Введение
С уверенностью можно сказать, что мало кто из людей задумывается о том, что векторы окружают нас повсюду и помогают нам в повседневной жизни. Рассмотрим ситуацию: парень назначил девушке свидание в двухстах метрах от своего дома. Найдут ли они друг друга? Конечно, нет, так как юноша забыл указать главное: направление, то есть по-научному – вектор. Далее, в процессе работы над данным проектом, я приведу ещё множество не менее интересных примеров векторов.
Вообще, я считаю, что математика – это интереснейшая наука, в познании которой нет границ. Я выбрала тему о векторах не случайно, меня очень заинтересовало то, что понятие «вектор» выходит далеко за рамки одной науки, а именно математики, и окружает нас практически везде. Таким образом, каждый человек должен знать, что такое вектор, поэтому, я думаю, что эта тема весьма актуальна. В психологии, биологии, экономике и многих других науках употребляют понятие «вектор». Подробнее об этом я расскажу позже.
Целями данного проекта являются приобретение навыков работы с векторами, умение видеть необычное в обычном, выработка внимательного отношения к окружающему миру.
История возникновения понятия вектор
Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.
Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.
Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками. В соответствии с требованиями новой программы по математике и физике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.
Векторы в математике
Вектором называется направленный отрезок, который имеет начало и конец.
Вектор с началом в точке А и концом в точке В принято обозначать как АВ. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда - чёрточкой) над ними, например .
Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector, несущий). Действительно, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор АВ естественно определяет перенос, при котором точка А перейдет в точку В, также и обратно, параллельный перенос, при котором А переходит в В, определяет собой единственный направленный отрезок АВ.
Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ, её обычно обозначают АВ. Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону, противоположно направленными, если коллинеарны и направлены в разные стороны.
Операции над векторами
Модуль вектора
Модулем вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ. Обозначается, как АВ. Через координаты вычисляется, как:
Сложение векторов
В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:
){\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}
Для геометрического построения вектора суммы {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}}c = используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.
Правило треугольника
Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов{\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :
Правило многоугольника
Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же {\displaystyle n} векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом {\displaystyle n}- го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.
Правило параллелограмма
Для сложения двух векторов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.
Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.
Вычитание векторов
Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:
‚ {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})}
Для получения вектора разности {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} начала векторов соединяются и началом вектора {\displaystyle {\vec {c}}} будет конец {\displaystyle {\vec {b}}}, а концом - конец {\displaystyle {\vec {a}}}. Если записать, используя точки векторов, то AC-AB=BC{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}}.
Умножение вектора на число
Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha 0}, даёт сонаправленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha , даёт противоположно направленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:
{\displaystyle \alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})}
Скалярное произведение векторов Скалярное
Скалярным произведением называют число, которое получается при умножении вектора на вектор. Находится по формуле:
Скалярное произведение можно найти ещё через длину векторов и угол между ними. Применение векторов в смежных науках Векторы в физике Векторы - мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Векторы в литературе Вспомним басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех сил приложенных к возу сил равна нулю. А сила, как известно, векторная величина. Векторы в химии
Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектором выражают действие или явление, имеющее четкую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора – координатами его начала и конца.
Однако утверждение, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Тем не менее основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов».
Все прямые химических реакций проходят через начало координат. Любую прямую в пространстве нетрудно выразить векторами, но поскольку прямая химической реакции проходит через начало системы координат, то можно принять, что вектор прямой химической реакции находится на самой прямой и называется радиус-вектором. Начало этого вектора совпадает с началом системы координат. Таким образом, можно сделать вывод: любая химическая реакция характеризуется положением ее вектора в пространстве. Векторы в биологии
Вектор (в генетике) - молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.
Векторы в экономике
Одним из разделов высшей математики является линейная алгебра. Ее элементы широко применяются при решении разнообразных задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора.
Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.
Векторы в психологии
На сегодняшний день имеется огромное количество информационных источников для самопознания, направлений психологии и саморазвития. И не трудно заметить, что все больше обретает популярность такое необычное направление, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов.
Векторы в повседневной жизни
Я обратила внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются мне каждый день. Так, например, во время прогулки в парке, я заметила, что ель, оказывается, можно рассматривать как пример вектора в пространстве: нижняя её часть – начало вектора, а верхушка дерева является концом вектора. А вывески с изображением вектора при посещении больших магазинов помогают нам быстро найти тот или иной отдел и сэкономить время.
