При умножении многочлена на одночлен мы будем пользоваться одним из законов умножения. Он получил в математике название распределительного закона умножения. Распределительный закон умножения :
1. (a + b)*c = a*c + b*c
2. (a - b)*c = a*c - b*c
Для того чтобы произвести умножение одночлена на многочлен, достаточно каждый из членов многочлена умножить на одночлен. После этого полученные произведения сложить. На следующем рисунке представлена схема умножения одночлена на многочлен.
Порядок умножения неважен, если, например, надо умножить многочлен на одночлен, то поступать нужно точно таким же образом. Таким образом, нет разницы между записями 4*x * (5*x^2*y - 4*x*y) и (5*x^2*y - 4*x*y)* 4*x.
Произведем умножение многочлена и одночлена, записанных выше. И покажем на конкретном примере, как это правильно делать:
4*x * (5*x^2*y - 4*x*y)
Используя распределительный закон умножения, составим произведение:
4*x*5*x^2*y - 4*x*4*x*y.
В полученной сумме приведем каждый из одночленов к стандартному виду и получим:
20*x^3*y - 16*x^2*y.
Это и будет произведением одночлена на многочлен: (4*x) * (5*x^2*y - 4*x*y) = 20*x^3*y - 16*x^2*y.
Примеры:
1. Умножим одночлен 4*x^2 на многочлен (5*x^2+4*х+3). Используя распределительный закон умножения, составим произведение. Имеем
(4*x^2*5*x^2) +(4*x^2* 4*х) +(4*x^2*3).
20*x^4 +16*x^3 +12*x^2.
Это и будем произведением одночлена на многочлен: (4*x^2)*(5*x^2+4*х+3)= 20*x^4 +16*x^3 +12*x^2.
2. Умножить одночлен (-3*x^2) на многочлен (2*x^3-5*x+7).
Использую распределительный закон умножения, составим произведение. Имеем:
(-3*x^2 * 2*x^3) +(-3*x^2 * -5*x) +(-3*x^2 *7).
В полученной сумме каждый из одночленов приведем к его стандартному виду. Получим:
6*x^5 +15*x^3 -21*x^2.
Это и будем произведением одночлена на многочлен: (-3*x^2) * (2*x^3-5*x+7)= -6*x^5 +15*x^3 -21*x^2.
Урок алгебры в 7 -м классе
ЦЕЛИ УРОКА
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ: сформулировать определение умножения одночлена на многочлен; развивать умения и навыки работы с одночленами и многочленами.
РАЗВИВАЮЩИЕ: развивать навыки познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ: воспитывать познавательную активность, ответственность; активизировать мыслительную деятельность в процессе выполнения самостоятельной работы.
ОБОРУДОВАНИЕ
Мультимедийный проектор, карточки с дифференцированными заданиями, карточки «Математическое лото», карточки с самостоятельной работой, «Оценочный лист».
ТИП УРОКА
Комбинированный.
СТРУКТУРА УРОКА
Мотивационная беседа.
Проверка домашнего задания. Индивидуальная работа по карточкам.
Актуализация опорных знаний - устная работа в игровой форме, с помощью которой ведется повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.
Изучение нового материала - в ходе беседы, учащиеся формулируют правило умножения одночлена на многочлен.
Закрепление изученного материала.
Физпауза.
Самостоятельная работа с самопроверкой.
Рефлексия.
Домашнее задание.
Итог урока.
ХОД УРОКА
ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ Слайд 1,2.
Учитель: Здравствуйте, ребята! Сегодня девизом к нашему уроку будут слова величайшего древнего китайского философа Конфуция: «Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький.» Мы с вами пойдем благородным путем. Продолжим учиться размышлять, находить рациональные пути решения и высказывать свои идеи. Желаю вам удачи!
Сегодня на уроке вы оцениваете свою деятельность в «Оценочных листах».
