Обобщённые цветы Если вид растения несуществен, Пушкин употребляет обобщённые цветы. Однако нельзя согласиться с предположением С.В. Шервинского, будто «обобщённость могла происходить и оттого, что Пушкин едва ли интересовался сортами цветов, особенно полевых, и просто

8.1. Понятие обобщенной функции

Попытаемся определить плотность, создаваемую материальной точкой массы, равной единице. Чтобы определить эту плотность, распределим (или, как говорят, “размажем”) единичную массу равномерно внутри окрестности радиуса с центром в нуле. В результате получим среднюю плотность , равную

Но нас интересует плотность при . Обозначим ее через . Причем сначала в качестве искомой плотности возьмем поточечный предел последовательности средних плотностей при , то есть функцию

Но с математической точки зрения, такое невозможно, так как для функции , определенной нашим способом:

Выход состоит в том, чтобы искать другой, так называемый, слабый предел последовательности . А именно, будем рассматривать не предел в каждой точке x , а предел следующих интегралов где -произвольная непрерывная функция. Ясно, что

Эта формула обозначает, что слабым пределом последовательности функций при является оператор, точнее функционал , сопоставляющий каждой непрерывной функции число -ее значение в точке . Вот этот функционал мы и примем в качестве искомой плотности , это и есть известная Дирака.

Можно ли представить -функцию в виде: с какой-либо локально интегрируемой функцией?

Для этого нужно, чтобы при . Но такой функции нет.

Определение . Задать вещественный функционал f на множестве функций M значит указать правило, по которому каждой функции сопоставляется вещественное число. Мы будем рассматривать в качестве множества M совокупность вещественных функций , которые определены при , непрерывны и имеют производные любого порядка. Кроме того, будем предполагать, что функции финитны , то есть в случае конечного интервала (a,b ) существуют такие окрестности точек a и b (свои для каждой из функций ), где эти функции обращаются в нуль. В случае бесконечного интервала (a,b ), кроме того, существует такая постоянная A, причем для каждой из функций -своя, что вне интервала (-A,A ) функция обращается в нуль. Такие функции будем называть основными, а всю их совокупность D (a,b )-основным пространством .

Пример, такой функции представлен на рисунке 2.

Проверим, что данная функция является основной. Для этого достаточно показать, что она бесконечно-дифференцируема. Во всех точках кроме это свойство очевидно. Проверим его выполнение в точке .

Пусть , тогда по правилу Лопиталя

Аналогично проверяется непрерывность производной любого порядка. В этом легко убедиться, заметив, что для любого непрерывного n .

Чтобы определить пространство основных функций D (a,b ), нужно задать действия с ними. Точнее, надо проверить, что линейные операции не выводят из множества основных функций.

1. , причем сумма конечна, то есть .

Если -основная функция, то -основная функция.

2. , где - конечное число.

Если - основная функция, то -основная функция.

Линейный оператор, который каждому элементу пространства ставит в соответствие число, называется линейным функционалом (вещественным или комплексным).

Будем обозначать действие функционала f на основную функцию следующим образом :
.

Обобщенная функция (распределение) –это линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций, то есть функционал f , удовлетворяющий условиям :

1., где (линейность);

2. Если в D , то (непрерывность). f

Сделаем замену, пусть , тогда

Лекция № 17

Обобщенные функции

В различных вопросах анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз, и т.д. В ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле как произвольное правило, относящее каждому значению из области определения этой функции некоторое число
, оказывается недостаточным. Вот примеры.

Распределение масс вдоль прямой удобно задавать плотностью этого распределения. Однако если на прямой существуют точечные массы, то плотность такого распределения не может быть описана никакой обычной функцией.

Применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, мы сталкиваемся с невыполнимостью некоторых операций. Например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках, или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как обычно, т.е. как «обычную» функцию. Затруднений такого типа можно избежать, ограничиваясь рассмотрением одних только аналитических функций, что нежелательно.

Подобные затруднения, однако, были преодолены путем не сужения, а существенного расширения понятия функции. Основой для введения соответствующих определений нам служит понятие сопряженного пространства, рассмотренного выше.

Введение обобщенных функций (или распределений, по терминологии Л. Шварца) было вызвано не стремлением к возможно большему расширению понятий анализа, а совершенно конкретными задачами. В физике обобщенные функции использовались (на интуитивном уровне) до того, как была построена строгая математическая теория обобщенных функций.

