Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D , при этом оба эти параметра неизвестны. Над величиной Х произведено N независимых экспериментов, в результате которых была получена совокупность N численных результатов x 1 , x 2 , …, x N . В качестве оценки математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений

(1)

Здесь в качестве x i рассматриваются конкретные значения (числа), полученные в результате N экспериментов. Если взять другие (независимые от предыдущих) N экспериментов, то, очевидно, мы получим другое значение . Если взять еще N экспериментов, то мы получим еще одно новое значение . Обозначим через X i случайную величину, являющуюся результатом i -го эксперимента, тогда реализациями X i будут числа, полученные в результате этих экспериментов. Очевидно, что случайная величина X i будет иметь такую же плотность распределения вероятности, что и исходная случайная величина Х . Также считаем, что случайные величины X i и X j являются независимыми при i , не равном j (различные независимые друг относительно друга эксперименты). Поэтому формулу (1) перепишем в другом (статистическом) виде:

(2)

Покажем, что оценка является несмещенной:

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно истинному математическому ожиданию случайной величины m . Это достаточно предсказуемый и понятный факт. Следовательно, за оценку математического ожидания случайной величины можно принять выборочное среднее (2). Теперь возникает вопрос: что происходит с дисперсией оценки математического ожидания при увеличении числа экспериментов? Аналитические вычисления показывают, что

где - дисперсия оценки математического ожидания (2), а D - истинная дисперсия случайной величины X .

Из вышесказанного следует, что с ростом N (количества экспериментов) дисперсия оценки уменьшается, т.е. чем больше мы суммируем независимые реализации, тем ближе к математическому ожиданию мы получим оценку.

Оценки математического дисперсии

На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется

(3)

где вычисляется по формуле (2). Проверим, является ли оценка несмещенной. Формула (3) может быть записана следующим образом :

Подставим в эту формулу выражение (2):

Найдем математическое ожидание оценки дисперсии:

(4)

Так как дисперсия случайной величины не зависит от того, какое математическое ожидание у случайной величины, примем математическое ожидание равным 0, т.е. m = 0.

	(5)
при .	(6)

Параметры распределения и статистика

Любые параметры распределения случайной переменной, например, такие как математическое ожидание или дисперсия, являются теоретическими величинами, недоступными непосредственному измерению, хотя их и можно оценить. Они представляют собой количественную характеристику генеральной совокупности и могут быть сами по себе определены лишь в ходе теоретического моделирования как гипотетические величины, поскольку они описывают особенности распределения случайной величины в самой генеральной совокупности. Для того чтобы определить их на практике, исследователь, проводящий эксперимент, осуществляет их выборочную оценку. Такая оценка предполагает статистический подсчет.

Статистика представляет собой количественную характеристику исследуемых параметров, характеризующих распределение случайной величины, полученную на основе исследования выборочных значений. Статистика используется либо для описания самой выборки, либо, что имеет первостепенное значение в фундаментальных экспериментальных исследованиях, для оценки параметров распределения случайной величины в исследуемой генеральной совокупности.

Разделение понятий "параметр " и "статистика " является очень важным, так как оно позволяет избежать ряд ошибок, связанных с неверным толкованием данных, получаемых в эксперименте. Дело в том, что, когда мы оцениваем параметры распределения с помощью статистических данных, мы получаем величины, лишь в определенной степени близкие к оцениваемым параметрам. Между параметрами и статистикой практически всегда существует какое-то различие, причем, насколько велико это различие, мы, как правило, сказать не можем. Теоретически чем больше выборка, тем ближе оцениваемые параметры оказываются к их выборочным характеристикам. Однако это не означает, что, увеличив объем выборки, мы неминуемо ближе подойдем к оцениваемому параметру, уменьшим разницу между ним и вычисленной статистикой. На практике все может оказаться значительно сложнее.

Если в теории ожидаемое значение статистики совпадает с оцениваемым параметром, то такую оценку называют несмещенной. Оценку, при которой ожидаемое значение оцениваемого параметра отличается от самого параметра на некоторую величину, называют смещенной.