Оценочный лист ученика ______________________________
| Этапы урока | Отметка за работу |
||||
| Домашнее задание | |||||
| Индивидуальная работа по карточке | |||||
| Устная работа «Математическое лото» | |||||
| Изучение нового материала | |||||
| Закрепление. Работа по учебнику | |||||
| Работа в группе №630 | |||||
| Самостоятельная работа | |||||
| Рефлексия |
|||||
| Как ты оцениваешь свое участие в работе? | |||||
| Как ты оцениваешь свои знания по теме? | |||||
| Какие темы тебе надо повторить, чтобы быть успешным? |
|||||
| Умножение степеней с одинаковыми основаниями. | |||||
| Приведение подобных членов многочлена. | |||||
| Умножение одночленов. | |||||
| Раскрытие скобок со знаками «+» и «-» | |||||
1. ПОВТОРЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ «ОДНОЧЛЕНЫ. МНОГОЧЛЕНЫ»
Проверка домашнего задания. (три ученика, на заранее подготовленной доске, воспроизводят решения домашних номеров. После проверки выполнения, учащиеся класса задают дополнительный вопрос, выставляется отметка.)
Индивидуальная работа по карточкам. (Приложение 1)
№ 601. Слайд 3.
2. Устная работа. « Математическое лото».
Учитель: Ребята, вы умеете играть в лото? Работу выполняете в паре. На парте лежит таблица «Математическое лото». Вычеркните правильные ответы. Готовы?
1). Математическое лото.
Вычеркни правильные ответы.
| 10ab + 10b2 - 20b |
Учитель показывает карточки, ученики вычеркивают верные ответы.
2). Упростите выражения.
а 5 ∙ а 4 2 6 ∙ 2 9 5а ∙ 3а -2у ∙ 6х 4 ab ∙ a 2
5 x +(8- x ) 12а - (2 - 6 a ) 2 (a - b ) - a 2 (4 a - 1) 10 b (a + b - 2)
Учитель: Ребята, проверьте, правильно ли справились с этим заданием? Слайд 4.
Какие выражения остались? (Ученики: «одночлены и многочлены»)
Какие действия можно выполнять с многочленами и одночленами? (Ученики: «складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень»).
Прочитайте выражения: 5х + (8 - х); 12 - (2 - 6а) (учитель прикрепляет на доске магнитом)
Какие выражения при упрощении вызвали затруднения? Почему? (Ученики: «2(а-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), не умеем упрощать выражения такого вида»)
Прочитайте эти выражения. (2(а-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), прикреплены на доске магнитом)
Как называются выражения, стоящие перед скобками? (Ученики: «одночлены»)
Как называются выражения в скобках? (Ученики: «многочлены»)
Как вы думаете, чему вы сегодня научитесь на уроке? (Ученики: «умножать одночлен на многочлен»)
Сформулируйте тему урока и запишите ее в тетрадь. (Ученики: «Умножение одночлена на многочлен») Слайд 5.
Как упростить эти выражения? Кто смог умножить одночлен на многочлен? На какие знания вы опирались? (выслушиваю ответы учеников).
Сегодня вы научитесь выполнять еще одно преобразование алгебраических выражений, находить произведение одночлена на многочлен.
3. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА Слайд 6,7.
Учитель: Запишите в тетрадь выражение 7m6(m3 - m2 - 2)=
Какие правила надо знать, чтобы умножить одночлен на многочлен? (Ученики: «распределительное свойство, умножение степеней с одинаковыми основаниями, умножение положительных и отрицательных чисел»)
Запишите следующее выражение -3а2 (4а3 - а + 1)=
Какие правила надо знать, чтобы умножить одночлен на многочлен?
Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен. (Ученики: «Чтобы умножить одночлен на многочлен надо, одночлен умножить на каждый член многочлена»)
Молодцы! Прочитайте в учебнике определение по нашей теме.
4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА (работа с учебником)
Слайд 8.
№ 614 (а,б,в) - ученики на доске с объяснением;
№618 (г) - учитель вместе с учениками;
А) 1-й ряд (1 ученик на доске),
Б) 2-й ряд (1 ученик на доске),
В) 3-ряд (1 ученик на доске);
№ 630 (работа в группе)
Учитель: К вашим партам приклеены кружки, разные по цвету (6 разных цветов по 4 кружка). На них к №630 написаны буквы. Посмотрите, найдите задание в учебнике. Одинаковые буквы на кружках- это члены вашей группы. Выполните задание.
(после окончания работы каждая группа комментирует ответы, проверяем, разбираем ошибки)
Молодцы, успешно справились с данной работой. Не забудьте про «Оценочный лист».
5. ФИЗПАУЗА Слайд 9.
