Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel . Ниже представлена видеоинструкция.
Правила ввода функции
Примеры≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале , в предположении, что f(a)f(b)<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f’’(b)>0 f(a)f’’(a)>0
Рис.1а Рис. 1б
Рассмотрим рис.1а. Проведем через точки А и В хорду. Уравнение хорды
.
В точке x=x 1 , y=0, в результате получим первое приближение корня
. (3.8)
Проверяем условия
(а) f(x 1)f(b)<0,
(б) f(x 1)f(a)<0.
Если выполняется условие (а), то в формуле (3.8) точку a заменяем на x 1 , получим
.
Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения
. (3.9)
Здесь подвижен конец a, то есть f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Рассмотрим случай, когда неподвижен конец a .
f’’(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f’’(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Рис.2а Рис.2б
На рис 1б,2б выполняется f(x i)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
Продолжая процесс, придем к формуле
. (3.10)
Останов процесса
|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n
Рис. 3
На рис.3 f’’(x) меняет знак, поэтому подвижными будут оба конца.
Прежде чем перейти к вопросу о сходимости итерационного процесса метода хорд введем понятие выпуклой функции.
Определение.
Непрерывная на функция называется выпуклой (вогнутой), если для любых двух точек x 1 ,x 2 , удовлетворяющих a≤x 1
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - вогнутая
Для выпуклой функции f’’(x)≥0.
Для вогнутой функции f’’(x)≤0
Теорема 3.
Если функция f(x) выпукла (вогнута) на отрезке , то на любом отрезке 
график функции f(x) лежит не выше (не ниже) хорды, проходящей через точки графика с абсциссами x 1 и x 2 .
Доказательство:
Рассмотрим выпуклую функцию. Уравнение хорды: проходящей через x 1 и x 2 имеет вид:
.
Рассмотрим точку c= αx 1 + (1-α)x 2 , где aÎ
С другой стороны, по определению выпуклой функции имеем f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; поэтому f(c) ≤ g(c) ч.т.д.
Для вогнутой функции доказательство аналогично.
Доказательство сходимости итерационного процесса рассмотрим для случая выпуклой (вогнутой) функции.
Теорема 4.
Пусть задана непрерывная: дважды дифференцируемая функция f(x) на и пусть f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доказательство:
Рассмотрим для примера случай f(a)f’’(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n > x n -1 так как (b-x n -1)>0, а f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0
. (3.11)
Имеем
(3.12)
(то есть значение функции y(x) в точке x n на хорде совпадает с f(ξ)).
Так как , то из (3.12) следует
или
. (3.13)
Для рис. 1а , следовательно
или
значит что и т.д. (см. (3.11)).
Для рис 2а . Следовательно, из (3.12) получим
значит
так как 
ч.т.д.
Аналогичное доказательство для рис.1б и рис.2б. Таким образом, мы доказали, что последовательность чисел является сходящейся.
a≤x 0
Сходимость метода хорд линейная с коэффициентом 
.
, (3.14)
где m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
Это вытекает из следующих формул. Рассмотрим случай неподвижного конца b и f(b)>0.
Имеем из (3.9) 
. Отсюда
. Учитывая, что , мы можем записать 
или
.
Заменяя в знаменателе правой части (ξ-x n -1) на (b-x n -1) и учитывая, что (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим 
, что и требовалось доказать (см. неравенство (3.14)).
Доказательство сходимости для случая рис.3 (f’’(x) меняет знак; в общем случае как f’, так и f’’ могут менять знаки) более сложное и здесь не приводится.
В задачах определить количество действительных корней уравнения f(x) = 0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0.001.
Метод итераций
Метод простых итераций для уравнения f (x ) = 0 заключается в следующем:
1) Исходное уравнение преобразуют к виду, удобному для итераций:
x = φ (х ). (2.2)
2) Выбирают начальное приближение х
0 и вычисляют последующие приближения по итерационной формуле
x k
= φ
(х k
-1), k
=1,2, ... (2.3)
Если существует предел итерационной последовательности, он является корнем уравнения f (x ) = 0, т. е. f (ξ ) =0.
y = φ (х )
a x 0 x 1 x 2 ξ b
Рис. 2. Сходящийся процесс итераций
На рис. 2 показан процесс получения очередного приближения по методу итераций. Последовательность приближений сходится к корню ξ .
