком случае запишем:
\[{A=A}_y=\frac{\mu_0I}{4 \pi}\int\limits^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}}{\frac{dy"}{\sqrt{{\left(y-y"\right)}^2+r^2}}}=\frac{\mu_0I}{4 \pi}ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right)(1.2).\]
Для бесконечно длинного проводника векторный магнитный потенциал равен:
Ответ: A=$\frac{{\mu }_0I}{4\pi }ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right).$
Пример 2
Задание: Используя результат решения задачи «Пример 1». Найдите индукцию магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I. (рис.1).
Из симметрии магнитного поля данного проводника с током индукцию достаточно вычислить в точках плоскости XY. Будем вычислять ее по формуле:
\[\overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A\ }\left(2.1\right),\]
где из предыдущей задачи имеем:
Удобнее индукцию, опять таки из соображений симметрии поля, записать в цилиндрических координатах. При этом будем иметь, что не равна нулю только проекция $B_{\varphi }$, где $\varphi $ -- угол цилиндрической системы координат. При этом можно записать, что:
На рис. 1 на плоскости XY $компонента\ B_{\varphi }$ направлена перпендикулярно плоскости в против оси Z. Подставим (2.2) в (2.3), получим:
Для бесконечного прямолинейного проводника имеем:
Ответ: B=$B_{\varphi }=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\left\{\frac{-y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}+\frac{y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right\}.$
Одно из основных уравнений магнитостатики имеет вид:
Решение этого уравнения может быть определено как:
где вектор $\overrightarrow{A\ }$ называют векторным потенциалом магнитного поля. Из векторного анализа хорошо известно тождество:
Многозначность векторного потенциала
Поле, в котором известен вектор индукции ($\overrightarrow{B}$) может быть описано несколькими векторными потенциалами. Покажем, что если потенциал $\overrightarrow{A\ }$описывает поле с индукцией $\overrightarrow{B}$, то и другой потенциал $\overrightarrow{A"}$, в виде:
при любом $\varkappa$, описывает то же самое поле. Проведем операцию rot уравнения (4), получим:
так как $rot\left(grad\varkappa \right)\equiv 0.$
Многозначность векторного потенциала магнитного поля эквивалентна неоднозначности скалярного потенциала электростатического поля. Разница состоит в том, что потенциал в электростатике определяется с точностью до произвольной постоянной, тогда как векторный потенциал магнитостатического поля, определятся с точностью до произвольной функции определённого класса. Произвольность в выборе векторного потенциала показывает, что векторный потенциал имеет вспомогательное значение. Он не может быть измерен в эксперименте.
Калибровка векторного потенциала
В магнитостатике в качестве калибровочного условия для векторного потенциала используют уравнение:
Уравнение (6) называют условием калибровки потенциала.
Уравнение для векторного потенциала
Запишем теорему о циркуляции вектора $\overrightarrow{B}$ в дифференциальной форме:
где $\overrightarrow{j}$ -- вектор плотности тока, ${\mu }_0$ -- магнитная постоянная. Подставим (2) в уравнение циркуляции (7), получим:
Преобразуем выражение $rotrot\overrightarrow{A}$ согласно известному из векторного анализа соотношению:
$graddiv\overrightarrow{A}=0\ (из\ условия\ калибровки\ (6)\),$ следовательно, уравнение (8) приобретет вид:
В координатном представлении уравнение (10) запишется в форме:
В системе уравнений (11) мы получили, что каждая компонента векторного потенциала подчиняется уравнению Пуассона. Следовательно, можно предположить, что решение уравнений (11) можно записать в виде:
где $r$ -- радиус вектор, который проведен из элемента тока в точку наблюдения. В векторной форме (12) запишем как:
Для тока в прямолинейном проводнике (линейного тока), можно записать, что векторный потенциал равен:
где $L_i$- контуры токов, $I_i$- силы токов в контурах.
Если найден векторный потенциал, то используя его определение можно отыскать соответствующую ему индукцию магнитного поля. Введение векторного потенциала существенно облегчает изучение магнитного поля постоянных токов.