Также следует различать точечную и интервальную оценки параметров распределения. Точечной называют оценку с помощью какого-либо числа. Например, если мы утверждаем, что величина пространственного порога тактильной чувствительности для данного испытуемого в данных условиях и на данном участке кожи составляет 21,8 мм, то такая оценка будет точечной. Точно так же точечная оценка имеет место, когда в сводке погоды нам сообщают, что за окном 25°С. Интервальная оценка предполагает использование в оценке набора или диапазона чисел. Оценивая пространственный порог тактильной чувствительности, мы может сказать, что он оказался в диапазоне от 20 до 25 мм. Аналогичным образом синоптики могут сообщить, что по их прогнозам температура воздуха в ближайшие сутки достигнет значения 22–24°С. Интервальная оценка случайной величины позволяет нам не только определить искомое значение этой величины, но и задать возможную точность для такой оценки.

Математическое ожидание и его оценка

Вернемся к нашему опыту с подбрасыванием монеты.

Попытаемся ответить на вопрос: сколько раз должен выпасть "орел", если мы подбросим монету десять раз? Ответ, по-видимому, очевиден. Если вероятности каждого из двух исходов равны, то и сами исходы должны распределяться равным образом. Иными словами, при десятикратном подбрасывании обычной монеты мы вправе ожидать, что одна из ее сторон, например "орел", выпадет ровно пять раз. Аналогично при 100-кратном бросании монеты "орел" должен выпасть ровно 50 раз, а если монету бросить 4236 раз, то интересующая нас сторона должна появиться 2118 раз, не больше и не меньше.

Итак, теоретическое значение случайного события принято называть математическим ожиданием . Математическое ожидание может быть найдено путем умножения теоретической вероятности случайной величины на число испытаний. Более формально, однако, оно определяется как центральный момент первого порядка. Таким образом, математическое ожидание – это то значение случайной величины, к которому оно теоретически стремится при повторных испытаниях, относительно которого оно варьирует.

Ясно, что теоретическое значение математического ожидания как параметра распределения не всегда оказывается равным эмпирическому значению интересующей нас случайной величины, выраженной в статистике. Если мы проделаем опыт с подбрасыванием монеты, то вполне вероятно, что из десяти исходов "орел" выпадет лишь четыре или три раза, а может быть, напротив, он выпадет восемь раз, а может, и никогда не выпадет. Ясно, что какой-то из этих исходов оказывается более, какой-то менее вероятным. Если воспользоваться законом нормального распределения, то можно прийти к выводу, что чем больше результат отклоняется от теоретически ожидаемого, заданного величиной математического ожидания, тем он менее вероятен на практике.

Предположим далее, что мы проделали подобную процедуру несколько раз и ни разу не наблюдали теоретически ожидаемого значения. Тогда у нас может возникнуть сомнение относительно подлинности монеты. Мы можем предположить, что для нашей монеты вероятность выпадения "орла" на самом деле не равна 50%. В таком случае может понадобиться оценить величину вероятности этого события и соответственно величину математического ожидания. Такая необходимость возникает всякий раз, когда в эксперименте мы исследуем распределение непрерывной случайной величины, такой как время реакции, не имея заранее какой-либо теоретической модели. Как правило, это первый обязательный шаг в ходе количественной обработки результатов эксперимента.

Математическое ожидание можно оценить тремя способами, которые на практике могут дать несколько различные результаты, но в теории они должны непременно привести нас к величине математического ожидания.

Логику такой оценки иллюстрирует рис. 1.2. Математическое ожидание может быть рассмотрено как центральная тенденция в распределении случайной величины х, как наиболее вероятное и потому наиболее часто встречающееся ее значение и как точка, делящая распределение на две равные части.

Рис. 1.2.

Продолжим наши воображаемые опыты с монетой и проведем три эксперимента с десятикратным ее подбрасыванием. Предположим, что в первом эксперименте "орел" выпал четыре раза, то же самое произошло и во втором опыте, в третьем опыте "орел" выпадал более чем в полтора раза чаще – семь раз. Логично предположить, что математическое ожидание интересующего нас события на самом деле лежит где-то между этими величинами.

Первый , простейший способ оценки математического ожидания будет состоять в нахождении среднего арифметического. Тогда оценка математического ожидания на основе приведенных выше трех измерений будет равна (4 + 4 + 7)/3 = 5. Аналогичным образом в экспериментах со временем реакции математическое ожидание может быть оценено путем вычисления среднего арифметического всех полученных значений х. Так, если мы провели п замеров времени реакции х, то можем воспользоваться следующей формулой, которая показывает нам, что для вычисления среднего арифметического значения X необходимо сложить все эмпирически полученные величины и разделить их на число наблюдений:

В формуле (1.2) меру математического ожидания принято обозначать как ̅х (читается как "икс с чертой"), хотя иногда она может обозначаться как М (от англ. mean – среднее).