Теоретические основы для применения метода итераций дает следующая теорема.
Теорема 2.3 . Пусть выполняются условия:
1) корень уравнения х = φ(х) принадлежит отрезку [а , b ];
2) все значения функции φ (х ) принадлежат отрезку [а , b ],т. е. а ≤ φ (х )≤ b ;
3) существует такое положительное число q < 1, что производная φ "(x ) во всех точках отрезка [а , b ] удовлетворяет неравенству |φ "(x ) | ≤ q .
1) итерационная последовательность х п = φ (х п- 1)(п = 1, 2, 3, ...) сходится при любом x 0 Î [а , b ];
2) предел итерационной последовательности является корнем уравнения
х = φ (x ), т. е. если x k = ξ, то ξ= φ (ξ);
3) справедливо неравенство, характеризующее скорость сходимости итерационной последовательности
| ξ-x k | ≤ (b-a )×q k . (2.4)
Очевидно что, эта теорема ставит, довольно, жесткие условия, которые необходимо проверить перед применением метода итераций. Если производная функции φ (x ) по модулю больше единицы, то процесс итераций расходится (рис. 3).
y
= φ
(x
) y
= x
 |
Рис. 3. Расходящийся процесс итераций
В качестве условия сходимости итерационных методов чисто используется неравенство
|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)
Метод хорд заключается в замене кривой у = f (x ) отрезком прямой, проходящей через точки (а , f (a )) и (b , f (b )) рис. 4). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.
Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a , f (a )) и (b , f (b )) и, приравнивая у к нулю, найдем х :
Þ 
Алгоритм метода хорд :
1) пусть k = 0;
2) вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.
Найдем очередное k -e приближение по формуле:
x k = a - f (a )(b - a )/(f (b ) - f (a )).
Вычислим f (x k );
3) если f (x k )= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.
Если f (x k ) ×f (b )>0, то b = x k , иначе a = x k ;
4) если |x k – x k -1 | > ε , то переходим к п. 2;
5) выводим значение корня x k ;
Замечание . Действия третьего пункта аналогичны действиям метода половинного деления. Однако в методе хорд на каждом шаге может сдвигаться один и тот же конец отрезка (правый или левый), если график функции в окрестности корня выпуклый вверх (рис. 4, а ) или вогнутый вниз (рис. 4, б ).Поэтому в критерии сходимости используется разность соседних приближений.
Рис. 4. Метод хорд
4. Метод Ньютона (касательных )
Пусть найдено приближенное значение корня уравнения f (x )= 0, и обозначим его х п .Расчетная формула метода Ньютона для определения очередного приближения x n +1 может быть получена двумя способами.
Первый способ выражает геометрический смысл метода Ньютона и состоит в том, что вместо точки пересечения графика функции у = f (x )с осью Оx ищем точку пересечения с осью Оx касательной, проведенной к графику функции в точке (x n , f (x n )),как показано на рис. 5. уравнение касательной имеет вид у - f (x n )= f " (x n )(x - x n ).
Рис. 5. Метод Ньютона (касательных)
В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных :
(2.6)
Второй способ: разложим функцию f (x )в ряд Тейлора в окрестности точки х = х n :
Ограничимся линейными слагаемыми относительно (х - х п ),приравняем к нулю f (x ) и, выразив из полученного уравнения неизвестное х ,обозначив его через х n +1 получим формулу (2.6).
Приведем достаточные условия сходимости метода Ньютона.
Теорема 2.4 . Пусть на отрезке [а , b ]выполняются условия:
1) функция f (x )и ее производные f " (х )и f "" (x )непрерывны;
2) производные f " (x)и f ""(x )отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;
3) f
(a
)× f
(b
) <
0 (функция f
(x
)меняет знак на отрезке).
Тогда существует отрезок [α
, β
], содержащий искомый корень уравнения f
(x
) =
0, на котором итерационная последовательность (2.6) сходится. Если в качестве нулевого приближения х
0 выбрать ту граничную точку [α
, β
], в которой знак функции совпадает со знаком второй производной,
т.е. f (x 0)× f" (x 0)>0, то итерационная последовательность сходится монотонно
Замечание . Отметим, что метод хорд как раз идет с противоположной стороны, и оба этих метода могут друг друга дополнять. Возможен и комбинированный метод хорд-касательных.