Пример 1
Задание: Найдите вектор-потенциал магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I.
Пусть начало координат находится в середине, рассматриваемого участка с током (рис.1).
Магнитное поле прямолинейного проводника с током обладает цилиндрической симметрией, следовательно. Координаты точки в данной плоскости характеризуются расстоянием r от оси Y и координатой y. В качестве основы для решения задачи используем выражение:
\[\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int\limits_L{\frac{I}{r}}d\overrightarrow{l}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\sum\limits_i{I_i}\int\limits_{L_i}{\frac{d\overrightarrow{l}}{r}}\left(1.1\right).\]
Из (1.1) следует, что не равна нулю только компонента $A_y\ne 0$. ($A_x=0{,A}_z=0$) так как ток течет только по оси Y. В таком случае запишем:
\[{A=A}_y=\frac{\mu_0I}{4 \pi}\int\limits^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}}{\frac{dy"}{\sqrt{{\left(y-y"\right)}^2+r^2}}}=\frac{\mu_0I}{4 \pi}ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right)(1.2).\]
Для бесконечно длинного проводника векторный магнитный потенциал равен:
Ответ: A=$\frac{{\mu }_0I}{4\pi }ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right).$
Пример 2
Задание: Используя результат решения задачи «Пример 1». Найдите индукцию магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I. (рис.1).
Из симметрии магнитного поля данного проводника с током индукцию достаточно вычислить в точках плоскости XY. Будем вычислять ее по формуле:
\[\overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A\ }\left(2.1\right),\]
где из предыдущей задачи имеем:
Удобнее индукцию, опять таки из соображений симметрии поля, записать в цилиндрических координатах. При этом будем иметь, что не равна нулю только проекция $B_{\varphi }$, где $\varphi $ -- угол цилиндрической системы координат. При этом можно записать, что:
На рис. 1 на плоскости XY $компонента\ B_{\varphi }$ направлена перпендикулярно плоскости в против оси Z. Подставим (2.2) в (2.3), получим:
Для бесконечного прямолинейного проводника имеем:
Ответ: B=$B_{\varphi }=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\left\{\frac{-y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}+\frac{y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right\}.$
В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:
На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом , а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал φ дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием φ. Мы покажем сейчас, что для нахождения поля В существует аналогичная процедура, если известна плотность тока j всех движущихся зарядов.
В электростатике, как мы видели (из-за того, что rot от Е везде равен нулю), всегда можно представить Е в виде градиента от скалярного поля φ. А вот rot от В не везде
равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция
В везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить В в виде ротора
от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить В через поле, которое мы обозначим А:
Или, расписывая компоненты:
Запись В=vхА гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно
Поле А называется векторным потенциалом .
Вспомним, что скалярный потенциал φ оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал φ, то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал φ′, добавив постоянную:
Новый потенциал φ′ дает те же электрические поля, потому что градиент vС есть нуль; φ′ и φ отвечают одной и той же картине.
Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов А, приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку В получается из А дифференцированием, то прибавление к А константы не меняет физики дела. Но для А свобода больше. Мы можем добавить к А любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть А, которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле В. Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал А′, будучи подставлен в (14.3), дает то же самое
поле В. Значит, А и А′ имеют одинаковый ротор
Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем ψ, так что А′—A=vψ. Это означает, что если А есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом ψ
также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю В.
Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» А, накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным — довольно часто — выбирать потенциал φ равным нулю на больших расстояниях). Мы можем, например, ограничить А, наложив на него такое условие, чтобы дивергенция А чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая В. Так получается потому, что, хотя А′ и А имеют одинаковый ротор и дают одно и то же В, они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, v·A` = v·A+ v 2 ψ, и, подбирая соответствующее ψ, можно придать v·A′ любое значение.
Чему следует приравнять v·А? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатик
и мы сделаем простой выбор
(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение А в данный момент есть vхА = В и v·А = 0.
Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля В 0 . Выбирая ось z в направлении В 0 , мы должны иметь
Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть
Или с тем же успехом можно взять
Еще одно решение есть комбинация первых двух
Ясно, что для каждого поля В векторный потенциал А не единственный; существует много возможностей.
Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интересных свойств. Поскольку х-компонента пропорциональна -у, а y-компонента пропорциональна +х, то вектор А должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси z, который мы обозначим r′ (штрих означает, что это не вектор расстояния от начала). Кроме того, величина А пропорциональна √x 2 + y 2 и, следовательно, пропорциональна r`. Поэтому А (для однородного поля) может быть записано просто
Векторный потенциал А равен по величине Вr′/2
и вращается вокруг оси z, как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле В есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде.
Векторный потенциал однородного поля может быть получен и другим способом. Циркуляция А вдоль любой замкнутой петли Г может быть выражена через поверхностный интеграл от vХА
с помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]
Но интеграл справа равен потоку В сквозь петлю, поэтому
Итак, циркуляция А вдоль всякой
петли равна потоку В сквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса r′
в плоскости, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в точности равен
Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что А можно считать направленным по касательной и функцией только от r′, то циркуляция будет равна
Как и раньше, получаем
Которого равен заданному векторному полю.
Формально, если v - векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что
Если A является векторным потенциалом для поля v , то из тождества
Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле - в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.
Теорема
Неоднозначность выбора потенциала
Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v , также им является
где m - любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.
В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки .
Векторный потенциал в физике
Уравнения Максвелла
Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии , векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса . Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.
См. также
Напишите отзыв о статье "Векторный потенциал"
Отрывок, характеризующий Векторный потенциал
– Что ж, соколик, ведь это не швальня, и струмента настоящего нет; а сказано: без снасти и вша не убьешь, – говорил Платон, кругло улыбаясь и, видимо, сам радуясь на свою работу.– C"est bien, c"est bien, merci, mais vous devez avoir de la toile de reste? [Хорошо, хорошо, спасибо, а полотно где, что осталось?] – сказал француз.
– Она еще ладнее будет, как ты на тело то наденешь, – говорил Каратаев, продолжая радоваться на свое произведение. – Вот и хорошо и приятно будет.
– Merci, merci, mon vieux, le reste?.. – повторил француз, улыбаясь, и, достав ассигнацию, дал Каратаеву, – mais le reste… [Спасибо, спасибо, любезный, а остаток то где?.. Остаток то давай.]
Пьер видел, что Платон не хотел понимать того, что говорил француз, и, не вмешиваясь, смотрел на них. Каратаев поблагодарил за деньги и продолжал любоваться своею работой. Француз настаивал на остатках и попросил Пьера перевести то, что он говорил.
– На что же ему остатки то? – сказал Каратаев. – Нам подверточки то важные бы вышли. Ну, да бог с ним. – И Каратаев с вдруг изменившимся, грустным лицом достал из за пазухи сверточек обрезков и, не глядя на него, подал французу. – Эхма! – проговорил Каратаев и пошел назад. Француз поглядел на полотно, задумался, взглянул вопросительно на Пьера, и как будто взгляд Пьера что то сказал ему.
– Platoche, dites donc, Platoche, – вдруг покраснев, крикнул француз пискливым голосом. – Gardez pour vous, [Платош, а Платош. Возьми себе.] – сказал он, подавая обрезки, повернулся и ушел.
– Вот поди ты, – сказал Каратаев, покачивая головой. – Говорят, нехристи, а тоже душа есть. То то старички говаривали: потная рука торовата, сухая неподатлива. Сам голый, а вот отдал же. – Каратаев, задумчиво улыбаясь и глядя на обрезки, помолчал несколько времени. – А подверточки, дружок, важнеющие выдут, – сказал он и вернулся в балаган.
Прошло четыре недели с тех пор, как Пьер был в плену. Несмотря на то, что французы предлагали перевести его из солдатского балагана в офицерский, он остался в том балагане, в который поступил с первого дня.