Прежде чем переходить к точным определениям, изложим основную идею построения. Пусть – фиксированная функция на прямой, интегрируемая на каждом конечном интервале, и пусть – непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала (такие функции называются финитными). Каждой такой функции можно с помощью фиксированной функции сопоставить число

. (1)

Фактически, в силу финитности
интеграл берется по некоторому конечному интервалу. Иначе говоря, функцию можно рассматривать как функционал (линейный, в силу свойств интеграла) на некотором пространстве финитных функций. Однако функционалами вида (1) не исчерпываются все функционалы, которые можно ввести на таком пространстве. Например,
.

Таким образом, функции естественным образом включаются в некоторое более широкое множество – совокупность всех линейных функционалов на финитных функциях.

Запас функций можно выбирать различным образом; например, можно ограничиться непрерывными финитными функциями. Однако разумно подчинить допустимые функции , помимо непрерывности и финитности, еще и достаточно жестким условиям гладкости.

Теперь перейдем к точным определениям.

Пространство основных функций. Рассмотрим на прямой совокупность
всех финитных функций , имеющих непрерывные производные всех порядков, причем интервал, вне которого функция равна нулю, может быть различным для различных
. Совокупность всех таких функций образует, очевидно, линейное пространство с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа. Введем понятие сходимости в этом линейном пространстве.

Определение 1. Последовательность
элементов из называется сходящейся к функции , если

Линейное пространство с этой сходимостью мы будем называть пространством основных функций, а его элементы – основными функциями .

Нетрудно описать топологию в , которой подчиняется сходимость, сформулированная в определении 1. Эта топология порождается системой окрестностей нуля, каждая из которых задается конечным набором
непрерывных положительных функций и состоит из тех принадлежащих функций, которые при всех удовлетворяют неравенствам:

Необходимо доказать, что этой топологии действительно подчиняется описанная в определении 1 сходимость. (Докажите это!).

Обобщенные функции.

Определение 2. Обобщенной функцией, заданной на прямой
, называется всякий линейный непрерывный функционал
на пространстве основных функций . При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что
, если последовательность основных функций сходится при
к основной функции (в смысле определения 1).

Любая интегрируемая на любом конечном интервале функция порождает некоторую обобщенную функцию

. (1)

Это выражение есть линейный непрерывный функционал на . Такие обобщенные функции мы в дальнейшем будем называть регулярными , а все остальные, т.е. не представимые в виде (1) – сингулярными.

Приведем некоторые примеры сингулярных обобщенных функций.

Пример 1. «-функция», или функция Дирака:

.

Это – линейный непрерывный функционал на , т.е. по введенной выше терминологии, обобщенная функция. Этот функционал обычно записывают в виде

, (2)

понимая под
«функцию», равную нулю при всех
и обращающуюся в точке
в бесконечность так, что

.

Мы уже рассматривали ранее -функцию как функционал на пространстве всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке. Но рассмотрение -функции как функционала на имеет преимущества, например, позволяет для нее ввести понятие производной.

Пример 2. «Смещенная -функция». Пусть

.

Этот функционал естественно записать по аналогии с обозначением (2) в виде

.

Пример 3. «Производная -функции». Каждой поставим в соответствие число
. Далее мы выясним, почему этот линейный функционал естественно считать производной функционала, указанного в примере 1.

Пример 4. Рассмотрим функцию . Она не интегрируема ни на каком интервале, содержащем точку . Однако для каждой интеграл

существует и конечен в смысле главного значения. Действительно, главное значение по Коши имеет вид:

.

Сделав замену переменных на
, получим

где интеграл сходится уже абсолютно. Полученный функционал линеен и непрерывен.

Можно показать, что ни одна из приведенных в примерах 1 – 4 обобщенных функций не является регулярной.

Действия над обобщенными функциями. Для обобщенных функций, т.е. линейных непрерывных функционалов на , определены операции сложения и умножения на числа. При этом для регулярных обобщенных функций, т.е. «обычных» функций, сложение их как обобщенных функций (т.е. как линейных функционалов) совпадает с обычной операцией сложения функций.

Введем в пространстве обобщенных функций операцию предельного перехода.

Определение 3. Будем говорить, что последовательность обобщенных функций
сходится к обобщенной функции , если для любого выполнено соотношение

при .

Пространство обобщенных функций с этой сходимостью обозначим через
.

Если – бесконечно дифференцируемая функция, то естественно определить произведение на обобщенную функцию формулой

(

).

Все эти операции – сложение, умножения на числа и на бесконечно дифференцируемые функции – непрерывны в топологии пространства , или в смысле сходимости в (в смысле определения 1!).

