Все задачи B7, которые мне доводилось видеть, были сформулированы примерно одинаково: решить уравнение. При этом сами уравнения относятся к одному из трех видов:
- Логарифмические;
- Показательные;
- Иррациональные.
Вообще говоря, полноценное руководство по каждому типу уравнений займет не один десяток страниц, выходя далеко за рамки ЕГЭ. Поэтому мы рассмотрим лишь самые простые случаи, требующие незатейливых рассуждений и выкладок. Этих знаний будет вполне достаточно, чтобы решить любую задачу B7.
В математике термин «решить уравнение» означает найти множество всех корней данного уравнения, либо доказать, что это множество пусто. Но в бланк ЕГЭ можно вписывать только числа — никаких множеств. Поэтому, если в задании B7 оказалось больше одного корня (или, наоборот, ни одного) — в решении была допущена ошибка.
Логарифмические уравнения
Логарифмическое уравнение — это любое уравнение, которое сводится к виду log a f (x ) = k , где a > 0, a ≠ 1 — основание логарифма, f (x ) — произвольная функция, k — некоторая постоянная.
Такое уравнение решается внесением постоянной k под знак логарифма: k = log a a k . Основание нового логарифма равно основанию исходного. Получим уравнение log a f (x ) = log a a k , которое решается отбрасыванием логарифма.
Заметим, что по условию a > 0, поэтому f (x ) = a k > 0, т.е. исходный логарифм существует.
Задача. Решить уравнение: log 7 (8 − x ) = 2.
Решение. log 7 (8 − x ) = 2 ⇔ log 7 (8 − x ) = log 7 7 2 ⇔ 8 − x = 49 ⇔ x = −41.
Задача. Решить уравнение: log 0,5 (6 − x ) = −2.
Решение. log 0,5 (6 − x ) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − x ) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − x = 4 ⇔ x = 2.
Но что делать, если исходное уравнение окажется сложнее, чем стандартное log a f (x ) = k ? Тогда сводим его к стандартному, собирая все логарифмы в одной стороне, а числа — в другой.
Если в исходном уравнении присутствует более одного логарифма, придется искать область допустимых значений (ОДЗ) каждой функции, стоящей под логарифмом. Иначе могут появиться лишние корни.
Задача. Решить уравнение: log 5 (x + 1) + log 5 (x + 5) = 1.
Поскольку в уравнении присутствуют два логарифма, найдем ОДЗ:
- x + 1 > 0 ⇔ x > −1
- x + 5 > 0 ⇔ x > −5
Получаем, что ОДЗ — это интервал (−1, +∞). Теперь решаем уравнение:
log 5 (x + 1) + log 5 (x + 5) = 1 ⇒ log 5 (x + 1)(x + 5) = 1 ⇔ log 5 (x + 1)(x + 5) = log 5 5 1 ⇔ (x + 1)(x + 5) = 5 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 5 ⇔ x (x + 6) = 0 ⇔ x 1 = 0, x 2 = −6.
Но x 2 = −6 не подходит по ОДЗ. Остается корень x 1 = 0.
Показательные уравнения
Показательное уравнение — это любое уравнение, которое сводится к виду a f (x ) = k , где a > 0, a ≠ 1 — основание степени, f (x ) — произвольная функция, k — некоторая постоянная.
Это определение почти дословно повторяет определение логарифмического уравнения. Решаются показательные уравнения даже проще, чем логарифмические, ведь здесь не требуется, чтобы функция f (x ) была положительна.
Для решения сделаем замену k = a t , где t — вообще говоря, логарифм (t = log a k ), но в ЕГЭ числа a и k будут подобраны так, что найти t будет легко. В полученном уравнении a f (x ) = a t основания равны, а значит, равны и показатели, т.е. f (x ) = t . Решение последнего уравнения, как правило, не вызывает проблем.
Задача. Решить уравнение: 7 x − 2 = 49.
Решение. 7 x − 2 = 49 ⇔ 7 x − 2 = 7 2 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4.
Задача. Решить уравнение: 6 16 − x = 1/36.
Решение. 6 16 − x = 1/36 ⇔ 6 16 − x = 6 −2 ⇔ 16 − x = −2 ⇔ x = 18.
Немного о преобразовании показательных уравнений. Если исходное уравнение отличается от a f (x ) = k , применяем правила работы со степенями:
- a n · a m = a n + m ,
- a n / a m = a n − m ,
- (a n ) m = a n · m .