Среднее арифметическое является наиболее часто используемой оценкой математического ожидания. В таких случаях предполагается, что измерения случайной величины осуществляется в метрической шкале. Ясно, что полученный результат может совпадать, а может и не совпадать с истинным значением математического ожидания, которое нам никогда не известно. Важно, однако, что такой способ является несмещенной оценкой математического ожидания. Это значит, что ожидаемое значение оцениваемой величины равно ее математическому ожиданию: .

Второй способ оценки математического ожидания состоит в том, чтобы за его величину принять наиболее часто встречающееся значение интересующей нас переменной. Это значение называется модой распределения. Например, в рассмотренном только что случае с подбрасыванием монеты за величину математического ожидания можно принять "четыре", так как в трех проведенных испытаниях эта величина появлялась дважды; именно поэтому мода распределения в этом случае оказалась равной четырем. Оценка моды применяется главным образом в том случае, когда экспериментатор имеет дело с переменными, принимающими дискретные значения, заданные в неметрической шкале.

Например, описывая распределение оценок студентов на экзамене, можно построить частотное распределение полученных студентами оценок. Такое частотное распределение называется гистограммой. За величину центральной тенденции (математического ожидания) в этом случае можно принять наиболее распространенную оценку. При исследовании переменных, характеризующихся непрерывными значениями, эта мера практически не применяется или применяется редко. Если же частотное распределение полученных результатов все-таки строится, то оно, как правило, касается не самих полученных в эксперименте значений исследуемого признака, а некоторых интервалов его проявления. Скажем, исследуя рост людей, можно посмотреть, сколько человек попадает в интервал до 150 см роста, сколько в интервал от 150 до 155 см и т.д. В этом случае мода будут иметь отношение к интервальным значениям исследуемого признака, в данном случае – роста.

Понятно, что мода, как и среднее арифметическое, может совпадать, а может и не совпадать с действительным значением математического ожидания. Но так же, как и среднее арифметическое, мода является несмещенной оценкой математического ожидания.

Добавим, что если два значения в выборке встречаются одинаково часто, то такое распределение называют бимодальным. Если три и больше значений в выборке встречаются одинаково часто, то говорят, что такая выборка не имеет моды. Такие случаи при достаточно большом числе наблюдений, как правило, свидетельствуют о том, что данные извлечены из генеральной совокупности, характер распределения в которой отличается от нормального.

Наконец, третий способ оценки математического ожидания состоит в том, чтобы поделить выборку испытуемых по интересующему нас параметру ровно пополам. Величина, характеризующая эту границу, называется медианой распределения.

Предположим, мы присутствуем на лыжных соревнованиях и после их окончания желаем оценить, кто из спортсменов показал результат выше среднего, а кто – ниже. Если состав участников более или менее ровный, то при оценке среднего результата логично вычислить среднее арифметическое. Предположим, однако, что среди участников-профессионалов есть несколько любителей. Их немного, но они показывают результаты, значительно уступающие остальным. В этом случае может оказаться, что из 100 участников соревнований, например, результат выше среднего показали 87. Ясно, что такая оценка средней тенденции нас нс всегда может устроить. В этом случае логично предполагать, что средний результат показали участники, занявшие где-то 50-е или 51-е место. Это как раз и будет медианой распределения. До 50-го финалиста финишировали 49 участников, после 51-го – тоже 49. Непонятно, правда, чей же результат из них принять за средний. Конечно, может оказаться, что они финишировали с одинаковым временем. Тогда проблемы не возникает. Не возникает проблемы и тогда, когда число наблюдений оказывается нечетным. В других случаях, однако, можно воспользоваться усреднением результатов двух участников.

Медиана представляет собой частный случай квантиля распределения. Квантиль – это часть распределения. Формально его можно определить как интегральное значение распределения между двумя величинами переменной X. Таким образом, величина X будет являться медианой распределения, если интегральное значение распределения (плотность вероятности) от -∞ до X равно интегральному значению распределения от X до +∞. Аналогичным образом распределение можно делить на четыре, десять или 100 частей. Такие квантили соответственно называются квартилями, децилями и перцентилями. Существуют и другие виды квантилей.

Так же, как и два предыдущих способа оценки математического ожидания, медиана является несмещенной оценкой математического ожидания.