Произведение двух обобщенных функций не вводится.

Примечание. Примеры, показывающие невозможность «естественных» нелинейных операций в пространстве обобщенных функций, построены в .

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства.

Пусть сначала – функционал на , определяемый некоторой непрерывно дифференцируемой функцией :

.

Его производной естественно назвать функционал , определяемый формулой

.

Интегрируя по частям и учитывая, что каждая основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, имеем:

.

Таким образом, мы получили для выражение, в котором производная функции не участвует. Эти соображения подсказывают определение.

Определение 4. Производной обобщенной функции называется функционал, определяемый формулой

.

Ясно, что функционал, определяемый этой формулой, линеен и непрерывен, т.е. представляет собой обобщенную функцию. Аналогично определяются вторая, третья и т.д. производные. Обозначая обобщенную функцию символом , мы будем обозначать ее производную символом .

Непосредственно из определения производной обобщенной функции вытекает справедливость следующих утверждений.

Это равносильно тому, что всякий сходящийся ряд, составленный из обобщенных функций, можно дифференцировать почленно любое число раз.

Пример 5. Если – регулярная (т.е. обычная) функция, производная которой существует и непрерывна, то производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле.

Пример 6. Пусть – функция Хевисайда, т.е.

Эта функция определяет над линейный функционал

.

В соответствии с определением производной обобщенной функции имеем:

.

Таким образом, обобщенная производная функции Хевисайда есть -функция.

Пример 7. Из примеров 5 и 6 ясно, что если – регулярная функция, имеющая в точках
скачки
и дифференцируемая (в обычном смысле) в остальных точках, то производная от нее (как от обобщенной функции) представляет собой сумму обычной производной (в тех точках, где она существует) и выражения вида

.

Пример 8. Применив определение производной к -функции, получим, что эта производная представляет собой функционал, принимающий на каждой функции значение .

Пример 9. Рассмотрим ряд

. (3)

Его суммой служит функция, имеющая период
и определяемая на отрезке
формулами

Обобщенная производная от нее равна

. (4)

Это – некоторая обобщенная функция (применяя ее к любой финитной функции , мы всегда будем получать лишь конечное число отличных от нуля слагаемых). С другой стороны, дифференцируя ряд (3) почленно, мы получаем расходящийся ряд

.

Однако в смысле сходимости обобщенных функций этот ряд сходится (к выражению (4) ).

Приведем пример функции из , т.е. основной функции.

(5)

Эта функция финитна и бесконечно дифференцируема.

Утверждение 1. Пусть и – две различные непрерывные (а следовательно и локально интегрируемые) функции. Тогда существует такая функция , что

.

Доказательство. Положим
. Если – не тождественно равна нулю, то существует такое, что
. В силу непрерывности найдется интервал
, содержащий точку , такой, что сохраняет знак на этом интервале. Тогда взяв функцию (5) , имеем:

.

Таким образом, пространство (т.е. запаса основных функций ) достаточно для различения любых двух непрерывных функций.

Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций. Дифференциальные уравнения – одна из основных областей, где применяется теория обобщенных функций. Именно задачи, связанные с уравнениями, стимулировали развитие этой теории. В основном обобщенные функции применяются к уравнениям в частных производных.

Начнем с простейшего уравнения

,

(где – обобщенная функция), т.е. с задачи восстановления функции по ее производной. Начнем со случая, когда
.

Теорема 1. Только константы служат решениями (в классе обобщенных функций) уравнения

. (6)

Доказательство. Уравнение (6) эквивалентно уравнению

(7)

для любой основной функции . Но тем самым функционал уже задан на совокупности
тех основных функций, которые могут быть представлены как производные от других основных функций. Теперь необходимо выяснить, какими способами функционал может быть продолжен с совокупности на всё основное пространство .

Легко проверить, что основная функция
может быть представлена как производная от некоторой основной функции тогда и только тогда, когда выполняется условие

. (8)

Действительно, если
, то

.

С другой стороны, при выполнении условия (8) мы полагаем

.

Легко убедится в том, что
есть основная функция, так как она вместе с бесконечно дифференцируема и финитна в силу условия (8) .

Пусть теперь – фиксированная основная функция, обладающая свойством

.

Для любой основной функции можно написать равенство

,

где очевидно удовлетворяет условию (8) . Отсюда видно, что если задать значение искомого функционала на основной функции , то значение его на любой функции будет определено однозначно:

,

,

т.е. обобщенная функция есть постоянная , что и утверждалось. Теорема доказана.