Кроме того, надо знать правила замены корней и дробей на степени с рациональным показателем:
Такие уравнения встречаются в ЕГЭ крайне редко, но без них разбор задачи B7 был бы неполным.
Задача. Решить уравнение: (5/7) x − 2 · (7/5) 2x − 1 = 125/343
Заметим, что:
- (7/5) 2x − 1 = ((5/7) −1) 2x − 1 = (5/7) 1 − 2x ,
- 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .
Имеем: (5/7) x − 2 · (7/5) 2x − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) x − 2 · (5/7) 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) x − 2 + 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −x − 1 = (5/7) 3 ⇔ −x − 1 = 3 ⇔ x = −4.
Иррациональные уравнения
Под иррациональным понимается любое уравнение, содержащее знак корня. Из всего многообразия иррациональных уравнений мы рассмотрим лишь простейший случай, когда уравнение имеет вид:
Чтобы решить такое уравнение, возведем обе стороны в квадрат. Получим уравнение f (x ) = a 2 . При этом автоматически выполняется требование ОДЗ: f (x ) ≥ 0, т.к. a 2 ≥ 0. Остается решить несложное уравнение f (x ) = a 2 .
Задача. Решить уравнение:
Возводим обе стороны в квадрат и получим: 5x − 6 = 8 2 ⇔ 5x − 6 = 64 ⇔ 5x = 70 ⇔ x = 14.
Задача. Решить уравнение:
Сначала, как и в прошлый раз, возводим обе стороны в квадрат. А затем внесем знак «минус» в числитель. Имеем:
Заметим, что при x = −4 под корнем будет положительное число, т.е. требование ОДЗ выполнено.
приложение №3
Урок 225. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства.
Дата проведения:
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по данной теме.
Цели урока:
обобщение знаний о способах решения показательных неравенств. Подготовка к ЕГЭ;
формирование у учащихся адекватной самооценки и взаимооценки при работе в группе;
развитие математической речи при комментировании решения, при составлении алгоритмов выполнения задания; умения преодолевать трудности умения работать со справочной литературой.
воспитание взаимопомощи.
Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. обучающиеся в ходе урока:
систематизируют свои знания по данной теме;
закрепят теоретические знания по данной теме;
применят знания в нестандартной ситуации.
Необходимое оборудование и материалы:
Ноутбуки для индивидуального тестирования, мультимедиа проектор;
презентация к уроку;
письменные принадлежности, раздаточный материал, листы самооценки.
Методы обучения: технология проблемно-ситуативного обучения с применением кейс-стадии.
Этапы урока:
1.Орг момент - 1 минута
2. формулировка темы и целей урока 1 минута
3. Актуализация опорных знаний. Блиц-опрос.(3 мин.)
4. Результаты блиц опроса - 2 минуты
5. Проверка домашнего задания. Выставление оценок. 3 минуты
6.Домашнее задание дифференцированного характера с правом выбора. 1 мин
7.Повторение теории и индуктор (нацеливание на выполнение) 2 мин
8. Отработка навыков решения. Работа со справочной литературой. 5 неравенств 10 мин
9. Афиширование 2 минуты
10. Разрыв. Незнакомые задачи – 2 мин
11. решение этих задач 4 минуты
12. Афиширование решения новых задач 4 мин
13. Рефлексия – 2 мин
14. Самооценка 1 минута
Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определённые ряды. Отметим, что навыки по рассматриваемой теме не относятся к обязательным требованиям к подготовке учащихся, поэтому, у меня её изучают только более подготовленные учащиеся (1 и 2 группа).
Цель урока. Разобрать способы решения иррациональных неравенств среднего и повышенного уровня сложности, разработать опорные схемы.
1 этап урока - организационный (1мин.)
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет назначение раздаточного материала, который находится на партах.
2 этап урока (5мин.)
Устная работа на повторение по решению простейших задач по теме «Степень с рациональным показателем»
Учитель предлагает учащимся по очереди отвечать на вопросы, комментируя свой ответ с ссылкой на соответствующий теоретический факт.
Степень с рациональным показателем
Упростить: 1) 12m 4 /3m 8
2) 6с 3/7 + 4 (с 1/7) 3
3) (32х 2) 1/5 · х 3/5
4) 2 4,6а · 2 -1,6а
5) 2х 0,2 · х -1,2
6) 4х 3/5 · х 1/10
8) 2х 4/5 · 3х 1/5
9) (3х 2/5) 2 + 2х 4/5
10) 3х 1/2 · х 3/2
Вычислить: 11) 4 3,2 m · 4 -1,2 m , при m =1/4
12) 6 -5,6а · 6 3,6а, при а = 1/2
13) 5 · 27 2/3 - 16 1/4
14) 3 4,4с · 3 -6,4с, при с =1/2
15) 3х 2/5 · х 3/5 , при х = 2
3 этап урока - изучение новой темы (20мин.), лекция
Учитель предлагает 3 группе учащихся приступить к работе над повторением с карточками - консультантами по теме «Простейшие тригонометрические уравнения» (т.к. изучаемый материал повышенного уровня сложности и к обязательному не относится). Учащиеся 3 группы - это, как правила учащиеся со слабой математической подготовкой, педагогически запущенные школьники. После выполнения задания происходит обмен карточками внутри группы. Более подготовленные учащиеся приступают к разбору новой темы.
Перед разбором способов решений иррациональных неравенств учащимся необходимо напомнить основные теоретические факты, на основе которых будут строится опорные схемы для равносильных переходов. В зависимости от уровня подготовки учащихся это могут быть либо устные ответы на вопросы учителя, либо совместная работа учителя и учащихся, но в любом случае на уроке должно прозвучать следующее.
Определение 1. Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.
При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.
Например, неравенство (х - 3)/(х 2 + 1) равносильны, т.к. имеют одно и то же множество решений: х. Неравенства 2х/(х - 1) 1 и 2х х - 1 не равносильны, т.к. решениями первого являются решения х 1, а решениями второго - числа х -1.
Определение 2. Область определения неравенства - это множество таких значений х, при которых имеют смысл обе части неравенства.
Мотивация. Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, т.к. именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной действительности. Часто неравенство служит важным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование каких-либо объектов, оценить их количество провести классификацию. Поэтому, с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями.
Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.
Пример 1. √(5 - х)
Какова область определения неравенства?
При каком условии при возведении в квадрат обеих частей получится равносильное неравенство?
√(5 - х) 5 - х -11
Пример 2. √10 + х - х 2 ≥ 2 10 + х - х 2 ≥ 0 10 + х - х 2 ≥ 4
10 + х - х 2 ≥ 4
т.к. каждое решение второго неравенства системы является решением первого неравенства.
Пример 3. Решить неравенства
б) √2х 2 + 5х - 3 ≤ 0 2х 2 + 5х - 3 = 0
Разберём три типичных примера, из которых будет видно, как при решении неравенств делать равносильные переходы, когда напрашивающееся преобразование равносильным не является.
Пример 1. √1 - 4х х + 11.
Хотелось бы, конечно, возвести обе части в квадрат, чтобы получить квадратное неравенство. При этом мы можем получить не равносильное неравенство. Если рассматривать только те х для которых обе части не отрицательны (левая неотрицательно заведомо), то возведение в квадрат будет всё таки возможным. Но что же делать с теми х, для которых правая часть отрицательна? А ничего не делать, поскольку ни одно их этих х решением неравенства не будет: ведь для всякого решения неравенства правая часть больше левой, являющейся неотрицательным числом, и, стало быть, сама не отрицательна. Итак, следствием нашего неравенства будет такая система
1 - 4х (х + 11) 2
Тем не менее, эта система не обязана быть равносильной исходному неравенству. Областью определения полученной системы является вся числовая прямая, в то время как исходное неравенство определено лишь для тех х, для которых 1 - 4х ≥ 0. Значит если мы хотим, чтобы наша система была равносильна неравенству надо приписать это условие:
Ответ: (- 6; ¼]
Предлагается сильному ученику провести рассуждение в общем виде, получится вот, что
√f (х) g (х) f (х) (g (х)) 2
g (х) ≥ 0
f (х) ≥ 0.
Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≤ вместо f (х) ≤ (g (х)) 2 .
