Ось симметрии отрезка. Оси симметрии. Фигуры, имеющие ось симметрии. Что такое вертикальная ось симметрии. Примеры в природе

Величины Меньшова В цикле "Монолог в четырёх частях" канал «Культура» представил одну из самых таинственных персон советского русского кинематографа. Категория «таинственности» использована вовсе не потому, что хочется в экспозиции заметки захватить внимание

Величины и шкалы

Величины и шкалы В этом разделе мы в значительной мере следуем увлекательному изложению этой темы в книге Б.Г.Артемьева и Ю.Е.Лукашова «Справочное пособие для специалистов метрологических служб».Шкалы - это способ упорядочивания значений. Причем значения мы понимаем

ж) возрастом человека и размером его обуви;

з) объемом куба и длиной его ребра;

и) периметром квадрата и длиной его стороны;

к) дробью и ее знаменателем, если числитель не изменяется;

л) дробью и ее числителем, если знаменатель не изменяется.

Задачи 767-778 решите, составив .

767. Стальной шарик объемом 6 см 3 имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 см 3 ?

768. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

769. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистят эту площадку?

770. Для перевозки груза потребовалось 24 машины 1рузо- подъемностыо 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

771. Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дали всходы (процент всхожести)?

772. Во время воскресника по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип?

773. В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой участников секции составляют девочки и какой мальчики?

774. Колхоз по плану должен засеять 980 га кукурузой. Но план выполнили на 115%. Сколько гектаров кукурузы посеял колхоз?

775. За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если будет работать с той же производительностью?

776. За три дня было убрано 16,5% всей свеклы. Сколько потребуется дней, чтобы убрать 60,5% всей свеклы, если работать с той же производительностью?

777. В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?

778. Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г свеклы. Сколько свеклы надо взять на 650 г мяса?

П 779. Вычислите устно:

780. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из следующих дробей:.
781. Из чисел 3, 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции.

782. Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние члены? Приведите примеры.

783. При каком значении х верна пропорция:

784. Найдите отношение:
а) 2 мин к 10 с; в) 0,1 кг к 0,1 г; д) 3 дм 3 к 0,6 м 3 .
б) 0,3 м 2 к 0,1 дм 2 ; г) 4 ч к 1 сут;

1) 6,0008:2,6 + 4,23 0,4;

2) 2,91 1,2 + 12,6288:3,6.

Д 795. Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. ^^ Сколько яблочного пюре получится из 45 кг яблок?

796. Трое маляров могут закончить работу за 5 дней. Для ускорения работы добавили еще двух маляров. За какое время они закончат работу, считая, что все маляры будут работать с одинаковой производительностью?

797. За 2,5 кг баранины заплатили 4,75 р. Сколько баранины можно купить по той же цене на 6,65 р.?

798. В сахарной свекле содержится 18,5% сахара. Сколько сахара содержится в 38,5 т сахарной свеклы? Ответ округлите до десятых долей тонны.

799. В семенах подсолнечника нового сорта содержится 49,5% масла. Сколько килограммов таких семян надо взять, чтобы в них содержалось 29,7 кг масла?

800. В 80 кг картофеля содержится 14 кг крахмала. Найдите процентное содержание крахмала в таком картофеле.

801. В семенах льна содержится 47% масла. Сколько масла содержится в 80 кг семян льна?

802. Рис содержит 75% крахмала, а ячмень 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нем содержалось столько же крахмала, сколько его содержится в 5 кг риса?

803. Найдите значение выражения:

а) 203,81:(141 -136,42) + 38,4:0,7 5;
б) 96:7,5 + 288,51:(80 - 76,74).

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Если две величины связаны между собой так, что при увеличении (уменьшении ) значения одной из них в несколько раз значение второй уменьшается (увеличивается ) во столько же раз, то такие величины называются обратно пропорциональными.

В жизни встречается много таких величин.

Скорость и время при одинаковой длине пути .

Если скорость уменьшается, то время увеличивается, а если скорость увеличивается, то время уменьшается.

Количество рабочих и время при определении объёма работ .

При выполнении одной и той же работы, чем меньше работников, тем больше нужно времени, чтобы выполнить эту работу и наоборот.

Длина и ширина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника .

Если площадь прямоугольника постоянна, то при увеличении длины, ширина уменьшается и наоборот.

ПРИМЕР:

Если на 15 руб, нужно купить несколько килограммов конфет, то количество конфет будет зависеть от цены одного килограмма. Чем выше цена, тем меньше можно купить на эти деньги товара. Это видно из таблицы.

ПРИМЕР:

Если расстояние между двумя городами 1200 км, то оно может быть пройдено в различное время в зависимости от скорости передвижения. Существуют разные способы передвижения : пешком, на лошади, на велосипеде, на пароходе, в автомобиле, на поезде, на самолёте. Чем меньше скорость, тем больше нужно времени для передвижения. Это видно из таблицы.

