Вероятность - промежуточная категория, осуществляющая постепенный или плавный переход от необходимости к случай­ности и от случайности к необходимости. Меньшая вероятность стоит ближе к случайности. Большая вероятность стоит ближе к необходимости. Одним своим "концом" вероятность упирается в случайность, переходит в нее, а другим "концом" переходит в не­обходимость.

Говоря об истоках категории "вероятность", следует в первую очередь упомянуть Аристотеля. Не раз в своих сочинениях он указывал на то, что между случайностью и необходимостью име­ется промежуточная категория. Правда, Аристотель не обозначал эту категорию каким-то одним, определенным термином. Обычно он употреблял выражение "большей частью" в контексте сравне­ния со случайностью (могущей быть только иногда) и необходи­мостью (имеющей место всегда). В "Первых Аналитиках" он го­ворил о промежуточном между случайным и необходимым как "возможном в одном смысле", противопоставляя его случайному как "возможному в другом смысле" (32b 4-23). В этой же работе встречается термин "вероятное" (70а 3-10), который употребляет­ся в значении, близком к выражению "большей частью". Вот не­которые тексты:

"Привходящим, или случайным, называется то, что чему-то прису­ще и о чем может быть правильно сказано, но присуще не по необходи­мости и не большей частью" .

"И вот, так как с одним из существующего дело обстоит одинаково всегда и по необходимости (это необходимость не в смысле насилия, а в смысле того, что иначе быть не может), с другим же не по необходимо­сти и не всегда, а большей частью, - то это начало и это причина того, что существует привходящее, ибо то, что существует не всегда и не большей частью, мы называем случайным, или привходящим. Так, если в летнее время наступит ненастье и холод, мы скажем, что это произош­ло случайно, а не тогда, когда наступает зной и жара, потому что по­следнее бывает /летом/ всегда или в большинстве случаев, а первое нет. И что человек бледен - это нечто привходящее (ведь этого не бывает ни всегда, ни в большинстве случаев)" (с.183-185; 1026b 27-35). "Стало быть, так как не все существует или становится необходимым образом и всегда, а большинство - большей частью, то необходимо должно быть нечто привходящим образом (иначе же все было бы по необходимости); так что причиной привходящего будет материя, могущая быть иначе, чем она бывает большей частью. Прежде всего надо выяснить, действи­тельно ли нет ничего, что не существует ни всегда, ни большей частью, или же это невозможно. В самом же деле помимо этого есть нечто, что может быть и так и иначе, т. е. привходящее. А имеется ли /лишь/ то, что бывает в большинстве случаев, и ничто не существует всегда, или же есть нечто вечное - это должно быть рассмотрено позже, а что нет науки о привходящем - это очевидно, ибо всякая наука - о том, что есть всегда, или о том, что бывает большей частью. В самом деле, как же иначе человек будет чему-то учиться или учить другого? Ведь оно должно быть определено как бывающее всегда или большей частью, например, что медовая смесь полезна больному лихорадкой в большин­стве случаев. А что касается того, что идет вразрез с этим, то нельзя бу­дет указать, когда же от медовой смеси пользы не будет, например в но­волуние, но тогда и "в новолуние" означает нечто бывающее всегда или большей частью" (с. 184; 1027а 8-27) .

"...случайное, или привходящее, - это то, что, правда, бывает, но не всегда и не по необходимости и не большей частью" .

Случайное "то, причина чего не определена, происходит не ради чего-либо и не всегда и не по большей части, и не по какому-либо зако­ну" .

"О случайном, /или привходящем/, нет знания через доказательство. Ибо случайное не есть ни то, что необходимо бывает, ни то, что бывает большей частью, а оно есть нечто такое, что происходит помимо того и другого" .

"Что же касается доказательств и знаний о часто случающемся, как, например, о лунном затмении, то ясно, что, поскольку они таковы, они всегда /одни и те же/; поскольку же они не всегда /одни и те же/, они ча- стные" .

"Итак, одни /события/ суть общие (ибо они всегда и но всех случаях или находятся в таком состоянии, или так происходят), другие же про­исходят не всегда, а лишь в большинстве случаев; так, например, не у всех мужчин растет борода, а лишь у большинства" .

"А так как одни вещи существуют по необходимости, другие - большей частью, а третьи - как приходится, то /собеседник/ всегда предоставляет удобный случай для нападок, если он необходимо суще­ствующее выдает за происходящее большей частью или происходящее большей частью - за необходимо существующее, будь это само проис­ходящее большей частью или противоположное ему. В самом деле, если /собеседник/ необходимо существующее выдает за происходящее боль­шей частью, то ясно, что он говорит, что оно не всему присуще, хотя на самом деле оно всему присуще, так что он ошибается. И точно так же - если он про то, что обозначается как происходящее большей частью, скажет, что оно необходимо существует, так как в таком случае он го­ворит, что оно всему присуще, хотя на самом деле оно не всему прису­ще. И точно так же - если противоположное тому, что бывает большей частью, он выдает за необходимо существующее, ведь противополож­ное тому, что бывает большей частью, всегда называют то, что бывает более редко. Например, если люди большей частью плохие, то хорошие люди встречаются более редко, так что /собеседник/ еще больше оши­бается, когда говорит, что люди по необходимости хороши. И таким же образом ошибаются, когда случайное выдают за необходимо сущест­вующее или за происходящее большей частью. А когда /собе-седник/ не уточнил, говорил ли он о предмете как о происходящем большей частью или как о необходимо существующем, а /на самом деле предмет/ суще­ствует большей частью, то можно с ним спорить, как будто он говорил, что этот предмет необходимо существует. Например, если он, не уточ­нив, утверждает, что лишенные наследства суть дурные люди, то можно с ним спорить, как будто он утверждал, что они дурные по необходимо- сти" .

"...очевидно, что не все существует и происходит в силу необходи­мости, а кое-что зависит от случая и относительно его утверждение ни­чуть не более истинно, чем отрицание; а другое, хотя и бывает скорее и большей частью так, чем иначе, однако может произойти и иначе, а не так" .

"...одни /события/ происходят всегда одинаковым образом, а другие - по большей части, то очевидно, что ни для тех, ни для других причи­ной нельзя считать случай или случайное - ни для того, что /совершается/ по необходимости и всегда, ни для того, что /происходит лишь/ по большей части" .

"Ибо спонтанное и случайное /имеет место/ вопреки тому, что есть или происходит всегда или как правило" .

"Ведь порождаемое природой возникает или всегда, или большей частью одинаковым путем, а то, что отклоняется от этого, всегда или большей частью самопроизвольно или случайно" (везде курсив мой - Л.Б.).

Из этих текстов видно, что для Аристотеля категория "боль­шей частью" не менее важна, чем необходимость и случайность. Он практически всегда мыслит триадой: "необходимое -

большей частью - случайное"". Поэтому не правы те исследова­тели, которые при анализе творчества Аристотеля ограничивают­ся рассмотрением пары категорий "необходимость- случайность" . Это противоречит исторической правде, не говоря ря уже о том, что это искажает позицию Аристотеля в вопросе о диалектике необходимого, вероятного и случайного. Позиция Аристотеля в этом вопросе, пожалуй, гораздо более уравновеше­на, диалектична, чем позиция многих и многих живших после не­го философов, в том числе Гегеля. Для греческого мыслителя бы­ло совершенно ясно, что между необходимым и случайным име­ется промежуточное звено. Другое дело, что он не так тщательно исследовал его, как это было сделано с категориями необходимо­го и случайного. Тем не менее Аристотель оставил достаточно свидетельств того, как он понимал промежуточную категорию. Вот еще текст, в котором философ, говоря о возможном в двух смыслах, явно имеет в виду под возможным в первом смысле ве­роятное:

"...скажем снова о том, что /выражение/ "быть возможным" упот­ребляется в двояком смысле: в одном смысле возможно то, что обычно бывает, но не необходимо, как, например, то, что человек седеет, или полнеет, или худеет, или вообще то, что ему естественно присуще (ибо все это не связано с необходимостью, поскольку человек не вечно су­ществует, но если он существует, все это или необходимо или обычно бывает). В другом смысле "быть возможным" означает нечто неопреде­ленное, то, что может быть так и не так, например, живое существо хо­дит или что в то время, как оно идет, происходит землетрясение, и во­обще все происходящее случайно. Ведь по природе все это может так происходить не в большей мере, чем наоборот. Следовательно, посылки о каждом из этих видов возможности обратимы в противолежащие, од­нако не одним и тем же способом: посылка о происходящем по природе обратима в посылку о том, что присуще не необходимо (так, человек возможно и не поседеет); посылка же о неопределенном обратима в по­сылку о том, что в равной степени может быть и так и иначе. О неопре­деленном нет ни науки, ни доказывающего силлогизма из-за отсутствия твердо установленного среднего термина. О происходящем же по при­роде они имеются. И о том, что в 1 озможно в этом смысле, рассуждения и исследования, пожалуй, бывают" .

В двух случаях Аристотель прямо говорит о вероятном, дает определение вероятного:

"вероятное есть правдоподобная посылка, ибо то, о чем известно, что оно в большинстве случаев таким-то образом происходит или не происходит, существует или не существует, есть вероятное, например для завистников ненавидеть или же для возлюбленных любить" .

"Вероятное - то, что случается по большей части, и не просто то, что случается, как определяют некоторые, но то, что может случиться и иначе; оно так относится к тому, по отношению к чему оно вероятно, как общее к частному" .

