15.04.2019

Неравенства второй степени рациональные неравенства. Рациональные неравенства — Гипермаркет знаний. Решение дробно рациональных неравенств

Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие рациональных равенств

Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:

Определение 1

Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1 , 2 , 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.

Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:

x > 4 x 3 + 2 · y ≤ 5 · (y − 1) · (x 2 + 1) 2 · x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 · x 2

А вот неравенство вида 5 + x + 1 < x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.

Определение 2

Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).

Определение 3

Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.

Например, неравенства вида 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 · 1 3 · x - 1 > 4 - x 4 и 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 являются дробно рациональными, а 0 , 5 · x ≤ 3 · (2 − 5 · y) и 1: x + 3 > 0 – целыми.

Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.

Допустим, что нам требуется найти решения целого рационального неравенства r (x) < s (x) , которое включает в себя только одну переменную x . При этом r (x) и s (x) представляют собой любые целые рациональные числа или выражения, а знак неравенства может отличаться. Чтобы решить это задание, нам нужно преобразовать его и получить равносильное равенство.

Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:

вида r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥)

Мы знаем, что r (x) − s (x) будет целым значением, а любое целое выражение допустимо преобразовать в многочлен. Преобразуем r (x) − s (x) в h (x) . Это выражение будет тождественно равным многочленом. Учитывая, что у r (x) − s (x) и h (x) область допустимых значений x одинакова, мы можем перейти к неравенствам h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , которое будет равносильно исходному.

Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно. Разберем такие задачи.

Пример 1

Условие: решите целое рациональное неравенство x · (x + 3) + 2 · x ≤ (x + 1) 2 + 1 .

Решение

Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.

x · (x + 3) + 2 · x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Теперь, когда мы выполнили все действия с многочленами слева, можно переходить к линейному неравенству 3 · x − 2 ≤ 0 , равносильному тому, что было дано в условии. Решить его несложно:

3 · x ≤ 2 x ≤ 2 3

Ответ: x ≤ 2 3 .

Пример 2

Условие: найдите решение неравенства (x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 > (x 2 − x) · (x 2 + x) .

Решение

Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.

(x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 − (x 2 − x) · (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

В итоге наших преобразований мы получили неравенство, которое будет верным при любых значениях x , следовательно, решением исходного неравенства может быть любое действительное число.

Ответ: любое действительно число.

Пример 3

Условие: решите неравенство x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x · (x 2 + x − 5) > 0 .

Решение

Из правой части мы ничего переносить не будем, поскольку там 0 . Начнем сразу с преобразования левой части в многочлен:

x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x 3 − 2 · x 2 + 10 · x > 0 − 2 · x 2 + 11 · x + 6 > 0 .

Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.

Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6 :

D = 11 2 - 4 · (- 2) · 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 · - 2 , x 2 = - 11 - 169 2 · - 2 x 1 = - 0 , 5 , x 2 = 6

Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.

Нам будет нужна область параболы, расположенная над осью абсцисс, поскольку в неравенстве у нас стоит знак > . Нужный интервал равен (− 0 , 5 , 6) , следовательно, эта область значений и будет нужным нам решением.

Ответ: (− 0 , 5 , 6) .

Бывают и более сложные случаи, когда слева получается многочлен третьей или более высокой степени. Чтобы решить такое неравенство, рекомендуется использовать метод интервалов. Сначала мы вычисляем все корни многочлена h (x) , что чаще всего делается с помощью разложения многочлена на множители.

Пример 4

Условие: вычислите (x 2 + 2) · (x + 4) < 14 − 9 · x .

Решение

Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.

Сначала вычисляем корни многочлена, для чего нам надо решить кубическое уравнение x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 = 0 . Имеет ли оно рациональные корни? Они могут быть лишь в числе делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Подставим их по очереди в исходное уравнение и выясним, что числа 1 , 2 и 3 будут его корнями.

Значит, многочлен x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 может быть описан в виде произведения (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) , и неравенство x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0 может быть представлено как (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) < 0 . С неравенством такого вида нам потом будет легче определить знаки на промежутках.

Далее выполняем оставшиеся шаги интервального метода: рисуем числовую прямую и точки на ней с координатами 1 , 2 , 3 . Они разбивают прямую на 4 промежутка, в которых нужно определить знаки. Заштрихуем промежутки с минусом, поскольку исходное неравенство имеет знак < .