5. Метод секущих
Метод секущих может быть получен из метода Ньютона при замене производной приближенным выражением – разностной формулой:
, 
,
. (2.7)
В формуле (2.7) используются два предыдущих приближения х п и x n - 1 .Поэтому при заданном начальном приближении х 0 необходимо вычислить следующее приближение x 1 , например, методом Ньютона с приближенной заменой производной по формуле
, 
Алгоритм метода секущих :
1) заданы начальное значение х 0 и погрешность ε . Вычислим
;
2) для п = 1, 2, ... пока выполняется условие |x n – x n -1 | > ε , вычисляем х п+ 1 по формуле (2.7).
Численные методы 1
Решение нелинейных уравнений 1
Постановка задачи 1
Локализация корней 2
Уточнение корней 4
Методы уточнения корней 4
Метод половинного деления 4
Метод хорд 5
Метод Ньютона (метод касательных) 6
Численное интегрирование 7
Постановка задачи 7
Метод прямоугольников 8
Метод трапеций 9
Метод парабол (формула Симпсона) 10
Численные методы
На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит потому, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы.
Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами. В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться огромное количество действий, и здесь без быстродействующего компьютера не обойтись.
Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения задачи являются:
погрешность метода решения;
погрешности округлений в действиях над числами.
Погрешность метода вызвана тем, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев численный метод представляет собойбесконечный процесс , которыйв пределе приводит к искомому решению. Процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение.
Погрешность округления зависит от количества арифметических действий, выполняемых в процессе решения задачи. Для решения одной и той же задачи могут применяться различные численные методы. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного метода.
Решение нелинейных уравнений Постановка задачи
Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.
В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать:
f (x ) = 0 ,
где f (x ) – некоторая непрерывная функция аргументаx .
Всякое число x 0 , при которомf (x 0 ) ≡ 0, называется корнем уравненияf (x ) = 0.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) иитерационные . Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не удается получить аналитического решения в виде формулы с конечным числом арифметических действий. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.
При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на осиx , в пределах которых содержится один единственный корень, иуточнение корней , т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.
Локализация корней
Для отделения корней уравнения f (x ) = 0 необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке [a ,b ] имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке.
Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], а на концах отрезка её значения имеют разные знаки, т. е.
f (a ) f (b ) < 0 ,
то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень.
Рис 1. Отделение корней. Функция f (x ) не монотонна на отрезке [a ,b ].
Это условие, как видно из рисунка (1), не обеспечивает единственности корня. Достаточным дополнительным условием, обеспечивающем единственность корня на отрезке [a ,b ] является требование монотонности функции на этом отрезке. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием постоянства знака первой производнойf ′(x ) .
Таким образом, если на отрезке [ a ,b ] функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень.
Воспользовавшись этим критерием, можно отделить корни аналитическим способом, находя интервалы монотонности функции.
Отделение корней можно выполнить графически , если удается построить график функцииy =f (x ) . Например, график функции на рисунке (1) показывает, что эта функция на интервале может быть разбита на три интервала монотонности и на этом интервале у нее существуют три корня.
Отделение корней можно также выполнить табличным способом. Допустим, что все интересующие нас корни уравнения (2.1) находятся на отрезке [A, B ]. Выбор этого отрезка (интервала поиска корней) может быть сделан, например, на основе анализа конкретной физической или иной задачи.
Рис. 2. Табличный способ локализации корней.
Будем вычислять значения f (x ) , начиная с точкиx =A , двигаясь вправо с некоторым шагомh (рис. 2). Как только обнаруживается пара соседних значенийf (x ) , имеющих разные знаки, так соответствующие значения аргументаx можно считать границами отрезка, содержащего корень.
Надежность табличного способа отделения корней уравнений зависит как от характера функции f (x ) , так и от выбранной величины шагаh . Действительно, если при достаточно малом значенииh (h <<|B −A |) на границах текущего отрезка [x, x +h ] функцияf (x ) принимает значения одного знака, то естественно ожидать, что уравнениеf (x ) = 0 корней на этом отрезке не имеет. Однако, это не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функцииf (x ) на отрезке [x, x +h ] могут оказаться корни уравнения (рис. 3а).
Рис 3а Рис 3б
Также несколько корней на отрезке [x, x +h ] могут оказаться и при выполнении условияf (x ) f (x + h ) < 0 (рис. 3б). Предвидя подобные ситуации, следует выбирать достаточно малые значенияh .
Отделяя таким образом корни, мы, по сути, получаем их приближенные значения с точностью до выбранного шага. Так, например, если в качестве приближенного значения корня взять середину отрезка локализации, то абсолютная погрешность этого значения не будет превосходить половины шага поиска (h /2). Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно, в принципе, повысить точность отделения корней до любого наперед заданного значения. Однако такой способ требует большого объема вычислений. Поэтому при проведении численных экспериментов с варьированием параметров задачи, когда приходится многократно осуществлять поиск корней, подобный метод не годится для уточнения корней и используется только для отделения (локализации) корней, т.е. определения начальных приближений к ним. Уточнение корней проводится с помощью других, более экономичных методов.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Метод хорд. |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
Метод хорд - один из распространенных итерационных методов. Его еще называют методом линейного интерполирования, методом пропорциональных частей.
Идея метода хорд в том, что на достаточно малом отрезке дуга кривой у =f (x) заменяется хордой и абсцисса точки пересечения хорды с осью Ox является приближенным значением корня.
Рисунок 2 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона.
Пусть для определенности f" (х)> 0, f"" (x) >0, f (а) <0, f (b)> 0 (рис. 3, а). Возьмем за начальное приближение искомого корня х* значения х 0 =а. Через точки а 0 и В проведем хорду и за первое приближение корня х* возьмем абсциссу x 1 точки пересечения хорды с осью ОХ. Теперь приближенное значение х 1 корня можно уточнить если применить метод хорд на отрезке [х 1 ; b ]. Абсцисса х 2 точки пересечения хордыА 1 В будет другим приближением корня. Продолжая данный процесс далее, получим последовательность х 0 , х 1 , х 2 ,..., х k , ... приближенных значений корня х* данного уравнения.
Таким образом метод хорд можно записать так:
, k=0, 1.2, …, (8)
В общем случае неподвижным будет тот конец отрезка изолированного корня, в которой знак функции f(х) совпадает со знаком второй производной, а за начальное приближение x 0 можно взять точку отрезка [а; b ], в которой f(x 0)×f"’(x 0) < 0.
К примеру, когда f (a) >0, f (b) <0, f"(х)< 0, f"(х)< 0 (рис. .3, б) конец b отрезка [а; b ] является неподвижным.
В случае если f (а)>0, f (b)< 0, f" (х)< 0, f"(x) >0 (рис.3, в), или f (а) <0, f (b) >0, f’ (х) >0, f"’ (x) <0 (рис. 3, г), точка а является неподвижным концом отрезка [а; b ].
Достаточные условия сходимости метода хорд дает такая теорема.
Рисунок 3. – Геометрическая интерпретация метода хорд
Теорема. Пусть на отрезке [а; b ] функция f (х) непрерывна вместе со своими производными второго порядка включительно, причем f(a)×f(b)<0, а производные f" (x) и f" (х) сохраняют свои знаки на [а; b ], тогда существует такая окружность корня х* уравнения f (x) =0, что для любого начального приближения х 0 этой окружности последовательность {х k }, вычисленная по формуле (8), сходится к корню х*.
Метод хорд. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод хорд." 2017, 2018.
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке . 2) F(a)F(b)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью &... .
При дифференцировании этим методом отмечают ряд точек на вычерченной кривой графика функции, которые соединяют хордами, т.е. заменяют заданную кривую ломаной линией (Рис.2). Принимают следующее допущение: угол наклона касательных в точках, расположенных посередине... .
В некоторых случаях несколько большей скоростью сходимости обладает метод хорд, у которого на втором этапе при выборе очередного приближения внутри отрезка, содержащего корень, учитывается величина невязки на концах отрезка: точка выбирается ближе к тому концу, где... .
Идея метода проиллюстрирована рисунком. Задается интервал , на котором f(x0)f(x1) &... .
В данном методе в качестве приближения выбирается не середина отрезка, а точка пересечения хорды с осью абсцисс. Уравнение хорды АВ, соединяющей концы отрезка: (1) Точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты, подставим в (1) и найдем (2). Сравниваем знаки и... .
Если и - приближенные значения корня по недостатку и избытку. 1. Если на, то, при этом. 2. Если на, то, при этом. Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их комбинированным методом хорд и касательных с точностью до 0,001. , следовательно, для вычислений...