Теоретически предполагается, что если мы имеем дело действительно с нормальным распределением случайной величины, то все три оценки математического ожидания должны давать один и тот же результат, так как все они представляют собой вариант несмещенной оценки одного и того же параметра распределения оцениваемой случайной величины (см. рис. 1.2). На практике, однако, такое встречается редко. Это может быть связано, в частности, и с тем, что анализируемое распределение отличается от нормального. Но основная причина таких несовпадений, как правило, состоит в том, что, оценивая величину математического ожидания, можно получить значение, весьма значительно отличающееся от его истинной величины. Впрочем, как уже было отмечено выше, в математической статистике доказано, что чем больше независимых испытаний рассматриваемой переменной проведено, тем ближе оцениваемое значение должно оказаться к истинному.

Таким образом, на практике выбор способа оценки математического ожидания определяется не стремлением получить более точную и надежную оценку этого параметра, а лишь соображениями удобства. Также определенную роль в выборе способа оценки математического ожидания играет измерительная шкала, в которой отражаются сами наблюдения оцениваемой случайной величины.

ТЕМА: Точечные оценки математического ожидания. Точечные оценки дисперсии. Точечная оценка вероятности события. Точечная оценка параметров равномерного распределения.

п.1. Точечные оценки математического ожидания.

Предположим, что функция распределения случайной величины ξ зависит от неизвестного параметра θ : P (ξ θ;).

Если x 1 , x 2 …., x n - выборка из генеральной совокупности случайной величиныξ, то оценкой параметра θ называется произвольная функция от выборочных значений

Значение оценки меняется от выборки к выборке и, значит, есть случайная величина. В большинстве экспериментов значение этой случайной величины близки к значению оцениваемого параметра, если для любого значения n математическое ожидание величины равно истинному значению параметра, то оценки , удовлетворяющие условию называются несмещенными . Несмещенность оценки означает, что эта оценка не несет в себе систематической ошибки.

Оценка называется состоятельной оценкой параметра θ , если для любого ξ>0 справедливо

Таким образом, с ростом объема выборки увеличивается точность результата.

Пусть x 1 , x 2 … x n – выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине ξ с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией Dξ=σ 2 . Построим несколько оценок неизвестного параметра. Если, то , т.е. рассматриваемая оценка является несмещенной оценкой. Но, поскольку значение вообще не зависит от объема выборки n, то оценка не является состоятельной.

Эффективной оценкой математического ожидания нормально распределенной случайной величины является оценка

Впредь для оценки неивестного математического ожидания случайной величины будем использовать выборочное среднее, т. е.

Существуют стандартные (регулярные) методы получения оценок неизвестных параметров распределения. Наиболее известные из них: метод моментов , метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.

п.2 Точечные оценки дисперсии.

Для дисперсии σ 2 случайной величины ξ можно предложить следующую оценку:

где - выборочное среднее.

Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.

В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии исполь­зуют величину

Именно несмещенностью оценки s 2 объясняется ее более частое использование в качестве оценки величины D ξ.

Заметим, что Mathcad предлагает в качестве оценки дисперсии величину , а не s 2: функция var (x ) вычисляет величину

где mean (x ) -выборочное среднее .

ЗАДАНИЕ 6.5

Μξ и дисперсии D ξ случайной величины ξ по приведенным в задании выборочным значениям .

Порядок выполнения задания

Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.

Вычислите точечные оценки Μξ и D ξ.

Пример выполнения задания

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожи­дания Μξ и дисперсии D ξ случайной величины ξ по выборочным значениям, заданным следующей таблицей.

Для выборки, заданной таблицей такого типа (приведено выборочное значение и число, указывающее, сколько раз это значение встречается в выборке), формулы для состоятельных несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии имеют вид:

, ,

где k - количество значений в таблице; n i - количество значений x i в выборке; n - объем выборки.

Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями точечных оценок приведен ниже.

Из приведенных вычислений видно, что смещенная оценка дает заниженное значение оценки дисперсии.

п.3. Точечная оценка вероятности события

Предположим, что в некотором эксперименте событие А (благоприят­ный исход испытания) происходит с вероятностью p и не происходит с вероятностью q = 1 - р. Задача состоит в получении оценки неизвест­ного параметра распределения p по результатам серии n случайных экспериментов. При заданном числе испытаний n количество бла­гоприятных исходов m в серии испытаний - случайная величина, имеющая распределение Бернулли. Обозначим ее буквой μ.

Если событие А в серии из n независимых испытаний произошло

m раз, то оценку величины p предлагается вычислять по формуле

Выясним свойства предлагаемой оценки. Поскольку случайная ве­личина μ имеет распределение Бернулли, то Μμ= np и M = M = р , т.е. налицо несмещенная оценка.

Для испытаний Бернулли справедлива теорема Бернулли, согласно которой, т.е. оценка p состоятельная.

Доказано, что эта оценка эффективна, так как обладает при прочих равных условиях минимальной дисперсией.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной ве­личины, имеющей распределение Бернулли, предназначена функция rbinom(fc,η,ρ), которая формирует вектор из к случайных чисел, κα­ ι ждое из которых равно числу успехов в серии из η независимых испы­таний с вероятностью успеха ρ в каждом.

ЗАДАНИЕ 6.6

Смоделируйте несколько выборок значений случайной величины, име­ющей распределение Бернулли с заданным значением параметра р . Вычислите для каждой выборки оценку параметра p и сравните с за­данным значением. Представьте результаты вычислений графически.

Порядок выполнения задания

1. Используя функцию rbinom(1, n , p ), опишите и сформируй­те последовательность значений случайной величины, име­ющей распределение Бернулли с заданными p и n для n = 10, 20, ..., Ν, как функцию объема выборки п.

2. Вычислите для каждого значения n точечные оценки веро­ятности р.

Пример выполнения задания

Пример получения точечных оценок выборок объема n = 10, 20,..., 200 значений случайной величины μ, имеющей распределение Бернулли с параметром p = 0.3, приведен ниже.

Указание. Поскольку значением функции является вектор , число успехов в серии n независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом испытании содержится в первой компоненте вектора rbinom(1,n , p ) , т.е. число успехов равно rbinom(1, n , p ). В приведенном выше фрагменте k - я компонента вектора Ρ содержит число успехов в серии 10k независимых испытаний для k = 1,2,..., 200.

п. 4. Точечная оценка параметров равномерного распределения

Обратимся еще к одному поучительному примеру. Пусть - выборка из генеральной совокупности, соответствующей случай­ной величине ξ, имеющей равномерное распределение на отрезке с неизвестным параметром θ . Наша задача - оценить этот неизвестный параметр.

Рассмотрим один из возможных способов построения требуемой оценки. Если ξ - случайная величина, имеющая равномерное распре­деление на отрезке , то Μ ξ = . Поскольку оценка величины Mξ известна, Μξ =, то за оценку параметра θ можно взять оценку

Несмещенность оценки очевидна:

Вычислив дисперсию и предел D при n →∞, убедимся в состоятельности оценки :

Для получения другой оценки параметра θ обратимся к другой статистике. Пусть = max). Найдем распределение случайной величины:

Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины

с распределением равны соответственно:

;

т.е. оценка состоятельная, но смещенная. Однако если вместо = max) рассмотреть = max), то и , и, следовательно, оценка состоятельная и несмещенная.

При этом, поскольку

существенно эффективнее оценки

Например, при п= 97 разброс оценки θ^ в 33 рала меньше разброса оценки

Последний пример еще раз показывает, что выбор статистической оценки неизвестного параметра распределения - важная и нетриви­альная задача.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величи­ны, имеющей равномерное распределение на отрезке [а, Ь], предназна­чена функция runif(fc,o,b), которая формирует вектор из к случайных чисел, каждое из которых - значение равномерно распределенной на отрезке [а, 6] случайной величины.

Для того, чтобы статистические оценки давали хорошее приближение оцениваемых параметров, они должны быть несмещенные, эффективные и состоятельные.

Несмещенной называется статистическая оценка параметра, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называется статистическая оценка
параметра, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называется статистическая оценка
параметра, которая при заданном объеме выборкиимеет наименьшую дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка
параметра, которая при
стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

т.е.для любого

.

Для выборок различного объема получаются различные значения среднего арифметического и статистической дисперсии. Поэтому среднее арифметическое и статистическая дисперсия являются случайными величинами, для которых существуют математическое ожидание и дисперсия.