Нам осталось только записать готовый ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

В некоторых случаях выполнять переход от неравенства r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) к h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , где h (x) – многочлен в степени выше 2 , нецелесообразно. Это распространяется на те случаи, когда представить r (x) − s (x) как произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов проще, чем разложить h (x) на отдельные множители. Разберем такую задачу.

Пример 5

Условие: найдите решение неравенства (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) ≥ 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) .

Решение

Данное неравенство относится к целым. Если мы перенесем выражение из правой части влево, раскроем скобки и выполним приведение слагаемых, то получим x 4 − 4 · x 3 − 16 · x 2 + 40 · x + 19 ≥ 0 .

Решить такое неравенство непросто, поскольку придется искать корни многочлена четвертой степени. Оно не имеет ни одного рационального корня (так, 1 , − 1 , 19 или − 19 не подходят), а искать другие корни сложно. Значит, воспользоваться этим способом мы не можем.

Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x 2 − 2 · x − 1:

(x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) − 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Мы получили неравенство, равносильное исходному, и его решение даст нам искомый ответ. Найдем нули выражения в левой части, для чего решим квадратные уравнения x 2 − 2 · x − 1 = 0 и x 2 − 2 · x − 19 = 0 . Их корни – 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Переходим к равенству x - 1 + 2 · x - 1 - 2 · x - 1 + 2 5 · x - 1 - 2 5 ≥ 0 , которое можно решить методом интервалов:

Согласно рисунку, ответом будет - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Ответ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Добавим, что иногда нет возможности найти все корни многочлена h (x) , следовательно, мы не можем представить его в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов. Тогда решить неравенство вида h (x) < 0 (≤ , > , ≥) мы не можем, значит, решить исходное рациональное неравенство тоже нельзя.

Допустим, надо решить дробно рационально неравенств вида r (x) < s (x) (≤ , > , ≥) , где r (x) и s (x) являются рациональными выражениями, x – переменной. Хотя бы одно из указанных выражений будет дробным. Алгоритм решения в этом случае будет таким:

Определяем область допустимых значений переменной x .
Переносим выражение из правой части неравенства налево, а получившееся выражение r (x) − s (x) представляем в виде дроби. При этом где p (x) и q (x) будут целыми выражениями, которые являются произведениями линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов, а также степеней с натуральным показателем.
Далее решаем полученное неравенство методом интервалов.
Последним шагом является исключение точек, полученных в ходе решения, из области допустимых значений переменной x , которую мы определили в начале.

Это и есть алгоритм решения дробно рационального неравенства. Большая часть его понятна, небольшие пояснения требуются только для п. 2 . Мы перенесли выражение из правой части налево и получили r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) , а как потом привести его к виду p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) ?

Сначала определим, всегда ли можно выполнить данное преобразование. Теоретически, такая возможность имеется всегда, поскольку в рациональную дробь можно преобразовать любое рациональное выражение. Здесь же у нас есть дробь с многочленами в числителе и знаменателе. Вспомним основную теорему алгебры и теорему Безу и определим, что любой многочлен n -ной степени, содержащий одну переменную, может быть преобразован в произведение линейных двучленов. Следовательно, в теории мы всегда можем преобразовать выражение таким образом.

На практике разложение многочленов на множители зачастую оказывается довольно трудной задачей, особенно если степень выше 4 . Если мы не сможем выполнить разложение, то не сможем и решить данное неравенство, однако в рамках школьного курса такие проблемы обычно не изучаются.

Далее нам надо решить, будет ли полученное неравенство p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) равносильным по отношению к r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) и к исходному. Есть вероятность, что оно может оказаться и неравносильным.

Равносильность неравенства будет обеспечена тогда, когда область допустимых значений p (x) q (x) совпадет с областью значений выражения r (x) − s (x) . Тогда последний пункт инструкции по решению дробно рациональных неравенств выполнять не нужно.

Но область значений для p (x) q (x) может оказаться шире, чем у r (x) − s (x) , например, за счет сокращения дробей. Примером может быть переход от x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 к x · x - 1 x + 3 . Либо это может происходить при приведении подобных слагаемых, например, здесь:

x + 5 x - 2 2 · x - x + 5 x - 2 2 · x + 1 x + 3 к 1 x + 3

Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.

Пример 6

Условие: найдите решения рационального равенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

Решение

Действуем по алгоритму, указанному выше. Сначала определяем область допустимых значений. В данном случае она определяется системой неравенств x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , решением которой будет множество (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) ≥ 0

После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю (x − 3) 2 · (x + 1) :

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) = = x · x - 3 + 4 · x + 1 + 3 · x x - 3 2 · x + 1 = x 2 + 4 · x + 4 (x - 3) 2 · (x + 1)

Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:

x 2 + 4 · x + 4 x - 3 2 · x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 · x + 1

Областью допустимых значений получившегося выражения является (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Мы видим, что она аналогична той, что была определена для исходного равенства. Заключаем, что неравенство x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 является равносильным исходному, значит, последний шаг алгоритма нам не нужен.