Оба определения вероятного вполне соответствуют употреб­ляемым в предыдущих текстах выражениям "большей частью", "в большинстве случаев", "обычно", "как правило". Таким образом, под промежуточной категорией (между необходимым и случай­ным) Аристотель явно имел в виду вероятное.

В нашей философской литературе, по крайней мере, два авто­ра указывают на то, что уже Аристотель исследовал проблему ве­роятности. Вот что пишет В.И. Купцов: "Понятия возможности, вероятности, случайности, прочно укоренившиеся в обыденном языке с незапамятных времен, служили человеку в качестве хотя и несовершенных, но все же эффективных средств познания дей­ствительности... Уже у античных мыслителей они стали предме­том систематических исследований. Особенно замечательны в этом отношении работы Аристотеля, который обстоятельно рас­сматривает различные типы неопределенных высказываний и проблематических заключений, анализируя их роль в познава­тельном процессе. Вместе с тем он тщательно изучает вопрос об онтологическом содержании категорий возможности, вероятно­сти, случайности и обращает внимание на то, что явления дейст­вительности оказываются в большой степени разнообразными по характеру их осуществления. Одни из них "всегда возникают одинаковым образом, другие по большей части", третьи же со­вершенно индивидуальны, но даже в явлениях, "происшедших не случайно, многое происходит от случая" (Аристотель. Физика. М., 1937, с. 38)" . А теперь приведем мнение А.С. Кравца: "Исто­рию проблемы вероятности можно проследить достаточно далеко в прошлое. Уже Аристотель интересовался этой проблемой. В "Риторике" он дал анализ некоторых вероятностных умозаключе­ний и попытался определить понятие вероятности" (далее А.С. Кравец приводит цитированное выше определение вероят­ности - Л.Б.)."В этом определении, - пишет он далее, - Ари­стотель уже делает попытку связать вероятность с категориями необходимости, случайности, возможности, общего и частного" .

В.И. Купцов и А.С. Кравец попытались, таким образом, вос­становить историческую справедливость и воздали должное Ари­стотелю как первому мыслителю, исследовавшему объективный статус вероятности.

К сожалению, другой великий категориолог - Гегель - практически оставил без внимания эту категорию. Е.П. Ситковский пишет по этому поводу:

"П.Л. Лавров в своей работе "Гегелизм" (1858 г.) говорит, что геге­левская "Энциклопедия философских наук” охватывала действительно почти все, особенно гегелевская "Логика". Но тут же добавляет: "Впро­чем, не совсем. Как пример пропуска можно привести теорию вероятно­сти, довольно замечательную науку не только в практическом, но и ме­тафизическом отношении". Лавров даже указывает тот раздел гегелев­ской логики, в котором следует внести понятие вероятности, а именно отдел сущности, подразделение "Явление" (см. П.Л. Лавров. Философия и социология, т. 1, М., 1965, с. 172).

Вероятность есть понятие, с помощью которого определяется сте­пень осуществимости возможности или случайности. Понятие вероят­ности играет большую роль в современной математике, экономической статистике, социологии и т. д. Метафизическое значение этого понятия состоит в том, что оно тесно связано с диалектическими категориями возможности и случайности, с понятием закона и закономерности (осо­бенно статистической закономерности), с понятием необходимости (формой проявления которой служит случайность), а также с категорией действительности (поскольку возможность всегда рассматривается в перспективе ее перехода в действительность). В обычном словоупот­реблении понятие вероятности часто сливается с понятием возможно­сти, само различение абстрактной и реальной возможности содержит в себе момент вероятности (большей или меньшей - в зависимости от характера возможности). Может быть, Гегель именно потому и обошел понятие вероятности...

Во всяком случае понятие вероятности на самом деле несет метафи­зическую (как выражался П.Л. Лавров) нагрузку и должно быть пред­ставлено в логике категорий. Должно ли оно фигурировать в логике в подразделениях "Явление" или "Действительность" или, может быть, в том подразделении, где речь идет о количестве, должно ли оно фигури­ровать в качестве самостоятельной категории или в качестве частнона­учного понятия, привлекаемого для облегчения и уточнения анализа других категорий, - это вопрос второстепенный. В формальной логике, как известно, различаются предикаменты-категории и предикабилии, которые обычно рассматриваются как производные понятия, выводи­мые из предикаментов-категорий. Возм 1 ожна оценка категориального значения вероятности как предикабилии" .

Причиной игнорирования Гегелем категории вероятности яв­ляется то, что он мыслил по схеме триады "тезис-антитезис- синтез" (или "утверждение-отрицание-отрицание отрицания"), в которой не было места промежуточному звену. Синтез ("отрица­ние отрицания") носит характер объединения категорий, в ре­зультате которого возникает новая категория. В нашей версии ка­тегориальной логики гегелевскому синтезу ("отрицанию отрица­ния") соответствует, в основном, органический синтез, взаимо- опосредствование противоположных категорий. Однако, наряду с синтезом в нашей версии важное место отводится промежуточ­ным, переходным состояниям от одной противоположной катего­рии к другой. Гегель, увлекшись "синтетическим" представлени­ем, не заметил того, что между противоположными определе­ниями имеется промежуточное звено. Кстати, Аристотель это хо­рошо понимал. Но зато у него была "слабинка" в отношении "синтетического" представления. Аристотель по сравнению с Ге­гелем кажется эклектиком.

Итак, для Гегеля не было характерным представление о про­межуточных категориях. Вследствие этого он "проглядел", что между случайностью и необходимостью есть плавный переход и что этот переход выражается в особой категории - вероятности. Вслед за Гегелем философы-марксисты длительное время, по су­ществу, игнорировали категориальный статус вероятности, не находили ей места в системе категорий. В.И. Корюкин и М.Н. Руткевич, отмечая в 1963 г., что "в качестве философской категории вероятность значительно "моложе", чем в качестве ло­гического и математического понятия", только еще ставили во­прос о необходимости "рассматривать" ее "как категорию диа­лектики и проанализировать применение этой категории в раз­личных областях знания, чтобы на этой основе попытаться дать более общее, философское определение вероятности" .

В последние три десятилетия постепенно изживается гегелев­ское пренебрежение категорией вероятности и все более четко ставится задача определения статуса этой категории в системе философских категорий. На этом пути сделано уже немало. Фи­лософы все больше осознают, что вероятность является переход­ным "мостиком", связующим звеном между случайностью и не­обходимостью. Не охватывая полностью эти категории, она тем не менее "захватывает" часть их "территории", а именно, обнима­ет собой статистическую или вероятную случайность и статисти­ческую или вероятную необходимость. Последние являются по­люсами вероятности. В этом плане ее можно представить или оп­ределить как единство статистической случайности и статистиче­ской необходимости.

Выше мы уже приводили определение теории вероятностей, данное одним из ее создателей - Б. Паскалем. По его мнению она соединяет "неопределенность случая" с "точностью матема­тических доказательств" и не просто соединяет, а “примиряет" "эти, казалось бы, противоречивые элементы". Как верно он ска­зал! Действительно, вероятность примиряет случайность и необ­ходимость. К такому пониманию вероятности приходит все больше философов и ученых. М.М. Розенталь прямо пишет: "ве­роятность есть выражение связи необходимости со случайно­стью" . Близкую трактовку дают Б.И. Корюкин и М.Н. Руткевич. Они пишут: "Случайное событие (которое может быть, но может и не быть) всегда есть событие возможное, и эта "случайная" возможность не чужда необходимости. В понятии вероятности мы и выражаем степень необходимости, заключенную в могущем произойти (но могущем и не произойти и поэтому случайном) событии" .

"Радиоактивный распад, - поясняют они, - представляет собой замечательный пример объективного вероятностного процесса... Веро­ятность (Р) распада для любого атома за t лет выражается формулой: P = 1 - е м, где постоянная l = 0,000486.

Закономерность радиоактивного распада является статистической. При равной вероятности для любого атома распадаться за этот срок од­ни атомы распадутся, другие - нет, причем доля распавшихся в общем числе атомов будет точно выражена приведенной выше формулой. То, что за время t распадается N атомов, есть необходимость. Но то, что распадутся именно эти атомы, а не другие по отношению к общей необ­ходимости поведения "коллектива" является случайностью. Безусловно, каждый акт распада ядра радия причинно обусловлен. Вероятность есть количественная характеристика, позволяющая судить, насколько общая необходимость воплощается в индивидуальном поведении данного яд­ра, характеризуя возможность его распада.

Еще один пример вероятности в статистическом процессе, где (в от­личие от радиоактивного распада) причины индивидуальных отклоне­ний от статистических средних, т. е. необходимость частного порядка, хорошо известны.

Допустим, что мы имеем сосуд с газом, например, азотом при тем­пературе 148 о С. Средняя скорость молекул азота при этой температуре исчисляется по формуле v = y8RT/p и будет равна приблизительно 570 м/сек. В соответствии со статистическим распределением, найденным Максвеллом, часть молекул обладает значительно большими (5,4% мо­лекул имеют v > 1000 м/сек) или значительно меньшими (0,6% молекул имеют v Поставим вопрос: является ли необходимостью приобретение моле­кулой скорости более 1000 м/сек? Ответ на этот вопрос поневоле оказы­вается двояким. Существует определенная степень необходимости, т. е. вероятность приобретения любой молекулой данной скорости, в нашем примере эта вероятность равна 0,054. Эта вероятность отражает наличие общей (ст 2 атистической) необходимости в возможном индивидуальном событии" .

