Содержание статьи
УРАВНЕНИЯ. Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x – 1) 2 = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях переменной x . Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак є, который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin 2 x + cos 2 x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.
Если уравнение, содержащее переменную x , выполняется только при определенных, а не при всех значениях x , как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x , при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.
Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x , можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.
ТИПЫ УРАВНЕНИЙ
Алгебраические уравнения.
Уравнения вида f n = 0, где f n – многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида
f n = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n + ј + a s x p y q ... v r ,
где x , y ,..., v – переменные, а i , j ,..., r – показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:
f (x ) = a 0 x n + a 1 x n – 1 +... + a n – 1x + a n
или, в частном случае, 3x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x – 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f (x ) = 0. Если a 0 № 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 – уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.
Трансцендентные уравнения.
Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:
где lg – логарифм по основанию 10.
Дифференциальные уравнения.
Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.
Интегральные уравнения.
Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s ) = тK (s, t ) f (t ) dt , где f (s ) и K (s ,t ) заданы, а f (t ) требуется найти.
Диофантовы уравнения.
Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n , y = 4 + 3n .
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.
Линейные уравнения.
Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.
1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.
2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.
3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.
4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.
Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Квадратные уравнения.
Решения общего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы
Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.
Другие алгебраические уравнения.
Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители.
Например, уравнение x 3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x 2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:
Таким образом, корни равны x = –1, т.е. всего 3 корня.
Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n -й степени имеет ровно n корней.
Системы линейных уравнений.
Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде
Уравнение - это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение - значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.
В школьном курсе, как правило, рассматривают уравнения, в которых неизвестные принимают числовые значения. Числовое значение неизвестного, удовлетворяющее уравнению с одним неизвестным, называется корнем или решением этого уравнения. Набор чисел, удовлетворяющих уравнению с несколькими неизвестными, называется его решением.
В математике рассматривают также уравнения, в которых неизвестными являются целые числа (диофантовы уравнения), векторы (векторные уравнения), функции (дифференциальные, интегральные, функциональные уравнения) и объекты другой природы. Вместе с уравнением указывают его область определения (множество допустимых значений неизвестных); если это не сделано, то предполагается, что это естественная общая область определения выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения.
Уравнение одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение (или систему уравнений) для определения неизвестной величины.
Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений окончательно сложилась в XVI в.; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита , , , …, а известные величины (параметры) - первыми , , , ... идет от французского ученого Р. Декарта.
Обычный путь алгебраического (чаще говорят, аналитического) решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям. Если все решения одного уравнения являются решениями другого, то второе уравнение называется следствием первого. Если каждое из двух уравнений - следствие другого (т.е. множества их решений совпадают), то такие уравнения называются равносильными. Применяя к обеим частям уравнения одно и то же преобразование, мы приходим к следствию этого уравнения. Если же это преобразование обратимо, то получается уравнение, равносильное данному. (Например, умножая обе части уравнения на одно и то же число, мы получаем следствие данного уравнения. Если это число отлично от нуля, то выполненное преобразование обратимо, так что полученное уравнение равносильно исходному).
Решая
уравнение с одним неизвестным, мы пытаемся прийти к простейшим уравнениям, для
решения которых есть готовые формулы. Эго линейные уравнения, квадратные
уравнении, уравнения вида , где - число, а - одна из основных
элементарных функций: степенная , показательная , логарифмическая 
,
тригонометрические , , .
Заметим,
что запись общего решения уравнения требует введения функции , обратной к
функции .
Если ,
то ;
если ,
то 
;
если и 
, то 
.
Как же сводятся уравнения к простейшим? Для конкретного типа уравнений (алгебраических, тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических и т.п.) разработаны частные приемы решения. Из общих методов решения уравнений остановимся на трех, которые встречаются чаще всего.
Если
левую часть уравнения удается разложить на множители: 
, то оно
распадается на уравнения , , …, , объединение множеств их решений
дает множество решений данного уравнения. Например, уравнение можно решить так:
,
.
Решая уравнения и , находим все корни данного уравнения: 1, 2 и -3. Этот метод принято называть методом разложения на множители.
Часто
удается упростить уравнение, принимая в качестве новой неизвестной некоторую
функцию от старой неизвестной. Например, уравнение можно свести к квадратному
уравнению, положив 
.Тогда , и мы приходим к уравнению .
Иногда удается решить уравнение, анализируя функциональные свойства его левой и правой частей.
Например, так как левая часть уравнения возрастает, а правая - постоянна, то это уравнение не может иметь более одного корня. Единственный корень легко угадывается.
Решая
уравнение 
,
заметим, что при всех выполняются неравенства , 
, откуда , а так как , то данное
уравнение не имеет корней.
До сих пор мы разбирали приемы решения уравнений, позволяющие найти корень уравнения как число или комбинацию известных функций от параметров. Однако далеко не все уравнения, возникающие на практике, можно решить подобным образом. Например, в начале XIX в. было доказано, что не существует общей формулы для решения алгебраических уравнений начиная с пятой степени. Да и в тех случаях, когда уравнение удается решить, формула для корней может быть чересчур громоздкой. Поэтому в математике разработаны различные методы приближенного решения уравнений. Простейший из них основан на том, что если функция непрерывна во всех точках отрезка и принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение имеет на этом отрезке корень.
С помощью графика особенно удобно проводить исследование уравнений; например, по графику (рис. 2) мы сразу видим, что уравнение имеет три корня при , два - при и один - при .
Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. 3х – 8 = х – 14 3х –х = х = -6 х = -3
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x) Согласно определению логарифма,
0, то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два р" title="Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Дискриминантом квадратного уравнения называется число Если D > 0, то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два р" class="link_thumb"> 23 Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Дискриминантом квадратного уравнения называется число Если D > 0, то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два решения: 0, то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два р"> 0, то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два решения:"> 0, то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два р" title="Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Дискриминантом квадратного уравнения называется число Если D > 0, то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два р"> title="Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Дискриминантом квадратного уравнения называется число Если D > 0, то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два р">
Тригонометрическое уравнение вида все члены которого имеют одну и ту же степень относительно синуса и косинуса, называется однородным. Однородное уравнение легко сводиться к уравнению относительно, если все его члены разделить на. При этом если, то такое деление не приведет к потере решений, поскольку значение не удовлетворяет уравнению. Если же, то выносится за скобки.
Уравнение вида равносильно уравнению,где Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, состоящие в правой части, переносятся в левую часть; после чего левая часть уравнения разлагается на множители, при этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение, формулы понижения степени, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в систему.
Иррациональные уравнения Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени -В-Возведение обеих частей уравнения в степень. При возведении обеих частей уравнения в четную степень, получается уравнение, неравносильное исходному. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верно ли получается числовое равенство.
Равенство нулю произведения(частного) двух выражений. Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Формально это записывается так: Формальная запись частного от деления двух выражений равных нулю:
Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Возведение в квадрат обеих частей уравнения. Сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы в одной части стояли радикалы, а в другой- остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если в уравнении два радикала. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования. Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал(теперь он один!)-в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов.
Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степей. При решении уравнений, содержащих радикалы третьей степени, бывает полезно пользоваться следующими тождествами: Решить уравнение: Решение: Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х=5 и х=-25/2. Если считать (по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ:5,-25/2
Уравнение с параметром При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? Решение: Рассмотрим функцию: и построим эскиз её графика. При а=0 функция становится линейной и двух пересечений с осью Ох(корней уравнения у=0) иметь не может. При а>0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие: Если же а
0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие: Если же а">
Графический способ решения систем уравнений Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Решение системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество. Решить систему - значит найти все её решения или доказать что их нет.
Графическое решение систем Графический способ решения систем уравнений состоит в следующем: Строятся графики каждого уравнения системы; Определяются точки пересечения графиков; Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков. Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений.
Равносильность уравнений Равносильными (эквивалентными) уравнения называются в том случае, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, а все корни второго уравнения – корнями первого. Равносильные преобразования уравнения – это преобразования, приводящие к равносильному уравнению: 1)Прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа (в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака) 2) Умножение (и деление) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля. Кроме того, для уравнений в области действительных чисел: 3) Возведением обеих частей уравнения в любую нечетную степень 4) Возведение обеих частей уравнения при условии, что они неотрицательны, в любую четную натуральную степень
Показательные уравнения. Показательным называют уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при постоянных основаниях. Показательное уравнение вида равносильно уравнению Имеются два основных метода решения показательных уравнений: 1)приведение уравнения к виду,а затем к виду; 2) введение новой переменной. Пример: Решим уравнение:
Список используемой литературы: Д.И.Аверьянов – «Большой справочник для поступающих в ВУЗы» 1998г. В.К.Егерев- «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И.Сканави». 1997г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс.» 2003г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 9 класс.» 2003г.
Презентацию подготовили: Шманова Виктория Деева Александра 11 класс МОУ «СОШ 1» г. Шумиха 2007г. подробная информация по тел