Используем метод интервалов:

Видим решение { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , которое и будет решением исходного рационального неравенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) .

Ответ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Пример 7

Условие: вычислите решение x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 .

Решение

Определяем область допустимых значений. В случае с этим неравенством она будет равна всем действительным числам, кроме − 2 , − 1 , 0 и 1 .

Переносим выражения из правой части в левую:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Учитывая получившийся результат, запишем:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 (x + 1) · x - 1 = = - x - 1 (x + 1) · x - 1 = - x + 1 (x + 1) · x - 1 = - 1 x - 1

Для выражения - 1 x - 1 областью допустимых значений будет множество всех действительных чисел, за исключением единицы. Мы видим, что область значений расширилась: в нее были добавлены − 2 , − 1 и 0 . Значит, нам нужно выполнить последний шаг алгоритма.

Поскольку мы пришли к неравенству - 1 x - 1 > 0 , можем записать равносильное ему 1 x - 1 < 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Исключаем точки, которые не входят в область допустимых значений исходного равенства. Нам надо исключить из (− ∞ , 1) числа − 2 , − 1 и 0 . Таким образом, решением рационального неравенства x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 будут значения (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Ответ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.

Пример 8

Условие: найдите решение неравенства 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Решение

Область допустимых значений неравенства, заданного в условии, определяет система x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0 .

Решений у этой системы нет, поскольку

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) · x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) · x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Значит, исходное равенство 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 не имеет решения, поскольку нет таких значений переменной, при которой оно имело бы смысл.

Ответ: решений нет.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

При решении линейных неравенств есть только одна большая фишка: необходимо менять знак неравенства при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число. Менять знак неравенства значит изменять знак "меньше" на знак "больше" или наоборот. При этом знаки плюс на минус в обход ранее изученных математических правил нигде менять не надо. Если мы делим или умножаем неравенство на положительное число знак неравенства менять не нужно. В остальном решение линейных неравенств полностью идентично решению линейных уравнений.

В линейных и в любых других рациональных неравенствах ни в коем случае нельзя домножать или делить левую или правую части неравенства на выражения, содержащие переменную (кроме случаев, когда данное выражение положительно либо отрицательно на всей числовой оси, в этом случае при делении на всегда отрицательное выражение знак неравенства нужно поменять, а при делении на всегда положительное выражение знак неравенства нужно сохранить).

Решение неравенств вида:

Проводится с помощью метода интервалов , который состоит в следующем:

Изображаем координатную прямую, на которую наносим все числа a i . Эти числа, расположенные в порядке возрастания, разобьют координатную прямую на (n +1) промежутков знакопостоянства функции f (x ).
Таким образом, определив знак f (x ) в любой точке каждого промежутка (обычно эта точка выбирается из удобства арифметических действий), определяем знак функции на каждом промежутке. Главное при этом не подставлять в функцию сами границы промежутков.
Выписываем в ответ все те промежутки, знак функции на которых соответствуют основному условию неравенства.

Нужно также отметить, что не обязательно исследовать знак функции на каждом промежутке подстановкой некоторого значения из этого промежутка. Достаточно определить таким образом знак функции только на одном промежутке (обычно на крайнем правом), а затем двигаясь от этого промежутка влево вдоль числовой оси можно чередовать знаки промежутков по принципу:

Если скобка из которой взялось число через которое мы переходим стоит в нечетной меняется .
А если соответствующая скобка стоит в четной степени, то при переходе через соответствующую точку знак неравенства не меняется .

При этом нужно учитывать еще и следующие замечания:

В строгих неравенствах (знаки "меньше" или "больше") границы промежутков никогда не входят в ответ, а на числовой оси они изображаются выколотыми точками.
В нестрогих неравенствах (знаки "меньше либо равно" или "больше либо равно") те границы промежутков, которые взяты из числителя всегда входят в ответ и изображаются закрашенными точками (так как в этих точках функция действительно обращается в ноль, что удовлетворяет условию).
А вот границы взятые из знаменателя в нестрогих неравенствах всегда изображаются выколотыми точками и в ответ никогда не входят (так как в этих точках в ноль обращается знаменатель, что недопустимо).
Во всех неравенствах если одна и та же скобка есть и в числителе и в знаменателе, то сокращать на эту скобку нельзя. Нужно изобразить соответствующую ей точку выколотой на оси, и не забыть исключить из ответа. При этом при чередовании знаков промежутков, проходя через эту точку знак менять не нужно.