Об этом же пишут Л.Б. Баженов и Н.В. Пилипенко. "Стати­стический закон, - считает Л.Б. Баженов, - выражает объек­тивную необходимость в ее неразрывной связи со случайно- стью" . По мнению Н.В. Пилипенко в статистических закономер­ностях "необходимость и случайность находятся в единстве, взаимосвязи". Он поясняет:

"Их взаимосвязь в статистических законах вытекает из своеобразно­го переплетения больших и малых причин в объектах статистических совокупностей. Необходимость является результатом качественной од­нородности объектов, вытекает из действия фундаментальных причин. Случайность же следствие неупорядоченного характера взаимодействия объектов, подверженности каждого из них действию малых причин. Она зависит как от общих свойств статистической совокупности, так и от индивидуальных черт отдельного объекта в ряду идентичных, сход­ных объектов...

Механизм возникновения необходимости и случайности в вероят­ностно-статистических... природных и социальных системах и взаимо­связи этих категорий еще не ясен во всей полноте. Однако общие его черты можно представить, если рассмотреть взаимоотношение системы и ее компонентов (элементов)...

Компоненты или элементы, включенные в структуру системы, об­ладают, с одной стороны, индивидуальной, а с другой - системной природой. В качестве индивидуальных компонентов системы они обна­руживают случайные свойства, а в качестве взаимодействую 1 щих эле­ментов единого целого - системные (необходимые) свойства" .

Теперь о позиции ученых в данном вопросе. Е.С. Вентцель пишет: предметом теории вероятностей "являются специфиче­ские закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях. Прак­тика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однород­ных случайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, своего рода у с т о й ч и в о с т и, свойственные именно массовым случайным явлениям”. Она при­водит такой пример и комментирует:

“В сосуде заключен какой-то объем газа, состоящий из весьма большого числа молекул. Каждая молекула за секунду испытывает множество столкновений с другими молекулами, многократно меняет скорость и направление движения; траектория каждой отдельной моле­кулы случайна. Известно, что давление газа на стенку сосуда обуслов­лено совокупностью ударов молекул об эту стену. Казалось бы, если траектория каждой отдельной молекулы случайна, то и давление на стенку сосуда должно было бы изменяться случайным и неконтроли­руемым образом; однако это не так. Если число молекул достаточно ве­лико, то давление газа практически не зависит от траекторий отдельных молекул и подчиняется вполне определенной и очень простой законо­мерности.

Случайные особенности, свойственные движению каждой отдельной молекулы, в массе взаимно компенсируются; в результате, несмотря на сложность и запутанность отдельного случайного явления, мы получаем весьма простую закономерность, справедливую для массы случайных явлений. Отметим, что именно м а с с о в о с т ь случайных явлений обеспечивает выполнение этой закономерности; при ограни­ченном числе молекул начинают сказываться случайные отклонения от закономерности, так называемые флуктуации...

Подобные специфические, так называемые "статистические", зако­номерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массой одно­родных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, нивелиру­ются, и средний результат массы случайных явлений оказывается прак­тически уже не случайным. Именно эта многократно подтвержденная опытом устойчивость массовых случайных явлений и служит базой для применения вероятностных (статистических) методов исследования" .

Е.С. Вентцель здесь хорошо показала, что вероятность обра­зуется на стыке массовых случайностей и статистической устой­чивости, закономерности, присущей этим случайностям. В ре­зультате бесчисленных столкновений молекул газа происходят в массовом порядке необратимые процессы, т. е. в каждом отдель­ном случае прямой процесс (например, движение молекулы в од­ну сторону с определенной скоростью) не обращается, т. е. не сменяется обратным процессом (движением молекулы в обрат­ную сторону с той же скоростью). Однако, когда происходит большое число столкновений молекул, то их прямые и обратные перемещения как бы взаимно гасятся, нейтрализуются и мы име­ем псевдообратимый процесс, известную статистическую устой­чивость. Псевдообратимость таких процессов обусловлена тем, во-первых, что каждому прямому процессу не соответствует в строгом смысле обратный процесс (как это имеет место, напри­мер, при орбитальном движении планет)- лишь через множест­во столкновений молекула может сменить направление переме­щения на противоположное и оказаться в том же месте; во- вторых, что нет полной нейтрализации, взаимопогашения пря­мых и обратных процессов - общий газовый процесс идет в од­ну сторону, что и выражается в той или иной величине статисти­ческой устойчивости. Таким образом, и на макроуровне имеет место необратимость, точнее, статистическая необратимость. Она "пробивает себе дорогу" сквозь массу случайных процессов, в той или иной степени гасящих, нейтрализующих друг друга. О статистической необходимости (закономерности) можно сказать, что это необходимость (закономерность) псевдо- или квазиобра- тимых процессов, которые основаны на массовых необратимых процессах. (Соответственно, о нестатистической необходимости /законе/ можно сказать, что это необходимость, закон строго об­ратимых процессов (подобных орбитальному движению планет).

А.Н. Колмогоров пишет: "Статистическое описание совокуп­ности объектов занимает промежуточное положение между ин­дивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по ее общим свойст­вам, совсем не требующим ее расчленения на отдельные объекты, - с другой" . Как видим, Колмогоров прямо указывает на про­межуточный характер вероятностно-статистического подхода.

Интересное рассуждение мы находим у математика А. Реньи. "На днях, приводя в порядок книги, - пишет он, - я наткнулся на "Размышления" Марка Аврелия и случайно открыл ту страни­цу, где он пишет о двух возможностях: либо мир является огром­ным хаосом, либо в нем царствует порядок и закономерность. ка­кая из двух взаимоисключающих возможностей реализуется, мыслящий человек должен решить сам... И хотя я уже много раз читал эти строки, но теперь впервые задумался над тем, а почему, собственно, Марк Аврелий считал, что в мире господствуют либо случайность, либо порядок и закономерность? Почему он думал, что эти две возможности исключают друг друга? Мне кажется, в действительности оба утверждения не противоречат друг другу, более того, они действуют одновременно: в мире господствует случай и одновременно действуют порядок и закономерность... Вот почему я и придаю такое значение выяснению понятия веро­ятности и интересуюсь неразрывно связанными с этим вопроса-

А. Реньи связывает вероятность с тем, что в мире действуют одновременно случайность и порядок, закономерность. Таким образом он косвенно указывает на то, что вероятность основана на единстве случайности и необходимости.

М. Борн писал: "Природа, как и дела человеческие, кажется подверженной как необходимостям, так и случайностям. И все- таки даже случайность не вполне произвольна, ибо имеются за­коны случайности, сформулированные в математической теории вероятностей" . Наша философия дуалистична; природа управля­ется как бы запутанным клубком законов причины и законов слу-

Далее он писал: "я имею в виду закономерности совсем иного типа, где мы имеем дело с большим количеством объектов, а именно стати­стические, или, точнее, стохастические законы. (Термин "стохастиче­ский" употребляется в настоящее время, когда система, состоящая из множества частиц, изменяет свое состояние в результате случайных воздействий и взаимодействий.)

Чтобы правильно объяснить эти закономерности, следует приме­нять теорию вероятностей, разработанную Паскалем для лучшего по­нимания игр, в которых главную роль играет случай. Начав с описания азартных игр, эта математическая дисциплина по-новому осветила мно­гие другие виды человеческой деятельности. В настоящее время она ис­пользуется в страховом деле, для исследования производственных про­цессов, при распределении и регулировании транспортных потоков и во многих других областях. Она применяется также во многих отраслях знания, например в звездной астрономии, генетике, эпидемиологии, учении о распределении видов растений и животных и т. д.

В физике статистические методы тесно связаны с атомистической концепцией...

Движение атома в газе есть процесс, в котором сочетается за­кономерность и случайность. Физика успешно использовала сочетание этих двух особенностей при постройке замечательного здания назы­ваемого статистической теорией теплоты" (курсив мой - Л.Б.) .

Согласно М. Борну вероятностно-статистический подход ос­нован на сочетании, как он сам выражается, закономерности и случайности. Комментарии, как говорится, излишни.

Л.В. Тарасов пишет: "диалектическое единство необходимого и случайного, которое, кстати, и выражается через вероятность" .

Среди философов встречается порой представление о вероят - ности как "степени возможности" или "количественной мере возможности" . Это представление фиксирует лишь факт, что ве­роятность может быть большей или меньшей, что она исчислима (методами теории вероятностей). Однако оно ничего не говорит о природе вероятности. Ведь и о случайности можно говорить как о большей или меньшей, и о необходимости. И вообще любое кате­гориальное определение можно как-то характеризовать с количе­ственной стороны. Например, еще не создано исчисление проти­воречий, хотя давно известен факт, что противоречия имеют свои минимумы и максимумы. Смеем утверждать, что такое исчисле­ние будет со временем создано. Все объективные категориальные определения имеют количественную сторону и поэтому их ждет неизбежная математизация.

Приведенные выше высказывания философов и ученых вскрывают природу вероятности как промежуточной категории, связывающей случайность и необходимость. Только в координа­тах этих категорий определяется ее содержание и она может быть охарактеризована как имеющая большую или меньшую степень.

