Для того чтобы рассчитать в треугольнике все возможные показатели, необходимо, как минимум, иметь данные о его сторонах. Зная два угла и сторону а, можно найти остальные две стороны и угол, построив высоту в таком треугольнике. (рис. 76.1) Высота разделит произвольный треугольник на два прямоугольных, в которых катетами будет высота и часть известной стороны x или y, а гипотенузами – неизвестные стороны a и b. Кроме того, что мы задаем известную сторону a, как сумму двух катетов x и y, тригонометрия полученных треугольников, определяет высоту с одной стороны как произведение y на тангенс β, а с другой стороны как произведение x на тангенс γ. Приравнивая эти выражения друг к другу, можно составить систему уравнений, из которых могут быть найдены части x и y, а затем неизвестные стороны первоначального треугольника a и b. {█(x+y=a@y tanβ=x tanγ)┤{█(x=a-y@y(tanβ+tanγ)=a tanγ)┤{█(x=a-y@y=(a tanγ)/(tanβ+tanγ))┤ b=x/cosγ , c=y/cosβ h_a=y tanβ
Можно также найти сразу две другие высоты треугольника, опущенные на стороны b и c соответственно. (рис. 76.2) h_b=a sinβ h_c=a sinγ
Третий угол можно найти, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. α=180°-β-γ
Теперь, зная все стороны, углы и высоты, можно найти все остальные параметры треугольника. Вычислить периметр можно, сложив все три стороны, а площадь – умножив половину любой стороны на опущенную на нее высоту. P=a+b+c S=(ah_a)/2
Если провести в треугольнике медианы, то каждая из них разделит сторону, на которую она опущена, на две равные части. Для того, чтобы вычислить медиану в треугольнике, необходимо знать все три стороны. Формула медианы заключается в том, чтобы сложить удвоенные квадраты двух нетронутых сторон, отнять квадрат стороны, на которую опущена медиана, извлечь из этого выражения квадратный корень и разделить его на два. (рис. 75.1) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2)/2 m_a=√(2b^2+2c^2-a^2)/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2
Чтобы найти биссектрисы треугольника, которые делят пополам его углы, также необходимо знать все три стороны треугольника. Формула биссектрисы выглядит немного сложнее, чем формула медианы, но достаточно проста в расчетах. (рис.75.2) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)
Средняя линия треугольника – это прямая, проведенная параллельно одной из его сторон. Ее особенность заключается в том, что она делит стороны на которые опирается на две равные части, и сама равна половине стороны, ей параллельной. (рис.75.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2
Также в произвольном треугольнике через стороны можно найти радиус окружности, которую можно вписать в треугольник или описать около него. Радиус вписанной окружности будет начинаться в точке пересечения биссектрис треугольника и опускаться на любую из сторон под прямым углом. Радиус описанной окружности начинается в точке пересечения медиатрисс треугольника и заканчивается в любой из его вершин. (рис. 75.5, 75.6) r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p) R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))
ГЛАВА VIII.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.
§ 88. ТРИ ПРИЗНАКА ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.
Пусть в треугольниках ABC и А"В"С /
A = /
А" ; /
В = /
B". 1
Доказать, что /\
АВС /\
А"В"С (черт. 367).
____________________
1 В подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами.
Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. / C = / С".
Отложим от вершины В, например, на стороне АВ треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А"В". Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили /\ MBN, который подобен /\ ABC (§ 87). Но /\ MBN = /\ А"В"С", так как / В =/ В" по условию теоремы; сторона MB = A"B" по построению; / BMN = / A" (/ BMN и / А" порознь равны одному и тому же / А).
Если /\ MBN /\ AВС, то /\ А"В"С" /\ ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.
Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны .
2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.
3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.
4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.
Теорема 2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.
Пусть в треугольниках ABC и А"В"С" AB / A"B" = BC / B"C" и / В =/ В"
Требуется доказать, что /\ ABC /\ А"В"С" (черт. 368).
Для доказательства отложим, например, на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А"В". Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC (§ 87).
Докажем, что /\
MBN = /\
А"В"С". В этих треугольниках /
В =/
В" по условию теоремы, MB = А"В" по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В"С, составим пропорцию AB / MB = BC / BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: AB / A"B" = BC / B"C" . В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,
т. е. В"С" = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А"В"С".
Так как /\
MBN /\
А"В"С" , то, следовательно, и /\
А"В"С" /\
АВС.
Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.
Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.
Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.
Пусть в треугольниках ABC и А"В"С" AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C" (черт. 369).
Требуется доказать, что /\ ABC /\ А"В"С"
Для доказательства отложим на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ = А"В". Из точки М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику AВС. Следовательно, AB / MB = BC / BN = AC / MN .
Докажем, что /\
MBN = /\
А"В"С". Для доказательства сравним две пропорции
AB / MB = BC / NB и AB / A"B" = BC / B"C" . В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т.е. BN = В"С".
Сравним ещё две пропорции: AB / MB = AC / MN и AB / A"B" = AC / A"C" . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. МN = А"С".
Оказалось, что три стороны /\
BMN равны трём сторонам /\
А"В"С", а именно:
MB = А"В"; BN = В"С" и MN = А"С".
Следовательно, /\
MBN = /\
А"В"С", а /\
ABC /\
А"В"С" С.
Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.
Упражнения.
1. В двух подобных треугольниках ABC и А"В"С" стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 20 см, 18 см и 15 см. Сторона А"С" треугольника А"В"С" равна 10 см. Чему равны стороны А"В" и В"С"?
2. Треугольники ABC и А"В"С" подобны. Стороны АВ, ВС и АС треугольника ABC соответственно равны 20 см, 15 см и 12 см. Коэффициент подобия треугольников равен 2,5. Вычислить периметр треугольника А"В"С". (Два решения.)
I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. С Дано: ABC, А 1 В 1 С 1, Доказать: А В Доказательство: С 1 1). А 1 ABC В 1 А 1 В 1 С 1
4). С Было дано Мы доказали, что и А В тогда С 1 AB = A 1 B 1 Треугольники подобны по определению. А 1 В 1
II признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Дано: ABC, Доказать: А 1 В 1 С 1, ABC А 1 В 1 С 1 и применим 1 Доказательство: докажем, что признак подобия треугольников С 1 А 1 С В 1 А В
С С 1 В 1 А 1 1). Рассмотрим 1= А 1, ABC 2 А В 1 2 ABC 2, у которого 2= В 1. А 1 В 1 С 1 по двум углам С 2 Тогда АС = АС 2 по условию
С С 1 В 1 А В 1 2 2). ABC = АВС 2 В = 2, по двум сторонам и углу между ними 2= В 1 = С 2
III признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Дано: ABC, Доказать: А 1 В 1 С 1, ABC Доказательство: А 1 В 1 С 1 докажем, что и применим 2 признак подобия треугольников С С 1 А 1 В 1 А В