Итак еще раз самое важное: при записи окончательного ответа в неравенствах не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющие неравенству (это корни числителя в нестрогих неравенствах), и не забудьте исключить из ответа все корни знаменателя во всех неравенствах.

При решении рациональных неравенств более сложного вида чем указан выше, необходимо сначала алгебраическими преобразованиями свести их именно к такому виду, а затем применить метод интервалов с учетом всех уже описанных тонкостей. Таким образом, можно предложить следующий алгоритм для решения рациональных неравенств :

Все слагаемые, дроби и другие выражения необходимо перенести в левую часть неравенства.
При необходимости привести дроби к общему знаменателю.
Разложить числитель и знаменатель полученной дроби на множители.
Решить полученное неравенство методом интервалов.

При этом при решении рациональных неравенств не допускается :

Перемножать дроби «крест-накрест».
Как и в уравнениях, нельзя сокращать множители с переменной с обеих сторон неравенства. Если такие множители есть, то после переноса всех выражений в левую часть неравенства их нужно вынести за скобки, а затем учесть те точки которые они дадут после окончательного разложения полученного выражения на множители.
Отдельно рассматривать числитель и знаменатель дроби.

Как и в остальных темах по математике, при решении рациональных неравенств можно применять метод замены переменной . Главное не забывать, что после введения замены, новое выражение должно стать проще и не содержать старой переменной. Кроме того, нужно не забывать выполнять обратную замену.

При решении систем рациональных неравенств нужно по очереди решить все неравенства входящие в систему. Система требует выполнения двух и более условий, причем мы ищем те значения неизвестной величины, которые удовлетворяют сразу всем условиям. Поэтому, в ответе системы неравенств нужно указать общие части всех решений отдельных неравенств (или общие части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).

При решении совокупностей рациональных неравенств также по очереди решают каждое из неравенств. Совокупность требует нахождения всех значений переменной, удовлетворяющих хотя бы одному из условий. То есть любому из условий, нескольким условиям или всем условиям вместе. В ответе совокупности неравенств указывают все части всех решений отдельных неравенств (или все части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).

Решение некоторых типов неравенств с модулями

Неравенства с модулями можно и нужно решать последовательно раскрывая модули на промежутках их знакопостоянства. Таким образом, нужно поступать примерно также как при решении уравнений с модулями (об этом ниже). Но есть несколько относительно простых случаев в которых решение неравенства с модулем сводится к более простому алгоритму. Так например, решение неравенства вида:

Сводится к решению системы :

В частности неравенство:

системой :

Ну а если в аналогичном неравенстве заменить знак "меньше" на "больше":

То его решение сводится уже к решению совокупности :

В частности неравенство:

Может быть заменено равносильной совокупностью :

Таким образом, необходимо запомнить, что для неравенства "модуль меньше" мы получаем систему, где должны одновременно выполняться оба условия, а для неравенства "модуль больше" мы получаем совокупность, в которой должно выполняться любое из условий.

При решении рациональных неравенств с модулем вида:

Целесообразно переходить к следующему равносильному рациональному неравенству без модуля:

Такое неравенство нельзя решать извлечением корня (если по-честному извлекать корень, то снова нужно поставить модули, и Вы вернетесь к началу, если про модули забыть, это равносильно тому, чтобы в самом начале про них просто забыть, а это, конечно, ошибка). Все скобки нужно перенести налево и, ни в коем случае не раскрывая скобки, применить формулу разности квадратов.

Еще раз повторимся, что для решения всех других типов неравенств с модулями кроме указанных выше нужно раскрывать все модули входящие в неравенство на промежутках их знакопостоянства и решать полученные неравенства. Напомним подробнее общий смысл этого алгоритма:

Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение переменной из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения переменной, которые легко подставлять.
Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном неравенстве в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное рациональное неравенство с учетом всех правил и тонкостей решения обычных неравенств без модулей.
Решение каждого из неравенств полученных на конкретном промежутке объединяем в систему с самим промежутком, а все такие системы объединяем в совокупность. Таким образом из решений всех неравенств выбираем только те части которые вошли в промежуток, на котором было получено данное неравенство, и записываем все эти части в итоговый ответ.