А.С. Кравец в книге "Природа вероятности" дал содержатель­ный анализ этой категории и показал, что она "снимает" противо­положность случайности и необходимости. "Во всякой случайной последовательности, - пишет он, - несмотря на ее иррегуляр­ность и беспорядочность, существует вполне устойчивое распре­деление элементов. В хаотическом следовании случайных собы­тий улавливается некоторая регулярность (обычно называемая стохастической регулярностью), которая качественно отличается от схем жесткой детерминации и является объективным основа­нием вероятностных законов. Анализируя природу вероятност­ных законов, мы увидим глубокую связь случайности и необхо- димости" .

По А.С. Кравцу "вероятностная структура обладает тремя специфическими свойствами: 1) единством иррегулярности и ус­тойчивости в классе событий; 2) единством автономности и зави­симости событий; 3) единством беспорядка и порядка в классе событий" . По поводу вероятности как единства иррегулярности и устойчивости в классе событий он пишет:

"В самом общем плане иррегулярность может быть охарактеризова­на как отсутствие регулярности, т. е. устойчивой законосообразности процесса реализации событий. Мы говорим, например, что события мо­гут быть реализованы в таком-то порядке. Если последовательность со­бытий иррегулярна, то это означает, что те же события могут быть в принципе реализованы и в каком-то другом порядке. Если мы теперь предположим, что события будут развиваться согласно нашему второму плану, то иррегулярность означает, что и этот план опять-таки может быть легко нарушен, и т. д. Иррегулярность - это постоянное наруше­ние и несоблюдение любых наперед заданных правил реализации собы­тий...

Иррегулярность поведения присуща каждой вероятностной системе. Напротив, система, поведению которой присуща регулярность, подчи­няется законам жесткой детерминации. Если, например, мы случайным образом бросаем металлическую иглу на разграфленную плоскость, то попадание иглы на различные зоны будет иррегулярным, и мы можем вычислить лишь вероятность попадания иглы в определенную зону. Но если поместить плоскость между полюсами магнита, то процесс сразу же становится регулярным, и падение иглы будет подчиняться опреде­ленному однозначному закону.

Иррегулярность, таким образом, выражается в вариативности пове­дения наблюдаемых объектов, в глубокой изменчивости поведения, в высокой динамичности вероятностных систем...

Однако обнаруживаемая в поведении вероятностных систем ирре­гулярность отнюдь не абсолютна. В беспорядочности отдельных собы­тий осуществляется определенная законосообразность множества собы­тий в целом, некоторая совокупная устойчивость этого множества. Xотя в каждом отдельном случае может произойти "все что угодно" (естест­венно, лишь в рамках возможного), тем не менее в целом, в большой со­вокупности случайных событий всегда воспроизводятся определенные устойчивые группы таких событий. Иррегулярность реализации отдель­ных событий оказывается ограниченной устойчивостью их множества в целом, благодаря чему отношения между событиями приобретают неко­торый закономерный, повторяющийся характер. На практике это фик­сируется обычно в форме устойчивых стремящихся к некоторой посто­янной величине) относительных частот реализации тех или иных собы­тий.

Удивительная устойчивость параметров вероятностных систем, хо­рошо знакомая нам из статистических справочников (число смертностей в году, число разведенных за год супружеских пар, число мальчиков во всей совокупности новорожденных за год, количество осадков в году и т. п.), есть проявление объективных законов, которые предписывают случаю определенные рамки. Именно устойчивый тип отношений эле­ментов, образующих вероятностную систему, устойчивый характер со­вершающихся в ней беспрерывно изменений позволяет вывести некото­рый вероятностный закон поведения системы. Таким образом, в поведе­нии вероятностной системы обнаруживается диалектическое единство изменчивости, ломающей в каждом отдельном случае окостенелый и неизменный ход процессов, и устойчивости, направляющей в целом эту изменчивость по определенному руслу закономерных тенденций" 1 .

Теперь о вероятности как единстве автономности и зависимо­сти событий:

"Идея вероятности органически связана с идеей независимости на­блюдаемых событий. И классический и частотный подходы к определе­нию вероятности берут за основу представление о том, что реализация событий происходит независимым друг от друга способом, вследствие чего их вероятности оказываются независимыми по отношению друг к другу.

По мере развития теоретико-вероятностных представлений все яс­нее осознавалась роль принципа автономности в познании материаль­ных систем. Каждый новый шаг в расширении сферы приложения тео­ретико-вероятностных представлений наносил сокрушительный удар по метафизической картине мира, согласно которой мир представляет со­бой строго детерминированную систему событий. В такой системе все одинаково существенно, все имеет одинаковое значение для судеб Все­ленной - пылинка и планета, жизнь отдельной личности и судьба на­рода. В жестком и окостенелом мире однозначной детерминации любое событие предопределено предыдущими событиями, в нем нет места для автономных явлений, нет случайностей, целое строго детерминируется своими частями (с. 60).

Автономность явлений представляет собой одно из фундаменталь­ных свойств объективной реальности, не менее фундаментальное, чем их взаимозависимость (с. 62).

В науке признание принципа автономности систем пришло вместе с утверждением вероятностно-статистических методов их исследования и установлением вероятностных законов поведения объектов. Автоном­ность выражает существенную черту вероятностной связи, а само поня­тие вероятности непосредственным образом опирается на представле­ние о совокупности независимых событий. В теоретико-вероятностных представлениях идея автономности не является каким-то дополнитель­ным привеском, но представляет собой один из основополагающих ме­тодологических принципов, одну из определяющих аксиом теории ве­роятностей" (с. 63).

"Первоначально в основу теоретико-вероятностных представлений было положено понятие абсолютно независимого события. Однако вскоре выявилось, что полученные таким образом математические мо­дели неприложимы ко многим явлениям, с изучением которых столкну­лось естествознание. Пришлось вновь вернуться к идее зависимости, но на этот раз уже на новой, теоретико-вероятностной основе. Было выра­ботано новое понятие, адекватное изучаемым ситуациям - понятие ве­роятностной зависимости.

Удивительно, каким неожиданным образом диалектика пробивает себе дорогу в познании! В период господства жесткого детерминизма, признававшего только однозначную взаимозависимость явлений, идея локальной автономности молчаливо предполагалась в качестве необхо­димого условия выявления жестких каузальных связей. Действительно, из всего бесконечного множества связей во Вселенной можно выделить некоторую жесткую, строго однозначную связь только при одном важ­ном условии, а именно при условии, что выделенная локальная группа явлений не зависит от всех других явлений во Вселенной. Таким обра­зом, механистический детерминизм, отрицая идею автономности явно, в то же время неявно признавал ее буквально на каждом шагу, по отно­шению к каждой отдельной связи.

При вероятностно-статистическом способе рассмотрения, наоборот, начали с предположения об автономности изучаемых явлений и лишь затем были вынуждены ограничить эту автономность и сформулировать идею вероятностной зависимости. Вероятностная зависимость качест­венно отличается от зависимости строго детерминистского типа: такая зависимость исключает жесткую, однозначную связь между явлениями, допуская лишь связь между вероятностями их реализации. Вначале идея вероятностной зависимости была сформулирована по отношению к элементарным случайным событиям, что привело к выработке понятия условной вероятности. Затем эта идея была обобщена на случайные ве­личины, что привело к введению понятия условного закона распределе­ния вероятностей. Наконец, идея вероятностной зависимости была раз­работана применительно к понятию случайных функций, что привело к возникновению теории вероятностных (стохастических) процессов. В теории вероятностей возник специальный раздел - корреляционный анализ, в рамках которого исследуются математические свойства веро­ятностных зависимостей (с.64-65)".

О вероятности как сочетании беспорядка и порядка А.С. Кравец пишет:

"Третья особенность отношений, складывающихся в классе случай­ных событий, состоит в характерном сочетании беспорядка и порядка. Под порядком обычно понимают определенный закономерный строй событий, некоторую их согласованность в пространстве и времени, оп­ределенное закономерное отношение между их объемными и другими параметрами, согласованность между их функциями и т. д. Упорядо­ченностью в той или иной мере обладают все системы, однако для веро­ятностных систем наряду с упорядоченностью характерна и некоторая хаотичность. Иногда для обоснования вероятностного подхода специ­ально вводят соответствующие гипотезы об отсутствии упорядоченно­сти в исследуемой системе. Вероятностную систему отличает отсутст­вие жестких связей между элементами, автономность элементов, ирре­гулярный характер отношений и т. п...

В физике беспорядок в отношениях между элементами вероятност­ной системы получил отражение в идее "молекулярного хаоса", или "молекулярного беспорядка". "Особенность движения, носящего назва­ние теплоты, - отмечал Дж. Максвелл, - заключается в том, что оно совершенно беспорядочно" (Дж. К. Максвелл. Статьи и речи. М.-Л., 1940, с. 125)

Однако наличие беспорядка в системе не следует считать доказа­тельством отсутствия всякой закономерности в отношениях между эле­ментами. Понятия порядка и беспорядка являются коррелятивными, со­относительными. Беспорядок, будучи диалектической противоположно­стью порядка, означает не отсутствие всякой объективной закономерно­сти в поведении элементов системы, а наличие некоторой специфиче­ской вероятностной закономерности, подобно тому, как иррегулярность выражает не вообще отсутствие всякой регулярности в реализации со­бытий, а лишь наличие специфической стохастической регулярности, некоторой устойчивой тенденции воспроизведения множества событий в целом.

Итак, в системах беспорядок всегда сопряжен с вероятностными за­кономерностями...