Векторы в знаках дорожного движения
Каждый день, выходя из дома, мы становимся участниками дорожного движения в роли пешехода либо в роли водителя. В наше время практически каждая семья имеет машину, что, разумеется, не может не отразиться на безопасности всех участников дорожного движения. И, чтобы избежать казусов на дороге, стоит соблюдать все правила дорожного движения. Но не стоит забывать того, что в жизни всё взаимосвязано и, даже в простейших предписывающих знаках дорожного движения, мы видим указательные стрелки движения, в математике называемые – векторами. Эти стрелки (векторы) указывают нам направления движения, стороны движения, стороны объезда, и ещё многое другое. Всю эту информацию можно прочитать на знаках дорожного движения на обочинах дорог.
Заключение
Базовое понятие «вектор», рассмотренное нами ещё на уроках математики в школе, является основой для изучения в разделах общей химии, общей биологии, физики и других наук. Я наблюдаю необходимость векторов в жизни, которые помогают найти нужный объект, сэкономить время, они выполняют предписывающую функцию в знаках дорожного движения.
Выводы
Каждый человек постоянно сталкивается с векторами в повседневной жизни.
Векторы необходимы нам для изучения не только математики, но и других наук.
Каждый должен знать, что такое вектор.
Источники
Башмаков М.А. Что такое вектор?-2-е изд., стер.- М.: Квант, 1976.-221с.
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.-3-е изд., стер. - М.: Наука, 1978.-186с.
Гусятников П.Б. Векторная алгебра в примерах и задачах.-2-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 1985.-302с.
Зайцев В.В. Элементарная математика. Повторительный курс.-3-е изд., стер.- М.: Наука,1976.-156с.
Коксетер Г.С. Новые встречи с геометрией.-2-е изд., стер. - М.: Наука,1978.-324с.
Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- 3-е изд., стер. - М.: Квант,1968.-235с.
При выяснении вопроса о применимости векторного метода к решению той или иной задачи, необходимо установить возможность выражения всех данных соотношений между известными и искомыми величинами на языке векторов. Если это можно сделать без больших затруднений, то есть смысл при решении такой задачи использовать векторы.
Решение геометрических задач с помощью векторов протекает успешнее, если вы будете придерживаться общих правил поиска решения. Полезно использовать девять таких правил:
1. Начиная решать задачу, посмотрите, что дано и что требуется доказать; отделите условие задачи от ее заключения; запишите условие и заключение задачи через общепринятые обозначения.
2. Выясните все (по возможности) соотношения, из которых следует заключение задачи; запишите их в векторной форме.
3. Сопоставьте каждое из рассматриваемых соотношений с тем, что дано, и с рисунком и посмотрите, какое из них лучше выбрать для доказательства.
4. Из того, что дано, получите следствия, которые связаны (или могут быть связаны) с выбранным вами соотношением.
5. Выделяя на рисунке векторы, входящие в выбранное вами соотношение, постоянно задавайте себе вопрос: «Через какие векторы можно их выразить? » Для ответа на поставленный вопрос рассматривайте эти векторы во всех целесообразных (обнадеживающих) соотношениях с другими.
6. Если для выражения вектора через другие нужно сделать дополнительные построения на рисунке, сделайте их так, чтобы это выражение было наиболее простым.
7. Постоянно помните, что дано в условии задачи, и в случае затруднений проверьте, не упустили ли вы что-либо из условия.
8. Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую-либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой-нибудь из них.
9. Если выбранное вами соотношение (по правилу 2) не удалось доказать, применив все правила 4-8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4-8 уже относительно него.
I. Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. Например:
а) Равенство = k (k –некоторое число) , означает, что прямые АВ и СД параллельны.
б) Равенства = m/n и = n/(m+n) + m/(m+n) , (m,n –некоторые числа, Q –произвольная точка плоскости) означают, что точка С делит некоторый отрезок АВ в отношении m к n, т. е. AC: CB = m: n. При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто (это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении) .
в) Каждое из равенств = k1 , = k2 , = k3 , = p +q (где k1, k2, k3, p, q - некоторые числа, p+q=1, Q – произвольная точка плоскости) , a +b +g = 0 (a, b, g - некоторые числа, a+b+g = 0, Q -произвольная точка плоскости) означает принадлежность трех точек А, В, С одной прямой (два последних равенства следуют из теоремы о принадлежности трех точек одной прямой) .