Системы рациональных неравенств

Текст урока

конспект [Безденежных Л.В.]

Алгебра, 9 класс УМК: А.Г.Мордкович. Алгебра. 9 класс. В 2ч. Ч.1.Учебник; Ч.2.Задачник; М.: Мнемозина, 2010 Уровень обучения: базовый Тема урока: Системы рациональных неравенств. (Первый урок по теме, всего на изучение темы отводится 3 часа) Урок изучения новой темы. Цель урока: повторить решение линейных неравенств; ввести понятия системы неравенств, объяснить решение простейших систем линейных неравенств; формировать умение решать системы линейных неравенств любой сложности. Задачи: Образовательные: изучение темы на основе имеющихся знаний, закрепление практических умений и навыков решений систем линейных неравенств в результате самостоятельной работы учащихся и лекционно-консультативной деятельности наиболее подготовленных из них. Развивающие: развитие познавательного интереса, самостоятельности мышления, памяти, инициативы учащихся через использование коммуникативно - деятельностной методики и элементов проблемного обучения. Воспитательные: формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества. Методы проведения: - лекция с элементами беседы и проблемного обучения; -самостоятельная работа учащихся с теоретическим и практическим материалом по учебнику; -выработка культуры оформления решения систем линейных неравенств. Планируемые результаты: учащиеся вспомнят как решать линейные неравенства, отмечать пересечение решений неравенств на числовой прямой, научатся решать системы линейных неравенств. Оборудование урока: классная доска, раздаточный материал (приложение), учебники, рабочие тетради. Содержание урока: 1. Организационный момент. Проверка домашнего задания. 2. Актуализация знаний. Учащиеся вместе с учителем заполняют таблицу на доске: Неравенство Рисунок Промежуток Ниже приводится готовая таблица: Неравенство Рисунок Промежуток 3. Математический диктант. Подготовка к восприятию новой темы. 1.По образцу таблицы решить неравенства: Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 4. Объяснение нового материала. Объяснение нового материала (стр.40-44): 1. Дать определение системы неравенств (стр. 41). Опр-е: Несколько неравенств с одной переменной х образуют систему неравенств, если ставиться задача найти все такие значения переменной, при которых каждое из заданных неравенств с переменной обращается в верное числовое неравенство. 2. Ввести понятие частное и общее решение системы неравенств. Любое такое значение х называют решением (или частным решением) системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств. 3. Рассмотреть в учебнике решение систем неравенств по примеру №3(а, б, в). 4. Обобщить рассуждения, решив систему:. 5. Закрепление нового материала. Решить задания из № 4.20 (а,б), 4.21 (а,б) . 6. Проверочная работа Проверить усвоение нового материала, активно помогая в решении заданий по вариантам: Вариант 1 а, в №4.6, 4.8 Вариант 2 б, г № 4.6, 4.8 7. Подведение итогов. Рефлексия С какими новыми понятиями вы сегодня познакомились? Научились ли вы находить решения системы линейных неравенств? Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно? 8. Домашнее задание: № 4.5, 4.7.; теория в учебнике стр. 40-44; Для учащихся с повышенной мотивацией № 4.23 (в,г). Приложение. Вариант 1. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос. Вариант 2. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос. Вариант 3. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос. Вариант 4. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос.
Скачать: Алгебра 9кл - конспект [Безденежных Л.В.].docx
конспект уроков 2-4 [Зверева Л.П.]

