На сегодняшней лекции мы продолжим изучение определенного интеграла и получим формулу для его вычисления. Как мы увидим позже, определенный интеграл равен приращению первообразной, и представляет собой постоянное число, равное площади криволинейной трапеции. Поэтому все методы вычисления неопределенного интеграла справедливы и для определенного интеграла.

Вопрос 1. Основные свойства определенного интеграла

Интеграл

был введен для случая a < b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Свойство 1. .

Эта формула получается из (1) при условии, что все Δx i = 0.

Свойство 2. .

Эта формула получается из (1) при условии, что отрезок пробегается в обратном направлении (от b к а), т.е. все Δx i < 0.

Свойство 3. (свойство аддитивности)

Если функция f(x) интегрируема на отрезке и a < c < b, то

. (2)

Равенство (2) справедливо при любом расположении точек а, b и с (считаем, что функция f(x) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Свойство 4.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

,

где k = const.

Свойство 5.

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.

.

Замечание

  1. Свойство 5 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
  2. Свойства 4 и 5 в совокупности представляют собой свойство линейности определенного интеграла.

Вопрос 2. Оценки интеграла. Теорема о среднем

1. Если всюду на отрезке функция f(x) ≥ 0, то .



2. Если всюду на отрезке f(x) ≥ g(x), то .

3. Для функции f(x), определенной на отрезке , имеет место неравенство .

В частности, если всюду на отрезке то и .

4. Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке , то .

Т.2.1. (теорема о среднем )

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка с, такая, что

. (3)

Равенство (3) называется формулой среднего значения , а величина f(c) - называется средним значением функции f(x) на отрезке .

Вопрос 3. Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, т.е. для "xÎ существует интеграл

Для того чтобы не смешивать обозначения предела и переменной интегрирования, обозначим переменную интегрирования через t. Тогда интеграл (4) запишется в виде Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х и обозначается Ф(х):

. (5)

Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).

Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке .

Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем справедливо равенство

.

Следствие

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на данном отрезке, причем функция Ф(x) - интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для функции f(x).

Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить

Лекция № 15.

Определенный интеграл

Пусть на отрезке
задана функция
. Разобьем отрезок
точкаминаэлементарных отрезков

длины
. В каждом из этих отрезков
возьмем произвольную точкуи составим сумму
, называемуюинтегральной суммой (Римана) для функции
на отрезке
.

Определение 37.1. Пусть предел последовательности интегральных сумм при стремлении
к нулю существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения отрезка
, ни от выбора точек. Этот предел называется определенным интегралом от функции
на отрезке
и обозначается

(1)

При этом число называетсянижним пределом , число – еговерхним пределом; функция
–подынтегральной функцией , выражение
–подынтегральным выражением , а задача о нахождении
–интегрированием функции
на отрезке
.

Все непрерывные на отрезке
функции интегрируемы на этом отрезке. Интегрируемыми будут и ограниченные функции, имеющие на
конечное число точек разрыва.

Свойства определенного интеграла

1. Определённый интеграл – это число! Его значение зависит только от вида функции
и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначать любой буквой:

.

Интеграл
был введен в предположении, что
. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда
и
.

2.
.3.

Рассмотрим свойства определённого интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределённого.

4. Если
, то
.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
.

Перейдем теперь к свойствам определённого интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределённого интеграла.

6. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых ,,.

.

7. Если
на отрезке
, то
.

8. Пусть на отрезке
, где
,
. Тогда

.

9. Теорема о среднем. Если функция
непрерывна на отрезке
, то найдется такое число
, что

.

10. Если функция
интегрируема на отрезке
, то функция
также интегрируема на отрезке
и имеет место неравенство

Геометрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция
неотрицательна на отрезке
, где
,
численно равен площади под кривой
на
.

Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

,
,
и т.д.

(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса.)

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и суперпозицию функций. Сейчас мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.

Если
интегрируема на отрезке
, то, очевидно, она интегрируема также на любом отрезке
, вложенном в
.

Положим по определению

,

где
, а функция
называетсяинтегралом с переменным верхним пределом.

Пусть
на отрезке
. Тогда значение функции
в точкеравно площади
под кривой
на отрезке
.

Это позволяет по новому взглянуть на некоторые известные функцию Например,
, где
, поэтому значение функции
в точкечисленно равно площади
под гиперболойна отрезке
.

Рассмотрим теперь свойства функции
.

Теорема 1. Пусть функция
непрерывна на отрезке
. Тогда в каждой точкеотрезка
производная функции
по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции
, т.е.

. (2)

Доказательство .

Покажем, что функция

(3)

является первообразной функции
.

Согласно определению производной,

.

Применяя теорему о среднем к промежутку
, представим интеграл в числителе в виде
, где
и
при
.

Следовательно,
.

Теорема 2. Если функция
непрерывна на отрезке
, то функция
также непрерывна на
.

Вычисление определенного интеграла возможно с применением первообразной для функции
по формулеНьютона-Лейбница .

Теорема 3. Если функция
непрерывна на отрезке
и
– первообразная функции
, то

. (4)

Формула (4) называется формулой Ньютона–Лейбница .

Доказательство .

Возвратимся к уравнению (3). Полагая
, находим значение постоянной:



.

Полагая в этом же уравнении
, получаем:



.

Нахождение определённых интегралов с использованием формулы (4) осуществляется в два шага: на первом шаге находят первообразную
для подынтегральной функции
; на втором – применяется собственно формула (3) – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. Введем обозначение для приращения первообразной

.

