Исследование функции.
1) D(y) – Область опрделения: множество всех тех значений переменной х. при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл.
Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл.
2) Свойства функции: четность/нечетность, периодичность:
Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.
Нечётная функция - функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).
Чётная функция - функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат).
Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) - функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.
Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида).
Нечётные функции
Нечётная степень где - произвольное целое число.
Чётные функции
Чётная степень где - произвольное целое число.
Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
3) Нули (корни) функции - точки, где она обращается в ноль.
Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).
Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.
4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ оси абсцисс.
НИЖЕ оси .
5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).
Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
,
то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).
Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :
если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .
Аси́мпто́та - прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная асимптота - прямая предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная асимптота - прямая вида при условии существования пределов
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .
6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x )0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0, функция f (x )убывает.
Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
1. Найти производную функции: f (x ). 2. Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,... 3. Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1a ;b , а x 2a ;b . |
Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:
Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат. Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.
Пример. Построить график функции \(y=\left|x \right|\).Решение. Рассмотрим функцию: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) и подставим вместо \(x \) противоположное \(-x \). В результате не сложных преобразований получим: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Другими словами, если аргумент заменить на противоположный по знаку, функция не изменится.
Значит эта функция - четная, а ее график будет симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси). График этой функции приведен на рисунке слева. Это означает что при построении графика, можно строить только половину, а вторую часть (левее вертикальной оси рисовать уже симметрично правой части). Определив симметричность функции перед началом построения ее графика, можно намного упростить процесс построения или исследования функции. Если сложно выполнять проверку в общем виде, можно поступить проще: подставить в уравнение одинаковые значения разных знаков. Например -5 и 5. Если значения функции получатся одинаковыми, то можно надеяться что функция будет четной. С математической точки зрения такой подход не совсем правильный, но с практической - удобный. Чтобы увеличить достоверность результата можно подставить несколько пар таких противоположных значений.
Пример. Построить график функции \(y=x\left|x \right|\).
Решение. Выполним проверку так же как в предыдущем примере: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right)$$ Это означает, что исходная функция является нечетной (знак функции поменялся на противоположный).
Вывод: функция симметрична относительно начала координат. Можно строить только одн половину, а вторую рисовать симметрично. Такую симметрию рисовать сложнее. Это означает, что вы смотрите на график с другой строны листа да еще и перевернув вверх ногами. А можно еще так: берем нарисованную часть и вращаем ее вокруг начала координат на 180 градусов против часовой стрелки.
Пример. Построить график функции \(y=x^3+x^2\).
Решение. Выполним такую же проверку на смену знака, как и в предыдущих двух примерах. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ В результате получим, что: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ А это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.
Вывод: функция не симметрична ни относительно начала координат ни относительно центра системы координат. Это произошло потому, что она представляет собой сумму двух функций: четной и не четной. Такая же ситуация будет если вычитать две разные функции. А вот умножение или деление приведет к другому результату. Например, произведение четной и нечетной функций дает нечетную. Или частное двух нечетных приводит к четной функции.
Функция
называется четной (нечетной), если для
любогои выполняется равенство
.
График четной
функции симметричен относительно оси
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 6.2. Исследовать на четность или нечетность функции
1)
;
2)
;
3)
.
Решение .
1) Функция определена
при
.
Найдем
.
Т.е.
.
Значит, данная функция является четной.
2) Функция определена
при
Т.е.
.
Таким образом, данная функция нечетная.
3) функция определена для , т.е. для
,
.
Поэтому функция не является ни четной,
ни нечетной. Назовем ее функцией общего
вида.
3. Исследование функции на монотонность.
Функция
называется возрастающей (убывающей) на
некотором интервале, если в этом интервале
каждому большему значению аргумента
соответствует большее (меньшее) значение
функции.
Функции возрастающие (убывающие) на некотором интервале называются монотонными.
Если функция
дифференцируема на интервале
и имеет положительную (отрицательную)
производную
,
то функция
возрастает (убывает) на этом интервале.
Пример 6.3 . Найти интервалы монотонности функций
1)
;
3)
.
Решение .
1) Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную .
Производная равна
нулю, если
и
.
Область определения – числовая ось,
разбивается точками
,
на интервалы. Определим знак производной
в каждом интервале.
В интервале
производная отрицательна, функция на
этом интервале убывает.
В интервале
производная положительна, следовательно,
функция на этом интервале возрастает.
2) Данная функция
определена, если
или
.
Определяем знак квадратного трехчлена в каждом интервале.
Таким образом, область определения функции
Найдем производную
,
,
если
,
т.е.
,
но
.
Определим знак производной в интервалах
.
В интервале
производная отрицательна, следовательно,
функция убывает на интервале
.
В интервале
производная положительна, функция
возрастает на интервале
.
4. Исследование функции на экстремум.
Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует такая окрестность точки,
что для всех
из этой окрестности выполняется
неравенство
.
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Если функция
в точкеимеет экстремум, то производная функции
в этой точке равна нулю или не существует
(необходимое условие существования
экстремума).
Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими.
5. Достаточные условия существования экстремума.
Правило 1
.
Если при переходе (слева направо) через
критическую точку
производная
меняет знак с «+» на «–», то в точкефункция
имеет максимум; если с «–» на «+», то
минимум; если
не меняет знак, то экстремума нет.
Правило 2
.
Пусть в точке
первая производная функции
равна нулю
,
а вторая производная существует и
отлична от нуля. Если
,
то– точка максимума, если
,
то– точка минимума функции.
Пример 6.4 . Исследовать на максимум и минимум функции:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение.
1) Функция определена
и непрерывна на интервале
.
Найдем производную
и решим уравнение
,
т.е.
.Отсюда
– критические точки.
Определим знак
производной в интервалах
,
.
При переходе через
точки
и
производная меняет знак с «–» на «+»,
поэтому по правилу 1
– точки минимума.
При переходе через
точку
производная меняет знак с «+» на «–»,
поэтому
– точка максимума.
,
.
2) Функция определена
и непрерывна в интервале
.
Найдем производную
.
Решив уравнение
,
найдем
и
– критические точки. Если знаменатель
,
т.е.
,
то производная не существует. Итак,
– третья критическая точка. Определим
знак производной в интервалах.
Следовательно,
функция имеет минимум в точке
,
максимум в точках
и
.
3) Функция определена
и непрерывна, если
,
т.е. при
.
Найдем производную
.
Найдем критические
точки:
Окрестности точек
не принадлежат области определения,
поэтому они не являются т. экстремума.
Итак, исследуем критические точки
и
.
4) Функция определена
и непрерывна на интервале
.
Используем правило 2. Найдем производную
.
Найдем критические точки:
Найдем вторую
производную
и определим ее знак в точках
В точках
функция имеет минимум.
В точках
функция имеет максимум.
Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Определение 1.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Определение 2.
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Доказать, что у = х 4 - четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у - х 2 ,у = х 6 ,у - х 8 являются четными.
Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у - х 3 , у = х 5 , у = х 7 - нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 - четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n - натуральное число , можно сделать вывод: если n - нечетное число, то функция у = х" - нечетная; если же n - четное число, то функция у = хn - четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симметричные множества, в то время как }