Быстро встали, улыбнулись,
Выше-выше подтянулись.
Ну-ка плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали, сели, встали,
И на месте побежали.
Учится с тобою молодёжь
Развивать и волю, и смекалку.
6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (в двух вариантах, для проверки усвоения нового материала)
Учитель: На ваших партах лежат задания для самостоятельной работы. Выполните предложенное задание.
Вариант 1.
А) _____ (х-у) = 4bx - 4by.
Б) _____ (5a + b) = 10
В) _____(x - 2) = x
Г) ______(c - m + b) = -ayc + aym - ayb.
Вариант 2.
Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым. Восстанови его:
А) _____(х-у) = 9ax - 9ay.
Б) _____(2a + b) = 2
В) ______(x - ) = x
Г) _____(x + y - a) = -bcx - bcy + bca.
Учитель: Проверьте правильность выполнения задания. Слайд 10.
8. РЕФЛЕКСИЯ Слайд 11.
Как вы оцениваете свое участие в работе на уроке?
Как вы оцениваете свои знания по новой теме?
Какие темы необходимо повторить, чтобы в дальнейшим быть успешным?
9. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Слайд 12.
10. ИТОГ УРОКА.
Ребята, вы сегодня очень хорошо работали на уроке, были активны, помогали друг другу. Сдайте ваши оценочные листы. Карточки с самостоятельной работой. На следующем уроке вы их получите с оценкой учителя.
Всем спасибо! До свидания! Слайд 13.
Приложение 1.
Карточка №1
1. Приведите подобные члены многочлена.
А) 5х + 6у - 3х - 12у = _________________________________________.
Б) 3ab + 7b + 12b - ab = _________________________________________.
B) 3t2 - 5t + 11 - 3t2 + 5t = ________________________________________.
2. Представьте выражение в виде степени.
А) b13 ∙b ∙ b7 = __________________.
Б) (x3)2 ∙ x4 = ___________________ .
Карточка №2
1. Раскройте скобки, используя правило.
А) 6а + (х + 3а - 1)= ______________________________________.
Б) 5у - (2х - а + b)= _____________________________________.
2. Упростите выражение:
а) (х3)2 ∙ х4 =____________________________________.
Б) (а3 ∙ а5)4 = ________________________________________
В) (с6)8: (с7)5 = _______________________________________
Карточка №3
Упростите выражение:
(8c2 + 3c) + (-7c2 - 11c + 3) - (-3c2 - 4) = ____________________________________________________________.
2.Вычислите:
А) 43 ∙ 53 = _______________;
Б) = ___________________.
Карточка №4.
1. Составьте сумму многочленов и приведите к стандартному виду:
А) 12у2 + 8у - 11 и 3у2 - 6у + 3;
Составьте разность многочленов и приведите к стандартному виду:
Б) а2 - 5ab - b2 и a2 + b2.
Упростите:
х15: х5 ∙ х7 = __________________.
Литература
- Алгебра: учебник для 7 класса / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под редакцией С. А. Теляковского - М.: Просвещение, 2014
- Дидактические материалы по алгебре для 7 класса / Л. П. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. - М.: Просвещение, 1012
- Поурочные разработки по алгебре. 7 класс/ А. Н. Рурукин, Г. В. Лупенко, И. А. Масленникова. - М.: ВАКО, 2007
- Открытые уроки алгебры. 7-8 классы / Н. Л. Барсукова. - М.: ВАКО, 2013
Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии. Познакомимся с понятием осевой, центральной и зеркальной симметрий. Будем учиться строить и определять симметричные относительно оси, центра и плоскости фигуры.
Слово симметрия в переводе с греческого звучит как гармония, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.
Центральная симметрия. Симметрия относительно точки или центральная симметрия - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам. А О В
Осевая симметрия. Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам. a АВ
Зеркальная симметрия Точки А и В называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе. АВ α
2. Две оси симметрии имеет... a) равнобедренный треугольник; b) равнобедренная трапеция; c) ромб. 2. Какое утверждение неверное? a) Если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный. b) Если треугольник имеет две оси симметрии, то он равносторонний. c) В равностороннем треугольнике две оси симметрии.