Все методы, применяемые при вычислении первообразной, переносятся на вычисление определенного интеграла.

Теорема 4. (замена переменной в определённом интеграле). Если выполнены условия:

1) функция
непрерывна на отрезке
;

2) отрезок
является множеством значений функции
, определенной на отрезке
и имеющей на нем непрерывную производную ;

3)
и
, то справедлива формула

.

Пример 1 . Вычислить
.

Решение. Положим
. Тогда
и
.

Если
, то
, и если
, то
. Следовательно,

Формула замены переменной для определённого интеграла даже удобнее, чем для неопределённого. Нам не нужно возвращаться к исходным переменным, а вместо этого нужно поменять пределы интегрирования.

Рассмотрим, как выполняется интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема 5. Если функции
и
имеют непрерывные производные на отрезке
, то справедлива формула

.

Пример 2 . Вычислить
.

Решение.

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур. Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением
, где
на отрезке
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями
;
и отрезком оси абсцисс
, вычисляется по формуле

.

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную параболой
, прямыми
,
и осью абсцисс.

Решение.

Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную кривой
и осью ординат.

Решение. Здесь изменены роли осей координат, поэтому искомая площадь будет выражаться интегралом

.

В общем случае, если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми
;
и двумя вертикалями
;
, где
, для вычисления площади фигуры имеем формулу

Пример 5. Вычислить площадь , заключенную между кривыми
и
.

Решение. Найдем точки пересечения кривых:
,

,
. На отрезке

. Значит,

.

Параметрическое задание верхней границы криволинейной трапеции

При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями

,

в формуле
надо сделать замену переменной, положив
,
, тогда получим
, гдеa и b - значения параметра , соответствующие значениям
и
, т. е.
;
.

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
и осью
.

Решение. Искомая площадь

Площадь фигуры в полярной системе координат

Пусть в полярной системе координат задана функция
, где– полярный радиус,– полярный угол. Пусть, далее, функция
непрерывна при изменении углав пределах
(
и– в радианах). Фигура, ограниченная линией
, с которой любой луч, исходящий из полюса, пересекается не более чем в одной точке, и двумя лучами
и
, называетсякриволинейным сектором .
Площадь криволинейного сектора , ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением
и двумя полярными радиусами
и
(
), находится по формуле

.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
.

Решение. Найдем область определения угла из условия, что
. Имеем:
, т. е.

Соответственно величина угла меняется в следующих пределах:

в зависимости от значения
. Найдем границы изменения величины угла:

при
:

;

при
:

;

при
:

;

при

где – область определения-го лепестка.

Достаточно вычислить площадь одного лепестка

Следовательно, площадь всех лепестков

Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число ,

определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точкеx при приращении аргумента Dx :

DI (x ) = I (x + Dx ) – I (x ) =

.

Как показано на Рис. 4, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными, и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )Dx . Отсюда получаем соотношение

.

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx .

Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):

.

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x . Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f (x ), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

. (1)

Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (2)

Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:

,

которая называется формулойНьютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x ) по промежутку [a ;b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x ) функции f (x ) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a . Разность этих значений первообразной принято обозначать символом , т.е. .

Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.


ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Пример 19. Вычислить

Положим t=2-х 2 . Тогда dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx и xdx=- dt. Если х=0, то t=2-0 2 =2, и если х=1, то t=2-1 2 =1. Следовательно:

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.

Формула интегрирования по частям следующая .

То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) наd(v(x)) - дифференциал функции v(x) . Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x) . Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.

Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число

определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим прира­щение функции в точке x при приращении аргумента x :

I (x ) = I (x + x ) – I (x ) =

Как показано на рисунке 23, величина последнего интеграла в формуле для приращения I (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )x . Отсюда получаем соотношение

.

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина x .

Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):

.

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x . Отсюда следует, что функция
является первообразной для функцииf (x ), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

. (9)

Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - некоторое число. При этом правая часть формулы (9) принимает вид

I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (10)

Из формул (9) и (10) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:

,

которая называется формулой Ньютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x ) по промежутку [a ;b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x ) функции f (x ) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a . Разность этих значений первообразной принято обозначать символом .

Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1.
.

2.
.

Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f (x ) = xe x . Используя метод интегрирования по частям, получаем:
. В качестве первообразной функцииf (x ) выберем функцию e x (x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:

I = e x (x – 1)= 1.

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле :

.

Здесь и определяются, соответственно, из уравнений () = a ; () = b , а функции f , ,  должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

Пример:
.

Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:

.

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

Пусть функция f (t ) определœена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число ,

определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая принято называть определœенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Dx :

DI (x ) = I (x + Dx ) – I (x ) =

.

Как показано на Рис. 4, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI (x ) равна площади криволинœейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения бывают и положительными, и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )Dx . Отсюда получаем соотношение

.

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx .

Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):

.

Производная определœенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x . Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f (x ), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определœенный интеграл в виде

. (1)

Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всœех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (2)

Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определœенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:

,

которая принято называть формулойНьютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).

Для того, чтобы вычислить определœенный интеграл от функции f (x ) по промежутку [a ;b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x ) функции f (x ) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a . Разность этих значений первообразной принято обозначать символом , ᴛ.ᴇ. .

Приведем примеры вычисления определœенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пример 1 . .

При вычислении определœенных интегралов можно применять формулу замены переменной:

.

Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j (a ) = a ; j (b ) = b , а функции f , j , j¢ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

Пример 2. .

Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:

.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, при вычислении определœенного интеграла с помощью замены переменных нет крайне важности возвращаться к прежней переменной интегрирования. Достаточно лишь ввести новые пределы интегрирования.