г) . Равенство. = 0, где A ¹ B; C¹D, означает, что прямые АВ и СД перпендикулярны. (Указанное равенство следует из свойств скалярного произведения векторов.)
На-пом-ним, что су-ще-ству-ют такие фи-зи-че-ские ве-ли-чи-ны, для ко-то-рых важна не толь-ко ве-ли-чи-на, но и на-прав-ле-ние. Такие ве-ли-чи-ны на-зы-ва-ют-ся век-тор-ны-ми, или век-то-ра-ми, и обо-зна-ча-ют-ся они на-прав-лен-ным от-рез-ком, то есть таким от-рез-ком, у ко-то-ро-го от-ме-че-ны на-ча-ло и конец. Вве-де-но было по-ня-тие кол-ли-не-ар-ных век-то-ров, то есть таких, ко-то-рые лежат либо на одной пря-мой, либо на па-рал-лель-ных пря-мых.
Мы рас-смат-ри-ва-ем век-тор, ко-то-рый можно от-ло-жить от любой точки, за-дан-ный век-тор от про-из-воль-но вы-бран-ной точки можно от-ло-жить един-ствен-ным об-ра-зом.
Было вве-де-но по-ня-тие рав-ных век-то-ров - это такие со-на-прав-лен-ные век-то-ры, длины ко-то-рых равны. Со-на-прав-лен-ны-ми на-зы-ва-ют-ся кол-ли-не-ар-ные век-то-ры, на-прав-лен-ные в одну сто-ро-ну.
Были вве-де-ны пра-ви-ла тре-уголь-ни-ка и па-рал-ле-ло-грам-ма - пра-ви-ла сло-же-ния век-то-ров.
За-да-ны два век-то-ра - век-то-ры и . Най-дем сумму этих двух век-то-ров . Для этого от-ло-жим из неко-то-рой точки А век-тор . - на-прав-лен-ный от-ре-зок, точка А - его на-ча-ло, а точка В - конец. Из точки В от-ло-жим век-тор . Тогда век-тор на-зы-ва-ют сум-мой за-дан-ных век-то-ров: - пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 1).
За-да-но два век-то-ра - век-то-ры и . Най-дем сумму этих двух век-то-ров по пра-ви-лу па-рал-ле-ло-грам-ма.
От-кла-ды-ва-ем из точки А век-тор и век-тор (см. Рис. 2). На от-ло-жен-ных век-то-рах можно по-стро-ить па-рал-ле-ло-грамм. Из точки В от-кла-ды-ва-ем век-тор , век-то-ры и равны, сто-ро-ны ВС и
АВ1 па-рал-лель-ны. Ана-ло-гич-но па-рал-лель-ны и сто-ро-ны АВ и В1С, таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли па-рал-ле-ло-грамм. АС - диа-го-наль па-рал-ле-ло-грам-ма.
2. Правила сложения векторов
Для сло-же-ния несколь-ких век-то-ров при-ме-ня-ют пра-ви-ло мно-го-уголь-ни-ка (см. Рис. 3). Нужно из про-из-воль-ной точки от-ло-жить пер-вый век-тор, из его конца от-ло-жить вто-рой век-тор, из конца вто-ро-го век-то-ра от-ло-жить тре-тий и так далее, когда все век-то-ры от-ло-же-ны - со-еди-нить на-чаль-ную точку с кон-цом по-след-не-го век-то-ра, в итоге по-лу-чит-ся сумма несколь-ких век-то-ров.
Кроме того, мы рас-смот-ре-ли по-ня-тие об-рат-но-го век-то-ра - век-то-ра, име-ю-ще-го такую же длину, как за-дан-ный, но ему про-ти-во-на-прав-лен-но-го.
