Найти предел функции используя правило лопиталя. Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

Инструкция

Неопределенность вида [∞-∞], раскрывается, если имеется в виду разность каких-либо дробей. Приведя эту разность к общему знаменателю, получите некоторое отношение функций.

Неопределенности типа 0^∞, 1^∞, ∞^0 возникают при вычислении типа p(x)^q(x). В этом случае применяют предварительное дифференцирование. Тогда искомого предела А примет вид произведения, возможно, что с готовым знаменателем. Если нет, то можно использовать методику примера 3. Главное не забыть записать окончательный ответ в виде е^А (см. рис.5).

Видео по теме

Источники:

вычислить предел функции не пользуясь правилом лопиталя в 2019

Инструкция

Пределом называется некоторое число, к которому стремится переменная переменная или значение выражения. Обычно переменные или функции стремятся либо к нулю, либо к бесконечности. При пределе, нулю, величина считается бесконечно малой. Иными словами, бесконечно малыми называются величины, которые переменны и приближаются к нулю. Если стремится к бесконечности, то его называют бесконечным пределом. Обычно он записывается в виде:
lim x=+∞.

У есть ряд свойств, некоторые из которых представляют собой . Ниже представлены основные из них.
- одна величина имеет только один предел;

Предел постоянной величины равен величине этой постоянной;

Предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x + lim y;

Предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x * lim y

Постоянный множитель может быть вынесен за знак предела: lim(Cx) = C * lim x, где C=const;

Предел частного равен частному пределов: lim(x/y)=lim x / lim y.

В задачах с пределами встречаются как числовые выражения, так и этих выражений. Это может выглядеть, в частности, следующим образом:
lim xn=a (при n→∞).
Ниже представлен несложного предела:
lim 3n +1 /n+1

n→∞.
Для решения этого предела поделите все выражение на n единиц. Известно, что если единица делится на некоторую величину n→∞, то предел 1/n равен нулю. Справедливо и обратное: если n→0, то 1/0=∞. Поделив весь пример на n, запишите его в представленном ниже виде и получите :
lim 3+1/n/1+1/n=3

При решении на пределы могут возникать результаты, которые называются неопределенностями. В таких случаях применяют правила Лопиталя. Для этого производят повторное функции, которое приведет пример в такую форму, в которой его можно было решить. Существуют два типа неопределенностей: 0/0 и ∞/∞. Пример c неопределенностью может выглядеть, в частности, следующим обращом:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

Видео по теме

Расчет пределов функций - фундамент математического анализа, которому посвящено немало страниц в учебниках. Однако подчас не понятно не только определение, но и сама суть предела. Говоря простым языком, предел - это приближение одной переменной величины, которая зависит от другой, к какому-то конкретному единственному значению по мере изменения этой другой величины. Для успешного вычисления достаточно держать в уме простой алгоритм решения.

Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя . Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

Правило Лопиталя: история и определение

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли . Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли , а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0 . Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0 :

Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0 :

Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

Теперь перейдем к примерам.

Пример 1

Найти предел по правилу Лопиталя:

Пример 2

Вычислить с использованием правила Лопиталя:

Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а , то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам . Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин . Если функции f (x ) и g (x a a , причём в этой окрестности g "(x a равны между собой и равны нулю

().

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, может быть, самой точки a , причём в этой окрестности g "(x )≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Замечания .

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f (x ) и g (x ) не определены при x = a .

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f (x ) и g (x ) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a , а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1.

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе - производную сложной логарифмической функции . Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел , подставляя вместо икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"

Пример 12. Вычислить

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

Пример 13.

Решение. Получаем

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Пусть при $x\to a$ функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ обе бесконечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отношение не определено в точке $x=a$ , и в этом случае говорят, что оно представляет собой неопределенность типа $\left[\frac{0}{0}\right]$ или соответственно. Это отношение может иметь конечный или бесконечный предел в точке $x=a$ . Нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности.

t_E1_p217_1
Теорема (Теорема Лопиталя-Бернулли.)
Пусть в некоторой окрестности $P$ точки $x=a$ функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой точки $x=a$ , и пусть $g"(x)\neq0$ на $P$ . Если функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при $x\to a$ и при этом существует предел отношения $\frac{f"(x)}{\varphi"(x)}$ их производных при $x\to a$ , то тогда существует также и предел отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ самих функций, причем

(1)

\begin{align} \lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f"(x)}{g"(x)}. \end{align}

Правило () применимо и в случае, когда $a=\infty$ .

m_KR_p156_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа $\left[\frac{0}{0}\right]$ и $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ .)
В силу теоремы () существует общий способ нахождения предела отношений двух функций, основанный на равенстве
$$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f"(x)}{g"(x)}.$$
Этот способ называется правилом Лопиталя .
Если для производных $f"(x)$ и $g"(x)$ выполняются условия теоремы (), то правило Лопиталя можно применять повторно:
$$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f"(x)}{g"(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f""(x)}{g""(x)}.$$
При этом на каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами вычисления пределов.

e_E1_p218_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\arctan5x}.$$
Используя формулу (), получаем: $$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\arctan5x}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{\frac{1}{1+25x^2}\cdot5}=\frac{2}{5},$$ поскольку $e^{2x}\to1$ и $\frac{1}{1+25x^2}\to1$ при $x\to0$ .