Абсолютный порядок и абсолютный беспорядок - это пределы спектра возможных структур, возможной организации систем. Абсо­лютный порядок наблюдается обычно в жестко детерминированной системе, где исключена всякая автономность подсистем. Наоборот, аб­солютный беспорядок характеризует системы независимых и равно­правных в вероятностном смысле подсистем. Однако в объективной действительности эти два предельных случая реализуются довольно редко и представляют собой скорее некоторую идеализацию. Большин­ство реальных систем располагается в промежутке между этими пре­дельными случаями...

Таким образом, системы, подчиняющиеся вероятностным законо­мерностям, характеризуются специфической структурой, которая каче­ственно отличает их от систем, подчиняющихся жестким формам де­терминации... В существовании систем, обладающих специфической вероятностной структурой, и состоит объективное основание вероятно­стных представлений"(с. 66-68) .

А.С. Кравец делает правильный вывод о том, что вероятность носит промежуточный характер, однако он, как всякий специа­лист, погруженный в свою область исследования, несколько пре­увеличивает значение вероятности, считая невероятностные слу­чайность и необходимость лишь предельными случаями, которые "реализуются довольно редко и представляют собой скорее неко­торую идеализацию". Можно заранее, априори сказать что любые промежуточные состояния возможны и существуют лишь благо­даря наличию ярко выраженных крайних состояний. Если нет по­следних, то нет и первых. Смешно говорить, что они представля­ют собой "скорее некоторую идеализацию". Если мы отрицаем реальность крайних состояний, то этим самым подрубаем сук, на котором сидим, т. е. вынуждены будем отрицать реальность про­межуточных состояний. Промежуточные состояния потому и яв - ляются промежуточными, что они "располагаются" где-то между крайними состояниями и их существование зависит от сущест­вования этих состояний. Вероятность носит промежуточный ха­рактер благодаря тому, что существуют случайность и необходи - мость - полюсы взаимозависимости. Располагаясь между ними, вероятность не поглощает их, а связывает, осуществляет переход от одного полюса взаимозависимости к другому. В этом ее смысл и назначение.

О промежуточном и двойственном характере вероятности А.С. Кравец пишет еще в одном месте книги:

"Для понимания природы вероятности существен тот факт, что она всегда связана с анализом отношений, заданных на некотором множе­стве событий. Понятие вероятности не имеет смысла вне рассмотрения множества событий... Однако понятие вероятности не имеет смысла и в том случае, если его не относить к некоторому элементу или подмноже­ству исходного множества элементов. По своей сути вероятность есть структурная характеристика поведения элемента в ряду идентичных, сходных элементов, образующих целостную систему... Вероятность как раз и является такой характеристикой, которая связывает отдельный элемент с системой в целом, позволяет выделить устойчивые отноше­ния между элементами системы. Иными словами, вероятность является своеобразной количественной мерой иррегулярности, автономности, беспорядка, занимая промежуточное положение жажду параметрами системы как некоторого целого и как множества автономных элементов (событий, исходов, ожидаемых явлений). В этом состоит двойственная природа вероятности".

А.С. Кравец заключает:

"Из анализа вероятностных структур следует важный философский вывод о сложности и глубоко диалектическом характере строения на­шего мира. Философские концепции, абсолютизирующие "изначаль­ный" порядок внешнего мира, жесткую связанность явлений во Вселен­ной, однозначность связи объектов, по-видимому, столь же произволь­ны и односторонни, как и концепции, рисующие мир в виде изначаль­ного и вечного хаоса, абсолютизирующие независимость явлений. Из абсолютизации взаимозависимости, порядка следуют фаталистические концепции типа лапласовского детерминизма, абсолютизация же миро­вого беспорядка приводит к финитным концепциям типа "тепловой смерти Вселенной".

Однако действительная физическая картина мира не может быть ни целиком уложена в прокрустово ложе абсолютного детерминизма, ни погружена в аморфный туман представлений о хаотической Вселен­ной.

На промежуточный характер вероятности указывает то, что вероятностные устойчивости могут ближе "стоять" к случайно­сти, т. е. быть более частными, и могут ближе "стоять" к необхо­димости, т. е. быть более общими. Первый род вероятностных ус­тойчивостей обычно причисляют к разряду эмпирических стати­стических закономерностей. Второй род - к разряду теоретиче­ских статистических закономерностей. Некоторые ученые и фи­лософы сомневаются даже, можно ли во всех случаях именовать частные статистические устойчивости эмпирическими законо­мерностями. И они в какой-то мере правы. Вероятностные устой­чивости "плавно" переходят в чисто случайные процессы, нося­щие неопределенный характер. Чем уже охватываемая ими об­ласть, тем они более похожи на чистые случайности и тем менее оснований называть их эмпирическими закономерностями. (Под­робнее об этом см. ниже, п. 3522.3 "Статистиче­ская закономерность").

Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и до сих пор не изучавшимися в математике. В процессе решения этих задач выкристаллизовались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. И только состояние естествознания привело к тому, что азартные игры еще долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к элементарно-арифметическим и комбинаторным методам.

Серьезные требования со стороны естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдения, задачи теории стрельбы, проблемы статистики, в первую очередь статистики народонаселения) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Муавр (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаусс (1777-1855), Пуассон (1781-1840). С формально-аналитической стороны к этому же направлению примыкает работа создателя неевклидовой геометрии Лобачевского (1792-1856), посвященная теории ошибок при измерениях на сфере и выполненная целью установления геометрической системы, господствующей во вселенной.

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и других областях естествознания, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике, социологии, биологии. В связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей стали использоваться не только для браковки уже изготовленной продукции, но и для организации самого процесса производства (статистический контроль в производстве).

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Опыт означает, что упомянутый комплекс обстоятельств создан сознательно. В ходе наблюдения сам наблюдающий комплекс этих условий не создает и не влияет на него. Его создают или силы природы или другие люди.

Что нужно знать, чтобы определять вероятности событий

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

  • достоверные события;
  • невозможные события;
  • случайные события.

Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

Ожидаемая частота наступления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.

Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.

Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.

Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Случайные события могут быть:

  • несовместными;
  • совместными.

События A, B, C … называют несовместными , если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными . Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.

Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий .

Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.

Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны , то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:

  • будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
  • будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
  • будут решены обе задачи;
  • не будет решена ни одна из задач.

Эти события образуют полное множество несовместных событий .

Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().

События называют равновозможными , если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.

Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.

Определения и свойства вероятностей

Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.

Классическая и статистическая вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N , которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А :

Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p , не указывая обозначения события.

Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А .

Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.

Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5

Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.

Решение. Искомая вероятность

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B - выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.

Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A - вытянут белый шар. Событие B - вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.

Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.

Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:

Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.

Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):

Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:

Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):

По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:

Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Основные понятия теории

  • Вероятность
  • Вероятностное пространство
  • Случайная величина
  • Локальная теорема Муавра - Лапласа
  • Функция распределения
  • Математическое ожидание
  • Дисперсия случайной величины
  • Независимость
  • Условная вероятность
  • Закон больших чисел
  • Центральная предельная теорема

Теория вероятности

Введение…………………………………………………………………….2

Основные положения теории ………………………..……………………3

Заключение…………………………………………………………………11

Теория вероятностей возникла в середине XVII в. в связи с задачами расчета шансов выигрыша игроков в азартных играх. Страстный игрок в кости француз де Мере, стараясь разбогатеть, придумывал новые правила игры. Он предлагал бросать кость четыре раза подряд и держал пари, что при этом хотя бы один раз выпадет шестерка (6 очков). Для большей уверенности в выигрыше де Мере обратился к своему знакомому, французскому математику Паскалю, с просьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре. Приведем рассуждения Паскаля. Игральная кость представляет собой правильный кубик, на шести гранях которого нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (число очков). При бросании кости "наудачу" выпадение какого-либо числа очков является случайным событием; оно зависит от многих неучитываемых воздействий: начальные положения и начальные скорости различных участков кости, движение воздуха на ее пути, те или иные шероховатости в месте падения, возникающие при ударе о поверхность упругие силы и т. д. Так как эти воздействия имеют хаотичный характер, то в силу соображений симметрии нет оснований отдавать предпочтение выпадению одного числа очков перед другим (если, конечно, нет неправильностей в самой кости или какой-то исключительной ловкости бросающего).

Поэтому при бросании кости имеется шесть исключающих друг друга равновозможных случаев, и вероятность выпадения данного числа очков следует принять равной 1/6 (или100/6 %). При двукратном бросании кости результат первого бросания - выпадение определенного числа очков - не окажет никакого влияния на результат второго бросания, следовательно, всех равновозможных случаев будет 6 · 6 = 36. Из этих 36 равновозможных случаев в 11 случаях шестерка появится хотя бы один раз и в 5 · 5 = 25 случаях шестерка не выпадет ни разу.

Шансы на появление шестерки хотя бы один раз будут равны 11 из 36, другими словами, вероятность события А, состоящего в том, что при двукратном бросании кости появится хотя бы один раз шестерка, равна11/100 , т. е. равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных случаев. Вероятность того, что шестерка не появится ни разу, т. е. вероятность события,называемого противоположным событию A, равна25/36 . При трехкратном бросании кости число всех равновозможных случаев будет 36 · 6 = 63, при четырехкратном 63 · 6 = 64. При трехкратном бросании кости число случаев, в которых шестерка не появится ни разу, равно 25 · 5 = 53, при четырехкратном 53 · 5 = 54. Поэтому вероятность события, состоящего в том, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет шестерка, равна, а вероятность противоположного события, т. е. вероятность появления шестерки хотя бы один раз, или вероятность выигрыша де Мере, равна.