В разоренной и сожженной Москве Пьер испытал почти крайние пределы лишений, которые может переносить человек; но, благодаря своему сильному сложению и здоровью, которого он не сознавал до сих пор, и в особенности благодаря тому, что эти лишения подходили так незаметно, что нельзя было сказать, когда они начались, он переносил не только легко, но и радостно свое положение. И именно в это то самое время он получил то спокойствие и довольство собой, к которым он тщетно стремился прежде. Он долго в своей жизни искал с разных сторон этого успокоения, согласия с самим собою, того, что так поразило его в солдатах в Бородинском сражении, – он искал этого в филантропии, в масонстве, в рассеянии светской жизни, в вине, в геройском подвиге самопожертвования, в романтической любви к Наташе; он искал этого путем мысли, и все эти искания и попытки все обманули его. И он, сам не думая о том, получил это успокоение и это согласие с самим собою только через ужас смерти, через лишения и через то, что он понял в Каратаеве. Те страшные минуты, которые он пережил во время казни, как будто смыли навсегда из его воображения и воспоминания тревожные мысли и чувства, прежде казавшиеся ему важными. Ему не приходило и мысли ни о России, ни о войне, ни о политике, ни о Наполеоне. Ему очевидно было, что все это не касалось его, что он не призван был и потому не мог судить обо всем этом. «России да лету – союзу нету», – повторял он слова Каратаева, и эти слова странно успокоивали его. Ему казалось теперь непонятным и даже смешным его намерение убить Наполеона и его вычисления о кабалистическом числе и звере Апокалипсиса. Озлобление его против жены и тревога о том, чтобы не было посрамлено его имя, теперь казались ему не только ничтожны, но забавны. Что ему было за дело до того, что эта женщина вела там где то ту жизнь, которая ей нравилась? Кому, в особенности ему, какое дело было до того, что узнают или не узнают, что имя их пленного было граф Безухов?
Теперь он часто вспоминал свой разговор с князем Андреем и вполне соглашался с ним, только несколько иначе понимая мысль князя Андрея. Князь Андрей думал и говорил, что счастье бывает только отрицательное, но он говорил это с оттенком горечи и иронии. Как будто, говоря это, он высказывал другую мысль – о том, что все вложенные в нас стремленья к счастью положительному вложены только для того, чтобы, не удовлетворяя, мучить нас. Но Пьер без всякой задней мысли признавал справедливость этого. Отсутствие страданий, удовлетворение потребностей и вследствие того свобода выбора занятий, то есть образа жизни, представлялись теперь Пьеру несомненным и высшим счастьем человека. Здесь, теперь только, в первый раз Пьер вполне оценил наслажденье еды, когда хотелось есть, питья, когда хотелось пить, сна, когда хотелось спать, тепла, когда было холодно, разговора с человеком, когда хотелось говорить и послушать человеческий голос. Удовлетворение потребностей – хорошая пища, чистота, свобода – теперь, когда он был лишен всего этого, казались Пьеру совершенным счастием, а выбор занятия, то есть жизнь, теперь, когда выбор этот был так ограничен, казались ему таким легким делом, что он забывал то, что избыток удобств жизни уничтожает все счастие удовлетворения потребностей, а большая свобода выбора занятий, та свобода, которую ему в его жизни давали образование, богатство, положение в свете, что эта то свобода и делает выбор занятий неразрешимо трудным и уничтожает самую потребность и возможность занятия.
Которого равен заданному векторному полю.
Формально, если v - векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что
v = ∇ × A . {\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}Если A является векторным потенциалом для поля v , то из тождества
∇ ⋅ (∇ × A) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A})=0}Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле - в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
V: R 3 → R 3 {\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}
Неоднозначность выбора потенциала
Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v , также им является
A + ∇ m {\displaystyle \mathbf {A} +\nabla m}где m - любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.
В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки .
Векторный потенциал в физике
Уравнения Максвелла
Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии , векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса . Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.