Алгебра 9класс УМК: АЛГЕБРА-9КЛАСС, А.Г. МОРДКОВИЧ.П.В. Семёнов, 2014год. Уровень -- обучения-базовый Тема урока: Системы рациональных неравенств Общее количество часов, отведенное на изучение темы-4часа Место урока в системе уроков по теме урок №2 ;№3; №4. Цель урока: Научить учащихся составлять системы неравенств, а также научить решать уже готовые системы, предложенные автором учебного пособия. Задачи урока: Формировать умения: свободно решать системы неравенств аналитически, а также уметь переносить решение на координатную прямую с целью правильной записи ответа, самостоятельно работать с заданным материалом. .Планируемые результаты: Учащиеся должны уметь решать уже готовые системы, а также составлять системы неравенств по текстовому условию заданий и решать составленную модель. Техническое обеспечение урока:УМК: АЛГЕБРА-9КЛАСС, А.Г. МОРДКОВИЧ.П.В. Семёнов. Рабочая тетрадь, проектор для проведения устного счёта, распечатки дополнительных заданий для сильных учащихся. Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на Интернет-ресурсы): 1.Пособие Н.Н.Хлевнюк, М.В. Иванова, В.Г. Иващенко, Н.С. Мелкова «Формирование вычислительных навыков на уроках математики 5-9 классы» 2.Г.Г.Левитас «Математические диктанты» 7-11 класс.3. Т.Г. Гулина «Математический тренажёр» 5-11 (4 уровня сложности) Учитель математики: Зверева Л.П. У р о к № 2 Цели: Отработка навыков решения системы рациональных неравенств с использованием для наглядности результата решения геометрической интерпретации. Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 11 Проверка домашней работы 1. Теоретическая часть: * Что собой представляет аналитическая запись рационального неравенства * Что собой представляет аналитическая запись системы рациональных неравенств *Что значит решить систему неравенств *Чем является результат решения системы рациональных неравенств. 2. Практическая часть: *Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. В ходе выполнения домашнего задания II1 Выполнение упражнений. 1.Повторить способы разложения многочлена на множители. 2. Повторить, в чем заключается метод интервалов при решении неравенств. 3. Решить систему. Решение ведёт ученик сильный у доски под контролем учителя. 1) Решим неравенство 3х – 10 > 5х – 5; 3х – 5х> – 5 + 10; – 2х> 5; х< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х> Решение данной системы неравенств х> О т в е т: х> 6. Решить № 4.10 (в) на доске и в тетрадях. Решим неравенство 5х2 – 2х + 1 ≤ 0. 5х2–2х + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16 < 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 > 0. 2х2 + 5х + 10 = 0; D = –55 < 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >х> – 2, тогда – 2 < х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р> 7. 8. Повторение ранее изученного материала. Решить № 2.33. Пусть первоначальная скорость велосипедиста х км/ч, после уменьшения стала (х – 3) км/ч. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; тогда х2 – 17х + 30 = 0; D = 169; х1 = 15; х2 = 2 не удовлетворяет смыслу задачи. О т в е т: 15 км/ч; 12 км/ч. IV.Вывод по уроку: Науроке учились решать системы неравенств усложнённого вида особенно с модулем, попробовали свои силы в самостоятельной работе. Выставление отметок. Домашнее задание: выполнить на отдельных листочках домашнюю контрольную работу №1 с № 7 по № 10 на с. 32–33 , № 4.34 (а; б), № 4.35 (а; б). У р о к 4 Подготовка к контрольной работе Цели: обобщить и систематизировать изученный материал, подготовить учащихся к контрольной работе по теме «Системы рациональных неравенств» Ход урока 1. Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока. 11.Повторение изученного материала. *Что значит решить систему неравенств *Чем является результат решения системы рациональных неравенств 1. Собрать листочки с выполненной домашней контрольной работой. 2. Какие правила применяют при решении неравенств? Объясните решение неравенств: а) 3х – 8 <х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 > 0; б) – 2х2 + х – 5 > 0; в) 3х2 – х + 4 ≤ 0. 4. Сформулируйте определение системы неравенств с двумя переменными. Что значит решить систему неравенств? 5. В чем заключается метод интервалов, активно используемый при решении рациональных неравенств? Объясните это на примере решения неравенства: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Тренировочные упражнения. 1. Решить неравенство: а) 12(1 – х) ≥ 5х – (8х + 2); б) – 3х2 + 17х + 6 < 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 > 0, х> – 2. Это не соответствует ни заданию а), ни заданию б). Значит, можно считать, что р ≠ 2, то есть заданное неравенство является квадратным. а) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с> 0 не имеет решений, если а< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с> 0 выполняется при любых значениях х, если а> 0 и D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р> IV. Итоги урока. Необходимо дома просмотреть весь изученный материал и подготовиться к контрольной работе. Домашнее задание: № 1.21 (б; г), № 2.15 (в; г); № 4.14 (г), № 4.28 (г); № 4.19 (а), № 4.33 (г).

С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.

Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

2. Решение системы неравенств

Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.

Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.

Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.

Расставим знаки:

Запишем решение:

Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.

Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

Примеры:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\) \(\leq0\)

\(\frac{1}{2x}\) \(+\) \(\frac{x}{x+1}\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{6}{x+1}\) \(>\) \(\frac{x^2-5x}{x+1}\) .

При решении дробных рациональных неравенств используется метод интервалов. Поэтому если алгоритм, приведенный ниже, вызовет у вас затруднения, посмотрите статью по .

Как решать дробные рациональные неравенства:

Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств.