ГЛАВА VIII.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.
§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.
1. Отношение площадей квадратов.
Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т
, а сторону другого - через п
, то площади будут соответственно равны
т
2 и п
2 (черт. 379).
Обозначив площадь первого квадрата через S, а площадь второго через S", получим: S / S" = m 2 / n 2 , т. е. площади квадратов относятся как квадраты их сторон.
Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (m / n ) 2 .
Значит, можно сказать, что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.
На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
3 2 = 9.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников.
Пусть /\
AВС /\
A"В"С" (черт. 380). Из подобия треугольников следует, что
/
A = /
A" , /
B = /
B" и /
С = /
С" . Кроме того, AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C" .
В этих треугольниках из вершин В и В" проведём высоты и обозначим их через h и h ". Площадь первого треугольника будет равна AC h / 2 , а площадь второго треугольника A"C" h" / 2 .
Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго - через S" получим: S / S" = AC h / A"C" h" или S / S" = AC / A"C" h / h"
Из подобия треугольников АВО и А"В"О" (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно /
A = /
A") следует:
h
/ h"
= AB / A"B" . Но AB / A"B" = AC / A"C" . Следовательно, h
/ h"
= AC / A"C" . Заменив в формуле S / S" = AC / A"C" h
/ h"
отношение h
/ h"
равным ему отношением AC / A"C" , получим:
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" , или .
Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон .
Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (AC / A"C") 2 .
Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.
3. Отношение площадей подобных многоугольников.
Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - подобные многоугольники (черт. 381).
Известно, что /\
AВС /\
A"В"С"; /\
ACD /\
A"C"D" и /\
ADE /\
A"D"E" (§90).
Кроме того,
;
Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то
Используя свойство ряда равных отношений получим:
Или
где S и S" - площади данных подобных многоугольников.
Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S / S" = (AВ / A"В") 2
Упражнения.
1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?
2. Сторона первого квадрата составляет 1 / 3 (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?
3. Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 (1 / 5 ; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?
4. Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?
Пропорциональные отрезки
Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.
Определение 1
Отношением двух отрезков называется отношение их длин.
Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда
То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.
Подобные треугольники
Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.
Определение 3
Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.
Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.
Рисунок 1. Два треугольника
Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:
Определение 4
Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.
На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.
Определение 5
Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть
\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]
На рисунке 1 изображены подобные треугольники.
Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$
Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.
Определение 6
Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.
Площади подобных треугольников
Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.
Теорема 1
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть
\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]
Доказательство.
Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:
Теорема 2
Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.
Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что
Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим
Теорема доказана.
Задачи, связанные с понятием подобия треугольника
Пример 1
Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.
Решение.
Данная задача имеет два возможных решения.
Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.
Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.
Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$
Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$
Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.
Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.
Пример 2
Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.
Решение.
Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.
Найдем площадь первого треугольника.
По теореме 1, имеем:
\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \
Цели урока:
- Сформировать умение использовать формулу площади треугольника при решении задач;
- Рассмотреть ключевые задачи об отношении площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание). Познакомить учащихся с методами решения задач по теме.
Оборудование урока:
- Компьютер.
- Мультимедийный проектор.
- Экран.
Раздаточный материал.
- карточки с вопросами для опроса по домашнему заданию;
- презентация к уроку (Приложение 1);
- карточки для выполнения самостоятельной работы.
Этапы урока
- Организационный момент.
- Проверка домашнего задания (усвоение материала предыдущего урока)
- Закрепление ранее изученного материала
- Самостоятельная работа обучающего характера
- Постановка домашнего задания.
- Подведение итогов урока.
Ход урока
1. Организационный момент
Сообщаем тему урока. Поясняем важность рассматриваемого на уроке материала, говорим о том, что сведения последних уроков по площадям имеют широкое применение, сегодня на уроке используем их при решении задач.
Для эффективности работы в начале проверим домашнее задание и повторим изученный теоретический материал.
2. Проверка домашнего задания
Опрос учащихся у доски:
- доказательство теоремы о площади?.
- доказательство следствий из неё
- решение номеров домашнего задания.
В это время с классом работаем устно, по слайдам заранее подготовленной презентации.
3) Если AM=MC, то сравните площади этих треугольников.
Записать вывод в тетрадь:
Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника, и площадь каждого из которых равна половине площади данного треугольника.
ВМ – медиана АВC
ВК – медиана АВМ
Найдите отношение площадей
5) Известно, что S ABС =20см 2 (по условию предыдущего задания)
Найти S ABМ; S МBС; S ABК; S КBС - ?
Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих общее основание?
Записываем вывод в тетради:
S ABС: S ADС = BM: DN
Площади треугольников, имеющих общее основание, относятся как высоты, проведенные к основанию.
3. Закрепление ранее изученного материала.
1. Выполняем задание №40 стр. 18-19 рабочей тетради по геометрии для 8 кл.
На рисунке точка М делит сторону АС АВС в отношении АМ: МС = 2: 3
Площадь АВС равна 180 см 2 . Найдите площадь треугольника АВМ.
2. Решаем задачу №475 учебника.
Начертите АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.
Обсуждаем решение, используя слайды презентации
4. н/о (если позволяет время)
Данный параллелограмм разделите на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.
Аналогично, ВВ 2 делит DВС на треугольники, имеющие одну высоту, их площади относятся как основания DB 2: B 2 C = 1: 2 => Алгоритм построения: разделить каждую из сторон AD и DC параллелограмма в отношении 2:1, считая от вершин А и С.
4. Самостоятельная работа обучающего характера
Вариант -1
1) СК – медиана АВС
S СКВ = 32 см 2 . Найти S ABС
2) S КDM = 40 см 2
На стороне КМ отмечена точка А так, что КА: АМ = 2:3
Найти: S КDА
Вариант - 2
1) АМ – медиана АВС, площадь которого 48 см 2
Найти площадь АМС
2) S DРК = 60 см 2
На стороне DК отмечена точка А так, что DА: АK = 3:1
Найти: S APK -?
5. Постановка домашнего задания
Д.З. по учебнику стр. 124-125 № 473; 506; 511(а)
6. Подведение итогов урока
Литература
1. Геометрия 7-9. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др./ “ Просвещение”, ОАО “Московский учебник”,М., 2008;
2. Рабочая тетрадь для 8 кл. об/об учреждений. Геометрия. / Атанасян Л.С. и др. / “Просвещение”, М, 2005;
2. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. / Геометрия: Задачник к школьному курсу М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998.