Свойство обратно пропорциональных величин.

Если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Возьмём пример, который мы рассматривали ранее. Там мы имели дело с двумя величинами – скоростью движения и временем. Если мы будем рассматривать по таблице значения этих величин слева направо, то увидим, что значения первой величины (скорости) возрастают, а значения второй (времени) убывают, причём скорость увеличивается во столько же раз, во сколько раз уменьшается время . Нетрудно сообразить, что если написать отношение каких-нибудь значений одной величины, то оно не будет равно отношению соответствующих значений другой величины. В самом деле, если мы возьмём отношение четвертого значения верхней величины к седьмому значению (40: 80) , то оно не будет равно отношению четвертого и седьмого значений нижней величины (30: 15) . Это можно написать так:

40: 80 не равно 30: 15 , или 40: 80 ≠ 30: 15 .

Но если вместо одного из этих отношений взять обратное, то получится равенство, т. е. из этих отношений можно будет составить пропорцию.

ПРИМЕР:

80: 40 = 30: 15

40: 80 = 15: 30.

Формула обратной пропорциональности.

Для данной пары обратно пропорциональных величин произведение любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся ).

Принимая во внимание всё сказанное, легко вывести формулу обратной пропорциональности. Обозначим некоторое значение одной величины буквой х , а соответствующее значение другой величины – буквой у . Тогда на основании изложенного произведение х на у должно быть равно некоторой постоянной величине, которую обозначим буквой К , т. е.:

х × у = К.

В этом равенстве х – множимое, у – множитель и К – произведение. По свойству умножения множитель равен произведению, делённому на множимое. Значит:

Автор одного сочинения рассчитал, что если его книга будет иметь обычный формат, то в ней будет 96 станиц, если же карманный формат, то в ней окажется 300 страниц. Он испробовал разные варианты, начал с 96 страниц и тогда у него на странице получилось 2500 букв. Сколько будет букв на странице, если в книжке будет 100 страниц ?

Во всей книге 240000 букв, так как :

2500 × 96 = 240000.

Принимая это во внимание, воспользуемся формулой обратной пропорциональности (у – число букв на странице, х – число страниц ),

К = 240000 ,

следовательно,

Подобно этому узнаем, что если в книге будет 120 страниц, то число букв на странице будет :

Жизнь людей наполнена симметрией. Это удобно, красиво, не нужно выдумывать новых стандартов. Но что она есть на самом деле и так ли красива в природе, как принято считать?

Симметрия

С древних времен люди стремятся упорядочить мир вокруг себя. Поэтому что-то считается красивым, а что-то не очень. С эстетической точки зрения как привлекательные рассматриваются золотое и серебряное сечения, а также, разумеется, симметрия. Этот термин имеет греческое происхождение и дословно означает "соразмерность". Разумеется, речь идет не только о совпадении по этому признаку, но также и по некоторым другим. В общем смысле симметрия - это такое свойство объекта, когда в результате тех или иных образований результат равен исходным данным. Это встречается как в живой, так и в неживой природе, а также в предметах, сделанных человеком.

Прежде всего термин "симметрия" употребляется в геометрии, но находит применение во многих научных областях, причем его значение остается в общем и целом неизменным. Это явление достаточно часто встречается и считается интересным, поскольку различается несколько его видов, а также элементов. Использование симметрии также интересно, ведь она встречается не только в природе, но и в орнаментах на ткани, бордюрах зданий и многих других рукотворных предметах. Стоит рассмотреть это явление поподробнее, поскольку это крайне увлекательно.

Употребление термина в других научных областях

В дальнейшем симметрия будет рассматриваться с точки зрения геометрии, однако стоит упомянуть, что данное слово используется не только здесь. Биология, вирусология, химия, физика, кристаллография - все это неполный список областей, в которых данное явление изучается с различных сторон и в разных условиях. От того, к какой науке относится этот термин, зависит, например, классификация. Так, разделение на типы серьезно варьируется, хотя некоторые основные, пожалуй, остаются неизменными везде.

Классификация

Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:

Кроме того, в геометрии различают также следующие типы, они встречаются значительно реже, но не менее любопытны:

• скользящая;
• вращательная;
• точечная;
• поступательная;
• винтовая;
• фрактальная;
• и т. д.

В биологии все виды называются несколько иначе, хотя по сути могут быть такими же. Подразделение на те или иные группы происходит на основании наличия или отсутствия, а также количества некоторых элементов, таких как центры, плоскости и оси симметрии. Их следует рассмотреть отдельно и более подробно.

Базовые элементы

В явлении выделяют некоторые черты, одна из которых обязательно присутствует. Так называемые базовые элементы включают в себя плоскости, центры и оси симметрии. Именно в соответствии с их наличием, отсутствием и количеством определяется тип.

Центром симметрии называют точку внутри фигуры или кристалла, в которой сходятся линии, соединяющие попарно все параллельные друг другу стороны. Разумеется, он существует не всегда. Если есть стороны, к которым нет параллельной пары, то такую точку найти невозможно, поскольку ее нет. В соответствии с определением, очевидно, что центр симметрии - это то, через что фигура может быть отражена сама на себя. Примером может служить, например, окружность и точка в ее середине. Этот элемент обычно обозначается как C.

Плоскость симметрии, разумеется, воображаема, но именно она делит фигуру на две равные друг другу части. Она может проходить через одну или несколько сторон, быть параллельной ей, а может делить их. Для одной и той же фигуры может существовать сразу несколько плоскостей. Эти элементы обычно обозначаются как P.

Но, пожалуй, наиболее часто встречается то, что называют "оси симметрии". Это нередкое явление можно увидеть как в геометрии, так и в природе. И оно достойно отдельного рассмотрения.

Оси

Часто элементом, относительно которого фигуру можно назвать симметричной,

Примерами могут служить равнобедренные и В первом случае будет вертикальная ось симметрии, по обе стороны от которой равные грани, а во втором линии будут пересекать каждый угол и совпадать со всеми биссектрисами, медианами и высотами. Обычные же треугольники ею не обладают.

Кстати, совокупность всех вышеназванных элементов в кристаллографии и стереометрии называется степенью симметрии. Этот показатель зависит от количества осей, плоскостей и центров.

Примеры в геометрии

Условно можно разделить все множество объектов изучения математиков на фигуры, имеющие ось симметрии, и такие, у которых ее нет. В первую категорию автоматически попадают все окружности, овалы, а также некоторые частные случаи, остальные же попадают во вторую группу.

Как и в случае, когда говорилось про ось симметрии треугольника, данный элемент для четырехугольника существует не всегда. Для квадрата, прямоугольника, ромба или параллелограмма он есть, а для неправильной фигуры, соответственно, нет. Для окружности оси симметрии - это множество прямых, которые проходят через ее центр.

Кроме того, интересно рассмотреть и объемные фигуры с этой точки зрения. Хотя бы одной осью симметрии помимо всех правильных многоугольников и шара будут обладать некоторые конусы, а также пирамиды, параллелограммы и некоторые другие. Каждый случай необходимо рассматривать отдельно.

Примеры в природе

В жизни называется билатеральной, она встречается наиболее
часто. Любой человек и очень многие животные тому пример. Осевая же называется радиальной и встречается гораздо реже, как правило, в растительном мире. И все-таки они есть. Например, стоит подумать, сколько осей симметрии имеет звезда, и имеет ли она их вообще? Разумеется, речь идет о морских обитателях, а не о предмете изучения астрономов. И правильным ответом будет такой: это зависит от количества лучей звезды, например пять, если она пятиконечная.

Кроме того, радиальная симметрия наблюдается у многих цветков: ромашки, васильки, подсолнухи и т. д. Примеров огромное количество, они буквально везде вокруг.

Аритмия

Этот термин, прежде всего, напоминает большинству о медицине и кардиологии, однако он изначально имеет несколько другое значение. В данном случае синонимом будет "асимметрия", то есть отсутствие или нарушение регулярности в том или ином виде. Ее можно встретить как случайность, а иногда она может стать прекрасным приемом, например, в одежде или архитектуре. Ведь симметричных зданий очень много, но знаменитая чуть наклонена, и хоть она не одна такая, но это самый известный пример. Известно, что так получилось случайно, но в этом есть своя прелесть.

Кроме того, очевидно, что лица и тела людей и животных тоже не полностью симметричны. Проводились даже исследования, согласно результатам которых "правильные" лица расценивались как неживые или просто непривлекательные. Все-таки восприятие симметрии и это явление само по себе удивительны и пока не до конца изучены, а потому крайне интересны.

Цель урока:

• формирование понятия "симметричные точки";
• учить детей строить точки, симметричные данным;
• учить строить отрезки, симметричные данным;
• закрепление пройденного (формирование вычислительных навыков, деление многозначного числа на однозначное).

На стенде "к уроку" карточки:

1. Организационный момент

Приветствие.

Учитель обращает внимание на стенд:

Дети, начинаем урок с планирования нашей работы.

Сегодня на уроке математики мы совершим путешествие в 3 царства: царство арифметики, алгебры и геометрии. Начнем урок с самого главного для нас сегодня, с геометрии. Я расскажу вам сказку, но "Сказка - ложь, да в ней намек - добрым молодцам урок".

":У одного философа по имени Буридан был осёл. Однажды, уезжая надолго, философ положил перед ослом две одинаковые охапки сена. Он поставил скамейку, а слева от скамейки и справа от нее на одинаковом расстоянии положил совершенно одинаковые охапки сена.

Рисунок 1 на доске:

Осел ходил от одной охапки сена к другой, но так и не решил, с какой охапки ему начать. И, в конце концов, умер с голоду".

Почему осел так и не решил, с какой охапки сена ему начать?

Что вы можете сказать про эти охапки сена?

(Охапки сена совершенно одинаковы, находились на одинаковом расстоянии от скамейки, значит, они симметричны).

2. Проведем небольшую исследовательскую работу.

Возьмите лист бумаги (у каждого ребенка на парте лежит лист цветной бумаги), сложите его пополам. Проколите его ножкой циркуля. Разверните.

Что у вас получилось? (2 симметричных точки).

Как убедиться в том, что они действительно симметричны? (сложим лист, точки совпадают)

3. На доске:

Как вы думаете, симметричны ли данные точки? (нет). Почему? Как нам убедиться в этом?

Рисунок 3:

Симметричны ли эти точки А и В?

Как мы можем это доказать?

(Измерить расстояние от прямой до точек)

Возвращаемся к нашим листочкам цветной бумаги.

Измерьте расстояние от линии сгиба (оси симметрии) сначала до одной, а потом до другой точки (но сначала соедините их отрезком).

Что вы можете сказать про эти расстояния?

(Одинаковые)

Найдите середину вашего отрезка.

Где она находится?

(Является точкой пересечения отрезка АВ с осью симметрии)

4. Обращаем внимание на углы, образованные в результате пересечения отрезка АВ с осью симметрии. (Выясняем с помощью угольника, каждый ребенок работает на своем рабочем месте, один уч-ся на доске).

Вывод детей: отрезок АВ находится под прямым углом по отношению к оси симметрии.

Сами того не ведая, мы сейчас с вами открыли математическое правило:

Если точки А и В симметричны относительно прямой или оси симметрии, то отрезок, соединяющий эти точки, находится под прямым углом, или перпендикулярен этой прямой. (Слово "перпендикулярен" выписано отдельно на стенде). Слово "перпендикулярен" произносим вслух хором.

5. Обратим внимание, как это правило написано у нас в учебнике.

Работа по учебнику.

Найдите симметричные точки, относительно прямой. Будут ли точки А и В симметричны относительно этой прямой?

6. Работа над новым материалом.

Поучимся строить точки, симметричные данным, относительно прямой.

Учитель учит рассуждать.

Чтобы построить точку, симметричную точке А, нужно перенести эту точку от прямой на то же расстояние вправо.

7. Будем учиться строить отрезки, симметричные данным, относительно прямой . Работа по учебнику.

Учащиеся рассуждают у доски.

8. Устный счет.

На этом мы закончим наше пребывание в Царстве "Геометрия" и проведем небольшую математическую разминку, побывав в царстве "Арифметика".

В то время, когда все работают устно, два учащиеся работают на индивидуальных досках.

А) Выполните деление с проверкой:

Б) Вставив нужные цифры, решите пример и проверьте:

Устный счет.

1. Продолжительность жизни березы 250 лет, а дуба в 4 раза больше. Сколько лет живет дуб?
2. Попугай живет в среднем 150 лет, а слон в 3 раза меньше. Сколько лет живет слон?
3. Медведь позвал к себе гостей: ежа, лиса и белку. И в дар ему преподнесли горчичницу, вилку и ложку. Что подарил медведю еж?

Ответить на этот вопрос мы сможем, если выполним данные программы.

• Горчичница - 7
• Вилка - 8
• Ложка - 6

(Еж подарил ложку)

4) Вычислите. Найдите лишний пример.

• 810: 90
• 360: 60
• 420: 7
• 560: 80

5) Найдите закономерность и помогите записать нужное число:

3	9	81
2		16

5	10	20
6		24

9. А сейчас немного отдохнем.

Послушаем "Лунную сонату" Бетховена. Минутка классической музыки. Уч-ся кладут голову на парту, закрывают глаза, слушают музыку.

10. Путешествие в царство алгебры.

Угадай корни уравнения и сделай проверку:

Уч-ся решают на доске и в тетрадях. Объясняют, как догадались.

11. "Блицтурнир" .

а) Ася купила 5 бубликов по а рублей и 2 батона по b рублей. Сколько стоит вся покупка?

Проверяем. Делимся мнениями.

12. Подведение итогов.

Итак, мы закончили наше путешествие в царство математики.

Что было для вас самым важным на уроке?

Кому наш урок понравился?

Мне было приятно с вами работать

Спасибо вам за урок.