e_E1_p218_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln2x}{x^3}.$$
Применяя дважды формулу (), получаем: $$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^2x}{x^3}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{2\ln x}{x}}{3x^2}=\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^3}=\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{3x^2}=0.$$

e_E1_p218_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}.$$
Используем формулу (): $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos^2x}-\cos x}{3x^2}=\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos^3x}{x^2\cos^2x}.$$
Освободим знаменатель дроби от множителя $\cos^2x$ , поскольку он имеет предел $1$ при $x\to0$ . Развернем стоящую в числителе разность кубов и освободим числитель от сомножителя $(1+\cos x+\cos^2x)$ , имеющего предел $3$ при $x\to0$ . После этих упрощений получаем $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.$$
Применим снова формулу (): $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}.$$
Используя первый замечательный предел, получаем окончательный ответ $\frac{1}{2}$ , уже не прибегая к правилу Лопиталя.

m_E1_p219_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности типа $\left$ .)
Для вычисления $\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x)$ , где $f(x)$ — бесконечно малая, а $g(x)$ — бесконечно большая функции при $x\to a$ , следует преобразовать произведение к виду $\frac{f(x)}{1/g(x)}$ (неопределенность типа $\left[\frac{0}{0}\right]$ ) или к виду $\frac{g(x)}{1/f(x)}$ (неопределенность типа $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ ) и далее использовать правило Лопиталя.

e_E1_p219_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to1}\sin(x-1)\cdot\tan\frac{\pi x}{2}.$$
Имеем: $$\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to1}\sin(x-1)\cdot\tan\frac{\pi x}{2}=\left=\lim\limits_{x\to1}\frac{\sin(x-1)}{\cot\frac{\pi x}{2}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\\=\lim\limits_{x\to1}\frac{\cos(x-1)}{-\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin^2\frac{\pi x}{2}}}=-\frac{2}{\pi}\lim\limits_{x\to1}\cos(x-1)\sin^2\frac{\pi x}{2}=-\frac{2}{\pi}.\end{array}$$

m_E1_p220_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности типа $\left[\infty-\infty\right]$ .)
Для вычисления $\lim\limits_{x\to a}(f(x)-g(x))$ , где $f(x)$ и $g(x)$ — бесконечно большие функции при $x\to a$ , следует преобразовать разность к виду $f(x)\left(1-\frac{g(x)}{f(x)}\right)$ , затем раскрыть неопределенность $\frac{g(x)}{f(x)}$ типа $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ . Если $\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)}{f(x)}\neq1$ , то $\lim\limits_{x\to a}(f(x)-\varphi(x))=\infty$ . Если же $\lim\limits_{x\to a}\frac{\varphi(x)}{f(x)}=1$ , то получаем неопределенность типа $[\infty\cdot0]$ , рассмотренную ранее.

e_E1_p220_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln^3x).$$
Имеем: $$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln^3x)=[\infty-\infty]=\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(1-\frac{\ln^3x}{x}\right).$$
Так как $$\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^3x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{3\ln^2x\cdot\frac{1}{x}}{1}=3\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^2x}{x}=\\=3\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2\ln x\cdot\frac{1}{x}}{1}=6\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=6\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=6\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,\end{array}$$ то $$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln^3x)=+\infty.$$

m_E1_p221_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа $\left$ , $\left[\infty^0\right]$ , $\left$ .)
Во всех трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ , где $f(x)$ есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае — бесконечно большая, в третьем случае — функция, имеющая предел равный единице. Функция же $g(x)$ в первых двух случаях является бесконечно малой, а в третьем случае — бесконечно большой.
Логарифмируя выражение $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ , получим равенство
$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$
Найдем предел $\ln y$ , после чего найдем предел $y$ . Во всех трех случаях $\ln y$ является неопределенностью типа $$ , метод раскрытия которой изложен ранее.

e_E1_p221_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}.$$
Введем обозначение $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}$ . Тогда $\ln y=2x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ является неопределенностью $[\infty\cdot0]$ . Преобразуя выражение $\ln y$ к виду $\ln y=2\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{1/x}$ , находим по правилу Лопиталя $$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln y=2\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}=2\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=2.$$
Следовательно, $$\lim\limits_{x\to+\infty}y=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=e^2.$$

Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет . В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

Если = 0, то , если последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.

Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.

Если = ∞, то , если последний существует.

3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ и 0 0 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.

0⋅∞ произведение двух функций, первая стремится к нулю, вторая к бесконечности;
∞- ∞ разность функций, стремящихся к бесконечности;
1 ∞ степень, ее основание стремится к единице, а показатель к бесконечности;
∞ 0 степень, ее основание стремится к бесконечности, а степень к нулю;
0 0 степень, ее основание стремится к 0 и показатель тоже стремятся к нулю.

Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0

Пример 2. Здесь ∞/∞

В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.

Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ .

Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.

Пример 4 Вычислить предел функции

Здесь неопределенность вида ∞ 0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел

Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1 .

Пример 5. Вычислить предел от если x → 0

Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:

= = = =
= =