Преобразование выражений с корнями и степенями часто требует выполнения переходов от корней к степеням и обратно. В этой статье мы разберем, как такие переходы осуществляются, что лежит в их основе, и в каких моментах чаще всего возникают ошибки. Все это снабдим характерными примерами с детальным разбором решений.

Навигация по странице.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Возможность перехода от степени с дробным показателем к корню диктуется самим определением степени. Напомним, как определяется : степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называют корень n-ой степени из a m , то есть, где a>0 , m∈Z , n∈N . Аналогично определяется и дробная степень нуля , с той лишь разницей, что в этом случае m уже считается не целым, а натуральным, чтобы не возникало деления на нуль.

Таким образом, степень всегда можно заменить на корень . Например, от можно перейти к , а степень можно заменить корнем . А вот переходить от выражения к корню не следует, так как степень изначально не имеет смысла (степень отрицательных чисел не определена), несмотря на то, что корень имеет смысл.

Как видите, в переходе от степеней чисел к корням нет абсолютно ничего мудреного. Аналогично осуществляется переход к корням от степеней с дробными показателями, в основании которых находятся произвольные выражения. Заметим, что указанный переход осуществляется на ОДЗ переменных для исходного выражения. К примеру, выражение на всей ОДЗ переменной x для этого выражения можно заменить корнем . А от степени перейти к корню , такая замена имеет место для любого набора переменных x , y и z из ОДЗ для исходного выражения.

Замена корней степенями

Возможна и обратная замена, то есть, замена корней на степени с дробными показателями . В ее основе также лежит равенство , которое в данном случае используется справа налево, то есть, в виде .

Для положительных a указанный переход очевиден. Например, можно заменить степенью , а от корня перейти к степени с дробным показателем вида .

А при отрицательных a равенство не имеет смысла, но корень при этом может иметь смысл. Например, корни и имеют смысл, но заменить их степенями и нельзя. Так можно ли их вообще преобразовать в выражения со степенями? Можно, если провести предварительные преобразования, заключающиеся в переходе к корням с неотрицательными числами под ними, которые потом и заменить степенями с дробными показателями. Покажем, в чем заключаются эти предварительные преобразования и как их провести.

В случае с корнем позволяют выполнить такие преобразования: . А так как 4 – положительное число, то последний корень можно заменить степенью . А во втором случае определение корня нечетной степени из отрицательного числа −a (при этом a – положительное), выражающееся равенством , позволяет корень заменить выражением , в котором кубический корень из двух уже можно заменить степенью, и оно примет вид .

Осталось разобрать, как заменяются корни, под которыми находятся выражения, на степени, содержащие эти выражения в основании. Здесь не стоит спешить с заменой на , буквой A мы обозначили некоторое выражение. Приведем пример, поясняющий, что под этим имеется в виду. Корень так и хочется заменить степенью , основываясь на равенстве . Но такая замена уместна лишь при условии x−3≥0 , а для остальных значений переменной x из ОДЗ (удовлетворяющих условию x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Из-за такого неаккуратного применения формулы нередко возникают ошибки при переходе от корней к степеням. Например, в учебнике дано задание, представить выражение в виде степени с рациональным показателем, и приведен ответ , который вызывает вопросы, так как в условии не задано ограничение b>0 . А в учебнике присутствует переход от выражения , скорее всего через следующие преобразования иррационального выражения

к выражению . Последний переход также вызывает вопросы, так как сужает ОДЗ.

Возникает закономерный вопрос: «Как же правильно перейти от корня к степени для всех значений переменных из ОДЗ»? Такая замена проводится на базе следующих утверждений:


Прежде чем обосновать записанные результаты, приведем несколько примеров их использования для перехода от корней к степеням. Для начала вернемся к выражению . Его надо было заменять не на , а на (в данном случае m=2 – целое четное, n=3 – натуральное). Другой пример: .

Теперь обещанное обоснование результатов.

Когда m – целое нечетное, а n – натуральное четное, то для любого набора переменных из ОДЗ для выражения значение выражения A положительно (если m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ). Поэтому, .

Переходим ко второму результату. Пусть m – целое положительное нечетное, а n – натуральное нечетное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A неотрицательно, , а для которых отрицательно,

Аналогично доказывается следующий результат для целых отрицательных и нечетных m и натуральных нечетных n . Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A положительно, , а для которых отрицательно,

Наконец, последний результат. Пусть m – целое четное, n – любое натуральное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A положительно (если m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . А для которых отрицательно, . Таким образом, если m – целое четное, n – любое натуральное, то для любого набора значений переменных из ОДЗ для выражения его можно заменить на .

Список литературы.

  1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. – М.: Просвещение, 2009.- 336 с.: ил.- ISBN 979-5-09-016551-8.