Таким образом, у де Мере было больше шансов выиграть, чем проиграть.

Рассуждения Паскаля и все его вычисления основаны на классическом определении понятия вероятности как отношения числа благоприятствующих случаев к числу всех равновозможных случаев.

Важно отметить, что произведенные выше расчеты и само понятие вероятности как числовой характеристики случайного события относились к явлениям массового характера. Утверждение, что вероятность выпадения шестерки при бросании игральной кости равна 1/6, имеет следующий объективный смысл: при большом количестве бросаний доля числа выпадений шестерки будет в среднем равна 16; так, при 600 бросаниях шестерка может появиться 93, или 98, или 105 и т. д. раз, однако при большом числе серий по 600 бросаний среднее число появлений шестерки в серии из 600 бросаний будет весьма близко к 100.

Отношение числа появлений события к числу испытаний называется частостью события. Для однородных массовых явлений частости событий ведут себя устойчиво, т. е. мало колеблются около средних величин, которые и принимаются за вероятности этих событий (статистическое определение понятия вероятности).

В XVII-XVIII вв. теория вероятностей развивалась незначительно, так как область ее применения, ввиду низкого уровня естествознания ограничивалась небольшим кругом вопросов (страхование, азартные игры, демография). В XIX в. и до настоящего времени, в связи с запросами практики, теория вероятностей непрерывно и быстро развивается, находя применения все в более разнообразных областях науки, техники, экономики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, молекулярная и атомная физика, химия, метеорология, вопросы планирования, статистический контроль в производстве и т. д.)

Теория вероятностей является разделом математики, изучающим закономерности случайных массовых событий устойчивой частости.

Основное положение теории

Теория вероятности – это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений. Такие же закономерности, только в более узкой предметной области социально-экономических явлений, изучает статистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая степень взаимосвязи. Практически любые выводы сделанные статистикой рассматриваются как вероятностные.

Особенно наглядно вероятностный характер статистических исследований проявляется в выборочном методе, поскольку любой вывод сделанный по результатам выборки оценивается с заданной вероятностью.

С развитием рынка постепенно сращивается вероятность и статистика, особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарными запасами, портфелем ценных бумаг и т.п. За рубежом теория вероятности и математическая статистика применятся очень широко. В нашей стране пока широко применяется в управлении качеством продукции, поэтому распространение и внедрение в практику методов теории вероятности актуальная задача.

Как уже говорилось, понятие вероятности события определяется для массовых явлений или, точнее, для однородных массовых операций. Однородная массовая операция состоит из многократного повторения подобных между собой единичных операций, или, как говорят, испытаний. Каждое отдельное испытание заключается в том, что создается определенный комплекс условий, существенных для данной массовой операции. В принципе должно быть возможным воспроизводить эту совокупность условий неограниченное число раз.

Пример1. При бросании игральной кости "наудачу" существенным условием является только то, что кость бросается на стол, а все остальные обстоятельства (начальная скорость, давление и температура воздуха, окраска стола и т. д.) в расчет не принимаются.

Пример 2. Стрелок многократно стреляет в определенную мишень с данного расстояния из положения "стоя"; каждый отдельный выстрел является испытанием в массовой операции стрельбы в данных условиях. Если же стрелку разрешено при разных выстрелах менять положение ("стоя", "лежа", "с колена"), то предыдущие условия существенно изменяются и следует говорить о массовой операции стрельбы с данного расстояния.

Возможные результаты единичной операции, или испытания S, называются случайными событиями. Случайное событие - это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти при испытании S. Вместо "произойти" говорят также "наступить", "появиться", "иметь место".

Так, при бросании игральной кости случайными событиями являются: выпадение данного числа очков, выпадение нечетного числа очков, выпадение числа очков, не большего трех, и т. п.

При стрельбе случайным событием является попадание в цель (стрелок может как попасть в цель, так и промахнуться), противоположным ему случайным событием является промах. Из этого примера хорошо видно, что понятие случайного события в теории вероятностей не следует понимать в житейском смысле: "это чистая случайность", так как для хорошего стрелка попадание в цель будет скорее правилом, а не случайностью, понимаемой в обыденном смысле.

Пусть при некотором числе n испытаний событие A наступило m раз, т. е. m результатов единичной операции оказались "удачными", в том смысле, что интересующее нас событие A осуществилось, и n-m результатов оказались "неудачными" - событие A не произошло.

Вероятностью события A, или вероятностью «удачного» исхода единичной операции, называется среднее значение частости, т. е. среднее значение отношения числа «удачных» исходов к числу всех проведенных единичных операций (испытаний).

Само собой разумеется, что если вероятность события равна, то при n испытаниях событие A может наступить и более чем m раз, и менее чем m раз; оно лишь в среднем наступает m раз, и в большинстве серий по n испытаний число появлений события A будет близко к m, в особенности если n - большое число.

Таким образом, вероятность P(A) есть некоторое постоянное число, заключенное между нулем и единицей:

P(A) Ј 1

Иногда ее выражают в процентах: Р(А) 100% есть средний процент числа появлений события A. Конечно, следует помнить, что речь идет о некоторой массовой операции, т. е. условия S производства испытаний - определенные; если их существенно изменить, то может измениться вероятность события A: то будет вероятность события A в другой массовой операции, с другими условиями испытаний. В дальнейшем будем считать, не оговаривая это каждый раз, что речь идет об определенной массовой операции; если же условия, при которых осуществляются испытания, меняются, то это будет специально отмечаться.

Два события A и B называются равносильными, если при каждом испытании они либо оба наступают, либо оба не наступают.

В этом случае пишут

и не делают различия между этими событиями. Вероятности равно- сильных событии A = B, очевидно, одинаковы:

Обратное утверждение, конечно, неверно: из того, что P(A) = P(B), отнюдь не следует, что A = B.

Событие, которое обязательно наступает при каждом испытании, называется достоверным.

Условимся обозначать его буквой D.

Для достоверного события число его наступлений m равно числу испытаний n, поэтому частость его всегда равна единице, т. е. вероятность достоверного события следует принять равной единице:

P(D) = 1

Событие, которое заведомо не может произойти, называется невозможным.

Условимся обозначать его буквой H.

Для невозможного события m = 0, следовательно, частость его всегда равна нулю, т. е. вероятность невозможного события следует считать равной нулю:

P(H) = 0

Чем больше вероятность события, тем чаще оно наступает, и наоборот, чем меньше вероятность события, тем реже оно наступает. Когда вероятность события близка к единице или равна единице, то оно наступает почти при всех испытаниях. О таком событии говорят, что оно практически достоверно, т. е. что можно наверняка рассчитывать на его наступление.

Наоборот, когда вероятность равна нулю или очень мала, то событие наступает крайне редко; о таком событии говорят, что оно практически невозможно.

На сколько мала должна быть вероятность события, чтобы практически можно было считать его невозможным? Общего ответа здесь дать нельзя, так как все зависит от того, насколько важно это событие.

Например.Если, например, вероятность того, что электрическая лампочка окажется испорченной, равна 0,01, то с этим можно примириться. Но если 0,01 есть вероятность того, что в банке консервов образуется сильный яд ботулин, то с этим примириться нельзя, так как примерно и одном случае из ста будет происходить отравление людей и человеческие жизни окажутся под угрозой.

Как и всякая наука, теория вероятности и математическая статистика оперируют рядом основных категорий:

События;

Вероятность;

Случайность;

Распределение вероятностей и т.д.

События – называется произвольное множество некоторого множества всех возможных исходов, могут быть:

§ Достоверные;

§ Невозможные;

§ Случайные.

Достоверным называется событие, которое заведомо произойдет при соблюдении определенных условий.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при соблюдении определенных условий.

Случайным называют события, которые могут произойти либо не произойти при соблюдении определенных условий.

События называют единственновозможными , если наступление одного из них это событие достоверное.

События называют равновозможными , если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

События называют несовместимыми , если появление одного из них исключает возможность появления другого в том же испытании.

Принятие управленческих решений в условиях риска

Реферат по курсу «Разработка управленческих решений»

Выполнила:

Завязкина Марина Вячеславовна

студентка группы ГМУ-551

Проверила:

Андреева Юлия Андреевна,

старший преподаватель

Екатеринбург, 2012


Введение. 3

2. Классификация рисков. 5

3. Оценка степени вероятности риска. 9

4. Управление рисками при принятии управленческих решений. 12

5. Управление рисками в государственном управлении. 15

Заключение. 20

Список использованных источников и литературы.. 21


Введение

Руководителям различного уровня нередко приходится готовить управленческие решения в условиях недостаточной или ненадежной информации, большой текучести кадров, недобросовестности поставщиков или покупателей, частых изменений законодательства, конъюнктуры рынка и др. В результате возможны непреднамеренные ошибки в тексте УР. В процессе реализации УР также возможны непредвиденные ситуации, затрудняющие точное его выполнение. Поэтому фактические результаты УР не всегда совпадают с запланированными. Они могут быть даже противоположными. Таким образом, для УР характерны неопределенность и риск.

Целью данной работы является комплексный анализ принятия управленческих решений в условиях риска. Для достижения цели поставлены следующие задачи:

· Охарактеризовать понятие «риск» с точки зрения управленческих решений;

· Рассмотреть различные виды рисков, их классификацию;

· Выявить способы оценки степени вероятности риска;

· Проанализировать варианты управления рисками при принятии управленческих решений, в том числе в сфере государственного управления.


Риск – это возможная опасность потерь, вытекающая из специфики тех или иных явлений природы и видов деятельности человеческого общества. Это историческая и экономическая категория. Таким образом, принятие решений в условиях риска означает выбор варианта решения в условиях, когда каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем каждый исход имеет вычисляемую или экспертно определяемую вероятность появления.

Как историческая категория риск представляет собой осознанную человеком возможную опасность. Это свидетельствует о том, что риск исторически связан со всем ходом общественного развития. Как экономическая категория риск представляет собой событие, которое может произойти или не произойти. В случае совершения такого события возможны три экономических результата:

· отрицательный (проигрыш, ущерб, убыток);

· нулевой;

· положительный (выигрыш, выгода, прибыль).

Если обычно понятие «неопределенность» связывают с подготовкой УР, то «риск» - с реализацией УР, то есть с результатами.

Риск тесно связан с неопределенностью, кроме того они могут переходить друг в друга. Переход рисков в неопределенности происходит в том случае, если имеется несколько УР, следующих друг за другом, тогда риски предшествующих УР становятся неопределенностями для последующих УР. В ситуации риска можно, используя теорию вероятности, рассчитать вероятность того или иного изменения среды, в ситуации неопределенности значения вероятности получить нельзя.

Риск определяет соотношение двух полярных результатов, полученных от реализации УР: отрицательного (полное невыполнение) и положительного (достижение запланированного). Обычно риск оценивается дискретно либо как соотношение пары чисел (например, ; ), либо как процент отрицательного исхода (например, 0,01 %). Например, риск означает, что только в двух случаях из десяти решение не будет реализовано; риск 10% означает, что на 10% не гарантируется положительный исход принятого решения; риск означает равную вероятность как отрицательного, так и положительного исхода процесса. При низком уровне неопределенностей риск растет незначительно, и им часто можно пренебречь. Средний и высокий уровни неопределенностей существенно повышают риск получения отрицательного результата. Сверхвысокий уровень неопределенностей не оставляет надежды на положительные результаты.

Классификация рисков

Под классификацией рисков следует понимать распределение риска на конкретные группы по определенным признакам для достижения поставленных целей. Научно обоснованная классификация рисков позволяет четко определить место каждого риска в их общей системе. Она создает возможности для эффективного применения соответствующих методов, приемов управления риском, так как каждому риску соответствует своя система приемов управления риском.

Рис.1 – Классификация рисков

Квалификационная система рисков включает группу, категории, виды, подвиды и разновидности рисков. В зависимости от возможного результата (рискового события) риски можно поделить на две большие группы:

1. Чистые риски означают возможность получения отрицательного или нулевого результата. К этим рискам относятся риски: природно-естественные, экологические, политические, транспортные и часть коммерческих (имущественные, производственные, торговые);

2. Спекулятивные риски выражаются в возможности получения как положительного, так и отрицательного результата. К этим рискам относятся финансовые риски, представляющие собой часть коммерческих рисков.

По основной причине возникновения (базисный или природный риск) риски делятся на следующие категории:

· природно-естественные риски – риски, связанные с проявлением стихийных сил природы (землетрясение, наводнение, буря, пожар, эпидемия и т.п.);

· экологические риски – риски, связанные с загрязнением окружающей среды;

· политические риски – риски, связанные с политической ситуацией в стране и деятельностью государства. Политические риски возникают при нарушении условий производственно-торгового процесса по причинам, непосредственно не зависящим от хозяйствующего субъекта. К политическим рискам относятся:

ü невозможность осуществления хозяйственной деятельности вследствие военных действий, революции, обострения внутриполитической ситуации в стране, национализации, конфискации товаров и предприятий, введения эмбарго, из-за отказа нового правительства выполнять принятые его предшественниками обязательства и т.п.;

ü введение отсрочки (моратория) на внешние платежи на определенный срок ввиду наступления чрезвычайных обстоятельств (забастовка, война и т.д.);

ü неблагоприятное изменение налогового законодательства;

ü запрет или ограничение конверсии национальной валюты в валюту платежа (в этом случае обязательство перед экспортерами может быть выполнено в национальной валюте, имеющей ограниченную сферу применения);

· транспортные риски – риски, связанные с перевозками грузов транспортом: автомобильным, морским, речным, железнодорожным, самолетами и т.д.;

· коммерческие риски – опасность потерь в процессе финансово-хозяйственной деятельности. Они означают неопределенность результатов отданной коммерческой сделки.

По структурному признаку коммерческие риски делятся на следующие категории:

· имущественные риски – риски, связанные с вероятностью потерь имущества предпринимателя по причине кражи, диверсии, халатности, перенапряжения технической и технологической систем и т.п.;

· производственные риски – риски, связанные с убытком от остановки производства вследствие воздействия различных факторов и, прежде всего с гибелью или повреждением основных и оборотных фондов (оборудование, сырье, транспорт и т.п.), а также риски, связанные с внедрением в производство новой техники и технологии;

· торговые риски – представляют собой риски, связанные с убытком по причине задержки платежей, отказа от платежа в период транспортировки товара, непоставки товара и т.п.; финансовые риски – связаны с вероятностью потерь финансовых ресурсов (т.е. денежных средств).

· риски, связанные с покупательной способностью денег :

ü инфляционный риск – риск того, что при росте инфляции (обесценение денег и, соответственно, рост цен) получаемые денежные доходы обесцениваются с точки зрения реальной покупательной способности быстрее, чем растут;

ü дефляционный риск – риск того, что при росте дефляции (снижение цен и, соответственно, увеличение покупательной способности денег) происходят падение уровня цен, ухудшение экономических условий предпринимательства и снижение доходов;

ü валютные риски – опасность валютных потерь, связанных с изменением курса одной иностранной валюты по отношению к другой, при проведении внешнеэкономических, кредитных и других валютных операций;

ü риски ликвидности – риски, связанные с возможностью потерь при реализации ценных бумаг или других товаров из-за изменения оценки их качества и потребительной стоимости;

· риски, связанные с вложением капитала (инвестиционные риски ):

ü риск упущенной выгоды – риск наступления косвенного (побочного) финансового ущерба (неполученная прибыль) в результате неосуществления какого-либо мероприятия (например, страхование, хеджирование, инвестирование и т.п.);

ü риск снижения доходности – риск, возникающий в результате уменьшения размера процентов и дивидендов по портфельным инвестициям, по вкладам и кредитам, а также по портфельным инвестициям, связанным с формированием инвестиционного портфеля, представляющим собой приобретение ценных бумаг и других активов (сюда могут относиться: процентные риски – опасность потерь коммерческими банками, кредитными учреждениями, инвестиционными институтами, селинговыми компаниями в результате превышения процентных ставок, выплачиваемых ими по привлеченным средствам, над ставками по предоставленным кредитам, риски потерь, которые могут понести инвесторы в связи с изменением дивидендов по акциям, процентных ставок на рынке по облигациям, сертификатам и другим ценным бумагам;

ü кредитный риск – опасность неуплаты заемщиком основного долга и процентов, причитающихся кредитору, риск такого события, при котором эмитент, выпустивший долговые ценные бумаги, окажется не в состоянии выплачивать проценты по ним или основную сумму долга);

ü риски прямых финансовых потерь – биржевые риски, представляющие собой опасность потерь от биржевых сделок (риск неплатежа по коммерческим сделкам, риск неплатежа комиссионного вознаграждения брокерской фирмы и т.п.);

ü селективный риск – риск неправильного выбора видов вложения капитала, вида ценных бумаг для инвестирования в сравнении с другими видами ценных бумаг при формировании инвестиционного портфеля;

ü риск банкротства – опасность в результате неправильного выбора вложения капитала полной потери предпринимателем собственного капитала и его неспособности рассчитываться по взятым на себя обязательствам.

Помимо вышеприведенной классификации, риски можно классифицировать по другим признакам. По последствиям принято разделять риски на три категории:

· допустимый риск - это риск решения, в результате неосуществления которого предприятию грозит потеря прибыли; в пределах этой зоны предпринимательская деятельность сохраняет свою экономическую целесообразность, т.е. потери имеют место, но они не превышают размер ожидаемой прибыли;

· критический риск - это риск, при котором предприятию грозит потеря выручки; иначе говоря, зона критического риска характеризуется опасностью потерь, которые заведомо превышают ожидаемую прибыль и в крайнем случае могут привести к потере всех средств, вложенных предприятием в проект;

· катастрофический риск - риск, при котором возникает неплатежеспособность предприятия; потери могут достигнуть величины, равной имущественному состоянию предприятия. Также к этой группе относят любой риск, связанный с прямой опасностью для жизни людей или возникновением экологических катастроф.

Очевидно, что вышеприведенные классификации взаимосвязаны между собой, причем вторая несет более общий характер.

Резюмируя вышесказанное, следует отметить, что существует большое количество классификаций рисков в зависимости от специфики деятельности компании. Устоявшихся критериев, позволяющих однозначно классифицировать все риски, не существует по ряду причин: специфике деятельности хозяйственных субъектов, различных проявлениях рисков и их различных источниках.

Оценка степени вероятности риска

При принятии управленческих решений требуется оценить степень риска и определить его величину. Степень риска - это вероятность наступления случая потерь, а также размер возможного ущерба от него. Оценка степени риска может быть:

· объективной , основывающейся, на результатах проведенных объективных исследований;

· субъективной , основывающейся на мнении экспертов;

· объективно –субъективной , основывающейся и на результатах объективных исследований и на оценках экспертов.