Следствие 1. Если для двух обобщенных функций и выполнено равенство
, то
.

Рассмотрим теперь уравнение

где – обобщенная функция.

Теорема 2. Уравнение (9) при любом
имеет решение
. Это решение естественно назвать первообразной обобщенной функции , или неопределенным интегралом.

Доказательство. Уравнение (9) означает, что

для любой основной функции . Это равенство определяет значение функционала на всех основных функциях из , являющихся производными основных функций: существует решение уравнения (9) . В силу теоремы 1 первообразная определена с точностью до постоянного слагаемого.

Обобщения. Выше мы рассматривали обобщенные функции «одного действительного переменного», т.е. обобщенные функции на прямой. На основе тех же идей можно ввести обобщенные функции на ограниченном множестве (на отрезке, на окружности, и т.д.), обобщенные функции нескольких переменных, обобщенные функции комплексного аргумента.

Рассмотрим вкратце некоторые из указанных типов обобщенных функций.

Функции нескольких переменных. Рассмотрим в -мерном пространстве совокупность
функций
, имеющих частные производные всех порядков по всем аргументам и таких, что каждая из этих функций равна нулю вне некоторого параллелепипеда

Обобщения модели Хопфилда... целевой функции в форме функции Ляпунова. 3. Вывести энергетическую функцию сети... 16. Ассоциативная память. 17 . Приложения. Данный раздел...

Анализ обобщенных функций

Введение

Существуют многие физические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например, распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределения не может быть описана "обычной" функцией. Другой пример связан с определением производной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточный характер.

Определение. Основное пространство K m состоит из действительных функций j(t), называемыми основными функциями, имеющими непрерывные производные до порядка mвключительно, равными нулю вместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство K m является линейным.

Пример. Рассмотрим функцию

график которой приведен ниже

Эта функция принадлежит основному пространству K o , так как не существуют производные в точках t= aи t= b. Функция (график смотри ниже)

принадлежит пространству K m .

Если положить m= ¥для основного пространства K m , то полученное основное пространство обозначается К. Пусть

тогда, как легко проверить, j(t) ÎK.

1.Обобщенные функции

Определение. Обобщенной функцией f(t) (заданной на прямой (-¥ < t<¥)) называется всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Он может быть представлен в виде скалярного произведения

(f(t), j(t)) , j(t) ÎK(K m).

Всякая интегрируемая функция f(t) порождает обобщенную функцию, так как скалярное произведение

есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, остальные (которые не допускают такого представления) – сингулярными. Приведем пример сингулярной обобщенной функции. С этой целью рассмотрим последовательность функций

Так как интеграл Пуассона

При n®¥функция d n (t) вытягивается до бесконечной высоты в точке t= 0, а вне ее становится равной нулю, сохраняя свойство (1). В обычном понимании предел d n (t) при n®¥не существует. Предел

limd n (t) = d(t)

можно рассматривать как обобщенную функцию, то есть функцию, которая порождается скалярным произведением

где j (t) – основная функция. Скалярное произведение (2.) есть линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций (jÎK). Функция d(t) называется дельта – функцией (обобщенная функция Дирака).

Определим произведение обобщенной функции fна число lсоотношением

(lf, j) = l (f, j) (jÎK).

Сумма двух обобщенных функций f 1 , f 2 определим следующим образом

(f 1 + f 2 , j) = (f 1 , j) + (f 2 , j) (jÎK).

После этого множество обобщенных функций K" становится линейным пространством.

Определение. Две обобщенные функции f(t), g(t) ÎK" равны: f(t) = g(t), если для любой основной функции j (t)

(f, j) = (g, j) или (f– g, j) = 0.

Обобщенная функция f(t) равна нулю: f= 0, если для любой основной функции j (t)

Примеры обобщенных функций.

1. Пусть jÎK. Определим обобщенную функцию fс помощью функционала

Приведенная сумма конечна, так как основная функция j(t) равна нулю вне некоторого конечного интервала.

2. Введенную ранее дельта-функцию d(t) определим следующим образом

(d(t), j(t)) = j(0).

Исходя из интегрального представления (2), имеем

Если а(t) – непрерывная функция, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) (jÎK o).

Отметим, что функционал f, определенный на Kсоотношением

не является обобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.

3. Обобщенная функция Хевисайда

для которой можно записать

является регулярной обобщенной функцией.