3. Решение примеров
При-мер 1 - за-да-ча 747: вы-пи-ши-те пары кол-ли-не-ар-ных со-на-прав-лен-ных век-то-ров, ко-то-рые опре-де-ля-ют-ся сто-ро-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма; ука-жи-те про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные век-то-ры;
Задан па-рал-ле-ло-грамм MNPQ (см. Рис. 4). Вы-пи-шем пары кол-ли-не-ар-ных век-то-ров. В первую оче-редь это век-то-ры и . Они не толь-ко кол-ли-не-ар-ные, но и рав-ные, т.к. они со-на-прав-ле-ны, и длины их равны по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма (в па-рал-ле-ло-грам-ме про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны). Сле-ду-ю-щая пара . Ана-ло-гич-но
вы-пи-шем кол-ли-не-ар-ные век-то-ры вто-рой пары сто-рон: ; .
Про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные век-то-ры: , , , .
При-мер 2 - за-да-ча 756: на-чер-ти-те по-пар-но некол-ли-не-ар-ные век-то-ры , и . По-строй-те век-то-ры ;; ;.
Для вы-пол-не-ния дан-но-го за-да-ния можем поль-зо-вать-ся пра-ви-лом тре-уголь-ни-ка или па-рал-ле-ло-грам-ма.
Спо-соб 1 - с по-мо-щью пра-ви-ла тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 5):
Спо-соб 2 - с по-мо-щью пра-ви-ла па-рал-ле-ло-грам-ма (см. Рис. 6):
Ком-мен-та-рий: мы при-ме-ня-ли в пер-вом спо-со-бе пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка - от-кла-ды-ва-ли из про-из-воль-но вы-бран-ной точки А пер-вый век-тор, из его конца - век-тор, про-ти-во-по-лож-ный вто-ро-му, со-еди-ня-ли на-ча-ло пер-во-го с кон-цом вто-ро-го, и таким об-ра-зом по-лу-ча-ли ре-зуль-тат вы-чи-та-ния век-то-ров. Во вто-ром спо-со-бе мы при-ме-ни-ли пра-ви-ло па-рал-ле-ло-грам-ма - по-стро-и-ли на нуж-ных век-то-рах па-рал-ле-ло-грамм и его диа-го-наль - ис-ко-мую раз-ность, помня тот факт, что одна из диа-го-на-лей - это сумма век-то-ров, а вто-рая - раз-ность.
При-мер 3 - за-да-ча 750: до-ка-жи-те, что если век-то-ры и равны, то се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют. До-ка-жи-те об-рат-ное утвер-жде-ние: если се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют, то век-то-ры и равны (см. Рис. 7).
Из ра-вен-ства век-то-ров и сле-ду-ет, что пря-мые АВ и CD па-рал-лель-ны, и что от-рез-ки АВ и CD равны. Вспом-ним при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма: если у че-ты-рех-уголь-ни-ка пара про-ти-во-по-лож-ных сто-рон лежит на па-рал-лель-ных пря-мых, и их длины равны, то дан-ный че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм.
Таким об-ра-зом, че-ты-рех-уголь-ник ABCD, по-стро-ен-ный на за-дан-ных век-то-рах, - па-рал-ле-ло-грамм. От-рез-ки AD и BC яв-ля-ют-ся диа-го-на-ля-ми па-рал-ле-ло-грам-ма, одно из свойств ко-то-ро-го: диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма пе-ре-се-ка-ют-ся и в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам. Таким об-ра-зом, до-ка-за-но, что се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют.
До-ка-жем об-рат-ное утвер-жде-ние. Для этого вос-поль-зу-ем-ся дру-гим при-зна-ком па-рал-ле-ло-грам-ма: если в неко-то-ром че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-на-ли пе-ре-се-ка-ют-ся и точ-кой пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм. От-сю-да че-ты-рех-уголь-ник ABCD - па-рал-ле-ло-грамм, и его про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны па-рал-лель-ны и равны, таким об-ра-зом, век-то-ры и кол-ли-не-ар-ны, оче-вид-но, что они со-на-прав-ле-ны, и мо-ду-ли их равны, от-сю-да век-то-ры и равны, что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.
При-мер 4 - за-да-ча 760: до-ка-жи-те, что для любых некол-ли-не-ар-ных век-то-ров и спра-вед-ли-во нера-вен-ство 
(см. Рис. 8)
От-ло-жим из про-из-воль-ной точки А век-тор , по-лу-чим точку В, из нее от-ло-жим некол-ли-не-ар-ный ему век-тор . По пра-ви-лу па-рал-ле-ло-грам-ма или тре-уголь-ни-ка по-лу-чим сумму век-то-ров - век-тор . Имеем тре-уголь-ник .