    изменить - в корне изменить до неузнаваемости изменить кардинально изменить коренным образом изменить неузнаваемо изменить полностью изменить принципиально изменить радикально изменить резко изменить сильно изменить совершенно изменить … Словарь русской идиоматики

    в корне - в корне враждебный в корне изменить в корне измениться в корне неверно в корне неправый в корне неправильный в корне отличаться в корне отличный в корне ошибочный в корне переделать в корне пересмотреть в корне перестроить … Словарь русской идиоматики

    - (изменить) … Орфографический словарь-справочник

    - (Cohen) Герман (1842 1918) немецкий философ, основатель и виднейший представитель марбургской школы неокантианства. Основные работы: ‘Теория опыта Канта’ (1885), ‘Обоснование Кантом этики’ (1877), ‘Обоснование Кантом эстетики’ (1889), ‘Логика… … История Философии: Энциклопедия

    XIII. Дела внутренние (1866—1871). 4 го апреля 1866 года, в четвертом часу дня, Император Александр, после обычной прогулки в Летнем саду, садился в коляску, когда неизвестный человек выстрелил в него из пистолета. В эту минуту, стоявший в… …

    У этого термина существуют и другие значения, см. Subversion (игра). Subversion Логотип Subversion Тип централизованная … Википедия

    Fw 190 Fw 19 … Википедия

    Ближний Восток - (Near East) Содержание Содержание 1. История Ближнего Востока Доисторический Период Древней Истории Период средневековый Крестовые Походы Период Новой Истории, с XV го по XVIII й в Период Новой Истории с XVIII по XX вв. Дело Святых Мест… … Энциклопедия инвестора

    - — царь и великий князь всея Руси, старший сын великого князя Василия??? Иоанновича и второй супруги его Елены Васильевны, урожденной княжны Глинской, род. 25 августа 1530 г., вступил на великокняжеский престол 4 декабря 1533 г., венчан на… … Большая биографическая энциклопедия

    Наука и практическая деятельность по предупреждению и лечению болезней. На заре своей истории медицина занималась в основном лечением, а не предупреждением болезней; в современной медицине профилактическое и лечебное направления тесно связаны, и… … Энциклопедия Кольера

    - (КПСС) боевой испытанный авангард сов. народа, объединяющий на добровольных началах передовую, наиболее сознательную часть рабочего класса, колх. крестьянства и интеллигенции СССР. Коммунистич. партия основана В. И. Лениным, как революц.… … Советская историческая энциклопедия

Книги

  • Проснись+Разум+Ты свободен (комплект из 3-х книг) , Андрианов А., Ошо, Штюбен К.. 1. "Ты свободен! Прямо сейчас. Как найти себя" . Эта книга - инструкция по откровенному изучению более близкого нам явления, чем даже то, что мы называем "своим "Я"". Это нечто, что…
  • Заговор фармацевтов , Сергей Бубновский, Игорь Прокопенко. Эта книга - двойное расследование от известного телеведущего Игоря Прокопенко и доктора Сергея Бубновского, чьи методы лечения пользуются широкой и заслуженной популярностью. Проблемы лишнего…

Я разрабатываю встроенную систему Linux. Обычно система устанавливается путем создания файла ISO, который записывается на USB-накопитель, с которого может загружаться плата.

Чтобы сделать установку возможной автоматически (скажем, за ночь), я хотел бы иметь возможность выполнить установку на плате во время работы старой системы.

Моя установка состоит из двух частей: файла initrd, содержащего загрузочный столбец и установочных скриптов, а также архива.tar.gz, который содержит остальную корневую файловую систему для установки.

  1. Загрузочный загрузчик загружает ядро ​​и указывает его на initrd и загружает ядро.
  2. Сценарии установки initrd монтируют целевой диск / dev / sda, форматируют его, загрузчик и, наконец, копируют корневую файловую систему из.tar.gz и initrd.

Теперь я вместо этого хочу

  1. Скопируйте install.iso с главного компьютера на целевое устройство. (Нет проблем)
  2. Выполняйте шаги установки, как указано выше.

Моя проблема в том, что я не знаю, как мне следует заменить текущую систему на новую. Я предполагаю, что текущий установленный root (/) должен быть размонтирован и заменен initrd. Но я не могу понять, как это сделать!

2 Solutions collect form web for “Замените корень во время выполнения”

Я могу думать о разных способах делать то, что вы хотите. Все из них несут уровень риска и трудности. Основной риск состоит в том, что если установка идет не так, вы получите не загружаемую систему, которая должна быть установлена ​​вручную.

Моя основная мысль (которая зависит от вашего загрузчика и тому подобное) заключается в том, чтобы использовать именно ту процедуру, которая у вас есть сейчас. В основном скопируйте новый установочный образ на USB-накопитель, который навсегда останется в машине. Затем просто перезагрузитесь и отпустите его и установите нормально.

Он полагается на следующее

  1. Ручная переустановка. Я предполагаю, что у вас есть, что иначе переустановка в ночное время не будет проблемой.
  2. Ваш загрузчик может автоматически выбирать загрузку через USB или локальную файловую систему (или с помощью команды уровня приложения перед перезагрузкой)
  3. В конце вам нужно настроить загрузчик для загрузки с локальной платы, а не на USB-устройство, или просто удалить содержимое USB-устройства / сделать его загрузочным, чтобы загрузчик упал

Альтернативой этому было бы иметь два загрузочных / корневых раздела на вашей доске и просто установить в тот, который вы не используете, а в конце перезагрузки заставляет загрузчик загружаться в другой. Вы можете использовать среду chroot, чтобы заставить установщика думать, что он загружается с нуля. Это, вероятно, большое изменение в вашей среде, хотя и не будет быстрой победой.

Вы пытались установить initrd, а затем pivot_root? Кажется, что вы хотите сделать.