2.Действия над обобщенными функциями

Введем в пространстве обобщенных функций K" операцию предельного перехода. Последовательность

(f n , j) ®(f, j)

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производная f"(t) регулярной обобщенной функции f(t) равна

так как основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n– го порядка будет тогда определяться равенством

(f (n) (t), j(t) = (-1) n (f(t), j (n) (t)) ("nÎN, jÎK).

Это соотношение определяет производную n– го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.

1. Производная функции Хевисайда равна

2. Так как

Из определения дельта – функции следует

d(t) + td"(t) = 0,

2d"(t) + t d""(t) = 0,

---------------------

nd (n-1) (t) + t d (n) (t) = 0.

Отсюда последовательным исключением получаем

t n d (n) (t) = (-1) n! d(t) nÎN.

Методом математической индукции можно показать, что

Легко также показать, что если a(t) ÎC m , то

a(t)d (m) (t – t o) = C o m a (t o) d (m) (t – t o) - C 1 m a" (t o) d (m-1) (t – t o) –

- . . . – (-1)C m m a (m) (t o) d(t – t o) .

Введем обобщенные функции t + и t - :

Можно вычислить производные

(t +)" = q(t), (t -)" = -q(-t),

2.1 Свертка обобщенных функций

Пусть f(t) и g(t) - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций f(t) и g(t) определяется соотношением

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной х. Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену z= x-t.

Необходимость обобщения классического понятия функции, характеризуемого заданием значений функции при всевозможных значениях аргумента, возникает при описании сосредоточенных величин (точечная масса, точечный заряд, точечный источник тепла, мгновенный импульс и т.д.).

Покажем, что с классической точки зрения описать такие величины нельзя. Для примера, попытаемся определить плотность создаваемую материальной точкой массы 1. Считаем, что эта точка совпадает с началом координат. Чтобы определить эту плотность, распределим массу 1 равномерно по отрезку длины eс центром в точке 0. В результате получим среднюю плотность

Cтягивая отрезок к точке (при этом e0), мы должны в пределе получить искомую плотность (обозначим ее заd(x)), т.е.(2)

От плотности d(x) естественно требовать, чтобы интеграл от нее по любому отрезку, содержащему материальную точку, давал бы массу, т.е.

Очевидно, что с классической точки зрения равенства (2) и (3) несовместны: функцию d(x) надо считать либо неинтегрируемой, либо, либо с интегралом, равным нулю на любом отрезке (в смысле несобственного интеграла). Полученное противоречие показывает, что поточенный предел функциональной последовательностине может быть принят в качестве плотности материальной точки.

С другой стороны, плотность материальной точки (как и плотность точечного заряда и т.п.) являются идеализированными понятиями. Реально нельзя, например, измерить плотность вещества в точке, а можно лишь измерить его среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить эту величину плотностью в данной точке. Т.е. при описании сосредоточенных величин имеет смысл не сама плотность распределения, а некоторый интеграл от нее.

3.2 d-функция как слабый предел функциональной последовательности .

Для того, чтобы подойти к другому определению d-функции, изучим одно свойство семейства функций.

А именно, вычислим слабый предел последовательности функций,e0, т.е. для любой непрерывной функциинайдем предел числовой последовательности приe0.

Покажем, что

Действительно, в силу непрерывности функции для любогоh>0 существует такое, что, при условии, что. Отсюда при всехполучаем что и требовалось доказать.

Поэтому искомую функцию d(x) можно интерпретировать как предельный элемент последовательности функцийв смысле слабой сходимости,т.е.

Таким образом, в отличие от классических функций, ставящих в соответствие каждому числу x некоторое числовое значение y(x) , дельта-функция устанавливает зависимость между функцией и числом, а именно каждой непрерывной функции ставит в зависимость число- значение ее в точке x=0. Функции, определенные на множествах, элементами которых также являются функции, называют функционалами . Можно показать, что построенный функционал является линейным и непрерывным, т.е. удовлетворяет свойствам

• 1) линейность:
• 2) непрерывность: если

Можно построить много функциональных последовательностей, имеющих пределом d-функцию.

Покажем, например, что можно рассматривать d-функцию как предел функциональной последовательностиприm?,т.е.

В силу непрерывности функции для любогоh>0 существует такое, что, при условии, что. Отсюда при всехполучаем

Другие аналогичные примеры можно построить, взяв произвольную функцию F(x) , имеющую максимум при и быстро убывающую в обе стороны от нуля и такую, что. Если ввести в такую функцию параметр m по правилу, то при m?значение функции прирастет, а ширина линии во столько же раз уменьшается, так что условиевыполняется. Слабый предел любой такой функциональной последовательности можно рассматривать как представление d- функции.