Длина суммы век-то-ров со-от-вет-ству-ет длине сто-ро-ны АС тре-уголь-ни-ка. По нера-вен-ству тре-уголь-ни-ка длина сто-ро-ны АС мень-ше, чем сумма длин двух дру-гих сто-рон АВ и ВС, что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.
При-ме-не-ние век-то-ров к ре-ше-нию задач
4. Выражение вектора через два неколлинеарных
На-пом-ним, что мы уже изу-чи-ли неко-то-рые факты о век-то-рах, и те-перь умеем опре-де-лять рав-ные век-то-ры, кол-ли-не-ар-ные век-то-ры, со-на-прав-лен-ные и про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные. Также мы умеем скла-ды-вать век-то-ры по пра-ви-лу тре-уголь-ни-ка и па-рал-ле-ло-грам-ма, скла-ды-вать несколь-ко век-то-ров по пра-ви-лу мно-го-уголь-ни-ка, умеем умно-жать век-тор на число. Ре-ше-ние задач с век-то-ра-ми ис-поль-зу-ет все эти зна-ния. Пе-рей-дем к ре-ше-нию неко-то-рых при-ме-ров.
При-мер 1 - за-да-ча 769: от-ре-зок ВВ1 - ме-ди-а-на тре-уголь-ни-ка . Вы-ра-зи-те через век-то-ры и век-то-ры , , и .
От-ме-тим, что век-то-ры и некол-ли-не-ар-ны, то есть пря-мые АВ и АС не па-рал-лель-ны.
В даль-ней-шем мы узна-ем, что любой век-тор может быть вы-ра-жен через два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра.
Вы-ра-зим пер-вый век-тор (см. Рис. 1): , т. к. по усло-вию ВВ1 - ме-ди-а-на тре-уголь-ни-ка, зна-чит, век-то-ры и имеют рав-ные мо-ду-ли, кроме того, оче-вид-но, что они кол-ли-не-ар-ны и при этом со-на-прав-ле-ны, зна-чит, дан-ные век-то-ра равны.
Для вы-ра-же-ния сле-ду-ю-ще-го век-то-ра вос-поль-зу-ем-ся пра-ви-лом па-рал-ле-ло-грам-ма для вы-чи-та-ния. Мы пом-ним, что одна из диа-го-на-лей па-рал-ле-ло-грам-ма, по-стро-ен-но-го на двух век-то-рах, со-от-вет-ству-ет сумме этих век-то-ров, а вто-рая - их раз-но-сти. Диа-го-наль, со-от-вет-ству-ю-щая раз-но-сти век-то-ров, сле-ду-ет от конца к на-ча-лу, таким об-ра-зом, если по-стро-ить на за-дан-ных век-то-рах и па-рал-ле-ло-грамм, то его диа-го-наль будет со-от-вет-ство-вать раз-но-сти .
Век-тор яв-ля-ет-ся про-ти-во-по-лож-ным к за-дан-но-му век-то-ру , от-сю-да .
Век-тор ана-ло-гич-но век-то-ру можно пред-ста-вить в виде раз-но-сти век-то-ров . При вы-ра-же-нии сле-ду-ет учесть тот факт, что точка В1 яв-ля-ет-ся се-ре-ди-ной от-рез-ка АС, зна-чит, век-то-ры и равны, зна-чит, век-тор можно пред-ста-вить как удво-ен-ное про-из-ве-де-ние век-то-ра .
Перед ре-ше-ни-ем за-да-чи мы ска-за-ли, что через за-дан-ные два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра можно вы-ра-зить любой век-тор. Вы-ра-зим, на-при-мер, ме-ди-а-ну АА1 (см. Рис. 2).
По-лу-чи-ли си-сте-му урав-не-ний, вы-пол-ним их сло-же-ние:
Век-то-ры в сумме со-став-ля-ют ну-ле-вой век-тор, так как они кол-ли-не-ар-ны и про-ти-во-на-прав-ле-ны, а мо-ду-ли их равны, таким об-ра-зом по-лу-ча-ем:
По-де-лим обе части урав-не-ния на два, по-лу-чим:
Из дан-ной за-да-чи можно сде-лать вывод, что если за-да-ны два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра, то любой тре-тий век-тор на плос-ко-сти можно од-но-знач-но вы-ра-зить через эти два век-то-ра. Для этого необ-хо-ди-мо при-ме-нить пра-ви-ло сло-же-ния век-то-ров, либо ме-то-дом тре-уголь-ни-ка, либо па-рал-ле-ло-грам-ма, и пра-ви-ло умно-же-ния век-то-ра на число.