Вычислим математическое ожидание среднего арифметического и дисперсии. Обозначим через математическое ожидание случайной величины

Здесь в качестве случайных величин рассматриваются: – С.В., значения которой равны первым значениям, полученным для различных выборок объемаиз генеральной совокупности,
–С.В., значения которой равны вторым значениям, полученным для различных выборок объемаиз генеральной совокупности, …,
– С.В., значения которой равны-м значениям, полученным для различных выборок объемаиз генеральной совокупности. Все эти случайные величины распределены по одному и тому же закону и имеют одно и то же математическое ожидание.

Из формулы (1) следует, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания, так как математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию случайной величины. Эта оценка является также состоятельной. Эффективность данной оценки зависит от вида распределения случайной величины
. Если, например,
распределена нормально, оценка математического ожидания с помощью среднего арифметического будет эффективной.

Найдем теперь статистическую оценку дисперсии.

Выражение для статистической дисперсии можно преобразовать следующим образом

(2)

Найдем теперь математическое ожидание статистической дисперсии

. (3)

Учитывая, что
(4)

получим из (3)-

Из формулы (6) видно, что математическое ожидание статистической дисперсии отличается множителем от дисперсии, т.е. является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Это связано с тем, что вместо истинного значения
, которое неизвестно, в оценке дисперсии используется статистическое среднее.

Поэтому введем исправленную статистическую дисперсию

(7)

Тогда математическое ожидание исправленной статистической дисперсии равно

т.е. исправленная статистическая дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Полученная оценка является также состоятельной.

Распределение случайной величины (распределение генеральной совокупности) характеризуется обычно рядом числовых характеристик:

• для нормального распределения N(a, σ) - это математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ ;
• для равномерного распределения R(a,b) - это границы интервала , в котором наблюдаются значения этой случайной величины.

Такие числовые характеристики, как правило, неизвестные, называются параметрами генеральной совокупности . Оценка параметра - соответствующая числовая характеристика, рассчитанная по выборке. Оценки параметров генеральной совокупности делятся на два класса: точечные и интервальные .

Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой . Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте.
К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость , эффективность и состоятельность .

Интервальные оценки определяются двумя числами – концами интервала, который накрывает оцениваемый параметр. В отличие от точечных оценок, которые не дают представления о том, как далеко от них может находиться оцениваемый параметр, интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

В качестве точечных оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения используют выборочные характеристики соответственно выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Свойство несмещенности оценки .
Желательным требованием к оценке является отсутствие систематической ошибки, т.е. при многократном использовании вместо параметра θ его оценки среднее значение ошибки приближения равно нулю - это свойство несмещенности оценки .

Определение . Оценка называется несмещенной , если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:

Выборочное среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания, а выборочная дисперсия - смещенная оценка генеральной дисперсии D . Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка

Свойство состоятельности оценки .
Второе требование к оценке - ее состоятельность - означает улучшение оценки с увеличением объема выборки.

Определение . Оценка называется состоятельной , если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру θ при n→∞.

Сходимость по вероятности означает, что при большом объеме выборки вероятность больших отклонений оценки от истинного значения мала.

Свойство эффективной оценки .
Третье требование позволяет выбрать лучшую оценку из нескольких оценок одного и того же параметра.

Определение . Несмещенная оценка является эффективной , если она имеет наименьшую среди всех несмещенных оценок дисперсию.

Это означает, что эффективная оценка обладает минимальным рассеиванием относительно истинного значения параметра. Заметим, что эффективная оценка существует не всегда, но из двух оценок обычно можно выбрать более эффективную, т.е. с меньшей дисперсией. Например, для неизвестного параметра a нормальной генеральной совокупности N(a,σ) в качестве несмещенной оценки можно взять и выборочное среднее арифметическое, и выборочную медиану. Но дисперсия выборочной медианы примерно в 1.6 раза больше, чем дисперсия среднего арифметического. Поэтому более эффективной оценкой является выборочное среднее арифметическое.

Пример №1 . Найдите несмещенную оценку дисперсии измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 13,15,17.
Решение. Таблица для расчета показателей.

x	|x - x ср |	(x - x ср) 2
13	2	4
15	0	0
17	2	4
45	4	8

Простая средняя арифметическая (несмещенная оценка математического ожидания)


Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего - смещенная оценка).


Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

Пример №2 . Найдите несмещенную оценку математического ожидания измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 4,5,8,9,11.
Решение. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4

Пример №3 . Найдите исправленную дисперсию S 2 для выборки объема n=10, если выборочная диспресия равна D = 180.
Решение. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200