3. Какое утверждение верное? a) В параллелограмме точка пересечения диагоналей является центром симметрии. b) В равнобедренной трапеции точка пересечения диагоналей является ее центром симметрии. c) В равностороннем треугольнике точка пересечения медиан является центром его симметрии. 3. Имеет четыре оси симметрии... a) прямоугольник; b) ромб; c) квадрат.
4. Из того, что точки О и А симметричны относительно точки В, не следует, что... a) АО = 2ОВ; b) ОВ = 2АО; c) ОВ = АВ. 4. Точки А и В симметричны относительно прямой а, если они... a) лежат на перпендикуляре к прямой а; b) равноудалены от прямой а; c) лежат на перпендикуляре к прямой а и равноудалены от нее.
5. Диагональ АС четырехугольника АВСО является его осью симметрии. Этот четырехугольник не может быть... a) параллелограммом; b) ромбом; c) квадратом. 5. Из того, что точки М и N симметричны относительно точки К, следует, что... a) МК = 0,5 КN; b) МN=2МК; c) NК = 2МN.
6.ВD - высота в равнобедренном треугольнике АВС. Какое утверждение неверное? a) ВD - ось симметрии треугольника АВС. b) Точки А и С симметричны относительно точки D. c) Точка D - центр симметрии треугольника АВС. 6. Диагональ МР выпуклого четырехугольника МNРК является его осью симметрии. Этот четырехугольник не может быть... a) прямоугольником; b) ромбом; c) квадратом.
7. Прямая а делит отрезок АВ пополам. Какое утверждение верное? a) Точки А и В симметричны относительно прямой а. b) Точки А и В симметричны относительно точки пересечения прямой а и отрезка АВ. c) В данном случае нет ни осевой, ни центральной симметрии. 7. Прямая, проходящая через середину одной из сторон параллелограмма, является его осью симметрии. Тогда этот параллелограмм не может быть... a) прямоугольником; b) ромбом; c) квадратом.
8. Среди точек А (3; - 4), В (- 3; - 4), С (- 3; 4) укажите пару, симметричную относительно начала координат: a) А и В; b) В и С; c) А и С. 8. Среди точек D (4; - 7), К (- 4; 7), Р (- 4; - 7) укажите пару, симметричную относительно оси абсцисс: a) К и D; b) К и Р; c) Р и D.
9. Для прямой у = х + 2 укажите прямую, симметричную относительно оси ОY. a) у = -х + 2; b) у = х - 2; c) у = -х Для прямой у = х + 2 укажите прямую, симметричную относительно начала координат: a) у = -х + 2; b) у = х - 2; c) у = -х - 2.
Ответы: вccabacbca 2вbcccbabbb
МКОУ «Аннинская СОШ с УИОП»
Симметрия в пространстве
Симметрия
Симметрия в широком смысле - соответствие, неизменность, проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях.
Центральная симметрия
Осевая симметрия
Симметрия
Зеркальное отражение или зеркальная симметрия - движение евклидова пространства, множество неподвижных точек которого является гиперплоскостью (в случае трехмерного пространства - просто плоскостью).
Осевая симметрия
При осевой симметрии каждая точка фигуры переходят в точку, симметричную ей относительно плоскости
Осевая симметрия
Центральная симметрия
Центральной симметрией относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A - середина отрезка XX′.
Центральная симметрия
Центральная симметрия
Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.
Параллельный перенос
Параллельный перенос ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Параллельный перенос
Симметрия в физике
В теоретической физике, поведение физической системы описывается некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин (интегралов движения ).
Симметрия в биологии
Симметрия в биологии - это закономерное расположение подобных частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии.
Симметрия в химии
Симметрия важна для химии, так как она объясняет наблюдения в спектроскопии, квантовой химии и кристаллографии.
Симметрия в религиозных символах
Предполагается, что тенденция людей видеть цель в симметрии, является одной из причин, почему симметрия часто является неотъемлемой частью символов мировых религий. Вот лишь некоторые из многих примеров, изображённые на рисунке.
Симметрия в социальных взаимодействиях
Люди наблюдают симметричную природу (также включающую асимметричный баланс) социального взаимодействия в различных контекстах. Они включают оценки взаимности, эмпатии, извинения, диалога, уважения, справедливости и мести. Симметричные взаимодействия посылают сигналы «мы одинаковые», а асимметричные взаимодействия выражают мысль «я особый, лучше, чем ты».