5. Свойство средней линии треугольника
При-мер 2: до-ка-зать с по-мо-щью век-то-ров свой-ство сред-ней линии тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 3).
Задан про-из-воль-ный тре-уголь-ник , точки M и N - се-ре-ди-ны сто-рон АВ и АС со-от-вет-ствен-но, MN - сред-няя линия тре-уголь-ни-ка. Свой-ство сред-ней линии: сред-няя линия па-рал-лель-на ос-но-ва-нию тре-уголь-ни-ка и равна его по-ло-вине.
До-ка-за-тель-ство дан-но-го свой-ства ана-ло-гич-но для тре-уголь-ни-ка и тра-пе-ции.
Вы-ра-зим век-тор двумя спо-со-ба-ми:
По-лу-чи-ли си-сте-му урав-не-ний:
Вы-пол-ним сло-же-ние урав-не-ний си-сте-мы:
Сумма век-то-ров - это ну-ле-вой век-тор, длины этих век-то-ров равны по усло-вию, кроме того, они оче-вид-но кол-ли-не-ар-ны и про-ти-во-на-прав-ле-ны. Ана-ло-гич-но сум-мой век-то-ров будет ну-ле-вой век-тор. По-лу-ча-ем:
По-де-лим обе части урав-не-ния на два:
Таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли, что сред-няя линия тре-уголь-ни-ка равна по-ло-вине его ос-но-ва-ния. Кроме того, из ра-вен-ства век-то-ра по-ло-вине век-то-ра сле-ду-ет, что эти век-то-ры кол-ли-не-ар-ны и со-на-прав-ле-ны, а зна-чит, пря-мые MN и ВС па-рал-лель-ны.
ЗАЧЁТ по теме «ВЕКТОРЫ» 8 класс- Какие величины называются векторными? Приведите примеры векторных величин, известных Вам из курса физики.
- Какие точки называют граничными точками отрезка? началом и концом отрезка?
- Дайте определение вектора.
- Как на рисунках изображается вектор?
- Как обозначаются векторы?
- Объясните, какой вектор называется нулевым.
- Как изображается нулевой вектор?
- Как обозначаются нулевые векторы?
- Что называется длиной (модулем) ненулевого вектора?
- Как обозначается длина вектора?
- Чему равна длина нулевого вектора?
- Какие векторы называются коллинеарными?
- Какие векторы называют сонаправленными? противоположно направленными?
- Как обозначаются коллинеарные векторы?
- Какое направление имеет нулевой вектор?
- Изобразите на рисунке сонаправленные векторы a и b и противоположно направленные векторы c и d .
- Какими свойствами обладают ненулевые коллинеарные векторы?
- Дайте определение равных векторов.
- Объясните смысл выражения: «Вектор a отложен от точки A».
- Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
- Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов?
- Докажите, что для любого вектора a справедливо равенство a + 0 = a .
- Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.
- В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?
- В чём заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?
- Зависит ли сумма векторов от того, в каком порядке они складываются?
- Постройте сумму векторов a , b и c по правилу многоугольника.
- Чему равна сумма нескольких векторов, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора?
- Какой вектор называется разностью двух векторов?
- Как построить разность двух данных векторов.
- Какой вектор называется противоположным данному, как он обозначается?
- Какой вектор будет противоположным нулевому вектору?
- Чему равна сумма противоположных векторов?
- Сформулируйте теорему о разности векторов.
- Как построить разность двух данных векторов, используя теорему о разности двух векторов.
- Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
- Как обозначается произведение вектора a на число k ?
- Чему равно произведение k a , если: 1) a =0 ; 2) k = 0?
- Начертите вектор a и постройте векторы: а)2 a ; б) -1,5 a .
- Могут ли векторы a и k a быть неколлинеарными?
- Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
- Начертите два неколлинеарных вектора a и b и постройте векторы: а) 2 a +1,5 b , б) 3 a -0,5 b .
- Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.
- Какой отрезок называется средней линией трапеции?
- Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.
a - обозначение векторов.