Риск представляет собой действие в надежде на счастливый исход по принципу «повезет - не повезет». Принимать на себя риск предпринимателя вынуждает, прежде всего, неопределенность хозяйственной ситуации, т.е. неизвестность условий политической и экономической обстановки, окружающей ту или иную деятельность, и перспектив изменения этих условий. Чем больше неопределенность хозяйственной ситуации при принятии решения, тем больше и степень риска.

Неопределенность хозяйственной ситуации обусловливается следующими факторами: отсутствием полной информации, случайностью, противодействием.

Случайность во многом определяет неопределенность хозяйственной ситуации. Случайность - это то, что в сходных условиях происходит неодинаково, и поэтому ее заранее нельзя предвидеть и спрогнозировать. Однако при большом количестве наблюдений за случайностями можно обнаружить, что в мире случайностей действуют определенные закономерности. Математический аппарат для изучения этих закономерностей дает теория вероятности. Случайные события становятся предметом теории вероятности только тогда, когда с ними связываются определенные числовые характеристики - их вероятности.

Существует несколько способов расчета вероятности риска. Из них наиболее точные результаты оценки вероятности можно получить, используя неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева позволяет находить верхнюю границу вероятности того, что случайная величина Х отклонится в обе стороны от своего среднего значения на величину больше чем β.

Неравенство Чебышева передается следующей формулой

Р {(х-х ср)> β} <

В этой формуле:

X – случайная величина

X ср – среднее значение случайной величины;

X i – значение случайной величины в i наблюдении

β – заданное число

N – общее число наблюдений случайной величины

Если находить вероятность отклонения случайной величины Х только в одну сторону (например, в большую), то результат, полученный по этой формуле, необходимо поделить на 2.

Если произвести оценку вероятности, какими либо формальными методами не представляется возможным, то можно воспользоваться шкалой качественной оценки риска (Р – вероятность).

Таблица 1. Качественная оценка риска


Похожая информация.


Многие из вас изучали теорию вероятностей и статистику в школе или институте. Несомненно, вам доводилось видеть график наподобие изображенного на рисунке 4–1.

Рисунок 4–1. Нормальное (гауссово) распределение женского роста

Рисунок 4–1 изображает так называемое нормальное распределение. Этот рисунок показывает распределение женщин по росту. На горизонтальной оси отмечен рост в дюймах, на вертикальной – два типа вероятности.

1. График частоты вероятности – заштрихованная область связана с левой вертикальной осью и показывает, насколько часто встречается определенный рост. В нашем примере средний рост составляет 5 футов 4 дюйма. Вероятность того, что рост некоей женщины будет ближе к этой средней величине, выше, чем вероятность того, что ее рост будет существенно отличаться от среднего. Чем выше точка в центре графика, тем выше вероятность совпадения, области слева и справа показывают менее вероятные варианты. Например, высота кривой на уровне 70 дюймов гораздо ниже, чем на уровне 68 дюймов, что говорит о менее вероятном росте женщины 5 футов 10 дюймов по сравнению со средним ростом 5 футов 8 дюймов.

2. Кривая кумулятивной вероятности – тонкая линия начинается у отметки 0 процентов и доходит до отметки 100 процентов (на правой вертикальной оси). Эта кривая показывает совокупную (кумулятивную) вероятность того, что у женщины будет хотя бы такой рост. Например, если вы посмотрите на эту линию, то заметите, что она почти приближается к 100 процентам на уровне 70 дюймов. Реальная величина на уровне 70 дюймов составляет 99,18 процентов, что означает, что лишь менее одного процента женщин имеют рост 5 футов 10 дюймов или выше.

Этот график, как и другие подобные ему, использует сложные математические формулы, но суть его достаточно проста: чем дальше параметр роста от центра, обозначающего среднее значение, тем меньше у вас шансов встретить женщину такого роста.

Почему же расчеты вероятности делаются таким сложным образом? Можно отставить длинные формулы и построить график, похожий на приведенный, используя простой метод. Пойдите в такое место, где можно встретить много женщин, например в студенческое общежитие. Затем выберите случайным образом 100 женщин и измерьте их рост. Разделите величины роста на отрезки по 1 дюйму и посчитайте количество женщин в каждом интервале. Скорее всего, в результате получится приблизительно 16 женщин ростом 64 дюйма, по 15 женщин ростом 63 и 65 дюймов, по 12 – ростом 62 и 66 дюймов, по 8 – ростом 61 и 67 дюймов, по 4 – ростом 60 и 68 дюймов, по две женщины ростом 59 и 69 дюймов и по одной – ростом 58 и 79 дюймов. Если вы построите график из столбцов с указанием количества женщин каждого роста, он будет выглядеть примерно как тот, что мы изобразили на рисунке 4–2.


Рисунок 4–2. Гистограмма распределения женского роста

Copyright 2006 Trading Blox, все права защищены.

Тип графика на рисунке 4–2 называется гистограммой. Он наглядно показывает частоту возникновения конкретного значения по сравнению с другими значениями (в нашем случае женского роста) и имеет такую же форму, что и график нормального распределения на рисунке 4–1, однако обладает одним преимуществом: вы можете создать его без привлечения сложных математических формул. Нужно только уметь считать и разбивать на категории.

Гистограмма подобного вида может быть создана на основе ваших данных о сделках и давать вам представление о том, какое будущее вас ожидает; график позволяет вам размышлять в терминах вероятности, а не прогноза. Рисунок 4–3 является гистограммой ежемесячных результатов двадцатилетнего теста системы трендов Дончиана – упрощенной версии системы Черепах. Он прост и использует расширенный набор данных, в отличие от системы Черепах.

Рисунок 4–3. Распределение ежемесячных результатов

Copyright 2006 Trading Blox, все права защищены.

Части гистограммы на рисунке 4–3 разделены на сегменты по 2 процента. Один столбец показывает количество месяцев, в которые результат был положительным и находился в интервале от 0 до 2 процентов, следующий столбец захватывает интервал от 2 до 4 процентов и так далее. Обратите внимание на то, что форма гистограммы напоминает нормальное распределение по росту, о котором мы говорили ранее. Существенная разница заключается в том, что график наклонен вправо. Такой наклон указывает на месяцы с положительным результатом, иногда его называют асимметричным распределением или «тяжелым хвостом».

Гистограмма на рисунке 4–4 изображает распределение самих сделок. Левая часть отражает неудачные сделки, правая – удачные. Заметьте, что на каждом графике есть по две шкалы слева и справа, а проценты на центральной вертикальной шкале распределены в интервалах от 0 до 100 процентов. Кумулятивные линии движутся от 0 до 100 процентов из центра графика наружу.

Числовые обозначения на шкалах слева и справа показывают количество сделок в каждом 20-процентном интервале. Например, 100 процентов по проигрышным сделкам составляют 3746; это означает, что за 22 года, в течение которых проводилось исследование, было заключено 3746 убыточных сделок. Для выигрышных сделок этот показатель составляет 1854 сделки (что равно 100 процентам).

Сделки разделены на столбцы в зависимости от прибыли, деленной на сумму риска по данной сделке. Эта концепция, известная как R-multiple, была создана трейдером Чаком Бранскомбом как удобный способ сравнения сделок, заключаемых при разных системах и на разных рынках (R-multiple были популяризированы Ваном Тарпом в книге «Трейдинг – ваш путь к финансовой свободе»).

Рисунок 4–4 Распределение сделок по Дончиану, R-multiple™

Copyright 2006 Trading Blox, все права защищены.

Проиллюстрировать эту систему позволит пример. Если вы покупаете августовский контракт на золото по цене 450 долларов со стоп-ценой 440 долларов (на случай, если рынок начнет двигаться против вас), вы рискуете одной тысячей долларов (разница между 450 и 440, умноженная на 100 унций – объем одного контракта). Если сделка приносит 5000 прибыли, она называется сделкой 5R, так как прибыль в 5000 долларов в пять раз выше суммы, которой вы рисковали (1000 долларов). На рисунке 4–4 выигрышные сделки разделены на группы с интервалом в 1R, проигрышные сделки – с интервалом в 0,5R.

Может показаться странным, что количество проигрышных сделок настолько превышает число выигрышных. На самом деле это обычное явление для систем, следующих за трендом. Однако, хотя количество проигрышных сделок велико, большинство потерь примерно равны предопределенному нами уровню входного риска 1R. Напротив, результат по выигрышным сделкам во много раз превышает входной риск, 43 сделки приносят сумму как минимум в 10 раз превышающую входной риск.

Черепахи никогда не знали, какая сделка завершится успехом, а какая – неудачей. Мы просто представляли себе примерную форму кривой распределения возможных исходов. Распределение должно было напоминать показанные на рисунках выше. Мы считали, что каждая сделка могла бы быть прибыльной, но понимали, что, вероятнее всего, она будет неудачной. Мы знали, что некоторые сделки принесут 4 или 5R, немногие принесут 12R, и совсем немногие – 20 или даже 30R. Но Черепахи знали наверняка, что выигрыш по сделкам будет настолько высок, что покроет убытки от неудачных сделок и даже останется прибыль.

Поэтому, осуществляя операции, мы не измеряли собственное состояние результатом сделки, так как знали, что, скорее всего, она будет убыточной. Мы рассуждали в терминах вероятностей, и это давало нам уверенность при принятии решений перед лицом высоких уровней риска и сомнений.