Например,

Все предыдущие построения можно вести, используя бесконечно убывающий параметр.

3.3 Свойства d-функции.

Основные свойства d-функции.

Получается при воздействии функционалом d(x) на=1

Для доказательства введем новую переменную y=ax.

Если а>0

Если а<0

4) если g(x)=0 только при x=0.

Доказательство:

Разложим g(x) вблизи x=0:

g(x)=g(0)+g’(0)x=g’(0)x

Здесь мы учли, что g(0)=0. Т.к. g’(0)=const, то используя свойство 3 получаем

4a) Если уравнение g(x)=0 имеет s простых корней, то

Если имеются кратные корни уравнения g(x)=0, то эти выражения теряют смысл также, как не имеет смысла произведение d(x) j(x) , если j(x) имеет особенность при x=0.

3.4 Понятие обобщенной функции.

Итак, посредством непрерывных функций d-функция определяется как линейный непрерывный функционал на этих функциях. Непрерывные функции при этом, как говорят, являются основными функциями дляd-функции. Эта точка зрения берется за основу определения произвольной обобщенной функции как линейного непрерывного функционала на пространстве основных функций D. При этом за пространство основных функций D принимается множество всех бесконечно дифференцируемых финитных (равных нулю вне некоторого интервала) функций. Сходимость в пространстве D определяется следующим образом:

Последовательность функций из D сходится к

1) существует отрезок, вне которого все и обращаются в ноль;

2) на этом отрезке последовательности функций и всех ее производных равномерно сходится к и.

Таким образом, d-функцию можно рассматривать как обобщенную функцию. Любая классическая локально интегрируемая функция (абсолютно интегрируемая на любом конечном отрезке) функция f(x) может также рассматриваться как обобщенная функция, если на множестве основных функций D определить линейный непрерывный функционал

Обобщенная функция, определяемая классической функцией, называется регулярной обобщенной функцией. Остальные обобщенные функции называются сингулярными обобщенными функциями.

Функция - регулярная обобщенная функция,

• -сингулярная обобщенная функция.
• 3.5 Произведение обобщенных функций.

Пусть a(x) - бесконечно дифференцируемая функция.

Тогда произведение а(x)f(x) обобщенной функции f(x) с бесконечно дифференцируемой функцией a(x) определим следующим образом

2) ; где

Нельзя определить произведение двух произвольных обобщенных функций, чтобы оно обладало свойством коммутативности и ассоциативности. В качестве примера можно привести противоречивую цепочку равенств

3.6 Производная обобщенной функции

Определим понятие производной d-функции. Предварительно введем понятие производной обобщенной функции. Определим, что представляет собой производная обычной непрерывно дифференцируемой функции f , рассматриваемой как функционал. Интегрируя по частям и учитывая финитность, получим

Производной обобщенной функции f называется функционал на D, обозначаемый f’, такой что.

Можно проверить линейность и непрерывность нового функционала и, следовательно, что производная обобщенной функции есть обобщенная функция. Согласно сделанному определению, обобщенные функции имеют производные любых порядков.

Покажем, что d-функция есть производная от разрывной (локально-интегрируемой) функции Хевисайда (единичной функции)

если последнюю рассматривать как обобщенную функцию (классическую разрывную функцию вообще продифференцировать нельзя).

По определению производной обобщенной функции

Подобно этому примеру при дифференцировании любых разрывных функций появляются d-слагаемые.

Пусть, где непрерывно дифференцируемы и существуют пределы

Покажем, что

Здесь - классическая производная там, где она определена,

Скачок функции в точке.

Эта формула будет очевидна, если в разрывной функции f(x)

явно выделить ступеньку с разрывом в точке.

Учитывая, что и тот факт, что, приходим к исходному утверждению.

Эта формула может быть доказана и непосредственно.

Воспользуемся определением обобщенной производной и тем фактом, что f(x) непрерывна на полуинтервалах

d-функцию как обобщенную функцию также можно дифференцировать, причем любое число раз:

Чтобы геометрически представить производную d-функции, воспользуемся каким-либо приближенным ее представлением, например, при большом m. Тогда дляd(x) получаем представление ее в виде функции

Эта функция принимает экстремальные значения при,

равные по абсолютной величине. Эти значения пропорциональны уже, а не m , как при представлении дельта-функции. Таким образом, производная дельта-функции имеет еще более острую особенность чем сама функция, причем принимает значения обоих знаков.