Пример 2. √х х - 2
Здесь опять можно возвести в квадрат для тех х, для которых выполнено условие х - 2 ≥ 0. Однако теперь уже нельзя отбросить те х, для которых правая часть отрицательна: ведь в этом случае правая часть будет меньше заведомо не отрицательной левой, так что все такие х будут решениями неравенств. Впрочем, не все, а те которые входят в область определения неравенства, т.е. для которых х ≥ 0. Какие случаи следует рассмотреть?
1 случай: если х - 2 ≥ 0, то из нашего неравенства следует система
2 случай: если х - 2
При разборе случаев возникает составное условие под названием «совокупность». Получим равносильную неравенству совокупность двух систем
Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем, виде, то получится вот, что:
√f (х) g (х) f (х) (g (х)) 2
g (х) ≥ 0
f (х) ≥ 0
g (х) .
Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≥ вместо, то в качестве первого неравенства этой системы надо было взять f (х) ≥ (g (х)) 2 .
Пример 3. √х 2 - 1 √х + 5.
Какие значения принимают выражения стоящие в левой и правой части?
Можно ли возвести в квадрат?
Какова область определения неравенств?
Получим х 2 - 1 х + 5
Какое условие лишнее?
Таким образом, получим, что данное неравенство равносильно системе
Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем виде, то получится вот, что:
√f (х) √g (х) f (х) g (х)
g (х) ≥ 0.
Подумайте, что изменится, если вместо в исходном неравенстве будет стоять знак ≥, ≤ или
На доске вывешиваются 3 схемы решения иррациональных неравенства, ещё раз обсуждается принцип их построения.
4 этап - закрепление знаний (5мин.)
Учащимся 2 группы предлагается указать, какой системе или их совокупности равносильно неравенство № 167 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)
Двум наиболее подготовленным учащимся из этой группы предлагается решить на доске неравенства: № 1. √х 2 - 1 1
№ 2. √25 - х 2
Учащиеся 1 группы получают аналогичное задание, но более высокого уровня сложности № 170 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)
одному наиболее подготовленному учащемуся из этой группы предлагается решить на доске неравенство: √4х - х 2
При этом всем учащимся разрешается пользоваться конспектом.
В это время учитель работает с учащимися 3 группы: отвечает на их вопросы при необходимости помогает; и контролирует решение задач на доске.
По истечению времени каждой группе выдаётся для проверки лист ответов (можно показать ответы на экране, используя мультимедийную систему).
5 этап урока - обсуждение решений задач, представленных на доске (7мин.)
Учащиеся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят при необходимости коррективы и выполняют записи в тетрадях.
6 этап урока - подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию (2мин.)
3 группа обмен карточками внутри группы.
2 группа № 168 (3, 4)
1 группа № 169 (5), № 170 (6)
Иррациональные неравенства
Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины стоят под знаком радикала. Решение таких неравенств обычно состоит в том, что с помощью некоторых преобразований их заменяют равносильными им рациональными уравнениями, неравенствами или системами уравнений и неравенств (зачастую смешанными системами, т.е. такими, в которые входят как уравнения, так и неравенства), и дальнейшее решение может идти по шагам, изложенным выше. Этими преобразованиями является, кроме замены переменных (введение новых переменных) и разложения на множители, еще и возвышение обеих частей неравенства в одну и ту же степень. Однако, при этом надо следить за равносильностью переходов от одного неравенства к другому. При бездумном возведении в степень корни неравенства могут одновременно и теряться, и приобретаться. Например, возведя в квадрат верное неравенство -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!
Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень.
При решении неравенств таким способом нужно следить, чтобы не приобрести посторонних решений. Поэтому полезно там, где это возможно, находить область определения неравенства, а также область возможных значений решений.
Показательные и логарифмические неравенства
Решению показательных и логарифмических неравенств предшествует изучение свойств соответствующих функций; выполнение множества заданий на преобразования показательных и логарифмических выражений; решение уравнений, содержащих логарифмы и переменные в показателе степени. Решение простейших неравенств, которыми считаются
где означает одно из неравенств <,>,.
Дело в том, что обычно данная тема вводится как абсолютно новая, опирающаяся лишь на изученные ранее свойства этих функций. Целесообразно, на мой взгляд, связывать её и с решением неравенств в целом (т.е. с уже известным алгоритмом). Стоит заметить, что на прямую метод интервалов использовать нельзя. Но решение разнообразных показательных и логарифмических неравенств производится на основе следующих правил:
Если a>1, то,
Если 0
Если a>1, то